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等比数列
6-3
1.理解等比数列的概念.
2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.
3.了解等比数列与指数函数的关系．
6-3 等比数列.............................................................................................................................................................1
一、主干知识.....................................................................................................................................................1
考点1：等比数列的有关概念..............................................................................................................1
考点2：等比数列的有关公式..............................................................................................................2
考点3：等比数列的常用性质..............................................................................................................2
【常用结论总结】....................................................................................................................................2
二、分类题型.....................................................................................................................................................3
题型一 等比数列基本量的运算..........................................................................................................3
题型二 等比数列的判定与证明..........................................................................................................4
题型三 等比数列的性质........................................................................................................................5
三、分层训练：课堂知识巩固.....................................................................................................................6一、主干知识
考点1：等比数列的有关概念
(1)定义：（又名几何数列），是一种特殊数列．如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于
同一个常数，这个数列就叫做等比数列，因为第二项与第一项的比和第三项与第二项的比相等，这个常数
叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（q≠0）． 注：q＝1 时，a 为常数列．定义的表达式为＝
n
q(n∈N*，q为非零常数)．
(2)等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G 叫做a与b的等比中项，
此时，G2＝ab.
考点2：等比数列的有关公式
(1)通项公式：a＝a q n － 1 .
n 1
(2)前n项和公式：S＝
n
考点3：等比数列的常用性质
（1）通项公式的推广：a ＝a •qn﹣m，（n，m N*）．
n m
（2）若{a }为等比数列，且k+l＝m+n，（k，l∈，m，n N*），则 a •a＝a •a
n k l m n
（3）若{a }，{b }（项数相同）是等比数列，则{ a }（∈ ≠0），{a}，{a •b }，仍是等比数列．
n n n n n
λ λ
（4）单调性： 或 {a }是递增数列； 或 {a }是递减数列；q＝
n n
⇔ ⇔
1 {a }是常数列；q＜0 {a }是摆动数列．
n n
⇔ ⇔
【常用结论总结】
1．等比数列的前n项和公式等比数列{a }的公比为q（q≠0），其前n项和为S ，
n n当q＝1时，S ＝na ；当q≠1时，S ＝ ＝ ．
n 1 n
2．等比数列前n项和的性质
公比不为﹣1的等比数列{a }的前n项和为S ，则S ，S ﹣S ，S ﹣S 仍成等比数列，其公比为qn．
n n n 2n n 3n 2n
3．等比数列{a}的通项公式可以写成a＝cqn，这里c≠0，q≠0.
n n
4．等比数列{a}的前n项和S 可以写成S＝Aqn－A(A≠0，q≠1,0)．
n n n
二、分类题型题型一 等比数列基本量的运算
【例题精析1】 （2023·福建福州·福建省福州第一中学校考三模）英国数学家亚历山大·艾利斯提出用音分来
精确度量音程，音分是度量不同乐音频率比的单位，也可以称为度量音程的对数标度单位.一个八度音程为
1200音分，它们的频率值构成一个等比数列.八度音程的冠音与根音的频率比为2，因此这1200个音的频
率值构成一个公比为 的等比数列.已知音M的频率为m，音分值为k，音N的频率为n，音分值为l.若
，则 =（ ）
A．400 B．500 C．600 D．800
【例题精析2】 （2023·河北唐山·开滦第二中学校考模拟预测）已知数列 为等比数列，且 ，
，则 （ ）
A．30 B． C．40 D．
【例题精析3】 （2023·四川成都·成都七中校考模拟预测）设 是等比数列，且 ， ，则
（ ）
A．8 B．-8 C．4 D．-4
【例题精析4】 （2023·全国·统考高考真题）已知 为等比数列， ， ，则 ______.
(1)等比数列中有五个量a，n，q，a，S，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎
1 n n
刃而解．
(2)等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q＝1 时，{a}的前n项和S＝
n n
na；当q≠1时，{a}的前n项和S＝＝.
1 n n【对点精练1】 （2023·天津·统考高考真题）已知 为等比数列， 为数列 的前 项和， ，
则 的值为（ ）
A．3 B．18 C．54 D．152
【对点精练2】 （2023春·湖北武汉·高二武汉市第四十九中学校考阶段练习）已知正项等比数列 满足
，则 的最小值是（ ）
A．4 B．9 C．6 D．8
【对点精练3】 （2023·北京·统考高考真题）我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类
似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”．已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的
数列 ，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且 ，则
___________；数列 所有项的和为____________．
【对点精练4】 （2023春·江西抚州·高二资溪县第一中学校考期中）已知数列 满足 ，若
，则 _________．
【对点精练5】 （2023·上海虹口·华东师范大学第一附属中学校考三模）已知等比数列 中 ，若
成等差数列，则 ______．题型二 等比数列的判定与证明
【例题精析5】 （2023·全国·高二专题练习）甲、乙、丙三个小学生相互抛沙包，第一次由甲抛出，每次抛
出时，抛沙包者等可能的将沙包抛给另外两个人中的任何一个，设第 （ ）次抛沙包后沙包在甲手
中的方法数为 ，在丙手中的方法数为 .
(1)求证：数列 为等比数列，并求出 的通项；
(2)求证：当n为偶数时， .
【例题精析6】 （2023·广东东莞·校考三模）已知数列 和 ， ， ， .
(1)求证数列 是等比数列；
【例题精析7】 （2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第六中学校校考三模）已知正项数列 满足 ，
.
(1)证明：数列 是等比数列，并求数列 的通项公式；
【例题精析8】 （2023·山东潍坊·三模）已知数列 和 满足 ．
(1)证明： 和 都是等比数列；等比数列的三种常用判定方法
(1)定义法：若＝q(q为非零常数，n∈N*)或＝q(q为非零常数且n≥2，n∈N*)，则{a}是等比
n
数列．
(2)等比中项法：若数列{a}中，a≠0且a＝a·a (n∈N*)，则{a}是等比数列．
n n n n＋2 n
(3)前n项和公式法：若数列{a}的前n项和S＝k·qn－k(k为常数且k≠0，q≠0,1)，则{a}
n n n
是等比数列．
【对点精练6】 （2023·全国·高二专题练习）已知 为数列 的前 项和，且满足 ， .
(1)求证：数列 是等比数列；
【对点精练7】 （2023·广东梅州·大埔县虎山中学校考模拟预测）已知数列 的前n项和为 .
(1)若 ， ，证明： ；
(2)在（1）的条件下，若 ，数列 的前n项和为 ，求证
【对点精练8】 （2023·浙江嘉兴·校考模拟预测）数列 满足 ， ，
(1)若数列 是等比数列，求 及 的通项公式；
(2)若数列 满足： ，数列 的前 项和为 ，求证： .
【对点精练9】 （2023·福建厦门·统考模拟预测）已知数列 满足 ．
(1)证明 是等比数列；【对点精练10】 （2019·全国·高考真题）已知数列{an}和{bn}满足a
1
=1，b
1
=0， ，
.
（1）证明：{an+bn}是等比数列，{an–bn}是等差数列；
题型三 等比数列的性质
【例题精析9】 （2023·福建福州·福建省福州第一中学校考二模）已知等比数列 满足
，则 （ ）
A． B． C． D．3
【例题精析10】 （2023·全国·模拟预测）在等比数列 中， ，且 ，则 的前10项和为
（ ）
A．322 B．336 C．341 D．366
【例题精析11】 （2022·甘肃张掖·高台县第一中学校考模拟预测）已知等比数列 满足 ， ，（其中 ， ），则 的最小值为（ ）
A．6 B．16 C． D．2
(1)等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项的变形，三是前 n项
和公式的变形，根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口．
(2)巧用性质，减少运算量，在解题中非常重要．
【对点精练11】 （2023·全国·高三专题练习）在等比数列 中， ，则 （ ）
A．4 B．8 C．32 D．64
【对点精练12】 （2023·陕西·校联考模拟预测）等比数列 的各项均为正数，且 ，则
（ ）
A．8 B．6 C．4 D．3
【对点精练13】 （2023·河北·校联考三模）若数列 为等比数列，则 _______．
【对点精练14】 （2023·全国·高三专题练习）公比 的等比数列 满足 ， ，则
__________．
【对点精练15】 （2023春·安徽宿州·高二安徽省泗县第一中学校考阶段练习）在各项均为正数的等差数列
中， ， ， 成等比数列， ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设数列 的前 项和为 ， ，证明： ．三、分层训练：课堂知识巩固
1．（2022•乙卷）已知等比数列 的前3项和为168， ，则
A．14 B．12 C．6 D．3
2．（2021•甲卷）记 为等比数列 的前 项和．若 ， ，则
A．7 B．8 C．9 D．10
3．（2020•新课标Ⅰ）设 是等比数列，且 ， ，则A．12 B．24 C．30 D．32
4．（2020•新课标Ⅱ）记 为等比数列 的前 项和．若 ， ，则
A． B． C． D．
5．（2019•新课标Ⅲ）已知各项均为正数的等比数列 的前4项和为15，且 ，则
A．16 B．8 C．4 D．2
6．（2018•全国）已知等比数列 的前 项和为 ， ， ，则
A．8 B．6 C．4 D．2
7．（2018•北京）“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这
个理论的发展做出了重要贡献，十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二
个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于 ．若第一个单音的频率为 ，则第
八个单音的频率为
A． B． C． D．
8．（2018•北京）设 ， ， ， 是非零实数，则“ ”是“ ， ， ， 成等比数列”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
9．（2017•新课标Ⅱ）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加
增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层
灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯
A．1盏 B．3盏 C．5盏 D．9盏
10．（2016•四川）某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司 2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长 ，则该公司全年投入的研发资金开始超
过200万元的年份是
（参考数据： ， ，
A．2018年 B．2019年 C．2020年 D．2021年
11．（2019•新课标Ⅰ）记 为等比数列 的前 项和．若 ， ，则 ．
12．（2017•新课标Ⅲ）设等比数列 满足 ， ，则 ．
13．（2017•江苏）等比数列 的各项均为实数，其前 项和为 ，已知 ， ，则 ．
14．（2017•上海）已知数列 的通项公式为 ，则 ．
15．（2018•新课标Ⅲ）等比数列 中， ， ．
（1）求 的通项公式；
（2）记 为 的前 项和．若 ，求 ．
1．（2021•宜宾模拟）设 是等比数列，且 ， ．
（1）求 的通项公式；
（2）记 是数列 的前 项和，若 ，求 ．
2．（2020•广元模拟）记 为各项均为正数的等比数列 的前 项和，已知 ， ，
记 ，其中 表示不超过 的最大整数，如 ， ， ．
（Ⅰ）求 的通项公式；（Ⅱ）求 的前 项和 ．
3．（2023•渝中区校级模拟）已知正项等比数列 满足 ， ，公比 ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）若 ，判断数列 有没有最大项？若有，求出第几项为最大项？若没有，请说明理由．
4．（2023•日照三模）已知数列 满足： ， ．
（1）当 时，求数列 中的第10项；
（2）是否存在正数 ，使得数列 是等比数列，若存在求出 值并证明；若不存在，请说明理由．
5．（2023•闵行区校级一模）已知数列 的前 项和为 ， ，对任意的正整数 ，点 ， 均
在函数 图像上．
（1）证明：数列 是等比数列；
（2）证明： 中任何不同三项不构成等差数列．
6．（2023•嘉定区校级三模）已知数列 的前 项和为 ， ，对任意的正整数 ，点 ， 均
在函数 图像上．
（1）证明：数列 是等比数列；
（2）问 中是否存在不同的三项能构成等差数列？说明理由．
7．（2023•龙华区校级模拟）已知数列 的各项均为正数且均不相等，记 为 的前 项和，从下面
①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．
①数列 是等比数列：② ；
③ 是等比数列．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
8．（2023•广西模拟）已知数列 为等比数列，其前 项和为 ，且 ， ．
（1）求 的通项公式；
（2）求使 成立的正整数 的最大值．
9．（2022•鼓楼区校级模拟）在① ，② 这两个条件中任选一个补充在下面问题
中，并解答下列题目．
设首项为2的数列 的前 项和为 ，前 项积为 ，且_____．
（1）求数列 的通项公式；
（2）在数列 中是否存在连续三项构成等比数列，若存在，请举例说明，若不存在，请说明理由．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
1．已知 ， 都是定义在 上的函数， ， ，且 且
， ，对于有穷数列 ，任取正整数 ，则前 项和大于
的概率是
A． B． C． D．2．已知数列 满足 ，且 ，则 的值是
A． B． C．5 D．
3．已知数列 的奇数项是首项为1的等差数列，偶数项是首项为2的等比数列．数列 前 项和为 ，
且满足 ， ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）若 ，求正整数 的值；
（3）是否存在正整数 ，使得 恰好为数列 中的一项？若存在，求出所有满足条件的 值，若不
存在，说明理由．
