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5.2 等比数列（精讲）
考向一 等比数列基本量的计算
【例1-1】（2025·黑龙江吉林·模拟预测）等比数列
的前
项和为
，且
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】设等比数列
的公比为
，则
，解得
，
因此，
.故选：C.
【例1-2】（2025·广东·模拟预测）正项等比数列
及其前项和
满足：
，
，则
的值为
（ ）
A．416
B．468
C．520
D．607
【答案】C
【解析】设等比数列
的公比为
，由
，可得
，
所以
即
，即
，由
，所以
，由
得
，
即
.故选：C.
【例1-3】（2025·重庆·三模）已知等比数列
的前n 项和为
，公比为q，且
，
，
，成等差数列，
则公比
（ ）
A．
或1
B．2 或
C．1
D．
【答案】D
【解析】已知
成等差数列，有
.那么
.
因为
，所以
；又因为
，所以得到
.
由
，移项可得
.
因为数列
是等比数列，根据等比数列的定义，公比
.由
，可得
.
故该等比数列的公比
为
.故选：D.
【一隅三反】
1．（2025·湖南邵阳·模拟预测）记等比数列
的前
项和为
，若
，
，则
（ ）
A．3
B．2
C．
D．
【答案】D
【解析】设等比数列
的公比为
，若
，则
，故
，由
可得
，
化简得
，解得
，则
.故选：D.
2．（2025·海南·模拟预测）已知
为各项均为整数的等比数列，且
，记
为
的前
项和，则
（ ）
A．43
B．85
C．110
D．127
【答案】A
【解析】根据题意，已知
，且各项均为整数，得到
，
解得
．则
．故
．选：A．
3．（2025·辽宁大连·三模）已知正项等比数列
的前
项和为
，若
，则
（ ）
A．16
B．32
C．27
D．81
【答案】C
【解析】因为
，则
，所以
，
因为
，所以
，所以
或
舍，所以
.故选：C.
考向二 等比数列的证明或判断
【例2-1】（2025·山东泰安·模拟预测）已知在数列
中，
，
，设
，证明数列
为等比数列，并求
的通项公式；
【答案】证明见解析，
【解析】由
，
，得
，则
，
即
，又
，于是
，而
，
所以数列
为首项为3 公比为3 的等比数列，
.
【例2-2】（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知数列
满足
，
，
是数列
的前
项和，记
．
(1)求证：数列
是等比数列；
(2)求数列
的通项公式；
(3)求
．
【答案】(1)证明见解析；
(2)
；
(3)10170.
【解析】（1）由
，
，得
，
则
，而
，
所以数列
是等比数列.
（2）由（1）得，
，所以数列
的通项公式
.
（3）由（2）得，
，
.
【一隅三反】
1．（2025·新疆喀什·三模）记数列
的前n 项和为
，已知
(1)证明:数列
是等比数列；
(2)求数列
的通项公式；
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】（1）因为
，所以当
时，
;
当
时，
，所以
，即
，
又
，所以
，所以数列
是首项为
，公比为
的等比数列；
（2）由（1）得
，所以
.
2．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知数列
中，
，
.
(1)证明：
是等比数列；
(2)求数列
的前
项和.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】（1）因为数列
中，
，
，
所以
，且
，所以
是等比数列，公比为2，首项为2
（2）由(1)可得
，即
，
所以数列
的前
项和
3．（2025·河北邢台·二模）已知数列
满足
，记
，证明：数列
为
等比数列，并求出数列
的通项公式；
【答案】证明见解析，
【解析】（1）因为
，
又
，所以
是首项为2，公比为2 的等比数列，所以
，
所以当
为偶数时，
；
当
为奇数且
时，
．
也符合上式．综上所述，
考向三 等比中项
【例3-1】（24-25 高二下·辽宁朝阳·期中）在等比数列
中，
，则
（ ）
A．2
B．4
C．
D．
【答案】C
【解析】因
为等比数列，故
，解得
.故选：C.
【例3-2】（2024·山东淄博·二模）已知等比数列
则
（ ）
A．8
B．±8
C．10
D．±10
【答案】A
【解析】根据等比中项知道
，求得
，则
.又
，则
.故选：A.
【例3-3】（2025 山东）在由正数组成的等比数列
中，若
，
的
为
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】在等比数列{an}中，由
，得
则
故选A.
【例3-4】（2025·湖北黄冈·一模）已知实数
，
，成等比数列，则圆锥曲线
的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
或
【答案】D
【解析】因为实数
，
，成等比数列，所以
，则
；
当
时，圆锥曲线
，即
为椭圆，其离心率
；
当
时，圆锥曲线
，即
为双曲线，其离心率
；
故选：D
【一隅三反】
1．（2024·山东·一模）若
是2 和8 的等比中项，则实数
的值是（ ）
A．5
B．
或5
C．4
D．
或4
【答案】D
【解析】依题意，
，所以
.故选：D
2．（2025 云南曲靖·阶段练习）在等比数列
中，
是函数
的极值点，则
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】∵
，∴由
可知
，
∵ 等比数列中
且
∴
，故选B.
3．（2024·广东江门·一模）已知各项均为正数的等比数列
中，若
，则
＝（ ）
A．3
B．4
C．8
D．9
【答案】B
【解析】由各项为正数的等比数列
，且
，可得
，所以
.
故选：B.
4．（2025·河北）若等比数列
的各项均为正数，且
（为自然对数的底数），则
（ ）
A．20
B．30
C．40
D．50
【答案】B
【解析】在等比数列中，若
，所以
，由对数
的运算可知
故选：B
5．（2024·江苏南通·二模）若
成等比数列，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由题意可得
，
即
，
即
，
，解得
.
故选：B.
考向四 等比数列的简单应用
【例4-1】（2025·陕西安康·模拟预测）中国古代著作《张丘建算经》有这样一个问题：“今有马行转迟，次日
减半疾，七日行七百里”，意思是说有一匹马行走的速度逐渐减慢，每天行走的里程是前一天的一半，七天一
共行走了
里路，则该马第五天走的里程数约为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】设该马第
天行走的里程数为
，
由题意可知，数列
是公比为
的等比数列，
所以，该马七天所走的里程为
，解得
.
故该马第五天行走的里程数为
.
故选：D.
【例4-2】（2024·四川内江·一模）
年月
日是第
个植树节，为加快建设美丽内江、筑牢长江上游生
态屏障贡献力量，我市积极组织全民义务植树活动．现有一学校申领到若干包树苗（每包树苗数相同），该校
个志愿小组依次领取这批树苗开展植树活动．已知第组领取所有树苗的一半又加半包，第
组领取所剩树苗
的一半又加半包，第组也领取所剩树苗的一半又加半包．以此类推，第组也领取所剩树苗的一半又加半包，
此时刚好领完所有树苗．请问该校共申领了树苗多少包？（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】设原有树苗有
包，第组领取
包，
第
组领取
包，
第组领取
包，
，
以此类推可知，第组领取
包，
由题意可得
，
即
，解得
.
故选：B.
【一隅三反】
1．（2024·宁夏银川·三模）折纸是一种用纸张折成各种不同形状的艺术活动，起源于中国，其历史可追溯到公
元583 年.在一次数学实践课上某同学将一张腰长为1 的等腰直角三角形纸对折，每次对折后仍成等腰直角三角
形，则对折6 次后得到的等腰直角三角形斜边长为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】对折一次得到的等腰直角三角形斜边长为1，对折2 次得到的等腰直角三角形斜边长为
，
对折3 次得到的等腰直角三角形斜边长为
，
，
故对折6 次后得到的等腰直角三角形斜边长为
.
故选：A.
2．（2024·云南昆明·模拟预测）每年6 月到9 月，昆明大观公园的荷花陆续开放，已知池塘内某种单瓣荷花的
花期为3 天（第四天完全凋谢），池塘内共有2000 个花蕾，第一天有10 个花蕾开花，之后每天花蕾开放的数
量都是前一天的2 倍，则在第几天池塘内开放荷花的数量达到最大（ ）
A．6
B．7
C．8
D．9
【答案】C
【解析】设第
天水塘中的荷花朵数为
，则
，
设第
天池塘内开放荷花的数量为
，则
，
，
，
当
时，
，
当
时，
，
所以荷花的数量在第8 天达到最大.
故选：C.
3．（23-24 高三下·山东济南·开学考试）已知甲植物生长了一天，长度为
，乙植物生长了一天，长度为
.从第二天起，甲每天的生长速度是前一天的
倍，乙每天的生长速度是前一天的
，则甲的长度第一次超
过乙的长度的时期是（ ）（参考数据：取
）
A．第6 天
B．第7 天
C．第8 天
D．第9 天
【答案】C
【解析】设甲植物每天生长的长度构成等比数列
，甲植物每天生长的长度构成等比数列
，设其前
项
和分别为
、
（即
天后树的总长度），
则
，
，
所以
，
，
由
，可得
，
即
，即
，
解得
或
（舍去），
由
则
，因为
，
即
，又
，所以
的最小值为.故选：C
考向五 等比数列片段和的性质
【例5-1】（2025·江西赣州·二模）设等比数列
的前n 项和为
，若
，
，则
（ ）
A．
B．7
C．63
D．7 或63
【答案】B
【解析】由等比数列片段和的性质知，
、
、
成等比数列，
所以
，则
，
所以
，则
或
，
等比数列
的公比为
，
若
时，则
，而
，显然等式不成立；
若
时，则
，满足题设；
所以
.
故选：B
【例5-2】（2025·江西·二模）记
为等比数列
的前
项和，若
，则
（ ）
A．81
B．71
C．61
D．51
【答案】C
【解析】由题可知
，
，
成等比数列，
所以
，即
，得
，
则此等比数列的首项是1，公比是
，那么
，
，
所以
.
故选：C
【例5-3】（2025 四川绵阳·阶段练习）已知正项等比数列
的前
项和为
，若
，
，
成等差数列，
则
的最小值为( )
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为
是正项等比数列，所以
，
，
仍然构成等比数列，所以
.
又
，
，
成等差数列，所以
，
，所以
.
又
是正项等比数列，所以
，
，当且仅当
时取等号.故选：B.
【一隅三反】
1．（2024·河南·模拟预测）记等比数列
的前
项和为
，若
，则
（ ）
A．13
B．14
C．15
D．16
【答案】A
【解析】因为
为等比数列，所以
，
，
（显然三个数均不为0）也是等比数列.
且
，
，所以
.所以
.故选：A
2．（2024·湖北襄阳·模拟预测）已知等比数列
的前
项和为
，若
，且
，则
（ ）
A．40
B．-30
C．30
D．-30 或40
【答案】A
【解析】因为
，且
，所以
，
，故
，
所以
，即
，解得
或
（舍去），
由等比数列性质可知，
成等比数列，公比为
所以
，解得
，故选：A
3．（2025 河南）已知正项等比数列{an}的前n 项和为Sn，且S8-2S4=5，则a9+a10+a11+a12的最小值为（ ）
A．10
B．15
C．20
D．25
【答案】C
【解析】由题意可得a9+a10+a11+a12=S12-S8，由S8-2S4=5，可得S8-S4=S4+5.
又由等比数列的性质知S4，S8-S4，S12-S8成等比数列，则S4(S12-S8)=(S8-S4)2.
当且仅当S4=5 时等号成立，
所以a9+a10+a11+a12的最小值为20.故选：C.
考向六 等比数列前n 项和的特征
【例6-1】（2025 湖北）在等比数列
中，已知前n 项和
，则a 的值为（ ）
A．1
B．-1
C．2
D．-2
【答案】B
【解析】利用
成等比数列列方程，化简求得
的值.
，
由于
是等比数列，所以
，即
.故选：B
【一隅三反】
1．（2025·河北沧州·一模）已知
为等比数列
的前
项和，若
，则
（ ）
A．72
B．
C．144
D．
【答案】D
【解析】依题意，
，
，
，由
为等比数列，得
，
即
，解得
或
，由
，得
，
则
，所以
.
故选：D
2．（2024·甘肃金昌·期末）等比数列
的前
项和
，则
（ ）
A．
B．
C．0
D．
【答案】C
【解析】因为
，当
时，
，
当
时，
，故
，
当
时，
，从而
，
由于
是等比数列，故
，显然
且
，解得
，
所以
．
故选：C．
3．（23-24 江西吉安·期末）设等比数列
的前n 项和为
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．0
D．2
【答案】C
【解析】法一：设等比数列的公比为
，
等比数列
的前n 项和为
，显然当
时不合题意，则
不等于1，
则
，令
，则有
，由题意
，得
.
法二：当
时，
，
当
时，
.
，
为等比数列，当
时，
，化简得
.故选：C.
考向七 等比数列奇数项（或偶数项）的和
【例7-1】（2025·安徽）已知项数为奇数的等比数列
的首项为1，奇数项之和为21，偶数项之和为10，则
这个等比数列的项数为（ ）
A．5
B．7
C．9
D．11
【答案】A
【解析】根据题意，数列
为等比数列，设
，
又由数列
的奇数项之和为21，偶数项之和为10，则
，
故
；
故选：
【例7-2】（2025 安徽）已知一个项数为偶数的等比数列
，所有项之和为所有偶数项之和的
倍，前项
之积为
，则
（ ）
A． B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由题意可得所有项之和
是所有偶数项之和
的
倍，所以，
，故
设等比数列
的公比为
，设该等比数列共有
项，
则
，所以，
，
因为
，可得
，因此，
.
故选：C.
【一隅三反】
1．（2025 河南·阶段练习）已知等比数列
共有32 项，其公比
，且奇数项之和比偶数项之和少60，则
数列
的所有项之和是（ ）
A．30
B．60
C．90
D．120
【答案】D
【解析】设等比数列
的奇数项之和为
，偶数项之和为
则
，
又
，则
，解得
，
故数列
的所有项之和是
.
故选：D
2．（2024 浙江）已知一个等比数列首项为，项数是偶数，其奇数项之和为
，偶数项之和为
，则这个
数列的项数为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】设这个等比数列
共有
项，公比为
，
则奇数项之和为
，
偶数项之和为
，
，
等比数列
的所有项之和为
，则
，
解得
，因此，这个等比数列的项数为.故选：C.
3．（2025 江西抚州）等比数列
共有
项，其中
，偶数项和为84，奇数项和为170，则
（ ）
A．3
B．4
C．7
D．9
【答案】A
【解析】因为等比数列
共有
项，所以等比数列中偶数项有
项，奇数项有
项，
由题意得
，所以偶数项和为
，奇数项和为
，相减得
故选：A
考向八 等比数列前n 项和的最值
【例8】（2025 广东）设等比数列
的公比为
，其前
项和为
，前
项之积为
，且满足
，
，则下列结论中正确的是（ ）
A．
B．
C．
是数列
中的最大值
D．
【答案】C
【解析】因为等比数列
满足
，
又
，所以
，A 错误；
，即
,B 错误；
当
时，
，当
时，
，即
是数列
中的最大值，C 正确；
由题意得，
，则
,D 错误.故选：C
【一隅三反】
1．（2025 重庆）（多选）设等比数列
的公比为
，其前n 项和为
，前n 项积为
，且满足条件
，
，
，则下列选项正确的是（ ）
A．
B．
C．
是数列
中的最大项
D．
【答案】AB
【解析】
，
或
，
，
，
同号，
且
，
，即数列前
项大于，从第
项开始小于1，
对于A，
，且易知
，故
，A 正确，
对于B，易知
，故
，
，B 正确，
对于C，由题意知
是递减数列，且
，
，故
是数列
中的最大项，故C 错误，
对于D，
，故D 错误，
故选:AB
2．（23-24 高三上·江西·期中）（多选）在等比数列
中，
，
，
，若
为
的前
项和，
为
的前
项积，则（ ）
A．
为单调递增数列
B．
C．
为
的最大项
D．
无最大项
【答案】BC
【解析】由
，因此
.
又因为
则
.
当
时，
，则
，
，则
，与题意矛盾.
因此
.则
为单调递减数列，故选项A 错误.
而
，故
，选项B 正确.
又因为
为单调递减数列，则
，
由
可知，
，
，
所以当
时，
，则
.
当
时，
，则
.
因此
的最大项为
，则选项C 正确，选项D 错误.
故答案为：BC.
3．（2025 辽宁）（多选）等比数列
的公比为
，前
项积
，若
，
，
，则
A．
B．
C．
是
的最大值
D．使
的
的最大值是4040
【答案】AD
【解析】根据条件可得
，则
，
,又
选项A.
，所以
若
，则
，
所以
与条件
矛盾.
所以
，所以选项A 正确.
选项B. 由
,
，可得等比数列
单调递减.
又
，可得
，
，所以选项B 不正确.
选项C . 由
，
，可得等比数列
单调递减.
可得
，
，即数列
的前
项大于1，当
时，
所以
是
的最大值，所以选项C 不正确.
选项D.
，由上可知
，可得
，由此类推可得当
时，
，
由
，可得
，由此类推可得可得当
时，
所以使
的
的最大值是4040，所以选项D 正确故选：AD
