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专题 04 构造函数法解决不等式问题(典型题型归类训练)
目录
一、必备秘籍........................................................1
二、典型题型........................................................2
题型一：构造 或 ( ，且 )型...............2
题型二：构造 或 ( ，且 )型...............5
题型三：构造 或 型............................7
题型四：构造 或 型..........................10
三、专项训练....................................................11
一、必备秘籍
1、两个基本还原
f' (x)g(x)−f(x)g' (x) f(x)
'
① ② =[ ]
f' (x)g(x)+f(x)g' (x)=[f(x)g(x)] ' [g(x)] 2 g(x)
2、类型一：构造可导积函数
①e nx [f' (x)+nf(x)]=[e nx f(x)] ' 高频考点1： ex [f' (x)+f(x)]=[exf(x)] '
②xn−1 [xf' (x)+nf(x)]=[xnf(x)] '
高频考点1：xf' (x)+f(x)=[xf(x)] ' 高频考点2 x[xf' (x)+2f(x)]=[x2f(x)] '
f' (x)−nf(x) f(x) f' (x)−f(x) f(x)
' '
③ =[ ] 高频考点1： =[ ]
enx enx ex ex
xf' (x)−nf(x) f(x)
'
④ =[ ]
xn+1 xnxf' (x)−f(x) f(x) xf' (x)−2f(x) f(x)
' '
高频考点1： =[ ] 高频考点2 =[ ]
x2 x x3 x2
⑤
⑥
序号 条件 构造函数
1 f' (x)g(x)+f(x)g' (x)≥0 F(x)=f(x)g(x)
2 f' (x)+f (x)<0 F(x)=exf(x)
3 f' (x)+nf(x)<0 F(x)=e nx f(x)
4 xf' (x)+f (x)>0 F(x)=xf(x)
5 xf' (x)+2f(x)≤0 F(x)=x2f(x)
6 xf' (x)+nf(x)>0 F(x)=xnf(x)
7 f' (x)sinx+f(x)cosx>0 F(x)=f(x)sinx
8 f' (x)cosx−f(x)sinx>0 F(x)=f(x)cosx
3、类型二：构造可商函数
f' (x)−nf(x) f(x) f' (x)−f(x) f(x)
' '
① =[ ] 高频考点1： =[ ]
enx enx ex ex
xf' (x)−nf(x) f(x)
'
② =[ ]
xn+1 xn
xf' (x)−f(x) f(x) xf' (x)−2f(x) f(x)
' '
高频考点1： =[ ] 高频考点2： =[ ]
x2 x x3 x2
③
⑥
二、典型题型
题型一：构造 或 ( ，且 )型
1．（2023下·重庆荣昌·高二重庆市荣昌中学校校考期中）定义在 上的偶函数 的导函数为 ，且当 时， ．则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】由当 时， ，
得 ，
设 ，则 ，
所以 在 上单调递增，
又函数 为偶函数，
所以 为偶函数，
所以 在在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，即 ，所以 ，A选项错误；
，即 ，所以 ，B选项错误；
，即 ，所以 ，C选项错误；
，即 ，所以 ，D选项正确；
故选：D.
2．（2023下·四川绵阳·高二盐亭中学校考阶段练习）若函数 满足 在 上恒成立，
且 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】解：设 ，则 ，
由 ，可知 ，所以 在 上是增函数，
又 ，所以 ，即 ，
故选：B.
3．（2023下·陕西咸阳·高二统考期中）已知定义在 上的函数 ，其导函数为 ，当 时，，若 ， ， ，则 ， ， 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】令 ， ，
则 ，
∵当 时， ，
即 ， 在 单调递减，
∴ ，
∴ ，
即 ，
∴ .
故选：D.
4．（2023·甘肃张掖·甘肃省民乐县第一中学校考模拟预测）已知 为偶函数，且当 时，
，其中 为 的导数，则不等式 的解集为 ．
【答案】
【详解】令函数 ，当 时， ，即函数 在 上单调递
减，
由 为偶函数，得 ，即函数 是奇函数，于是 在R上单调递
减，
不等式 ，
因此 ，解得 ，所以原不等式的解集是 .
故答案为：
5．（2023上·黑龙江·高三黑龙江实验中学校考阶段练习）已知 是定义域为 的偶函
数，且 ，当 时， ，则使得 成立的 的取值范围是 .
【答案】【详解】记 ，则 ，
故当 ， ，所以 ，因此 在 上单调递增，
又当 时， ，
因此 为 奇函数，故 在 上单调递增，
又 ，因此当 和 时， ，
当 和 时， ，
因此 ，即可得 和 ，
故 成立的 的取值范围是 ，
故答案为：
题型二：构造 或 ( ，且 )型
1．（2023上·福建莆田·高三莆田一中校考期中）已知定义域为R的函数 ，其导函数为 ，且满足
， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】令 ，则 ，
因为 在 上恒成立，
所以 在 上恒成立，故 在 上单调递减，
，即 ，故A不正确；
，即 ，即 ，故B不正确；
，即 ，即 ，故C正确；，即 ，即 ，故D不正确；
故选：C
2．（2023上·四川内江·高三期末）已知 是函数 的导函数， ，其中 是自然对数的底
数，对任意 ，恒有 ，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】依题意，令函数 ， ，求导得 ，
则函数 在R上单调递增， ，
而 ，则 ，因此有 ，解得 ，
所以原不等式的解集为 .
故选：C
3．（2023下·河南洛阳·高二统考期末）已知 是定义在R上的函数 的导函数，对于任意的实数
x，都有 ，当 时， ．若 ，则实数a的取值范围为
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】解：因为 ，所以 ，
令 ，则 ，
所以 为偶函数，
当 时， ，
所以 ，
所以函数 在 上单调递增，根据偶函数对称区间上单调性相反的性质可知 在 上单调递减，
因为 ，
所以 ，
所以 ，即 ，即 ，
即 ，则 ，
解得 .故数a的取值范围为：
故选：B.
4．（2023上·新疆伊犁·高三奎屯市第一高级中学校考阶段练习）定义在 上的函数 满足
，且有 ，则 的解集为 .
【答案】
【详解】设 ，则 ，
，
，
在R上单调递增.
又 ，则 .
∵ 等价于 ，即 ，
∴ ，即所求不等式的解集为 .
故答案为： .
5．（2018上·江西赣州·高三统考期中）函数 的定义域和值域均为 ， 的导函数为 ，
且满足 ，则 的取值范围是 ．
【答案】
【详解】设 ，则 ＞0
∴ 在 上单调递增，所以 ，
即 ＜ ＜ ；
⇒令 ，则
∴ 在 上单调递减，所以 ，
即 ＞ ＞
⇒
综上， ＜ 且 ＞ ．
故答案为：
题型三：构造 或 型
1．（2023下·四川成都·高二期末）记函数 的导函数为 ，若 为奇函数，且当 时恒
有 成立，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】令 ，则 ，
当 时恒有 ，所以 ，
则 在 上单调递增，
所以 ，则 ，即 ，选项A错误；
，则 ，即 ，选项B正确；
，则 ，又 为奇函数，所以 ，选项C错误；
由 得 ，选项D错误；
故选：B2．（2023·青海海东·统考模拟预测）已知 是奇函数 的导函数，且当 时，
，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】当 时， ，则由 ，得 ；
当 时， ，则由 ，得 ．
令 ，则 ，
故g（x）在 上单调递增，在 上单调递减．
又f（x）是奇函数，所以 是偶函数，
故 ，即 ， ，
即 ．
与 和 的大小关系不确定．
故选：A．
3．（2023上·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）定义在 上的奇函数 的导函数为
，且当 时， ，则不等式 的解集为 ．
【答案】
【详解】令 ，因为 是定义在 上的奇函数，
则 ，
所以 为偶函数.
当 时， ， ，由已知 ，
所以 ，
则 在 上单调递增，
由 可化为 ，
即 ，得 ；
当 ， ，则 ，
即 ，
由 为偶函数，则 在 上单调递减，
得 ，
所以不等式 的解集为 ．
故答案为： .
题型四：构造 或 型
1．（2023·全国·模拟预测）已知定义在 上的函数 满足 ，当 时，不等
式 恒成立（ 为 的导函数），若 ， ，
，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题意得函数 为偶函数，构造函数 ，所以 ，
易知当 时， ，所以函数 在 上单调递减．
因为 ，则 ，
由 ，则 ，
且 ，
因为函数 在 上单调递减，且 ，
所以 ，即 ，
故选：C．
2．（2023下·山东聊城·高二校考阶段练习）定义在 上的函数 ，已知 是它的导函数，且恒
有 成立，则有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】解：令 ，
则 ，
因为 ，
所以 ，
则 在 上单调递减.所以 ，
故 ， ，
故选：C
三、专项训练
一、单选题
1．（2023上·上海徐汇·高三上海市第二中学校考期中）已知定义在R上的函数 ，其导函数
满足：对任意 都有 ，则下列各式恒成立的是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】B
【详解】记 ，则 ，
因为 ，即 ，
所以 ，所以 在R上单调递增，
故 ， ，
整理得 ， .
故选：B
2．（2023·河南开封·统考三模）设定义在 上的函数 的导函数 ，且满足
， ．则 、 、 的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C【详解】因为 ，所以 ，
设 ，则 ，
令 ，则 ，
设 ，则 ，
∴当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减，
∴ ，
∴ ， 在 上单调递减，
又 ，理由如下：
如图，设 ，射线 与单位圆相交于点 ，过点 作 ⊥ 轴于点 ，
过点 作 ⊥ 轴交射线 于点 ，连接 ，
设扇形 的面积为 ，
则 ，即 ，
解得 ，
其中 ，故 ，
∴ ．
故选：C3．（2023下·云南保山·高二统考期末）已知函数 是定义在 上的奇函数，且当 时不等
式 成立，若 ， ， ，则 ， ， 的
大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】构造函数 ，则由题意可知当 时 ，
所以函数 在区间 上单调递减，
又因为 是定义在 上的奇函数，所以 是定义在 上的偶函数，
所以 在区间 上单调递增，
又 ， ， ，
因为 ， ，所以 ，
所以 ，即 ， 正确.
故选： .
4．（2023·全国·高三专题练习）若函数 在R上可导，且满足 恒成立，常数
则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】令 ，则 恒成立，故 在 上单调递增．
，
，即 ．
故选：A
5．（2023·全国·高三对口高考）已知函数 是定义在 上的奇函数，且当 时不等式
成立，若 ，则 的大小关系
是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B【详解】构造函数 ，则由题意可知当 时 ，
所以函数 在区间 上单调递减，
又因为 是定义在 上的奇函数，所以 是定义在 上的偶函数，
所以 在区间 上单调递增，
， ， ，
因为 ， ，
所以 ，所以 ，
即 ，
故选：B
6．（2023·全国·高三对口高考）已知 是定义在 上的非负可导函数，且满足 ，对
任意正数a、b，若 ，则必有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】由 .
若 不是常函数，则 在 上单调递减，又 ，则 ；
若 为常函数，则 .综上， .
故选：A
7．（2023·云南·校联考三模）设函数 在 上的导数存在，且 ，则当 时，
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】因为 ，
令 ，则 ，
所以 在 上单调递增，
当 时， ，即 ，所以 且 .
故选：B
8．（2023下·湖北·高二校联考期中）已知函数 的定义域为R， 为 的导函数，且
，则不等式 的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】根据题意，构造函数 ，则 ，
所以函数 在R上单调递增，又 ，即 ，
所以 ，即 ，解得 .
故选：D.
9．（2023下·湖北武汉·高二武汉市洪山高级中学校联考期中）设函数 的定义域为 ， 是其导
函数，若 ， ，则不等式 的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】令 ，则 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
所以函数 在 上单调递增，
而 可化为 ，又
即 ，解得 ，
所以不等式 的解集是 ．
故选：B
10．（2023下·湖北武汉·高二华中师大一附中校考期中） 是定义在R上的奇函数，当 时，有
恒成立，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】解：令 ，则 ，
因为 ，
所以 ，
则 在 上递增，
又 是偶函数，且 是定义在R上的奇函数，
所以 是定义在R上的奇函数，
则 在 上单调递增，
所以 ，即 ，故A错误；
，即 ，故B错误；
，即 ，故C正确；
，即 ，故错误，
故选：C
11．（2023下·河北张家口·高二校联考阶段练习）已知函数 在 上连续且可导，同时满足
，则下列不等式一定成立的为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】构造函数 ，则 ，
所以 在 上单调递增，
所以 ，即 ，所以 .
故选：C
二、填空题
12．（2023上·河南焦作·高三统考开学考试）已知定义在R上的函数 及其导函数 满足
，若 ，则满足不等式 的x的取值范围是 ．
【答案】【详解】由题意，对任意 ，都有 成立，
即 ．
构造函数 ，
则 ，
所以函数 在 上单调递增．
不等式 即 ，即 ．
因为 ，所以 ．
故由 ，得 .
所以不等式 的解集为 ，
故答案为： .
13．（2023下·湖北咸宁·高二鄂南高中校考阶段练习）已知偶函数 是定义在 上的可导函数，当
时， 且 ，则 的解集为 .
【答案】
【详解】令 ，可得
因为 时， ，
所以 ，
即函数 在 为单调递增函数，
又因为函数 为偶函数，可得 ，
所以函数 为偶函数，所以 在 为单调递减函数，
因为 ，
即 ，可得 ，即 ，
解得 ，即不等式的解集为 .
故答案为： .
14．（2021下·江苏镇江·高一江苏省丹阳高级中学校考期中）函数 定义域为 ，其导函数是
，当 时，有 ，则关于 的不等式 的解集为 ．【答案】
【详解】令 ，则 ，
因为 ，所以 ，
因为 ，
所以 ，
所以 在 上为减函数，
由 ，得 ，
所以 ，
因为 在 上为减函数，
所以 ，
所以不等式 的解集为 ，
故答案为：
15．（2022下·江苏·高二校联考阶段练习）函数 的定义域是 ，其导函数是 ，若
，则关于 的不等式 的解集为 ．
【答案】
【详解】 变形为 ，
变形为 ，
故可令g(x)＝f(x)sinx， ，
则 ，
∴g(x)在 单调递减，
不等式 即为g(x)＜g( )，则 ，
故答案为： .
16．（2021下·重庆江津·高二校考期中）已知定义在 上的偶函数 的导函数为 ，当 时，有
，且 ，则使得 成立的 的取值范围是 .
【答案】
【详解】∵当 时，有 ，令 ，
∴ ，
∴ 在 上递增，
又∵ 在 上的偶函数
∴ ，
∴ 在 上是奇函数
∴ 在 上递增，
又∵ ，
∴
当 时， ，此时，0＜x＜1，
当 时， ，此时， ，
∴ 成立的 的取值范围是 ．
故答案为： ﹒
17．（2021下·山东济南·高二山东师范大学附中校考期中）设 的定义域为 ， 的导函数为
，且对任意正数 均有 ，设 ， ， ， ，则
的大小关系是
【答案】
【详解】由 ，得 ，
令 ，则 恒成立，
故函数 在 上单调递增.
因 ， ，则 ，故 ，即 ，
变形得： ①，
同理 ②，
①+②得： ，
即 ，故 .
故答案为： .
18．（2020下·四川成都·高二四川师范大学附属中学校考期中）函数 定义在 上， ，
其导函数是 ，且 恒成立，则不等式 的解集为 .
【答案】
【详解】解：
，
构造函数 ，
则 ，
当 时， ，
在 单调递增，
不等式 ，
即
即 ，
故不等式的解集为 .
故答案为： .19．（2020·陕西·统考二模）已知定义在 上的函数 满足 ，其中 是函数
的导函数.若 ，则实数 的取值范围为 .
【答案】
【详解】令 ，则 ，
因为 ，所以 ，所以函数 在 为单调递减函数，
又由 ，
所以 ，即 ，所以 ，
即 ，所以 ，解得 ，
综上可得，实数 的取值范围为 .
故答案为： .
20．（2019下·江苏扬州·高二统考期末）已知可导函数 的定义域为 ，其导函数 满足
，则不等式 的解集为 ．
【答案】
【详解】函数 的定义域为
构造函数：
已知：
所以 ， 递减.
即
故答案为
21．（2017·河南·统考一模）设函数 是定义在 上的可导函数，其导函数为 ，且有
，则不等式 的解集 ．
【答案】
【详解】令 ，因为 ，且 ，所以
，即函数 在 上单调递减，因为
，即 ，所以 ，即
，即不等式的解集为 .
