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专题 04 构造函数法解决不等式问题(典型题型归类训练)
目录
一、必备秘籍........................................................1
二、典型题型........................................................2
题型一：构造 或 ( ，且 )型...............2
题型二：构造 或 ( ，且 )型...............3
题型三：构造 或 型............................4
题型四：构造 或 型...........................5
三、专项训练.....................................................5
一、必备秘籍
1、两个基本还原
f' (x)g(x)−f(x)g' (x) f(x)
'
① ② =[ ]
f' (x)g(x)+f(x)g' (x)=[f(x)g(x)] ' [g(x)] 2 g(x)
2、类型一：构造可导积函数
①e nx [f' (x)+nf(x)]=[e nx f(x)] ' 高频考点1： ex [f' (x)+f(x)]=[exf(x)] '
②xn−1 [xf' (x)+nf(x)]=[xnf(x)] '
高频考点1：xf' (x)+f(x)=[xf(x)] ' 高频考点2 x[xf' (x)+2f(x)]=[x2f(x)] '
f' (x)−nf(x) f(x) f' (x)−f(x) f(x)
' '
③ =[ ] 高频考点1： =[ ]
enx enx ex ex
xf' (x)−nf(x) f(x)
'
④ =[ ]
xn+1 xnxf' (x)−f(x) f(x) xf' (x)−2f(x) f(x)
' '
高频考点1： =[ ] 高频考点2 =[ ]
x2 x x3 x2
⑤
⑥
序号 条件 构造函数
1 f' (x)g(x)+f(x)g' (x)≥0 F(x)=f(x)g(x)
2 f' (x)+f (x)<0 F(x)=exf(x)
3 f' (x)+nf(x)<0 F(x)=e nx f(x)
4 xf' (x)+f (x)>0 F(x)=xf(x)
5 xf' (x)+2f(x)≤0 F(x)=x2f(x)
6 xf' (x)+nf(x)>0 F(x)=xnf(x)
7 f' (x)sinx+f(x)cosx>0 F(x)=f(x)sinx
8 f' (x)cosx−f(x)sinx>0 F(x)=f(x)cosx
3、类型二：构造可商函数
f' (x)−nf(x) f(x) f' (x)−f(x) f(x)
' '
① =[ ] 高频考点1： =[ ]
enx enx ex ex
xf' (x)−nf(x) f(x)
'
② =[ ]
xn+1 xn
xf' (x)−f(x) f(x) xf' (x)−2f(x) f(x)
' '
高频考点1： =[ ] 高频考点2： =[ ]
x2 x x3 x2
③
⑥
二、典型题型
题型一：构造 或 ( ，且 )型
1．（2023下·重庆荣昌·高二重庆市荣昌中学校校考期中）定义在 上的偶函数 的导函数为 ，且当 时， ．则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023下·四川绵阳·高二盐亭中学校考阶段练习）若函数 满足 在 上恒成立，
且 ，则（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023下·陕西咸阳·高二统考期中）已知定义在 上的函数 ，其导函数为 ，当 时，
，若 ， ， ，则 ， ， 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·甘肃张掖·甘肃省民乐县第一中学校考模拟预测）已知 为偶函数，且当 时，
，其中 为 的导数，则不等式 的解集为 ．
5．（2023上·黑龙江·高三黑龙江实验中学校考阶段练习）已知 是定义域为 的偶函
数，且 ，当 时， ，则使得 成立的 的取值范围是 .
题型二：构造 或 ( ，且 )型
1．（2023上·福建莆田·高三莆田一中校考期中）已知定义域为R的函数 ，其导函数为 ，且满足
， ，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2023上·四川内江·高三期末）已知 是函数 的导函数， ，其中 是自然对数的底
数，对任意 ，恒有 ，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．3．（2023下·河南洛阳·高二统考期末）已知 是定义在R上的函数 的导函数，对于任意的实数
x，都有 ，当 时， ．若 ，则实数a的取值范围为
（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023上·新疆伊犁·高三奎屯市第一高级中学校考阶段练习）定义在 上的函数 满足
，且有 ，则 的解集为 .
5．（2018上·江西赣州·高三统考期中）函数 的定义域和值域均为 ， 的导函数为 ，
且满足 ，则 的取值范围是 ．
题型三：构造 或 型
1．（2023下·四川成都·高二期末）记函数 的导函数为 ，若 为奇函数，且当 时恒
有 成立，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·青海海东·统考模拟预测）已知 是奇函数 的导函数，且当 时，
，则（ ）
A． B．C． D．
3．（2023上·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）定义在 上的奇函数 的导函数为
，且当 时， ，则不等式 的解集为 ．
题型四：构造 或 型
1．（2023·全国·模拟预测）已知定义在 上的函数 满足 ，当 时，不等
式 恒成立（ 为 的导函数），若 ， ，
，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2023下·山东聊城·高二校考阶段练习）定义在 上的函数 ，已知 是它的导函数，且恒
有 成立，则有（ ）
A． B．
C． D．
三、专项训练
一、单选题
1．（2023上·上海徐汇·高三上海市第二中学校考期中）已知定义在R上的函数 ，其导函数
满足：对任意 都有 ，则下列各式恒成立的是（ ）
A． ， B． ，C． ， D． ，
2．（2023·河南开封·统考三模）设定义在 上的函数 的导函数 ，且满足
， ．则 、 、 的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023下·云南保山·高二统考期末）已知函数 是定义在 上的奇函数，且当 时不等
式 成立，若 ， ， ，则 ， ， 的
大小关系是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·全国·高三专题练习）若函数 在R上可导，且满足 恒成立，常数
则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2023·全国·高三对口高考）已知函数 是定义在 上的奇函数，且当 时不等式
成立，若 ，则 的大小关系
是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2023·全国·高三对口高考）已知 是定义在 上的非负可导函数，且满足 ，对
任意正数a、b，若 ，则必有（ ）
A． B．
C． D．
7．（2023·云南·校联考三模）设函数 在 上的导数存在，且 ，则当 时，
（ ）
A． B．
C． D．8．（2023下·湖北·高二校联考期中）已知函数 的定义域为R， 为 的导函数，且
，则不等式 的解集是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2023下·湖北武汉·高二武汉市洪山高级中学校联考期中）设函数 的定义域为 ， 是其导
函数，若 ， ，则不等式 的解集是（ ）
A． B． C． D．
10．（2023下·湖北武汉·高二华中师大一附中校考期中） 是定义在R上的奇函数，当 时，有
恒成立，则（ ）
A． B．
C． D．
11．（2023下·河北张家口·高二校联考阶段练习）已知函数 在 上连续且可导，同时满足
，则下列不等式一定成立的为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
12．（2023上·河南焦作·高三统考开学考试）已知定义在R上的函数 及其导函数 满足
，若 ，则满足不等式 的x的取值范围是 ．
13．（2023下·湖北咸宁·高二鄂南高中校考阶段练习）已知偶函数 是定义在 上的可导函数，当
时， 且 ，则 的解集为 .
14．（2021下·江苏镇江·高一江苏省丹阳高级中学校考期中）函数 定义域为 ，其导函数是
，当 时，有 ，则关于 的不等式 的解集为 ．
15．（2022下·江苏·高二校联考阶段练习）函数 的定义域是 ，其导函数是 ，若
，则关于 的不等式 的解集为 ．
16．（2021下·重庆江津·高二校考期中）已知定义在 上的偶函数 的导函数为 ，当 时，有
，且 ，则使得 成立的 的取值范围是 .17．（2021下·山东济南·高二山东师范大学附中校考期中）设 的定义域为 ， 的导函数为
，且对任意正数 均有 ，设 ， ， ， ，则
的大小关系是
18．（2020下·四川成都·高二四川师范大学附属中学校考期中）函数 定义在 上， ，
其导函数是 ，且 恒成立，则不等式 的解集为 .
19．（2020·陕西·统考二模）已知定义在 上的函数 满足 ，其中 是函数
的导函数.若 ，则实数 的取值范围为 .
20．（2019下·江苏扬州·高二统考期末）已知可导函数 的定义域为 ，其导函数 满足
，则不等式 的解集为 ．
21．（2017·河南·统考一模）设函数 是定义在 上的可导函数，其导函数为 ，且有
，则不等式 的解集 ．
