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导数与函数的单调性
7-2
1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.
2.能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)．
7-2 导数与函数的单调性......................................................................................................................................1
一、主干知识.....................................................................................................................................................1
考点1：导数和函数的单调性的关系：............................................................................................2
考点2：利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：...........................................................2
【常用结论总结】....................................................................................................................................2
二、分类题型.....................................................................................................................................................2
题型一 不含参数的函数的单调性......................................................................................................3
题型二 含参数的函数的单调性..........................................................................................................3
题型三 函数单调性的应用....................................................................................................................4
命题点1 比较大小或解不等式.................................................................................................4
命题点2 根据函数的单调性求参数的范围..........................................................................5
三、分层训练：课堂知识巩固.....................................................................................................................6一、主干知识
考点1：导数和函数的单调性的关系：
（1）若f′（x）＞0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）＞0的解集与定义
域的交集的对应区间为增区间；
（2）若f′（x）＜0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）＜0的解集与定义
域的交集的对应区间为减区间．
考点2：利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：
（1）确定f（x）的定义域；（2）计算导数f′（x）；（3）求出f′（x）＝0的根；
（4）用f′（x）＝0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，
进而确定f（x）的单调区间：f′（x）＞0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′
（x）＜0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间．
【常用结论总结】
1．若函数f(x)在(a，b)上单调递增，则x∈(a，b)时，f′(x)≥0恒成立；若函数f(x)在(a，b)上单调递减，则
x∈(a，b)时，f′(x)≤0恒成立．
2．若函数f(x)在(a，b)上存在单调递增区间，则x∈(a，b)时，f′(x)>0有解；若函数f(x)在(a，b)上存在单调
递减区间，则x∈(a，b)时，f′(x)<0有解．二、分类题型
题型一 不含参数的函数的单调性
【例题精析1】 （2023·上海徐汇·上海市南洋模范中学校考模拟预测）函数 的单调增区间为______．
【例题精析2】 （2023·内蒙古赤峰·校联考模拟预测）已知函数 ，则 的单调递减区间
为______.
【例题精析3】 （2023·全国·高三专题练习）e是自然对数的底数， 的零点为
______.
确定不含参的函数的单调性，按照判断函数单调性的步骤即可，但应注意一是不能漏掉求函
数的定义域，二是函数的单调区间不能用并集，要用“逗号”或“和”隔开．【对点精练1】 函数f(x)＝(x－1)ex－x2的单调递增区间为________，单调递减区间为________．
【对点精练2】 （2023·云南·校联考二模）函数 的单调递增区间为____________．
【对点精练3】 （2023·上海崇明·上海市崇明中学校考模拟预测）函数 的单调增区间为______．
题型二 含参数的函数的单调性
【例题精析4】 （2023·全国·高三专题练习）已知 ．
(1)若 在 上单调递增，求a的取值范围，
【例题精析5】 （2023·全国·高三专题练习）已知函数 .
(1)当 时，求函数 的单调区间；
【例题精析6】 （2023·河南·统考模拟预测）已知函数 .
(1)若函数 在定义域内单调递增，求a的取值范围；
(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论．
(2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为零的点和函数的间断点．【对点精练4】 设函数 .
(1)当 时，讨论 的单调性；
【对点精练5】 （2022·全国·高三专题练习）已知函数 .
(1)若 在定义域内单调递增，求a的取值范围；
【对点精练6】 （2023·湖南岳阳·统考三模）已知函数 .
(1)若 在定义域内单调递增，求a的取值范围；
【对点精练7】 （2022·四川成都·石室中学校考模拟预测）已知函数 ．
(1)若函数 在 上单调递增，求 的取值范围；
【对点精练8】 （2022·陕西宝鸡·校考三模）已知函数 .
(1)若 在 上单调递增，求实数 的取值范围；
题型三 函数单调性的应用
命题点1 比较大小或解不等式
【例题精析7】 （2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测） ，则（ ）
A． B．
C． D．
【例题精析8】 （2022秋·天津红桥·高二统考期末）已知函数 ， ，对一切， 恒成立，则实数 的取值范围为________.
【例题精析9】 （2023春·河北保定·高二河北省唐县第一中学校考阶段练习）关于 的不等式
在 上恒成立，则 的最小值是__________.
【对点精练9】 （2023·全国·高三专题练习）若 ，则 的大小关系是
___________.
【对点精练10】 （2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，若 ，则 的取值范围
为_______．
【对点精练11】 （2023·甘肃·模拟预测）若关于 的不等式 对任意的 恒成立，
则整数 的最大值为______.
命题点2 根据函数的单调性求参数的范围
【例题精析10】 （2023·全国·统考高考真题）设 ，若函数 在 上单调递增，
则a的取值范围是______.
【例题精析11】 （2023·全国·高二专题练习）若函数 在区间 上不单调，则实数 的
取值范围为________．
【例题精析12】 （2023春·广东深圳·高二深圳市高级中学校考期中）设函数 ，若函数在 上是单调减函数，则k的取值范围是______．
根据函数单调性求参数的一般思路
(1)利用集合间的包含关系处理：y＝f(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集．
(2)f(x)为增(减)函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)，且在(a，b)内的任一
非空子区间上，f′(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则会漏解．
(3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题．
【对点精练12】 （2023·湖北·荆门市龙泉中学校联考模拟预测）若函数 在区间 上单调递
增，则 的取值范围为_________.
【对点精练13】 （2023春·重庆开州·高二重庆市开州中学校考阶段练习）已知函数 在
上单调递减，则实数 的取值范围为______．
三、分层训练：课堂知识巩固
1．（2023•甲卷）已知函数 ．记 ， ， ，则
A． B． C． D．2．（2023•新高考Ⅱ）已知函数 在区间 上单调递增，则 的最小值为
A． B． C． D．
3．（2021•乙卷）设 ， ， ，则
A． B． C． D．
4．（2020•全国）函数 的单调递增区间是
A． B． ， C． D．
5．（2023•乙卷）设 ，若函数 在 上单调递增，则 的取值范围是 ．
6．（2023•北京）设函数 ，曲线 在点 ， （1） 处的切线方程为 ．
（Ⅰ）求 ， 的值；
（Ⅱ）设 ，求 的单调区间；
（Ⅲ）求 的极值点的个数．
7．（2023•甲卷）已知 ， ．
（1）若 ，讨论 的单调性；
（2）若 恒成立，求 的取值范围．
8．（2023•甲卷）已知函数 ， ．
（1）当 时，讨论 的单调性；
（2）若 ，求 的取值范围．
9．（2023•乙卷）已知函数 ．
（1）当 时，求曲线 在点 ， 处的切线方程；（2）若函数 在 单调递增，求 的取值范围．
10．（2023•新高考Ⅰ）已知函数 ．
（1）讨论 的单调性；
（2）证明：当 时， ．
11．（2022•北京）已知函数 ．
（Ⅰ）求曲线 在点 ， 处的切线方程；
（Ⅱ）设 ，讨论函数 在 ， 上的单调性；
（Ⅲ）证明：对任意的 ， ，有 ．
12．（2022•新高考Ⅱ）已知函数 ．
（1）当 时，讨论 的单调性；
（2）当 时， ，求 的取值范围；
（3）设 ，证明： ．
13．（2022•浙江）设函数 ．
（Ⅰ）求 的单调区间；
（Ⅱ）已知 ， ，曲线 上不同的三点 ， ， ， ， ， 处的切线都经
过点 ．证明：
（ⅰ）若 ，则 （a） ；（ⅱ）若 ， ，则 ．
（注 是自然对数的底数）
14．（2021•甲卷）设函数 ，其中 ．
（1）讨论 的单调性；
（2）若 的图像与 轴没有公共点，求 的取值范围．
15．（2021•乙卷）已知函数 ．
（1）讨论 的单调性；
（2）求曲线 过坐标原点的切线与曲线 的公共点的坐标．
16．（2021•新高考Ⅰ）已知函数 ．
（1）讨论 的单调性；
（2）设 ， 为两个不相等的正数，且 ，证明： ．
17．（2021•甲卷）已知 且 ，函数 ．
（1）当 时，求 的单调区间；
（2）若曲线 与直线 有且仅有两个交点，求 的取值范围．
18．（2021•全国）已知函数 ．
（1）求 的单调区间；
（2）当 时， ，求 的取值范围．
19．（2021•浙江）设 ， 为实数，且 ，函数 ．（Ⅰ）求函数 的单调区间；
（Ⅱ）若对任意 ，函数 有两个不同的零点，求 的取值范围；
（Ⅲ）当 时，证明：对任意 ，函数 有两个不同的零点 ， ，满足 ．
（注 是自然对数的底数）
20．（2021•新高考Ⅱ）已知函数 ．
（Ⅰ）讨论 的单调性；
（Ⅱ）从下面两个条件中选一个，证明： 恰有一个零点．
① ， ；
② ， ．
21．（2020•新课标Ⅰ）已知函数 ．
（1）当 时，讨论 的单调性；
（2）若 有两个零点，求 的取值范围．
22．（2020•山东）已知函数 ．
（1）当 时，求曲线 在点 ， （1） 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
（2）若 ，求 的取值范围．
23．（2020•新课标Ⅲ）已知函数 ．
（1）讨论 的单调性；
（2）若 有三个零点，求 的取值范围．24．（2020•江苏）已知关于 的函数 ， 与 ， 在区间 上恒有
．
（1）若 ， ， ，求 的表达式；
（2）若 ， ， ， ，求 的取值范围；
（3）若 ， ， ， ， ，
，求证： ．
25．（2020•新课标Ⅱ）已知函数 ．
（1）若 ，求 的取值范围；
（2）设 ，讨论函数 的单调性．
26．（2019•新课标Ⅰ）已知函数 ， 为 的导数．
（1）证明： 在区间 存在唯一零点；
（2）若 ， 时， ，求 的取值范围．
27．（2019•新课标Ⅱ）已知函数 ．
（1）讨论 的单调性，并证明 有且仅有两个零点；
（2）设 是 的一个零点，证明曲线 在点 ， 处的切线也是曲线 的切线．
28．（2019•天津）设函数 ， 为 的导函数．
（Ⅰ）求 的单调区间；
（Ⅱ）当 ， 时，证明 ；（ Ⅲ ） 设 为 函 数 在 区 间 ， 内 的 零 点 ， 其 中 ， 证 明 ：
．
29．（2019•浙江）已知实数 ，设函数 ， ．
（Ⅰ）当 时，求函数 的单调区间；
（Ⅱ）对任意 ， 均有 ，求 的取值范围．
注： 为自然对数的底数．
30．（2019•全国）已知函数 ．
（1）当 时，求 的单调区间；
（2）若 在区间 ， 的最小值为 ，求 ．
31．（2018•新课标Ⅰ）已知函数 ．
（1）讨论 的单调性；
（2）若 存在两个极值点 ， ，证明： ．
32．（2018•天津）已知函数 ， ，其中 ．
（Ⅰ）求函数 的单调区间；
（Ⅱ）若曲线 在点 ， 处的切线与曲线 在点 ， 处的切线平行，证明：
；
（Ⅲ）证明当 时，存在直线 ，使 是曲线 的切线，也是曲线 的切线．33．（2018•新课标Ⅱ）已知函数 ．
（1）若 ，求 的单调区间；
（2）证明：只有一个零点．
