文档文本内容
函数中的构造问题
7-3
7-3 函数中的构造问题...........................................................................................................................................1
一、分类题型.....................................................................................................................................................1
题型一 利用导数求函数的极值问题.................................................................................................2
命题点1 利用f(x)与x构造.....................................................................................................2
命题点2 利用f(x)与ex构造.....................................................................................................2
命题点3 利用f(x)与sin x、cos x构造............................................................................3
题型二 同构法构造函数........................................................................................................................3
题型三 洛必达法则.................................................................................................................................4
三、分层训练：课堂知识巩固.....................................................................................................................6一、分类题型
题型一 利用导数求函数的极值问题
命题点1 利用f(x)与x构造
【例题精析1】 定义在 上的函数 的导函数为 ，且 恒成立，则（ ）
A． B．
C． D．
【解析】设函数 ， ，则 ，
所以 在 上单调递减，从而 ，
即 ，则 .故选：A.
【例题精析2】 函数 是定义在 上的偶函数，当 时 （其中 是 的导函数），若
， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【解析】令 ，又 为定义在 上的偶函数，则 ，
故 为定义在 上的奇函数；
又 ，由题可知，当 时， ，即 在 单调递增，
结合 是 上的奇函数可知， 为 上的单调增函数；
又 ，
又 ， ， ，故 .故选：B.
【例题精析3】 已知函数 是定义在 上的偶函数，其导函数为 ，且当 时， ，
则不等式 的解集为______．【解析】令 ，
则 ，由当 时， ，
所以当 时， 即 在 上是增函数，
由题意 是定义在 上的偶函数，所以 ，所以 ，
所以 是偶函数，在 递减，所以 ，
，即不等式等价为 ，
所以 ，所以 或 .故答案为： 或 .
【例题精析4】 定义在 上的函数 的导函数为 ，若 ，且 ，则不等
式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【解析】设 ，则 ，因为 ，所以 在 上单调递
减.
因为 ，所以 ，所以当 时， ，当 时， ，故不等式
的解集为 .故选：B.
【例题精析5】 函数 是定义在 上的可导函数，其导函数为 ，且满足 ，若
不等式 在 上恒成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解析】设 ， ，
所以函数 在 上为增函数．
由 的定义域为 可知 ，得 ，
将不等式 整理得 ，即 ，
可得 在 上恒成立，即 在 上恒成立；
令 ，其中 ，所以
，令 ，得 ．当 时， ，所以 在 上单调递增；
当 时， ，所以 在 上单调递减；
所以 ，即 ；故选：B．
【例题精析6】 设定义R在上的函数 ，满足任意 ，都有 ，且 时，
，则 ， ， 的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【解析】依题意，任意 ，都有 ，所以 是周期为 的周期函数.
所以 .
构造函数 ，
所以 在区间 上单调递增，所以 ，
即 ，也即 .故选：A
(1)出现nf(x)＋xf′(x)形式，构造函数F(x)＝xnf(x)；
(2)出现xf′(x)－nf(x)形式，构造函数F(x)＝.【对点精练1】 设函数 是定义在 上的可导函数，且 ，则不等式
的解集为（ ）
A． B． C． D．
【解析】由题知，函数 是定义在 上的可导函数，其导函数为 ，且有 ，即
，
设 ，
所以 ，
所以 在 上单调递增，
因为 ，
所以 ，
所以 ，解得 ，
所以不等式 的解集为 ，故选：B
【对点精练2】 （多选）已知函数 满足 ， .则当 时，下列说法中
正确的是（ ）
A． B． 只有一个零点
C． 有两个零点 D． 有一个极大值
【解析】令 ，则 ，
所以， ，所以， .
又 ，则 ，解得 .
所以， .则， ，且 ，A项错误.
当 时， ，则 在 上单调递增；
当 时， ，则 在 上单调递减.
所以， 在 处有极大值为 ，
且 只有一个极值点，D正确.
且 时，有 恒成立.
又 ，所以 只有一个零点，B项正确，C项错误.
故选：BD.
【对点精练3】 定义在 上的可导函数 的导函数记为 ，若 为奇函数且 ，当
时， ，则不等式 的解集是（ ）
A． B． C． D．
【解析】设 ，则 ，
因为当 时， 成立，所以 ， 为递减函数，
又因为函数 为奇函数，可得 ，
则 ，所以函数 为偶函数，
所以函数 在 为单调递增函数，
因为 ，所以 ， ， ，
当 时，由 为奇函数可得 不满足题意；
当 时，由 可得 ，所以 ；当 时，由 可得 ，所以 ，此时 ，
综上所述，不等式 的解集是 故选：D
【对点精练4】 （多选）已知定义在 上的函数满足 ，则下列不等式一
定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【解析】由 ，得 ，
设 ，则 ,
设 ，则 在 上为增函数,且 ，
则当 时， ，此时 ，此时函数 为增函数；
当 时， ，此时 ，此时函数 为减函数，
故由 ，即 ，A正确；
由 ，得 ，即 ，B错误；
与 不在一个单调区间上，C中算式无法比较大小，C错误；
由 ，得 ，即 ，D正确．
故选：AD
【对点精练5】 设定义在 上的奇函数 的导函数为 ，已知 ，当 时，
，则不等式 的解集为________．
【解析】令 ，取 ，则函数 为偶函数，
当 时， ，故 ，即 ，
由偶函数性质知，函数 在 是严格减函数，在 是严格增函数，
又 ，故 等价于 或 ，
解得 ．
故答案为：命题点2 利用f(x)与ex构造
【例题精析7】 已知 是 的导函数，且 ， ，则不等式 的
解集为（ ）
A． B．
C． D．
【解析】令 ，则 ，∴ 在 上单调递增.
∵不等式 可化为 ，即 ，∴ ，
则不等式 的解集为 .故选：A.
【例题精析8】 是定义在 上的函数，满足 ， ，则下列说法正确的是
（ ）
A． 在 上有极大值 B． 在 上有极小值
C． 在 上既有极大值又有极小值 D． 在 上没有极值
【解析】解：根据题意， ，故 ，
又 ，得 ，故 ，令 ，
则 ，
即 ，记 ，
所以 ， 当 时， ，当 时，
，
所以函数 在 上递减，在 上递增，所以 ，即 ，
即 ，所以 在 上单调递增，故 在 上没有极值.故选项ABC说法错误，选项D说法正确.
故选：D【例题精析9】 已知函数 在 上可导且满足 ，则下列不等式一定成立的为（ ）
A． B． C． D．
【解析】构造函数 ， 在 时恒成立，
所以 在 时单调递增，所以 ，即 ，所以 ，故选:C.
(1)出现f′(x)＋nf(x)形式，构造函数F(x)＝enxf(x)；
(2)出现f′(x)－nf(x)形式，构造函数F(x)＝.
【对点精练6】 已知定义在 上的函数 的导函数为 ，且 ，则不等式
的解集为（ ）
A． B． C． D．
【解析】令 ，函数 的定义域为 ，因为
所以， 故
故 在R上单调递减，又因为
所以， ，所以不等式 可化为 ，
所以 ，所以 的解集为 故选：B.
【对点精练7】 已知函数 的导函数为 ，且 若 ， ，
，则（ ）
A． B．
C． D．
【解析】设 ，则 ，因为 恒成立，
所以 ，所以 在 单调递增，则 ， ， ，
设 ，则 ，当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，所以 ，即 ，
所以 ，即 ．故选：B
【对点精练8】 已知定义在 上的函数 的导函数为 ，且满足 ， ，则
的解集为（ ）
A． B． C． D．
【解析】构造函数 ， ，
所以 在 上递增， ，由于 ，
根据 的单调性解得 ，所以 的解集 .故选：D
【对点精练9】 已知定义在 上的函数 满足 ，且有 ，则 的解集为
（ ）
A． B． C． D．
【解析】设 ，则 ，
∴ 在 上单调递减.又 ，则 .
∵ 等价于 ，即 ，∴ ，即所求不等式的解集为 .故选：B．
【对点精练10】 （多选）定义域为 的函数 的导数为 ，若 ，且 ，则（ ）
A． B． C． D．
【解析】由题意可知构造函数 ，则 ，所以 在 上是单调递
减函数，于是： ，于是 ，所以A正确；，于是 ，所以B错误； ，于是 ，
所以C正确；由于 而 ，所以 的范围无法确定，D不一定正确．故选：AC
命题点3 利用f(x)与sin x、cos x构造
【例题精析10】 已知函数 对任意的 满足 （其中 是函数
的导函数），则下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【解析】构造函数 ， ，则 ，所以 在
上单调递增，则 ，所以 ，即
，故A不正确；则 ，所以 ，即
，故B不正确；则 ，所以 ，即 ，故C
正确；
则 ，所以 ，即 ，故D不正确.故选：C.
【例题精析11】 （多选）定义在 上的函数 ，已知 是它的导函数，且恒有
成立，则有（ ）
A． B．C． D．
【解析】令 ，则 ，
由已知可得 ，即 在 上单调递减.
所以 ，故 ， ，即C、D选项正确.故选：CD
【例题精析12】 已知函数 及其导函数 的定义域均为 , ，
，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【解析】已知 ，
令 ，则
，
所以 在 上单调递减，
又因为 ，所以 ，
所以不等式 等价于 ，则 ，
所以不等式 的解集为 故选：A.
【例题精析13】 已知奇函数 的导函数为 ，且 在 上恒有 成立，则下列不
等式成立的（ ）
A． B．
C． D．
【解析】构造函数 ，由 在 上恒有 成立，即
在 上为增函数，又由为偶函数，
，故A错误.
偶函数 在 上为增函数， 在 上为减函数，
，故B正确；
， ，故C错
误； ， ，故D错误.故选：B
函数f(x)与sin x，cos x相结合构造可导函数的几种常见形式
F(x)＝f(x)sin x，F′(x)＝f′(x)sin x＋f(x)cos x；
F(x)＝，F′(x)＝；
F(x)＝f(x)cos x，F′(x)＝f′(x)cos x－f(x)sin x；
F(x)＝，F′(x)＝.
【对点精练11】 设 是定义在 的奇函数，其导函数为 ，且当 时，
，则关于 的不等式 的解集为_________.
【解析】令 ，则 ，
由条件得当 时， ，∴函数 在 上单调递减．因为 ， 是奇函数，∴函数 为偶函数，∴函数 在 上单调递增．
①当 时， ，不等式 可化为 ，∴ ；
②当 时， ，不等式 可化为 ，
∴ ．综上可得不等式的解集为 ．故答案为：
【对点精练12】 函数 定义域为 ，其导函数是 ，当 时，有 ，则关
于 的不等式 的解集为__________．
【解析】令 ，则 ，因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，所以 在 上为减函数，
由 ，得 ，所以 ，因为 在 上为减函数，
所以 ，所以不等式 的解集为 ，故答案为：
【对点精练13】 （多选）已知函数 对于任意的 ，均满足 ，其
中 是 的导函数，则下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【解析】令 ，其中 ，则 ，
当 时， ，则 ，
当 时， ，则 ，
所以，函数 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ，对于A选项，因为 ，则 ，即 ，所以， ，A对；
对于B选项， ，
因为 ，则 ，即 ，
所以， ，即 ，B对；
对于CD选项， ，
因为 ，则 ，即 ，
所以， ，即 ，C对D错.故选：ABC.
【对点精练14】 （多选）已知函数 是偶函数，对于任意的 满足
（其中 是函数 的导函数），则下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【解析】构造函数 ，其中 ，则 ，
∵对于任意的 满足 ，∴ 当 时， ，则函数
在 上单调递增，又函数 是偶函数， ，∴ ，
∴ 在 上为偶函数，∴函数 在 上单调递减．∵ ，则 ，即 ，即 ，化简得 ，A正确；
同理可知 ，即 ，即 ，化简得
，B正确； ，且 即 ，即
，化简得 ，C错误； ，且 ，即
，即 ，化简得 ，D正确．故选：ABD.
题型二 同构法构造函数
【例题精析14】 若存在x，y∈(0，＋∞)使得xln(2ax)＋y＝xln y，则实数a的最大值为( )
A. B. C. D.
【解析】由xln(2ax)＋y＝xln y，得ln(2a)＝ln－，令t＝>0，g(t)＝ln t－t，
则g′(t)＝－1＝，当0<t<1时，g′(t)>0，当t>1时，g′(t)<0，
所以g(t)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，所以当t＝1时，
g(t)取得极大值即最大值g(1)＝－1，因为当t→0时，g(t)→－∞，
所以g(t)∈(－∞，－1]，所以ln 2a≤－1，所以0<a≤，所以实数a的最大值为.
【例题精析15】 (2022·河北联考)已知当x≥e时，不等式xa＋－ ≥aln x恒成立，则正实数a的最小值为(
)
A．1 B. C．e D.【解析】由题意，原不等式可变形为 －≤xa－aln x，即 － ≤xa－ln xa，设f(x)＝x－ln x，
则当x≥e时， ≤f(xa)恒成立，因为f′(x)＝1－＝，所以函数f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单
调递增，因为x≥e，a>0，所以 >1，xa>1，因为f(x)在(1，＋∞)上单调递增，
所以要使 ≤f(xa)，只需 ≤xa，两边取对数，得≤aln x，因为x≥e，所以a≥.
令h(x)＝xln x(x∈[e，＋∞))，因为h′(x)＝ln x＋1>0，所以h(x)在[e，＋∞)上单调递增，
所以h(x) ＝h(e)＝e，所以0<≤，则a≥，故正实数a的最小值为.
min
同构法的三种基本模式：
①乘积型，如aea≤bln b可以同构成aea≤(ln b)eln b，进而构造函数f(x)＝xex；
②比商型，如<可以同构成<，进而构造函数f(x)＝；
③和差型，如ea±a>b±ln b，同构后可以构造函数f(x)＝ex±x或f(x)＝x±ln x.
【对点精练15】 (多选)(2022·常州模拟)若0<x
1
<x
2
<1，则下列不等式成立的是( )
A． B．
C． >ln x－ln x D． <ln x－ln x
2 1 2 1
【解析】构造函数f(x)＝(0<x<1)，因为f′(x)＝<0，所以f(x)在(0,1)上单调递减，
因为0<x<x<1，所以 ，即 ，所以选项A正确，选项B错误；
1 2
构造函数h(x)＝ex－ln x(0<x<1)，h′(x)＝ex－，易知h′(x)在(0,1)上单调递增，
而h′(1)＝e－1>0，当x→0＋时，h′(x)→－∞，所以存在x∈(0,1)，使h′(x)＝0，
0 0
所以h(x)在(0，x)上单调递减，在(x,1)上单调递增，所以无法判断C选项的正确性；
0 0
构造函数g(x)＝ex＋ln x(0<x<1)，易知g(x)在(0,1)上单调递增，因为0<x<x<1，
1 2
所以 ＋ln x< ＋ln x，即 <ln x－ln x，所以选项D正确．
1 2 2 1
【对点精练16】 已知函数f(x)＝ex－－1在(0，＋∞)上有且仅有一个零点，则实数k＝________.
【解析】令f(x)＝0得，k＝xex－x－ln x＝eln x·ex－x－ln x＝eln x＋x－x－ln x，
令x＋ln x＝t，所以t∈R，所以k＝et－t，令φ(t)＝et－t，φ′(t)＝et－1，令φ′(t)>0，得t>0，令φ′(t)<0，得
t<0，所以φ(t)在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)上单调递减，所以φ(t) ＝φ(0)＝1，
min
且当t→－∞时，φ(t)→＋∞，当t→＋∞时，φ(t)→＋∞，所以k＝1.
题型三 洛必达法则
【例题精析16】 已知函数f(x)＝(x＋1)ln(x＋1)．若对任意x>0都有f(x)>ax成立，求实数a的取值范围．
【解析】方法一 令φ(x)＝f(x)－ax
＝(x＋1)ln(x＋1)－ax(x>0)，
则φ′(x)＝ln(x＋1)＋1－a，
∵x>0，
∴ln(x＋1)>0.
①当1－a≥0，即a≤1时，φ′(x)>0，
∴φ(x)在(0，＋∞)上单调递增，
又φ(0)＝0，
∴φ(x)>0恒成立，故a≤1满足题意．
②当1－a<0，即a>1时，
令φ′(x)＝0，得x＝ea－1－1，
∴x∈(0，ea－1－1)时，φ′(x)<0；
x∈(ea－1－1，＋∞)时，φ′(x)>0，
∴φ(x)在(0，ea－1－1)上单调递减，
在(ea－1－1，＋∞)上单调递增，
∴φ(x) ＝φ(ea－1－1)<φ(0)＝0与φ(x)>0恒成立矛盾，故a>1不满足题意．
min
综上有a≤1，故实数a的取值范围是(－∞，1]．
方法二 当x∈(0，＋∞)时，
(x＋1)ln(x＋1)>ax恒成立，
即a<恒成立．
令g(x)＝(x>0)，
∴g′(x)＝.
令k(x)＝x－ln(x＋1)(x>0)，
∴k′(x)＝1－＝>0，
∴k(x)在(0，＋∞)上单调递增．∴k(x)>k(0)＝0，
∴x－ln(x＋1)>0恒成立，
∴g′(x)>0，故g(x)在(0，＋∞)上单调递增．
由洛必达法则知
lim g(x)＝lim
＝lim[ln(x＋1)＋1]＝1，
∴a≤1，故实数a的取值范围是(－∞，1]．
【例题精析17】 已知函数f(x)＝x(ex－1)－ax2(a∈R)．
(1)若f(x)在x＝－1处有极值，求a的值．
(2)当x>0时，f(x)≥0，求实数a的取值范围．
【解析】(1)f′(x)＝ex－1＋xex－2ax
＝(x＋1)ex－2ax－1，
依题意知f′(－1)＝2a－1＝0，
∴a＝.
经检验a＝符合题意．
(2)方法一 当x>0时，f(x)≥0，
即x(ex－1)－ax2≥0，
即ex－1－ax≥0，
令φ(x)＝ex－1－ax(x>0)，
则φ(x) ≥0，
min
φ′(x)＝ex－a.
①当a≤1时，φ′(x)＝ex－a>0，
∴φ(x)在(0，＋∞)上单调递增，
∴φ(x)>φ(0)＝0，
∴a≤1满足条件．
②当a>1时，若0<x<ln a，则φ′(x)<0，
若x>ln a，则φ′(x)>0.
∴φ(x)在(0，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增，
∴φ(x) ＝φ(ln a)＝a－1－aln a≥0.
min
令g(a)＝a－1－aln a(a>1)，
∴g′(a)＝1－(1＋ln a)＝－ln a<0，
∴g(a)在(1，＋∞)上单调递减．
∴g(a)<g(1)＝0与g(a)≥0矛盾，
故a>1不满足条件，
综上，实数a的取值范围是(－∞，1]．
方法二 当x>0时，f(x)≥0，即x(ex－1)－ax2≥0，
即ex－1－ax≥0，
即ax≤ex－1，
即a≤恒成立，
令h(x)＝(x>0)，
∴h′(x)＝，
令k(x)＝ex(x－1)＋1(x>0)，
∴k′(x)＝ex·x>0，
∴k(x)在(0，＋∞)上单调递增，
∴k(x)>k(0)＝0，
∴h′(x)>0，
∴h(x)在(0，＋∞)上单调递增．
由洛必达法则知，
lim h(x)＝lim ＝lim ex＝1，
∴a≤1.故实数a的取值范围是(－∞，1]．
在解决不等式恒(能)成立，求参数的取值范围这一类问题时，最常用的方法是分离参数法，转化成求函
数的最值，但在求最值时如果出现“”型的代数式，就设法求其最值．“”型的代数式，是大学数学中的不定
式问题，解决此类问题的有效方法就是利用洛必达法则．
法则1 若函数f(x)和g(x)满足下列条件：
(1)lim f(x)＝0及lim g(x)＝0；
(2)在点a的某去心邻域内，f(x)与g(x)可导且g′(x)≠0；
(3)lim ＝A，那么lim
＝lim ＝A.
法则2 若函数f(x)和g(x)满足下列条件：
(1)lim f(x)＝∞及lim g(x)＝∞；
(2)在点a的某去心邻域内，f(x)与g(x)可导且g′(x)≠0；
(3)lim ＝A，那么lim
＝lim ＝A.
【对点精练17】 已知f(x)的定义域为R，f(1)＝2 023，且f′(x)≥6x恒成立，则不等式f(x)>3x2＋2 020的解集为(
)
A．(－1,1)B．(1，＋∞)C．(－∞，－1)D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)【解析】令函数g(x)＝f(x)－3x2，
因为g′(x)＝f′(x)－6x≥0，
所以g(x)在R上单调递增．
因为g(1)＝f(1)－3＝2 020，
所以不等式f(x)>3x2＋2 020等价于g(x)>g(1)，所以x>1.
【对点精练18】 已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足xf′(x)<f(x)，若a＝f(1)，b＝，c＝，则
a，b，c的大小关系为( )
A．a>b>c B．c>a>b
C．b>a>c D．a>c>b
【解析】设g(x)＝，
则g′(x)＝<0，
∴g(x)为减函数．
∵3>ln 4>1，
∴g(3)<g(ln 4)<g(1)，即a>b>c.
【对点精练19】 (2022·青铜峡模拟)已知函数f(x)是定义在R上的可导函数，其导函数记为f′(x)，若对于任意
实数x，有f(x)>f′(x)，且f(0)＝1，则不等式f(x)<ex的解集为( )
A．(0，＋∞) B．(－∞，0)
C．(－∞，e4) D．(e4，＋∞)
【解析】令g(x)＝，
则g′(x)＝＝，
∵f(x)>f′(x)，
∴g′(x)<0，即g(x)为减函数，
又f(0)＝1，故g(0)＝＝1，
则不等式f(x)<ex等价于<1＝g(0)，
即g(x)<g(0)，解得x>0，
故不等式的解集为(0，＋∞)．
【对点精练20】 已知a＝ln ，b＝e－1，c＝，则a，b，c的大小关系为( )
A．b>c>a B．a>c>b
C．a>b>c D．b>a>c
【解析】依题意得
a＝ln ＝，b＝e－1＝，
c＝＝.
令f(x)＝(x>0)，
则f′(x)＝，易知函数f(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减．
所以f(x) ＝f(e)＝＝b，
max
且f(3)>f(8)，即a>c，所以b>a>c.【对点精练21】 若e－2b＋(a－1)2＝e－a＋(2b－1)2，则( )
A．a>2b B．a＝2b
C．a<2b D．a>b2
【解析】设f(x)＝(x－1)2－e－x，
则f′(x)＝x－1＋e－x，设g(x)＝x－1＋e－x，
则g′(x)＝1－e－x＝，
令g′(x)>0⇒x>0⇒f′(x)在(0，＋∞)上单调递增；
令g′(x)<0⇒x<0⇒f′(x)在(－∞，0)上单调递减，
所以f′(x) ＝f′(0)＝0，即f′(x)≥0恒成立，
min
所以f(x)＝(x－1)2－e－x在(－∞，＋∞)上单调递增，
e－2b＋(a－1)2＝e－a＋(2b－1)2化为
(a－1)2－e－a＝(2b－1)2－e－2b，
即f(a)＝f(2b)⇒a＝2b.
【对点精练22】 (多选)已知a，b∈(0，e)，且a<b，则下列式子中可能成立的是( )
A．aeb<bea B．aeb>bea
C．aln b<bln a D．aln b>bln a
【解析】设g(x)＝，则g′(x)＝，
所以g(x)＝在(0,1)上单调递减，在(1，e)上单调递增．
所以当a，b∈(0，e)，a<b时，不能判断出g(a)与g(b)的大小．
所以选项A，B都有可能正确；
设f(x)＝，则f′(x)＝，
由f′(x)>0，得0<x<e，由f′(x)<0，得x>e，
所以f(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，
因为a，b∈(0，e)，且a<b，所以<，
即aln b>bln a.
所以选项C不正确，D正确．
【对点精练23】 已知a，b，c∈(0,1)，且a2－2ln a＋1＝e，b2－2ln b＋2＝e2，c2－2ln c＋3＝e3，其中e是自
然对数的底数，则a，b，c的大小关系是________．
【解析】设f(x)＝x2－2ln x，g(x)＝ex－x，
则f(a)＝g(1)，f(b)＝g(2)，f(c)＝g(3)，
又g′(x)＝ex－1＞0(x＞0)，
所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增，
所以g(3)＞g(2)＞g(1)，
即f(c)＞f(b)＞f(a)，
因为f′(x)＝2x－＝＜0(x∈(0,1))，所以f(x)在(0,1)上单调递减，
所以a＞b＞c.
【对点精练24】 若不等式xex－a≥ln x＋x－1恒成立，则实数a的最大值为________．
【解析】∵xex－a≥ln x＋x－1，
∴eln x＋x－a≥ln x＋x－1，
令t＝ln x＋x，
则et－a≥t－1恒成立，
则a≤et－t＋1恒成立，
令φ(t)＝et－t＋1，
∴φ′(t)＝et－1，
当t∈(－∞，0)时，φ′(t)<0；
当t∈(0，＋∞)时，φ′(t)>0，
∴φ(t)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，
∴φ(t) ＝φ(0)＝2，
min
∴a≤2，故a的最大值为2.
