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等比数列
6-3
1.理解等比数列的概念.
2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.
3.了解等比数列与指数函数的关系．
6-3 等比数列.............................................................................................................................................................1
一、主干知识.....................................................................................................................................................1
考点1：等比数列的有关概念..............................................................................................................1
考点2：等比数列的有关公式..............................................................................................................2
考点3：等比数列的常用性质..............................................................................................................2
【常用结论总结】....................................................................................................................................2
二、分类题型.....................................................................................................................................................3
题型一 等比数列基本量的运算..........................................................................................................3
题型二 等比数列的判定与证明..........................................................................................................4
题型三 等比数列的性质........................................................................................................................5
三、分层训练：课堂知识巩固.....................................................................................................................6一、主干知识
考点1：等比数列的有关概念
(1)定义：（又名几何数列），是一种特殊数列．如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于
同一个常数，这个数列就叫做等比数列，因为第二项与第一项的比和第三项与第二项的比相等，这个常数
叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（q≠0）． 注：q＝1 时，a 为常数列．定义的表达式为＝
n
q(n∈N*，q为非零常数)．
(2)等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G 叫做a与b的等比中项，
此时，G2＝ab.
考点2：等比数列的有关公式
(1)通项公式：a＝a q n － 1 .
n 1
(2)前n项和公式：S＝
n
考点3：等比数列的常用性质
（1）通项公式的推广：a ＝a •qn﹣m，（n，m N*）．
n m
（2）若{a }为等比数列，且k+l＝m+n，（k，l∈，m，n N*），则 a •a＝a •a
n k l m n
（3）若{a }，{b }（项数相同）是等比数列，则{ a }（∈ ≠0），{a}，{a •b }，仍是等比数列．
n n n n n
λ λ
（4）单调性： 或 {a }是递增数列； 或 {a }是递减数列；q＝
n n
1 {a }是常数列；q＜0 {a }是摆动数⇔列． ⇔
n n
⇔ ⇔
【常用结论总结】
1．等比数列的前n项和公式等比数列{a }的公比为q（q≠0），其前n项和为S ，
n n当q＝1时，S ＝na ；当q≠1时，S ＝ ＝ ．
n 1 n
2．等比数列前n项和的性质
公比不为﹣1的等比数列{a }的前n项和为S ，则S ，S ﹣S ，S ﹣S 仍成等比数列，其公比为qn．
n n n 2n n 3n 2n
3．等比数列{a}的通项公式可以写成a＝cqn，这里c≠0，q≠0.
n n
4．等比数列{a}的前n项和S 可以写成S＝Aqn－A(A≠0，q≠1,0)．
n n n
二、分类题型题型一 等比数列基本量的运算
【例题精析1】 （2023·福建福州·福建省福州第一中学校考三模）英国数学家亚历山大·艾利斯提出用音分来
精确度量音程，音分是度量不同乐音频率比的单位，也可以称为度量音程的对数标度单位.一个八度音程为
1200音分，它们的频率值构成一个等比数列.八度音程的冠音与根音的频率比为2，因此这1200个音的频
率值构成一个公比为 的等比数列.已知音M的频率为m，音分值为k，音N的频率为n，音分值为l.若
，则 =（ ）
A．400 B．500 C．600 D．800
【解答】由题意可知，1200个音的频率值构成一个公比为 的等比数列，
设第一个音为 ，所以 ，故 ，
因为 ，所以 .
故选：C
【例题精析2】 （2023·河北唐山·开滦第二中学校考模拟预测）已知数列 为等比数列，且 ，
，则 （ ）
A．30 B． C．40 D．
【解答】令 ，设数列 的公比为 ，因为 ， ，
所以 ， ，又 ，所以 ，得到 ，
所以 ，所以 .故选：C.【例题精析3】 （2023·四川成都·成都七中校考模拟预测）设 是等比数列，且 ， ，则
（ ）
A．8 B．-8 C．4 D．-4
【解答】设等比数列 的公比为 ，则 ，解得： ， ，
所以 .故选：B
【例题精析4】 （2023·全国·统考高考真题）已知 为等比数列， ， ，则 ______.
【解答】设 的公比为 ，则 ，显然 ，
则 ，即 ，则 ，因为 ，则 ，
则 ，则 ，则 ，
故答案为： .
(1)等比数列中有五个量a，n，q，a，S，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎
1 n n
刃而解．
(2)等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q＝1 时，{a}的前n项和S＝
n n
na；当q≠1时，{a}的前n项和S＝＝.
1 n n
【对点精练1】 （2023·天津·统考高考真题）已知 为等比数列， 为数列 的前 项和， ，
则 的值为（ ）
A．3 B．18 C．54 D．152【解答】由题意可得：当 时， ，即 ， ①
当 时， ，即 ， ②
联立①②可得 ，则 .
故选：C.
【对点精练2】 （2023春·湖北武汉·高二武汉市第四十九中学校考阶段练习）已知正项等比数列 满足
，则 的最小值是（ ）
A．4 B．9 C．6 D．8
【解答】由 ，得 ，即 ，
则 ，
当且仅当 即 时取等号.故选：D
【对点精练3】 （2023·北京·统考高考真题）我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类
似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”．已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的
数列 ，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且 ，则
___________；数列 所有项的和为____________．
【解答】方法一：设前3项的公差为 ，后7项公比为 ，
则 ，且 ，可得 ，
则 ，即 ，可得 ，
空1：可得 ，空2：
方法二：空1：因为 为等比数列，则 ，
且 ，所以 ；
又因为 ，则 ；
空2：设后7项公比为 ，则 ，解得 ，
可得 ，
所以 .
故答案为：48；384.
【对点精练4】 （2023春·江西抚州·高二资溪县第一中学校考期中）已知数列 满足 ，若
，则 _________．
【解答】因为 ，所以 为等比数列，设公比为 ，又 ， ，
所以 ，解得 ，所以 .
故答案为：
【对点精练5】 （2023·上海虹口·华东师范大学第一附属中学校考三模）已知等比数列 中 ，若
成等差数列，则 ______．【解答】设等比数列 的公比为 ，因为 ， 成等差数列，
所以 ，所以 ，且 ，
所以 ，解得 或 ，
为保证 有意义，则 ，所以 ，
所以 ．
故答案为：4．
题型二 等比数列的判定与证明
【例题精析5】 （2023·全国·高二专题练习）甲、乙、丙三个小学生相互抛沙包，第一次由甲抛出，每次抛
出时，抛沙包者等可能的将沙包抛给另外两个人中的任何一个，设第 （ ）次抛沙包后沙包在甲手
中的方法数为 ，在丙手中的方法数为 .(1)求证：数列 为等比数列，并求出 的通项；
(2)求证：当n为偶数时， .
【解答】（1）由题意知：第n次抛沙包后的抛沙包方法数为 ，
第 次抛沙包后沙包在甲手中的方法数为 ，若第n次抛沙包后沙包在甲手中，则第 次抛沙包后，
沙包不可能在甲手里，只有第n次抛沙包后沙包在乙或丙手中，
故 ，且
故 ，
，
所以数列 为等比数列，
由 ，得 ，
，
，
，
……………，
以上各式相加，
可得 ；
（2）由题意知：第n次抛沙包后沙包在乙、丙手中的情况数相等均为 ，
则 ，∵当n为偶数时， ，
∴ .
【例题精析6】 （2023·广东东莞·校考三模）已知数列 和 ， ， ， .
(1)求证数列 是等比数列；
【解答】（1）由 ， ， 得 ，
整理得 ，而 ，
所以数列 是以 为首项，公比为 的等比数列
【例题精析7】 （2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第六中学校校考三模）已知正项数列 满足 ，
.
(1)证明：数列 是等比数列，并求数列 的通项公式；
【解答】（1）因为 ， ，所以 ， ，
所以 ，所以数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，
所以 ，所以 .
【例题精析8】 （2023·山东潍坊·三模）已知数列 和 满足 ．
(1)证明： 和 都是等比数列；
【解答】（1）因为 ， ，所以 ， ，
又由 ， 得 ， ，
所以数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，
数列 是首项为 ，公比为 的等比数列．
等比数列的三种常用判定方法
(1)定义法：若＝q(q为非零常数，n∈N*)或＝q(q为非零常数且n≥2，n∈N*)，则{a}是等比
n
数列．
(2)等比中项法：若数列{a}中，a≠0且a＝a·a (n∈N*)，则{a}是等比数列．
n n n n＋2 n
(3)前n项和公式法：若数列{a}的前n项和S＝k·qn－k(k为常数且k≠0，q≠0,1)，则{a}
n n n
是等比数列．
【对点精练6】 （2023·全国·高二专题练习）已知 为数列 的前 项和，且满足 ， .
(1)求证：数列 是等比数列；
【解答】（1）当 时， ，解得： .
当 时， ，
所以 ，即 ，
所以
所以 ，所以数列 是以 为首项， 为公比的等比数列.【对点精练7】 （2023·广东梅州·大埔县虎山中学校考模拟预测）已知数列 的前n项和为 .
(1)若 ， ，证明： ；
(2)在（1）的条件下，若 ，数列 的前n项和为 ，求证
【解答】（1）因为 ， ，
所以 ， ，
所以数列 是以4为首项，2为公比的等比数列，
所以 ，
，
当 时， ， ，
当 时， 满足上式，
所以 ，所以 成立.
（2）由（1）知 ，
，
所以 ，
则 ，
所以 ，
所以 成立.【对点精练8】 （2023·浙江嘉兴·校考模拟预测）数列 满足 ， ，
(1)若数列 是等比数列，求 及 的通项公式；
(2)若数列 满足： ，数列 的前 项和为 ，求证： .
【解答】（1）由 可得， ，
又 ，故 是首项为 ，公比为 的等比数列，即 ， ，于是
（2）由（1）知，
于是 ，
则 ，
两式相减： ，
即 ，于是 ，故 .
【对点精练9】 （2023·福建厦门·统考模拟预测）已知数列 满足 ．
(1)证明 是等比数列；
【解答】（1）由题意得 ．
又因为 ，所以 ．所以 是以 为首项， 为公比的等比数列.
【对点精练10】 （2019·全国·高考真题）已知数列{an}和{bn}满足a=1，b=0， ，
1 1
.
（1）证明：{an+bn}是等比数列，{an–bn}是等差数列；
【解答】(1)由题意可知 ， ， ， ，
所以 ，即 ，
所以数列 是首项为 、公比为 的等比数列， ，
因为 ，
所以 ，数列 是首项 、公差为 的等差数列， ．
【点睛】本题考查了数列的相关性质，主要考查了等差数列以及等比数列的相关证明，证明数列是等差数
列或者等比数列一定要结合等差数列或者等比数列的定义，考查推理能力，考查化归与转化思想，是中档
题．题型三 等比数列的性质
【例题精析9】 （2023·福建福州·福建省福州第一中学校考二模）已知等比数列 满足
，则 （ ）
A． B． C． D．3
【解答】因为 ，所以 ，
所以 ，则 ，解得： 或 ，当 或 时， ，
，故选：A.
【例题精析10】 （2023·全国·模拟预测）在等比数列 中， ，且 ，则 的前10项和为
（ ）
A．322 B．336 C．341 D．366
【解答】设数列 的公比为 ，由 可得 ，
由 ，可得 ，因为 ，所以 ，则 ，
故数列 的前10项和为 ．故选：C
【例题精析11】 （2022·甘肃张掖·高台县第一中学校考模拟预测）已知等比数列 满足 ， ，（其中 ， ），则 的最小值为（ ）
A．6 B．16 C． D．2
【解答】由题意 ，
在等比数列 中， ， ，
由等比数列的性质，可得 ， ，
当且仅当 ， 时，等号成立，
因此， 的最小值为2.
故选：D.
(1)等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项的变形，三是前 n项
和公式的变形，根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口．
(2)巧用性质，减少运算量，在解题中非常重要．
【对点精练11】 （2023·全国·高三专题练习）在等比数列 中， ，则 （ ）
A．4 B．8 C．32 D．64
【解答】由 可得 ，又 ，
故 ，则 ，解得 ，即 .故选：D
【对点精练12】 （2023·陕西·校联考模拟预测）等比数列 的各项均为正数，且 ，则
（ ）
A．8 B．6 C．4 D．3【解答】解：因为 ，所以 .
故选：B
【对点精练13】 （2023·河北·校联考三模）若数列 为等比数列，则 _______．
【解答】由题意得 ， ，解得 ， ，
故 .故答案为：4
【对点精练14】 （2023·全国·高三专题练习）公比 的等比数列 满足 ， ，则
__________．
【解答】由等比数列性质知： ，解得： 或 ，
又 ， ， ， .
故答案为： .
【对点精练15】 （2023春·安徽宿州·高二安徽省泗县第一中学校考阶段练习）在各项均为正数的等差数列
中， ， ， 成等比数列， ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设数列 的前 项和为 ， ，证明： ．
【解答】（1）设等差数列 的公差为 ，由已知得 ，
即 ， 又 ，解得 （舍负），
则 ，所以 ．
（2）结合（1）得 ，则 ，
所以
．
三、分层训练：课堂知识巩固
1．（2022•乙卷）已知等比数列 的前3项和为168， ，则
A．14 B．12 C．6 D．3
【解答】解：设等比数列 的公比为 ， ，由题意， ．
前3项和为 ， ，
， ，
则 ，
故选： ．
2．（2021•甲卷）记 为等比数列 的前 项和．若 ， ，则
A．7 B．8 C．9 D．10
【解答】解： 为等比数列 的前 项和， ， ，由等比数列的性质，可知 ， ， 成等比数列，
，2， 成等比数列，
，解得 ．
故选： ．
3．（2020•新课标Ⅰ）设 是等比数列，且 ， ，则
A．12 B．24 C．30 D．32
【解答】解： 是等比数列，且 ，
则 ，即 ，
，
故选： ．
4．（2020•新课标Ⅱ）记 为等比数列 的前 项和．若 ， ，则
A． B． C． D．
【解答】解：设等比数列的公比为 ，
，
，
，
，
，
，， ，
，
故选： ．
5．（2019•新课标Ⅲ）已知各项均为正数的等比数列 的前4项和为15，且 ，则
A．16 B．8 C．4 D．2
【解答】解：设等比数列 的公比为 ，
则由前4项和为15，且 ，有
， ，
．
故选： ．
6．（2018•全国）已知等比数列 的前 项和为 ， ， ，则
A．8 B．6 C．4 D．2
【解答】解： 等比数列 的前 项和为 ， ， ，
由等比数列的性质得 ， ， 成等比数列，
， ， 成等比数列，
．
故选： ．
7．（2018•北京）“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这
个理论的发展做出了重要贡献，十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于 ．若第一个单音的频率为 ，则第
八个单音的频率为
A． B． C． D．
【解答】解：从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于 ．
若第一个单音的频率为 ，则第八个单音的频率为： ．
故选： ．
8．（2018•北京）设 ， ， ， 是非零实数，则“ ”是“ ， ， ， 成等比数列”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【解答】解：若 ， ， ， 成等比数列，则 ，
反之数列 ， ，1，1．满足 ，
但数列 ， ，1，1不是等比数列，
即“ ”是“ ， ， ， 成等比数列”的必要不充分条件．
故选： ．
9．（2017•新课标Ⅱ）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加
增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层
灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯
A．1盏 B．3盏 C．5盏 D．9盏
【解答】解：设塔顶的 盏灯，
由题意 是公比为2的等比数列，
，解得 ．
故选： ．
10．（2016•四川）某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司 2015年全年投入研发资金
130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长 ，则该公司全年投入的研发资金开始超
过200万元的年份是
（参考数据： ， ，
A．2018年 B．2019年 C．2020年 D．2021年
【解答】解：设第 年开始超过200万元，
则 ，
化为： ，
．
取 ．
因此开始超过200万元的年份是2019年．
故选： ．
二．填空题（共4小题）
11．（2019•新课标Ⅰ）记 为等比数列 的前 项和．若 ， ，则 ．
【解答】解：在等比数列中，由 ，得 ，
即 ， ，
则 ，
故答案为：
12．（2017•新课标Ⅲ）设等比数列 满足 ， ，则 ．【解答】解：设等比数列 的公比为 ， ， ，
， ，
显然 ，
解得 ， ．
则 ．
故答案为： ．
13．（2017•江苏）等比数列 的各项均为实数，其前 项和为 ，已知 ， ，则 32
．
【解答】解：设等比数列 的公比为 ，
， ， ， ，
解得 ， ．
则 ．
故答案为：32．
14．（2017•上海）已知数列 的通项公式为 ，则 ．
【解答】解： ，
故答案为： ．
三．解答题（共1小题）
15．（2018•新课标Ⅲ）等比数列 中， ， ．
（1）求 的通项公式；（2）记 为 的前 项和．若 ，求 ．
【解答】解：（1） 等比数列 中， ， ．
，
解得 ，
当 时， ，
当 时， ，
的通项公式为， ，或 ．
（2）记 为 的前 项和．
当 ， 时， ，
由 ，得 ， ，无解；
当 ， 时， ，
由 ，得 ， ，解得 ．
1．（2021•宜宾模拟）设 是等比数列，且 ， ．
（1）求 的通项公式；
（2）记 是数列 的前 项和，若 ，求 ．
【解答】解：（1）设 的公比为 ， 是等比数列，且 ， ．， ，
解得 ，
的通项公式为 ．
（2） ， ，又 是数列 的前 项和，
．
， ，解得： ．
故 的值为6．
2．（2020•广元模拟）记 为各项均为正数的等比数列 的前 项和，已知 ， ，
记 ，其中 表示不超过 的最大整数，如 ， ， ．
（Ⅰ）求 的通项公式；
（Ⅱ）求 的前 项和 ．
【解答】解：（Ⅰ）数列 中，由 ，所以： ；
所以： ，解得： 或 （舍 ；
所以数列 的通项公式为：
；
（Ⅱ）根据题意有： ；
因为： ，所以： ；
所以：数列 是以首项为0，公差为1的等差数列；所以 的前 项和为 ．
3．（2023•渝中区校级模拟）已知正项等比数列 满足 ， ，公比 ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）若 ，判断数列 有没有最大项？若有，求出第几项为最大项？若没有，请说明理由．
【解答】解：（1）因为数列 是等比数列，且 ， ，
则 ， ，
解得： 或 ，因为 ，所以 ，
即 ，则解得 ，
所以数列 的通项公式为： ．
（2）因为 ，所以 ，
所以 ，
则 ，
令 ，
令 ，
解得 ，因为 ，
则 ， ，易知当 ， 时， ．
即当 ， 时， ，数列 递增，
当 ， 时， ，数列 递减，所以数列 的最大值是 或 ，
因为 ，
所以 ， ，
易知 ，
所以数列 有最大项，第5项最大．
4．（2023•日照三模）已知数列 满足： ， ．
（1）当 时，求数列 中的第10项；
（2）是否存在正数 ，使得数列 是等比数列，若存在求出 值并证明；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）由已知 ，
所以 ，
相除得 ，
又 ，
所以 ，
所以 ；
（2）假设存在正数 ，使得数列 是等比数列，
由 得 ，
由 ，得 ，
因为 是等比数列， ，即 ，下面证明 时数列 是等比数列，
由（1）知数列 和 都是公比是 的等比数列，
所以 ， ；
所以 为奇数时， ， 为偶数时， ，
所以对一切正整数 ，都有 ，
所以 ，
所以存在正数 使得数列 是等比数列．
5．（2023•闵行区校级一模）已知数列 的前 项和为 ， ，对任意的正整数 ，点 ， 均
在函数 图像上．
（1）证明：数列 是等比数列；
（2）证明： 中任何不同三项不构成等差数列．
【解答】证明：（1）点 ， 均在函数 图像上，
则 ，
故 ，
，
故 是首项为2，公比为2的等比数列；
（2）因为 ，当 时， ，
时， ，
故 ， ，且从第二项起 严格增，
假设存在 使得 ， ， 成等差数列，则 ，
即 ，等式左边为偶数，右边为奇数，故假设不成立．
故 中任何不同三项不构成等差数列．
6．（2023•嘉定区校级三模）已知数列 的前 项和为 ， ，对任意的正整数 ，点 ， 均
在函数 图像上．
（1）证明：数列 是等比数列；
（2）问 中是否存在不同的三项能构成等差数列？说明理由．
【解答】解：（1）证明： 数列 的前 项和为 ， ，对任意的正整数 ，
点 ， 均在函数 图像上，
，即 ，变形可得 ，
， ， 数列 是等比数列；
（2） 中不存在不同的三项能构成等差数列，理由如下：
由（1）的结论，得 ，而 ，
数列 是等比数列，其首项为1，公比为2，则 ，
当 时， ，， ．
反证法： ，且从第二项起数列 严格单调递增，
假设存在 ，使得 ， ， 成等差数列，
可得 ，即 ，
两边同除以 ，可得 ，
是偶数， 是奇数，
， 假设不成立，
中不存在不同的三项能构成等差数列．
7．（2023•龙华区校级模拟）已知数列 的各项均为正数且均不相等，记 为 的前 项和，从下面
①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．
①数列 是等比数列：
② ；
③ 是等比数列．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
【解答】证明：若选条件①②，设数列 的公比为 ，
因为数列 是等比数列，
所以 ，
即 ，
解得 （舍去）或 ，
故 ；若选条件①③，由 ，可得数列 的公比为2，
则 ，
故数列 是等比数列；
若选条件②③，
设数列 的公比为 ， 且 ，
则 ，
时， ，
所以 ，
又 ，
所以 ，
所以 ， ，
所以 ，
当 时，上式恒成立，
故 为等比数列．
8．（2023•广西模拟）已知数列 为等比数列，其前 项和为 ，且 ， ．
（1）求 的通项公式；
（2）求使 成立的正整数 的最大值．
【解答】解：（1）由题意得：等比数列 的公比 ，又 ，所以 ，解得 ，
所以 ；
（2） ，
令 ，解得 ，
所以使得 成立的正整数 的最大值为3．
9．（2022•鼓楼区校级模拟）在① ，② 这两个条件中任选一个补充在下面问题
中，并解答下列题目．
设首项为2的数列 的前 项和为 ，前 项积为 ，且_____．
（1）求数列 的通项公式；
（2）在数列 中是否存在连续三项构成等比数列，若存在，请举例说明，若不存在，请说明理由．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【解答】解：（1）若选① ，
则 ， ，
， ， ， ，
， ，
，
若选② ，则 时， ， ，
由①可得 ．
（2）若数列 中存在连续三项构成等比数列，
则 ，
， 不存在，
数列 中不存在连续三项构成等比数列．
1．已知 ， 都是定义在 上的函数， ， ，且 且
， ，对于有穷数列 ，任取正整数 ，则前 项和大于
的概率是
A． B． C． D．
【解答】解：
即 单调递减，
又 ，故
所以由 ，得
是首项为 ，公比为 的等比数列，其前 项和所以
故选： ．
2．已知数列 满足 ，且 ，则 的值是
A． B． C．5 D．
【解答】解：
数列 是以3为公比的等比数列，
故选： ．
3．已知数列 的奇数项是首项为1的等差数列，偶数项是首项为2的等比数列．数列 前 项和为 ，
且满足 ， ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）若 ，求正整数 的值；
（3）是否存在正整数 ，使得 恰好为数列 中的一项？若存在，求出所有满足条件的 值，若不
存在，说明理由．
【解答】解：（1）设等差数列的公差为 ，等比数列的公比为 ，
则 ， ， ， ， ．，
，即 ，
又 ．
．
解得： ， ．
对于 ，有 ．
故 ；
（2）若 ，则由 ，得
，解得： ，则 ；
若 ，则由 ，
此时左边为偶数，右边为奇数，不成立．
故满足条件的正数为2；
（3）对于 ，有
．
．
假设存在正整数 ，使得 恰好为数列 中的一项，
又由（1）知，数列中的每一项都为正数，故可设 ，
则 ，变形得到①．
， ， ，
．
又 ，故 可能取1，2，3．
当 时， ， ，
①不成立；
当 时， ，即 ．
若 ， ，
令 ，
则
．
因此， ，
故只有 ，此时 ， ．
当 时， ．
， ．
综上，存在正整数 ，使得 恰好为数列 中的第三项，
存在正整数 ，使得 恰好为数列 中的第二项．
