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导数的概念及其意义、导数的运算
7-1
1.了解导数的概念、掌握基本初等函数的导数.
2.通过函数图象，理解导数的几何意义.
3.能够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数(形如f(ax＋b))
的导数．
7-1 导数的概念及其意义、导数的运算..........................................................................................................1
一、主干知识.....................................................................................................................................................1
考点1：导数的概念................................................................................................................................2
考点2：导数的几何意义.......................................................................................................................2
考点3：基本初等函数的导数公式.....................................................................................................2
【常用结论总结】....................................................................................................................................3
二、分类题型.....................................................................................................................................................3
题型一 导数的运算.................................................................................................................................4
题型二 导数的几何意义........................................................................................................................4
命题点1 求切线方程....................................................................................................................4
命题点2 求参数的值(范围)......................................................................................................5
题型三 两曲线的公切线........................................................................................................................5
三、分层训练：课堂知识巩固.....................................................................................................................6一、主干知识
考点1：导数的概念
1、导数的定义：如果函数f（x）在（a，b）中每一点处都可导，则称f（x）在（a，b）上可导，则可建立
f（x）的导函数，简称导数，记为f′（x）； 如果f（x）在（a，b）内可导，且在区间端点a处的右导数
和端点b处的左导数都存在，则称f（x）在闭区间[a，b]上可导，f′（x）为区间[a，b]上的导函数，简称
导数．
(1)函数y＝f(x)在x＝x 处的导数记作f′(x)或 .f′(x)＝lim ＝lim .
0 0 0
(2)函数y＝f(x)的导函数：f′(x)＝lim .
考点2：导数的几何意义
函数f（x）在x＝x
0
处的导数就是切线的斜率k．例如：函数f（x）在x
0
处的导数的几何意义：k切线 ＝f′
（x ）＝ ．
0
考点3：基本初等函数的导数公式
1、基本函数的导函数
①C′＝0（C为常数） ②（xn）′＝nxn﹣1 （n R） ③（sinx）′＝cosx
④（cosx）′＝﹣sinx ⑤（ex）′＝ex⑥（ax）∈′＝（ax）*lna（a＞0且a≠1）
⑦[log x）]′＝ *（log e）＝ （a＞0且a≠1）⑧[lnx]′＝ ．
a a
2、和差积商的导数
①[f（x）+g（x）]′＝f′（x）+g′（x） ②[f（x）﹣g（x）]′＝f′（x）﹣g′（x）
③[f（x）g（x）]′＝f′（x）g（x）+f（x）g′（x）
④[ ]′＝ ．
3、导数的运算法则若f′(x)，g′(x)存在，则有[f(x)±g(x)]′＝ f ′ ( x )± g ′ ( x ) ；[f(x)g(x)]′＝ f ′ ( x ) g ( x ) ＋ f ( x ) g ′ ( x ) ；
′＝(g(x)≠0)；[cf(x)]′＝ cf ′ ( x ) ．
4、复合函数的定义及其导数
复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′＝y′·u′，即y对x的导数等于y
x u x
对u的导数与u对x的导数的乘积．
【常用结论总结】
1．区分在点处的切线与过点处的切线
(1)在点处的切线，该点一定是切点，切线有且仅有一条．
(2)过点处的切线，该点不一定是切点，切线至少有一条．二、分类题型
题型一 导数的运算
【例题精析1】 （2023·上海·高二专题练习）求下列函数的导数：
(1) ；(2) ；(3) ；
(4) ；(5) ；(6) ．
【解答】（1）因为函数 可以看做函数 和 的复合函数，
根据复合函数求导公式可得，
；
（2）因为函数 可以看做函数 和 的复合函数，
根据复合函数求导公式可得，
；（3）因为函数 可以看做函数 和 的复合函数，
根据复合函数求导公式可得， ，
又因为函数 可以看做函数 和 的复合函数，
根据复合函数求导公式可得，
所以
；
（4）函数 可化为
因为函数 可以看做函数 和 的复合函数，
根据复合函数求导公式可得， ，
所以
；
（5）因为函数 可以看做函数 和 的复合函数，
根据复合函数求导公式可得， ，又因为函数 可以看做函数 和 的复合函数，
根据复合函数求导公式可得，
所以
；
（6）函数 可化为 ，
因为函数 可以看做函数 和 的复合函数，
根据复合函数求导公式可得， ，
所以
.
【例题精析2】 （全国·高考真题）设 ，求 ．【解答】函数 可以看作函数 和 的复合函数，根据复合函数求导法则有
， ，
函数 ，则有 .
【例题精析3】 （2023·全国·高三专题练习）求函数 的导数
【解答】函数 可以看成 和 的复合函数，
因此 ，
函数 ，则有 .
(1)求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求
导．
(2)抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解．
(3)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元．
【对点精练1】 （2023·全国·高二专题练习）求下列函数的导数：
(1) ；(2) ；(3) ；
(4) ；(5) ；(6) ．
【解答】（1）函数 可以看作函数 和 的复合函数，∴ ．
（2）函数 可以看作函数 和 的复合函数，
∴ .
（3）函数 可以看作函数 和 的复合函数，
∴ ．
（4）函数 可以看作函数 和 的复合函数，
∴ ．
（5）函数 可以看作函数 和 的复合函数，
∴ ．
（6）函数 可以看作函数 和 的复合函数，
∴ ．
【对点精练2】 （2023·全国·高三专题练习）求函数 的导函数.
【解答】 ， 可以看成函数 与 的复合函数，
因此
【对点精练3】 （2023·全国·高三专题练习）求函数 的导函数
【解答】函数 可以看成 与 的复合函数，因此 ，由 ，
则 。
【对点精练4】 （2022·全国·高二专题练习）函数 的导函数是 ，则
______________.
【解答】解：因为 ，
由于 且 ，解得： 且 ，
即 的定义域为： ，
，
即： .
故答案为： ．
题型二 导数的几何意义
命题点1 求切线方程
【例题精析4】 （2023·湖南长沙·长沙市实验中学校考三模）函数 在 处的切线方程为________．
【解答】因为 ，则 ，
又 ，则 ，
所以函数 在 处的切线方程为 ，
即 .
故答案为：
【例题精析5】 （2023春·陕西西安·高二校考期末）若函数 为定义在 上的奇函数，则
曲线 在点 处的切线方程为________．
【解答】因为函数 为定义在 上的奇函数，
所以 ，即 ，
此时 ， ，
所以 ，即函数 为奇函数，符合题意，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
即曲线 在点 处的切线斜率为 ，
所以曲线 在点 处的切线方程为 ，即 .故答案为： .
【例题精析6】 （2023·北京·高三专题练习）过坐标原点作曲线 的切线，则切线方程为（ ）A． B． C． D．
【解答】由函数 ，可得 ，
设切点坐标为 ，可得切线方程为 ，
把原点 代入方程，可得 ，即 ，
解得 ，所以切线方程为 ，即 .故选：A.
【例题精析7】 （2023·全国·模拟预测）已知函数 ，其导函数为 ，则曲线
过点 的切线方程为______．
【解答】设切点为 ，由 ，得 ，
∴ ，得 ，∴ ， ，
∴切点 为 ， ，
∴曲线 在点M处的切线方程为 ①，
又∵该切线过点 ，∴ ，解得 或 ．
将 代入①得切线方程为 ；
将 代入①得切线方程为 ，即 ．
∴曲线 过点 的切线方程为 或 ．
故答案为： 或
【例题精析8】 （2023春·天津滨海新·高二校考期中）过点 与曲线 相切的切线方程为
___________．【解答】设切点为 ，则 ，
得 ，则切点为 ，
切线方程为 ，即 ．
故答案为： .
【对点精练5】 （2023·安徽·合肥一中校联考模拟预测）曲线 在点 处的切线方程为___________
【解答】由 ，所以 ，
所以 ，所以曲线 在点 处的切线斜率为2，
所以所求切线方程为 ，即 .故答案为： .
【对点精练6】 （2023·广东梅州·大埔县虎山中学校考模拟预测）已知函数 为定义在R上的偶函数，且
当 时， ，则函数 在 处的切线斜率为___________.
【解答】 ， ， .
函数 为定义在R上的偶函数，
函数 在 处的切线斜率与函数 在 处的切线斜率互为相反数， .
故答案为：
【对点精练7】 （2023·广东东莞·校联考模拟预测）函数 在点 处的切线方程为________.
【解答】 ， ，则 ，因此，函数 在点 处的切线方程为 即 .
故答案为： （写成 亦可）.
【对点精练8】 （2023·全国·高三专题练习）过点 与曲线 相切的直线方程为
______．
【解答】设切点坐标为 ， ， .
则切线方程为 ，因为 在切线上，
所以 ，即
又 ，所以 ，
令 ， ，当 时， ，
所以 在 上单调递增，
所以方程 只有唯一解为 .
即切点坐标为 ，故所求切线方程为 ，即 .
故答案为：
【对点精练9】 （2023春·福建泉州·高二福建省永春第一中学校考阶段练习）写出曲线 过点
的一条切线方程__________．
【解答】解：因为点 在曲线 上，所以曲线 在点 处的切线方程符合题意．
因为 ，所以 ，
所以曲线 在点 处的切线方程为 ，即 ．因为当 或 时， ；当 时， ，
所以函数 在 处取得极大值 ，又极大值恰好等于点 的纵坐标，所以直线 也符合
题意．
故答案为： 或 （写出其中的一个答案即可）
【对点精练10】 （2023·河南洛阳·模拟预测）已知函数 ，过点 作曲线 的切线 ，
则 的方程为___________.
【解答】解：由题意可设切点坐标为 ，因为 ，所以 ，所以切线 的
斜率 ，
则 的方程为 ，又点 在切线上，所以
解得 ，所以切线方程为： ，即 .
故答案为： .
命题点2 求参数的值(范围)
【例题精析9】 （2023春·江苏南京·高二校考期末）已知函数 的图象在点 处的切
线斜率为1，则 （ ）
A． B．1 C． D．2
【解答】因为 ，所以 ，解得 .故选：D
【例题精析10】 （2023·河南·洛宁县第一高级中学校联考模拟预测）已知函数 的图象在点
处的切线斜率为2，则 （ ）
A． B．1 C． D．2【解答】由函数 ，可得 ，
因为函数 的图象在点 处的切线斜率为 ，
可得 ，解得 .
故选：B.
(1)处理与切线有关的参数问题，关键是根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程：
①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上．
(2)注意区分“在点P处的切线”与“过点P处的切线”．
【对点精练11】 （2023·四川成都·四川省成都市玉林中学校考模拟预测）若曲线 的一条切线为
，则实数 的值为（ ）
A． B． C． D．
【解答】因为 ，所以 ，
设曲线 与直线 的切点为 ，
由导数的几何意义可得 ，解得： ，则 ，
又因为 又在 上，
所以 ，则
故选：A.
【对点精练12】 （2023·全国·高二专题练习）已知函数 的图象在点 处的切线与直线
互相垂直，则实数 ________．【解答】由题意得： ，
则在点 处的切线斜率 ，
又因为在点 处的切线与直线 互相垂直，
且直线 的斜率为 ，
所以 ，解得： ，
故答案为： .
【对点精练13】 （2023·安徽滁州·安徽省定远中学校考一模）已知 ， 为正实数，函数 在
处的切线斜率为 ，则 的最小值为 ______ ．
【解答】 函数 ，
所以
因为函数 的图象在 处的切线斜率为 ，
所以 ，
因为 ， 为正实数，
所以 ，
当且仅当 ，即 时等号成立，
所以 的最小值为 ．故答案为： ．题型三 两曲线的公切线
【例题精析11】 （2023·河南·襄城高中校联考三模）已知函数 的图像关于原点对称，则与曲
线 和 均相切的直线l有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【解答】函数 的图像关于原点对称，则有 ，
即 ，解得 ，所以 ，
由 ，所以 在点 处的切线方程为 ，整理得
．
设 ，直线l与 的图像相切于点 ，因为 ，
所以切线方程为 ，整理得 ，则 （*），
整理得 ，
当 时， ，方程有两个非零实数根，
也满足方程，故 有3个解，
所以方程组（*）有3组解，故满足题中条件的直线l有3条．
故选：C
【例题精析12】 （2023·河北沧州·校考模拟预测）已知直线 与曲线 和曲线 均相切，则实数 的解的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．无数
【解答】根据题意可知，直线 与曲线 和曲线 都相切，
所以对于曲线 ，则 ，所以 ，
所以切点 ，
对于曲线 ，则 ，所以 ，
切点 ，易知A,B不重合，
因为公切线过 两点，所以 ，
进而可得 ，
令 ，则 ，
令 ，则
所以 在 单调递增，
因为 ，
所以存在 使得 ，即 ，
所以当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增， ，
故 .
又因为 ，所以 ，
当 时， ，
因为 ，
所以在 内存在 ，使得 ，
当 时， ，
因为 ， ，
所以在 内存在 ，使得 ，
综上所述，存在两条斜率分别为 ， 的直线与曲线 和曲线 都相切，
故选：C.
【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查导数几何意义，考查利用导数解决函数零点问题，
解题的关键是求出两切点的坐标后，将问题转化为方程 解的个数问题，然后构造函数，
利用导数和零点存在性定理解决，考查数学转化思想和计算能力，属于难题.
【例题精析13】 （2023·湖南郴州·安仁县第一中学校联考模拟预测）若存在直线与曲线
都相切，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解答】设该直线与 相切于点 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
所以该切线方程为 ，即 .
设该直线与 相切于点 ，因为 ，所以 ，所以 ，
所以该切线方程为 ，即 .
所以 ，
所以 ，
令 ，则 ，
所以当 时， ，当 时， ，
所以 在 和 上单调递减；在 和 上单调递增.
又 -1，所以 ，
所以 ，解得 ，
所以 的取值范围为 .故选：D.
公切线问题，应根据两个函数在切点处的斜率相等，且切点既在切线上又在曲线上，列出有
关切点横坐标的方程组，通过解方程组求解．或者分别求出两函数的切线，利用两切线重合
列方程组求解．
【对点精练14】 （2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考模拟预测）已知函数 ， ，
若直线 为 和 的公切线，则b等于（ ）A． B． C． D．
【解答】设直线 与 相切于点 ，
与 相切于点 ，
由 ，所以 ，
由 ，
则 ，
即点 ，代入直线 中有：
， ①
由 ，
所以 ，
由 ，
，
即点 ，代入直线 中有：
， ②
联立①②解得： ，
所以 ，
故选：B.
【对点精练15】 （2023·山东烟台·统考三模）若曲线 与曲线 有两条公切线，则 的值为
________．
【解答】令 ， ，则 ， ，设 ，则曲线 在 处切线为 ，
设 ，则曲线 在 处切线为 ，
由题意 ，消去 得 ，
由题意，方程 有两个不同的实数根，
令 ，则 ，
当 时， 单调递增；
当 时， 单调递减；
当 时， 单调递增，
故当 时， 取极大值 ；当 时， 取极小值 ，
又当 时 ，根据以上信息作出 的大致图象，
由图可知当 ，即 时，直线 与 的图象有两个交点，从而方程 有两
个不同的实数根，
所以，曲线 与曲线 有两条公切线时， 的值为 ．
故答案为： ．
【对点精练16】 （2023·福建厦门·统考模拟预测）已知函数 ，若曲线
与曲线 存在公切线，则实数 的最大值为__________．【解答】 ，
假设两曲线在同一点 处相切，
则 ，可得 ，即 ，
因为函数 单调递增，且 时 ，
所以 ，则 ，此时两曲线在 处相切，
根据曲线的变化趋势，若 继续增大，则两曲线相交于两点，不存在公切线，
所以 的最大值为 .
故答案为： .
【对点精练17】 （2023·福建南平·统考模拟预测）已知曲线 和曲线 有唯一公共点，且这两条曲
线在该公共点处有相同的切线l，则l的方程为________．
【解答】设曲线 和曲线 在公共点 处的切线相同，
则 ，
由题意知 ，
即 ，解得 ，
故切点为 ，切线斜率为 ，
所以切线方程为 ，即 ，
故答案为：三、分层训练：课堂知识巩固
1．（2017•上海）在数列 中， ， ，则
A．等于 B．等于0 C．等于 D．不存在
【解答】解：数列 中， ， ，
则 ．
故选： ．
2．（2022•甲卷）当 时，函数 取得最大值 ，则 （2）
A． B． C． D．1
【解答】解：由题意 （1） ，则 ，
则 ，
当 时函数取得最值，可得 也是函数的一个极值点，
（1） ，即 ．
，
易得函数在 上单调递增，在 上单调递减，故 处，函数取得极大值，也是最大值，
则 （2） ．
故选： ．
3．（2020•全国）设函数 ，若 ，则
A．3 B． C． D．1
【解答】解： ，
，又 ，
， ，
故选： ．
二．多选题（共1小题）
4．（2022•新高考Ⅰ）已知函数 及其导函数 的定义域均为 ，记 ．若 ，
均为偶函数，则
A． B． C． （4） D． （2）
【解答】解： 为偶函数， 可得 ， 关于 对称，
令 ，可得 ，即 （4），故 正确；
为偶函数， ， 关于 对称，故 不正确；
关于 对称， 是函数 的一个极值点，
函数 在 ， 处的导数为0，即 ，
又 的图象关于 对称， ， 函数 在 ， 的导数为0，
是函数 的极值点，又 的图象关于 对称， ， 关于 的对称点为 ， ，由 是函数 的极值点可得 是函数 的一个极值点， ，
进而可得 ，故 是函数 的极值点，又 的图象关于 对称，
， 关于 的对称点为 ， ， ，故 正确；
图象位置不确定，可上下移动，即每一个自变量对应的函数值不是确定值，故 错误．
解法二：构造函数法，
令 ，则 ，则 ，
，
满足题设条件，可得只有选项 正确，
故选： ．
三．填空题（共6小题）
5．（2022•上海）已知函数 为定义域为 的奇函数，其图像关于 对称，且当 ， 时，
，若将方程 的正实数根从小到大依次记为 ， ， ， ， ，则
2 ．
【解答】解： 函数 为定义域为 的奇函数，其图像关于 对称，且当 ， 时，
，
是周期为4的周期函数，图像如图：将方程 的正实数根从小到大依次记为 ， ， ， ， ，
则 的几何意义是两条渐近线之间的距离2，
．
故答案为：2．
6．（2019•上海）计算 2 ．
【解答】解： ．
故答案为：2．
7．（2020•新课标Ⅲ）设函数 ，若 （1） ，则 1 ．
【解答】解： ，
， （1） ，
，则 ，
故答案为：1．
8．（2019•全国）若函数 ， ，则 3 ．
【解答】解：由 ，得 ，
， ，
．
故答案为：3．
9．（2018•天津）已知函数 ， 为 的导函数，则 （1）的值为 ．
【解答】解：函数 ，则 ；
（1） ．
故答案为： ．
10．（2016•天津）已知函数 ， 为 的导函数，则 的值为 3 ．
【解答】解： ，
，
．
故答案为：3．
四．解答题（共1小题）
11．（2018•江苏）记 ， 分别为函数 ， 的导函数．若存在 ，满足
且 ，则称 为函数 与 的一个“ 点”．
（1）证明：函数 与 不存在“ 点”；
（2）若函数 与 存在“ 点”，求实数 的值；
（3）已知函数 ， ．对任意 ，判断是否存在 ，使函数 与 在区
间 内存在“ 点”，并说明理由．
【解答】解：（1）证明： ， ，
则由定义得 ，得方程无解，则 与 不存在“ 点”；
（2） ， ， ，由 得 ，得 ，
，得 ；
（3） ， ， ，
由 ，假设 ，得 ，得 ，
由 ，得 ，得 ，
令 ， ，
设 ， ，
则 ， （1） ，得 （1） ，
又 的图象在 上不间断，
则 在 上有零点，
则 在 上有零点，
则存在 ，使 与 在区间 内存在“ ”点．
1．（2015•莆田一模）常用以下方法求函数 的导数：先两边同取以 为底的对数
， 为 自 然 对 数 的 底 数 ） 得 ， 再 两 边 同 时 求 导 ， 得，即 ．运用此方法可以求函数
的导函数．据此可以判断下列各函数值中最小的是
A． B． C． D．
【解答】解：
，
令 ，解得： ，令 ，解得： ，
在 递减，在 ， 递增，
最小，
故选： ．
2．（2014•鼓楼区校级模拟）下列求导运算正确的是
A． B．
C． D．
【解答】解： ． ， 错误．
． ， 错误．
． ， 错误．
． ，正确．
故选： ．
3．（2015•莆田校级模拟）定义：如果函数 在 ， 上存在 ， 满足， ，则称函数 是 ， 上的“双中值函数”．已知函数
是 ， 上的“双中值函数”，则实数 的取值范围是
A． B． C． ， D． ，
【解答】解：由题意可知， ，
在区间 ， 存在 ， ，
满足 ，
，
，
方程 在区间 有两个不相等的解．
令 ，
则，
解得； ．
实数 的取值范围是 ，
故选： ．
4．（2023•漳州模拟）函数 的导函数为 ，则
A．0 B．1 C． D．【解答】解： 的导函数为 ，
则 ，
故 ．
故选： ．
二．多选题（共1小题）
5．（2023•鼓楼区校级模拟）定义在 上的函数 、 ，其导函数分别为 、 ，若
， ， ， ，则
A． 是奇函数
B． 关于 对称
C． 周期为4
D． （1） （3） （5）
【解答】解：对于 ，由题意， 为偶函数， 为奇函数， 正确；
对于 ， 为奇函数，显然 为奇函数，
所以 ，即 ，所以 关于 对称，
为偶函数，显然 为偶函数，
所以 ， 为奇函数，
因为 ，
所以 ，即 ，所以 关于 对称， 正确；
对于 ，因为 为奇函数， 关于 对称，
所以 ，即 ， 错误；
对于 ，由于 （1） ， （3） ，
所以 （1） （3） （5）
， 正确．
故选： ．
三．填空题（共4小题）
6．（2014•福建模拟）设 是函数 的导函数，且 ．现给出以下四个命题：
①若 是奇函数，则 必是偶函数；
②若 是偶函数，则 必是奇函数；
③若 是周期函数，则 必是周期函数；
④若 是单调函数，则 必是单调函数．
其中正确的命题是 ① ．（写出所有正确命题的序号）
【解答】解：①当 是奇函数时，则 ，
即 ，
即 ， 数是偶函数． ①准确．
②当 是偶函数， 不是奇函数， ②错误；
③若 是周期函数，则 不是周期函数， ③错误；④若 ，则 ，满足 是单调增函数，但 ，不单调， ④错误．
故答案为：①
7．（2023•思明区校级模拟）写出一个同时具有下列性质①②的函数 ．
① ；
② ．
【解答】解：构造函数 ，
对于①： ，
故函数 满足性质①，
对于②： 恒成立，
故函数 满足性质②．
故答案为： ．
8 ． （ 2023• 鲤 城 区 校 级 模 拟 ） 已 知 函 数 是 偶 函 数 ， 是 的 导 函 数 ， 且
， 当 时 ， ， 写 出 满 足 条 件 的 一 个 函 数
（答案不唯一） ．
【解答】解： 是偶函数，
，
．
又 当 时， ，令 ，
当 时，易知 单调递增；
令 ，
在 时，易知 单调递增，且 ，
即 ，使得 ，
在 上单调递减，在 ， 上单调递增，
又 ，
即 ，使得 ，
故 在 和 上单调递增， 上单调递减，
当 时， 恒成立，故 单调递增；
综上， 在 和 上单调递增，在 上单调递减，
而 ，故 ，即 ，
不妨令 ，则 ．
故答案为： （答案不唯一）．
9．（2022•鼓楼区校级模拟）已知函数 ，则函数 ．
【解答】解： ，
， ，
， ，．
故答案为： ．
1．（2019•濮阳一模）已知 ，若对任意两个不等的正实数 ， ，都有
恒成立，则 的取值范围是
A． ， B． C． D． ，
【解答】解：对任意两个不等的正实数 ， ，都有 恒成立，假设 ，
，即 对于任意 成立，
令 ， 在 为增函数，
在 上恒成立，
，则
故选： ．
2．（2020•南充模拟）设 ，函数 的导函数是 ，且 是奇函数．若曲线
的一条切线的斜率是 ，则切点的横坐标为
A． B． C． D．
【解答】解：对 求导得又 是奇函数，故
解得 ，
故有 ，
设切点为 ， ，
则 ，
得 或 （舍去），
得 ．
故选： ．
二．填空题（共1小题）
3 ． （ 2018• 天 心 区 校 级 一 模 ） 已 知
， 且 满 足
的整数 共有 个， 的最大值为 ，且 ，
则实数 的取值范围为 ．
【解答】解： 函数 ，
，
即函数 是偶函数；
若 ，则 ①，或 ②；
由①得 ，
即 ，解得 或 ；
由②得 ，
即 ，解得 ；
综上 或 ；
又 （1）
当 时，也满足要求，
的值有3个，即 ；
又 ，
；
的最大值为 ，
可得 恒成立，其中 ，
设直线 与曲线 相切于点 ，
，
， ， ，
解得 ，
由于 的最大值为 ，其中 ，故答案为： ．
