文档文本内容
培优点06 函数中的构造问题
目录
01 重点解读...........................................................................................................................................2
02 思维升华...........................................................................................................................................3
03 典型例题...........................................................................................................................................4
题型一：利用
与
构造函数...............................................................................................4
题型二：利用
与
构造函数...................................................................................................6
题型三：利用
与
构造函数..................................................................................................8
题型四：利用
与
，
构造函数.............................................................................11
题型五：利用
与
构造函数............................................................................................15
题型六：利用
与
构造函数..............................................................................................19
题型七：求不出原函数......................................................................................................................22
题型八：求出原函数..........................................................................................................................24
题型九：其它复杂类型......................................................................................................................27
题型十：抽象函数模型......................................................................................................................30
04 课时精练.........................................................................................................................................33
函数构造问题是高考数学中的高频考点，常以客观题形式呈现。这类题目往往围绕已知的等式或不等
式展开，关键在于精准捕捉其结构特征，并以此为依据构造新函数。
在解决相关问题时，构造新函数发挥着重要作用。例如在比较大小的问题中，通过构造合适函数，利
用函数的单调性等性质，能更直观地比较不同数值的大小关系；对于解不等式问题，构造新函数后，借助
函数的零点、单调区间等知识，可将复杂的不等式问题转化为对函数性质的分析；在恒成立问题里，构造
新函数后，通过求函数的最值等操作，确定参数的取值范围，从而判断不等式是否恒成立。因此，掌握函
数构造的方法和技巧，对于应对高考中的这类热点问题至关重要，能有效提升解题效率和准确性。
1、对于
，构造
，
2、对于
，构造
3、对于
，构造
，
4、对于
，构造
5、对于
，构造
，
6、对于
，构造
7、对于
，构造
，
8、对于
，构造
9、对于
，构造
，
10、对于
，构造
11、对于
，构造
，
12、对于
，构造
13、对于
，构造
14、对于
，构造
15、
；
；
；
16、
；
．
题型一：利用
与
构造函数
【例1】设函数
、
是闭区间
上的可导函数．若当
，有
．则一定有
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】令
，
，
则
，
因为当
，有
，所以
，
所以
在
上单调递增，
所以
（
），即
，
所以
，
，故D 正确，C 错误；
由于不知道
、
的值，故无法确定A、B 的正误.
故选：D
【变式1-1】（2025·湖北·模拟预测）已知定义域为实数集
的函数
，导数均存在，且记为
，满足
，
对
恒成立，则下列结论一定成立的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
，
令
，则
，
故
在
单调递增，
又
，所以
，
即
，
所以
，A 选项正确，
另外，
，由于
与0 的大小关系不确定，
故C，D 无法判断.
故选：A.
【变式1-2】设
、
分别是定义在
上的奇函数和偶函数，当
时，
．
且
．则不等式
的解集是
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】令
，
因为当
时，
，即
故
在
上单调递增，
又
，
分别是定义
上的奇函数和偶函数，
所以
，
为奇函数，关于原点对称，所以
在
上单调递增．
，
，
所以当
或
时
，即 不等式
的解集为
.
故选：D．
【变式1-3】设
分别是定义在
上的奇函数和偶函数，当
时，
且
，则不等式
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】令
，又
分别是定义在
上的奇函数和偶函数，
所以
，即
为奇函数，
当
，有
，所以
在
上单调递减，
由奇函数的性质，
在
上单调递减，且
，
由
，则
，即
，
综上，
上
，
上
，
所以不等式
的解集是
.
故选：A
题型二：利用
与
构造函数
【例2】
是定义在
上的偶函数，
为其导函数且
，且
时，
，则不
等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
是定义在
上的偶函数，
当
时，令
，则
，所以
在
上单调递减，
当
时，
，即
，
当
时，
，即
，
即当
时，
的解集为
，
因为函数
是定义在
上的偶函数，由其对称性可知：
当
时，
的解集为
，
所以不等式
的解集为
.
故选：C.
【变式2-1】已知函数
的定义域为
，
，其导函数
满足
，则不
等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】根据题意可令
，
所以
在
上单调递增，则原不等式等价于
，
由
，解之得
．
故选：B．
【变式2-2】已知函数
是定义域为
的奇函数，
是
的导函数，
，当
时，
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】设函数
，定义域为
，则
，
因为当
时，
，所以当
时，
，
∴
在
上单调递增，
∵函数
是定义在
上的奇函数，
，
∴
，
∴函数
是定义域为
的偶函数，
∴
的单调递减区间为
，
∵
，∴
，
，
当
时，
等价为
，即
，解得
，
当
时，
等价为
，即
，解得
，
当
时，
不符合题意，
综上不等式
的解集是
，
故选：D.
【变式2-3】（2025·贵州毕节·二模）已知函数
是定义域为
的奇函数，
是
的导函数，
，当
时，
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】令
，则
，
由题意知当
时，
，故
在
上单调递增，
因为函数
是定义域为
的奇函数，
所以
，
所以
，
所以
是定义域为
的偶函数，
所以
在
上单调递减，
又因为
，所以
，
所以
，
所以当
时，
，则
；
当
时，
，则
；
当
时，
，则
；
当
时，
，则
.
则不等式
的解集为
.
故选：D.
题型三：利用
与
构造函数
【例3】已知函数
的定义域为
，
，若对任意
，都有
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】令
，则
，
因为
，
所以
，
所以
，即
在
上单调递增，
又
，所以
，
故当
时，
，即
，
整理得
，两边同除以
，即可得
，
所以当且仅当
时，
，
所以
的解集为
.
故选：B.
【变式3-1】已知函数
，
，
是其导函数，若
恒成立，且
，
则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】令
，则
，所以
在
上单调递增．
又不等式
，等价于
，
即
，所以
，所以不等式
的解集为
．
故选：A
【变式3-2】已知定义域为
的函数
满足
，且
，则不等式
的解
集是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】令
，则
，
所以
在
上单调递减，
因为
，
所以不等式
可变为
，即
，
所以
，即
，
所以不等式
的解集为
.
故选：D.
【变式3-3】已知函数
在
上可导，且
，其导函数
满足
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】令
，则
，所以
在
上单调递增．
又不等式
，等价于
，
即
，
所以
，所以
，解得
．
故选：B.
【变式3-4】定义在
上的函数
的导函数为
，若对任意实数
，有
，且
为奇函数，则不等式
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】设
，则
，
因为对任意实数
，都有
，
所以
，所以
为定义在
上的减函数，
因为
为奇函数，所以
，则
，
所以
，
则不等式
转化为
，即
，
所以
，故不等式
的解集是
．
故选：C.
题型四：利用
与
，
构造函数
【例4】（2025·贵州遵义·模拟预测）已知函数
的定义域为R，其导函数为
，若
，且当
时，
，则
的解集
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由已知可推得，
.
令
，则
，
所以
，
所以，
为偶函数.
又
，
因为当
时，
，
所以，
，所以
在
上单调递增.
又
为偶函数，所以
在
上单调递减.
由
可得，
.
因为
，
所以，
.
因为
在
上单调递减，
为偶函数，
所以有
，
平方整理可得，
，
解得
.
故选：C.
【变式4-1】已知函数
，又当
时，
，则关于x 的不等式
的解集为（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由
，
，
设
所以
，即
为
上的偶函数
当
时，
，
因为
，所以
则
在区间
上单调递增
所以
即
即
等价于
，
即
解得
．
故选：A.
【变式4-2】（2025·江西·模拟预测）定义在区间
上的可导函数
关于
轴对称，当
时，
恒成立，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为
，化简得
，
构造函数
，
即当
时，
单调递增，
所以由
，
则
，
即
.因为
为偶函数且在
上单调递增，
所以
，解得
.
故选：C.
【变式4-3】已知函数
及其导函数
的定义域均为
，且
为偶函数，
，
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】令
，则
，
因为
，则
，且
，
可知
，且仅当
时
，则
在
上单调递增，
又因为
为偶函数，
，
可得
令
，可得
，
注意到
，
不等式
，等价于
，
可得
，解得
，
所以不等式
的解集为
.
故选：D.
【变式4-4】已知函数
是奇函数，对于任意的
满足
（其中
是函数
的导函数），则下列不等式成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】令函数
，由函数
是奇函数，
得
，函数
是偶函数，
求导得
，由任意
，
，
得任意
，
，函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
对于A，由
，得
，化简得
，A 错误；
对于B，由
，得
，化简得
，B 错误；
对于C，由
，得
，化简得
，C 正确；
对于D，由
，得
，化简得
，D 错误.
故选：C
题型五：利用
与
构造函数
【例5】定义在
上的函数
的导函数为
，都有
，下列说法正
确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为
，所以
，
.
由
，得
，
则
，即
，
设
，则
，
可得
，则
在定义域
上单调递减，
对于A，可得
，则
，
得到
，即
，故A 错误，
对于B，可得
，则
，
得到
，即
，故B 错误，
对于C，可得
，则
，
而由两角和的正弦公式得
，
得到
，故C 正确，
对于D，可得
，则
，
而由两角和的正弦公式得
，
得到
，故D 错误.
故选：C
【变式5-1】定义在
上的函数
，
是它的导函数，且恒有
成立．则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】当
，
则不等式
等价为
，
即
，
设
，
，
则
，
即函数
在
上单调递增，
则
，
，
，
，
即
，
，
，
，
则
，故A 正确；
，得不出
，故B 错误．
，故C 错误．
，故D 错误．
故选：A．
【变式5-2】（2025·高三·天津·周测）已知可导函数
是定义在
上的奇函数．当
时，
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】当
时，
，则
则函数
在
上单调递增，又可导函数
是定义在
上的奇函数
则
是
上的偶函数，且在
单调递减，
由
，可得
，则
，
则
时，不等式
可化为
又由函数
在
上单调递增，且
，
，
则有
，解之得
故选：D
【变式5-3】定义在
上的函数
，
是
的导函数，且
恒成立，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为
时，
，
所以
可化为
，
设
，
，
则
，
所以函数
在
上的单调递减，
因为
，所以
，
所以
，即
，
对于A：因为
，A 选项
不一定成立；
对于B：因为
，B 选项
不一定成立；
对于C：
成立；
对于D：
，D 选项不成立；
故选：C.
【变式5-4】（2025·高三·福建南平·期中）定义在
上的函数
，
是
的导函数，且
成立，
，
，
，则
，
，的大小关系为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为
时，
，
所以
可化为
，
设
，
，
则
，
所以函数
在
上的单调递减，
因为
，所以
，
所以
，即
，
所以
.
故选：B.
题型六：利用
与
构造函数
【例6】已知
在
上是奇函数，且
为
的导函数，对任意
，均有
成立，
若
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
．
令
，则
，
所以
，则
在
上是减函数．
由
，且
在
上是奇函数，得
，则
，
又
，
所以
，即不等式的解集为
．
故选：D
【变式6-1】（2025·山东潍坊·三模）已知函数
的导函数为
，且
，当
时，
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】不等式
等价于
，即
，
构造函数
，所以
，
因为
时，
，所以
对
恒成立，
所以
在
单调递减，
又因为
，
所以不等式
等价于
，所以
，
即
的解集为
.
故选：A.
【变式6-2】（2025·四川德阳·三模）已知函数
及其导函数
的定义域均为
，且
，
，则不等式
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】构造函数
，则
；
因为
，
所以当
时，
，即
，此时
在
上单调递增；
当
时，
，即
，此时
在
上单调递减；
又
，所以
，即
；
所以函数
图象上的点
关于
的对称点
也在函数图象上，
即函数
图象关于直线
对称，
不等式
变形为
，即
；
可得
，
又
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以
，解得
.
故选：C
【变式6-3】已知
是定义在区间
上的函数，
是
的导函数，且
，
，则不等式
的解集是 ．
【答案】
.
【解析】分析：构造函数
，利用已知条件判断出
的单调性，结合
列出不等
式后求解．
设
，则
，
∵
且
，∴
，
即函数
在
上是增函数，
，
不等式
等价于
，
即
，又
，∴
，
∴
，解得
，由定义域知
，
，
故原不等式的解集是
．
故答案为(0,1)．
题型七：求不出原函数
【例7】函数
满足：
，
，则当
时，
（ ）
A．有极大值，无极小值
B．有极小值，无极大值
C．既有极大值，又有极小值
D．既无极大值，也无极小值
【答案】D
【解析】因为
，所以
，
令
，则
，且
，
所以
，
令
，则
，
令
，解得：
，
当
时，
，则
单调递增，
当
时，
，则
单调递减，
所以当
时，
取得最大值
，
则
，故
在
上恒成立，
所以
在
上单调递减，
则当
时，
既无极大值，也无极小值.
故选：D
【变式7-1】定义在
上的函数
满足
，且
，则
（ ）
A．有极大值，无极小值
B．有极小值，无极大值
C．既有极大值又有极小值
D．既无极大值也无极小值
【答案】D
【解析】因为
，且
，
所以
，①
令
，则
，
又
，记
，
所以
.
当
时，
，
递减；当
时，
，
递增.
结合①当
时，
，所以
的最小值为0，即
，
因为
，则
，（当且仅当
时，取等号），所以既没有最大值，也没有最小值.
故选：D.
【变式7-2】函数
满足：
，
．则
时，
A．有极大值，无极小值
B．有极小值，无极大值
C．既有极大值，又有极小值
D．既无极大值，也无极小值
【答案】D
【解析】因为
，所以
,
令
，则
，
所以
，
令
，则
，
则当
时，
，当
时，
即函数
在
为增函数，在
为减函数，
所以
，
即
，即函数
在
为减函数，
即
时，
既无极大值，也无极小值，
故选D.
【变式7-3】设函数
的导数为
，且
，
，
，则当
时，
（ ）
A．有极大值，无极小值
B．无极大值，有极小值
C．既有极大值又有极小值
D．既无极大值又无极小值
【答案】B
【解析】由题设
，所以
，
，所以存
在
使得
，又
，所以
在
上单调递增.
所以当
时，
，
单调递减，当
时，
，
单调递增.
因此，当
时，
取极小值，但无极大值，故选B.
题型八：求出原函数
【例8】设函数
是定义在
上的连续函数，且在
处存在导数，若函数
及其导函数
满足
，则函数
A．既有极大值又有极小值
B．有极大值，无极小值
C．既无极大值也无极小值
D．有极小值，无极大值
【答案】C
【解析】因为
，
，
所以
，所以
，
因为函数
是连续函数，所以由
，可得
，
代入
，可得
，
所以
，
当
时，
，
令
，所以
，
当
时，
，
单调递增；当
时，
，
单调递减.
所以当
时，
取得极小值即最小值
，
所以
，所以函数
在
上单调递增，
所以
既没有极大值，也没有极小值，
故选C.
【变式8-1】设函数
是定义在
上的连续函数，且在
处存在导数，若函数
及其导函数
满足
，则函数
A．既有极大值又有极小值
B．有极大值 ，无极小值
C．有极小值，无极大值
D．既无极大值也无极小值
【答案】C
【解析】由题意可知，
，即
，
所以
，
令
，则
，
因为函数
在
处存在导数，所以
为定值，
，
，
所以
，
令
，当
时，
，
构建函数
，则有
，
所以函数
在
上单调递增，
当
，
，令
，解得
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
因为
，
，
所以当
时函数
必有一解，
令这一解为
，
，则当
时
，
当
时
，
综上所述，
在
上单调递减，在
上单调递增，在
上单调递增，
所以
有极小值，无极大值．
【变式8-2】设
是函数
定义在
上的导函数，满足
，则下列不等式一
定成立的是
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
是函数
定义在（0，+∞）上的导函数，满足
，
可得
，
令
，则
，
∴函数
在（0，+∞）上单调递增．
∴
，
∴
．
故选B．
【变式8-3】已知
是函数
的导函数，对于任意实数x 都有
，
，则
不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】令
①,则
，
∵
，
∴
，
即
，
∴
（c 为常数）②，
由①②知，
，
∴
，又
，
∴
，即
，
，
不等式
即
，
∴
或
，
即不等式
的解集为
，
故选：A.
题型九：其它复杂类型
【例9】已知函数
及其导函数
的定义域均为
，且
，则不等式
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】记
，则
，
因为
，
所以当
时，
，则
，
在
上单调递增；
当
时，
，则
，
在
上单调递减.
又
，即
，
所以
，
因为
，
所以
，解得
.
故选：B
【变式9-1】（2025·四川德阳·三模）已知函数
及其导函数
在定义域均为
且
是偶函数，其函数图象为不间断曲线且
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为
，则
，
又因为
，即
，
且
，
当
时，则
，可得
；
当
时，则
，可得
；
可知
在
内单调递增，在
内单调递减，且
函数图象为不间断曲线，
若
，即
，
可得
，则
，解得
，
所以不等式
的解集为
.
故选：C.
【变式9-2】（2025·高三·重庆·期中）设
是定义在
上的连续函数
的导函数，
( 为自然对数的底数)，且
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】设
，则
，
∵
，∴
，
，
函数
在
上单调递增，又
，∴
，
由
，可得
，即
，
又函数
在
上单调递增，所以
，即不等式的解集为
.
故选：A．
【变式9-3】已知函数
的定义域为
，导函数为
，不等式
恒
成立，且
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由
，得
，
令
，则
，
，
所以
，则
，
令
，则
，
所以
在
上是单调递增．
不等式
等价于
，即
，
而
，所求不等式即
．
由于
在
上是单调递增函数，所以
，故不等式的解集为
.
故选：C．
【变式9-4】定义在
上的偶函数
的导函数为
，当
时，
，且
，
则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】当
时，
，
所以当
时，
，
令
，则当
时，
，
故
在
时，单调递减，
又因为
在
上为偶函数，所以
在
上为奇函数，
故
在
上单调递减，因为
，所以
，
当
时，
可变形为
，即
，
因为
在
上单调递减，所以
且
，得
；
当
时，
可变形为
，即
，
因为
在
上单调递减，所以
且
，得
；
综上：不等式
的解集为
.
故选：A.
题型十：抽象函数模型
【例10】定义在
上的奇函数
，且对任意实数x 都有
，
．若
，则不等式
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为
是奇函数，可得
是偶函数，
又因为
，所以
，
令
，可得
，所以
在
上单调递增，
因为
且
是奇函数，
可得
，则
，
所以
的周期为的周期函数，
因为
，所以
，
则不等式
，即为
，即
，
又因为
在
上单调递增，所以
，解得
，
所以不等式
的解集为
．
故选：C．
【变式10-1】（2025·高三·山东烟台·期末）已知
为定义在
上的奇函数，其导函数为
，且
为奇函数，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为函数
为定义在
上的奇函数，即
，
等式
两边同时求导得
，即
，
即
①，所以函数
为偶函数，
因为
为奇函数，则
②，
联立①②可得
，
当
时，
，仅当
时取等号，所以函数
在
上为增函数，
由函数
为偶函数，由
可得
，可得
，
即
，整理得
，解得
，
因此不等式
的解集为
.
故选：B.
【变式10-2】（2025·安徽蚌埠·三模）已知函数
及其导函数
的定义域都是
，若函数
是偶
函数，
也是偶函数，且
，则实数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
为偶函数，则
，等式两边求导可得
，①
因为函数
为偶函数，则
，②
联立①②可得
，
令
，则
，且
不恒为零，
所以，函数
在
上为减函数，即函数
在
上为减函数，
故当
时，
，所以，函数
在
上为减函数，
由
可得
，
所以，
，整理可得
，解得
或
.
故选：D.
【变式10-3】（2025·山东聊城·二模）函数
定义域为
，且满足
，若
是
偶函数，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为
，且
是偶函数，
所以
，
所以
，
单调递减，
则不等式
化简为
，
所以
，即
，
所以
或
.
故选：B.
1．已知函数
是定义在
的奇函数，当
时，
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由题意，令
，则
，
当
时，
，即
，
所以
在
上单调递减；
又
为
上的奇函数，
则
，
所以
为定义在
上的偶函数，
所以
在
上单调递增；
由
，得
，
当
，即
时，不等式可化为
，即
，
由
在
上单调递减，得
，解得
，故
；
当
，即
时，不等式可化为
，即
，
由
在
上单调递增，得
，解得
，故
；
综上所述，不等式
的解集为：
．
故选：D．
2．（2025·广东茂名·二模）已知函数
为
上的奇函数，
，当
时，
，不
等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】构造
，则
，
因为当
时，
，则此时
，
单调递增，
则
的正负符号由
决定，
又因为
，则
，因为
在
上单调递增，
则当
时，
，所以此时
，
当
时，
，所以此时
，
又因为
为
上的奇函数，则当
时，
，则
，
当
时，
，则
，
且
，
则若
，则
或
即
或
，解得
或
，
综上，
的解集为
.
故选：D.
3．（2025·四川德阳·模拟预测）设定义域为
的函数
的导函数为
.已知
，
，若
在
上恒成立，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】令
，由
，令
，则
.
则
，故
，
由
，令
，则
，故
，
故
，可知
为偶函数；
令
，则
，
当
时，由
，则
，即
在
上严格递增，
又
，
则当
时，
，故
；
则当
时，
，则
；
则由偶函数
对称性可知，当
时，
.
由
，则
.
不等式
可化为
，其中
且
.
当
时，
，则
，
故不等式
无解；
当
时，
，可得
，即
，
由
在
上严格递增，可知
，解得
，
所以
；
综上所述，不等式的解集为
.
故选：D.
4．已知定义在
上的函数
满足
，
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】设
，
则
，
因为
，所以
，又
，所以
恒成立，
所以
在定义域
上单调递增．
故原不等式可转化为
，又
，所以
，
所以
，所以
，故不等式
的解集为
．
故选：B
5．已知定义在
上的函数
，其导函数为
，满足
，
，当
时，
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】令
，则
，
当
时，
，
所以当
时，
，
即函数
在
上单调递减，
又
，则
，
，
由
，
得
，
即
，
则
，即
是奇函数，所以
是偶函数，
则当
时，函数
在
上单调递增，
因为
，所以
，
，
又
，所以
即
，则
，
所以不等式
的解集为
.
故选：B．
6．（2025·吉林长春·一模）已知定义在
上的函数
是
的导函数，满足
，且
，则不等式
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】设
，则
，
因为
，
，所以
，可得
在
上单调递减，
不等式
，即
，即
，所以
，
因为
在
上单调递减，所以
，解得：
，
所以不等式的解集为：
，
故选：D
7．（2025·高三·山东烟台·期中）已知定义在R 上的函数
满足
，当
时，
，且
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为定义在R 上的函数
满足
，
所以
关于
对称，
当
时，
，所以
，
所以
在
上单调递减，因为
关于
对称，
所以
在
上单调递增，
由
，则
，
可得：
，
即
或
，
所以不等式
的解集为
.
故选：D.
8．（2025·高三·福建南平·期中）定义在
上的函数
满足
，且
，则不等式
解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】不等式
等价于
，可得
，
即可得
；
令函数
，可得
，
又
可得
恒成立，
因此
在
上单调递减，又
，
所以
等价于
，即
；
解得
，
所以不等式
解集为
.
故选：C
9．定义在
上的函数
的导函数为
，若
，且
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】依题意，令
，求导得
，则
在
上单调递减，
由
，得
，不等式
，
则
或
，即
或
，解得
或
，
所以不等式
的解集为
.
故选：B
10．已知定义在
上的函数
的导函数为
，若
，且
，
，则
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】构造函数
，
，
，即函数
在
上单调递减，
等价于
，解得
.
即
的解集为
.
故选：D
11．设
在
上存在导数
，满足
，且有
的解集为（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】令
，
则
，
所以函数
在
上单调递增，又由题
，
所以
，即
，即
的解集为
，
故选：D.
12．（2025·吉林·二模）已知函数
的定义域为
，其导函数
满足
，则不
等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由题意知，当
时，
，
令
，则
，
所以
在
上单调递减，
不等式
等价于
，
即为
，所以
，解得
.
故选：A.
13．（2025·高三·辽宁·期中）已知定义在
上的函数
及其导函数
，满足
，且
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】令
，则
，
因为
，所以
，
所以
在
上单调递增，
，即
，
又
，则
，
所以
，即
，
所以
，解得
.
故选：
.
14．已知函数
的定义域为
，
，其导函数
满足
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】根据题意可令
，
所以
在
上单调递减，
则原不等式等价于
，
由
，
解之得
.
故选：B
15．（2025·宁夏银川·三模）已知定义在R 上的奇函数
的图象是一条连续不断的曲线，
是
的导函数，当
时，
，且
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】令
，则
，
因为当
时，
，所以
在
上单调递增，
又
为奇函数，且图象连续不断，所以
为偶函数，
由
，得
，解得
或
故选：D.
16．（2025·高三·山东菏泽·期中）已知函数
是函数
的导函数，
，对任意实数
都有
，设
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由
，得
，
因为
，则
，可知
在
上单调递减，且
，
由不等式
可得
，解得
，
所以不等式
的解集为
.
故选：B
17．（2025·江西南昌·三模）已知函数
的定义域为
，且
，对任意
，
，
则不等式
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】设
，则
，
对任意
，
，
恒成立，即
在
上单调递减，
由
可得
，
，解得
，即解集为
.
故选：A
18．已知定义域为
的偶函数
，其导函数为
，对任意正实数
满足
，若
，则不等式
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为定义域为
的偶函数
，所以
，
又
定义域为
，所以
，
所以
为偶函数，
对任意正实数
满足
，所以
，
因为
，所以
，
所以函数
在
上单调递增，则
在
上单调递减，
不等式
，等价于
，
等价于
，解得
或
，
所以不等式
的解集是
.
故选：D.
19．已知函数
的定义域为
，对任意
，有
，则不等式
的
解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】令
，则
，
所以
在
上单调递增，
不等式
，即
，即
，
所以
，解得
，所以不等式
的解集是
.
故选：C
20．已知可导函数
的导函数为
，若对任意的
，都有
，且函数
为奇函数，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
对任意
都有
，即
，
令
，则
，
即
在
上单调递增，
又因为
为奇函数，
所以
，则
，
而不等式
等价于
，
即
，又因为
在
上单调递增，所以
.
故选：
21．（2025·山东聊城·三模）设函数
的定义域为
，导数为
，若当
时，
，且
对于任意的实数
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为
，
设
，
则
，
即
为
上的偶函数，
又当
时，
，
则
，所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
因为
，
所以
，
即
，所以
，即
，
解得
.
故选：B
22．已知定义在
上的函数
满足
，且当
时，有
，则不等式
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】根据题意，设
，则
，则有
，
，
即有
，故函数
的图象关于
对称，则有
，
当
时，
，
，又由当
时，
，即当
时，
，即函数
在区间
为增函数，由
可得
，即
，
，
函数
的图象关于
对称，
函数
在区间
为增函数，且
在
上恒成立，由
可得
，即
，此时
不存在.
综上：不等式解集为
.
故选：A
23．设定义在
上的函数
的导函数为
，若
，
，则不等式
（其中为自然对数的底数）的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】根据条件构造函数
，分析
的单调性并计算
的值，将
转化为
，由此求解出不等式的解集.设
，所以
，
因为
，所以
，
所以
在
上单调递减，且
，
又因为
等价于
，
所以解集为
，
故选：C.
24．已知函数
及其导函数
的定义域均为
,
，
，则不
等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】已知
，
令
，则
，
所以
在
上单调递减，
又因为
，所以
，
所以不等式
等价于
，则
，
所以不等式
的解集为
故选：A.
25．（2025·安徽蚌埠·一模）已知函数
的定义域是
，若对于任意的
都有
，则当
时，不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】令
，则
在
上是减函数.
，
所以
得
，又
，所以
.
故选：A.
26．（2025·山东淄博·二模）已知函数
是定义在
上的奇函数.当
时，
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】令
，
，
当
时，
，
，即函数
单调递增．
又
，
时，
，
是定义在
上的奇函数，
是定义在
上的偶函数．
不等式
，
即
，即
，
，
①，
又
，故
②，
由①②得不等式的解集是
．
故选：C
27．（2025·云南昆明·模拟预测）函数
的定义域为
，其导函数为
，若
，且当
时，
，则不等式
的解集为
．
【答案】
【解析】令
，则
，
又
，所以得
，
即
，所以
为
上的偶函数，
又
时，
，所以
在
上单调递增，
又
为
上的偶函数，所以
在
上单调递减，
由
，得
，
所以
，
即
，所以得
，解得：
，
所以不等式
的解集为
．
故答案为：
.
28．（2025·安徽合肥·模拟预测）函数
是定义在
上的可导函数，
为其导函数，若
且
，则不等式
的解集为 .
【答案】
【解析】构造函数
，
在
上，
等价于
，
,
,
得
，
在
上单增，在
上单减，
在
上，
恒成立，
又
，则
又在
上，
等价于
，即
，则
不等式
的解集为
故答案为：
29．（2025·福建莆田·一模）已知
的导函数为
，若
且当
时
，则不等式
的解集是 ．
【答案】
【解析】令
，由
得：
，
即
，故
为偶函数，
又当
时，
，即
，
所以
在
上为增函数，
不等式
化为
，
即
，
所以有
，
解得：
．
故答案为：
.
30．（2025·全国·一模）定义在R 上的函数
的导函数为
，若对任意实数x，有
，且
为奇函数，则不等式
的解集是 ．
【答案】
【解析】设
则
又因为对任意实数x，有
所以
所以
为减函数
因为定义在R 上的函数
为奇函数，由奇函数定义可知
=0，即
不等式
所以
，同时除以
得
，即
因为
为减函数
所以
，即不等式
的解集为
31．（2025·高三·辽宁·期末）已知定义在
上的偶函数
，当
时，
.且
时，
恒成立，且
，则
时，不等式
的解集为
.
【答案】
【解析】已知当
时，
，
将其变形为
，
进一步整理得
.
令
，对
求导，
.
当
时，
，
，
可得
，所以
在
上单调递减.
因为
是定义在
上的偶函数，即
.
那么
，所以
是奇函数.
所以
在
上也是单调递减.
已知
，则
.
当
时，
，则
，
∴不等式
可化为
，即
.
因为
在
上单调递减，则
.
当
时，
；
，得
，则
，
∴不等式
可化为
，即
，则
.
综上，不等式
的解集为
.
故答案为：
.
32．（2025·安徽黄山·一模）已知函数
及其导函数
的定义域均为
，
是偶函
数，函数
的图象是一条连续不断的曲线且
，则不等式
的解
集为 ．
【答案】
【解析】因为
，则
，
又因为
，即
，且
，
当
时，则
，可得
；
当
时，则
，可得
；
可知
在
内单调递增，在
内单调递减，且
函数图象为不间断曲线，
若
，即
，
可得
，
又
为偶函数，则
，即
，解得
，
所以不等式
的解集为
.
故答案为：
.
33．已知定义在
上的函数
满足
为
的导函数，当
时，
，则不等式
的解集为 ．
【答案】
【解析】令
，所以
，
因为
，所以
，
化简得
，所以
是
上的奇函数；
易知
，
因为当
时，
，
所以当
时，
，从而
在
上单调递增，
又
是
上的奇函数，所以
在
上单调递增；
考虑到
，由
，得
，
即
，
又
在
上单调递增，得
，解得
，
所以不等式
的解集为
.
故答案为：
34．已知函数
的定义域为
，
，对任意
，
，则
的解集为 .
【答案】
【解析】由
，
可得：
，
构造函数
，则
，
所以
在
上单调递减，又
，
所以
的解集为：
，
故答案为：
