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培优专题02 数列及其应用 4 大重难题型
题型01 数列的通项公式问题
抓关键
· 破难点
💎题型 01 数列的通项公式问题
命题方向一 定义法求数列的通项公式
命题方向二 退位法求数列的通项公式
命题方向三 累加法求数列的通项公式
命题方向四 累乘法求数列的通项公式
命题方向五 构造求数列的通项公式
💎题型 02 数列的前 n 项和问题
命题方向一 分组求和法求数列的前项和
命题方向二 裂项相消法求数列的前项和
命题方向三 错位相减法求数列的前项和
💎题型 03 数列与不等式的综合应用
命题方向一 数列与不等式的证明
命题方向二 数列与不等式的恒成立或能成立问题
💎题型 04 数列与其他模块知识的创新交汇问题
命题方向一 数列与集合的融合创新
命题方向二 数列与复数的交汇问题
命题方向三 数列与三角的交汇问题
命题方向四 数列与概率统计交汇问题
命题方向五 数列与函数、导数的交汇问题
一、退位相减法：
◎适用于递推关系中含有
与
的形式
（1）退位：仿照
写出
.
（2）相减求
：将
与
的表达式代入
中化简计算，得到
.
（3）验证：验证
时的情况，若符合，则通项公式成立；若不符合，则要将通项公式写成分段形式.
二、构造法
◎适用于形如
的递推公式求通项.
①若
为常函数：可构造
为待定系数）.
②若
为一次函数，可构造
为待定系数）.
③若
为①②外的其他函数类型，可将等式两边同时除以
，转化为
，令
，
，原式转化为
，结合累加法求出
，进而求得
.
三、不动点法
◎适用于形如
为参数，
的递推公式求通项.
①求不动点：
，
，
令
，即
，令此关于的一元二次方程的两个根分别为
.
②构造特殊数列：若
，则有
为参数），构造等差数列；若
，则有
为参数），构造等比数列.
③求通项：利用公式法求新构造数列的通项公式，进而得到
.
刷经典
· 通方法
🎯命题方向一 定义法求数列的通项公式
1．（2021·新高考Ⅱ卷）记
是公差不为0 的等差数列
的前n 项和，若
，
.
（1）求数列
的通项公式
；
（2）求使
成立的n 的最小值.
2．（2023·新课标Ⅰ卷）设等差数列
的公差为
，且
，令
，记
，
分别为数列
，
的前
项和.
（1）若
，
，求
的通项公式；
（2）若
为等差数列，且
，求d.
3．（2026·安徽合肥模拟预测）已知
是等差数列，
是等比数列，且
，
，
．
（1）求
和
的通项公式；
（2）求数列
的前
项和．
🎯命题方向二 退位法求数列的通项公式
4．（2026·甘肃陇南·二模）记数列
的前n 项和为
，已知
．
（1）证明：
为等比数列；
（2）设
，求数列
的前n 项和．
5．（2026·河北保定模拟·预测）记数列
的前
项和为
，已知
.
（1）证明：数列
为等差数列；
（2）求数列
的前
项和
.
🎯命题方向三 累加法求数列的通项公式
6.（2026·山东滨州检测训练）在数列
中，
.
（1）求
的通项公式；
（2）若
，求数列
的前
项和
的最大值.
7．（2026·四川德阳模拟·预测）已知数列
和首项为2 的等比数列
的各项均为正数，若
，
，且
.
（1）求
和
的通项公式和
的前n 项和
；
（2）若数列
的通项公式满足
，设
为
的前n 项和，求证:
.
🎯命题方向四 累乘法求数列的通项公式
8．（2022·新高考Ⅱ卷）记
为数列
的前n 项和，已知
，
是公差为
的等差数列.
（1）求
的通项公式；
（2）证明：
.
9．（2026·江西福州阶段检测）已知数列
的首项
，且
.
（1）求数列
的通项公式：
（2）若数列
的前
项和为
，证明：
.
10．（2026·河北沧州质量检测）在数列
中，
是公差为1 的等差数列.
（1）求
的通项公式；
（2）设
为数列
的前
项和，若对任意
，总有
，求
的取值范围.
🎯命题方向五 构造求数列的通项公式
11．（2026·石家庄第一中学·一模）已知数列
满足
，且
．
（1）若
，证明：数列
是等比数列；
（2）求数列
的前
项和
．
12．（2026·河北秦皇岛阶段检测）在数列
中，已知
，且满足
．
（1）求
的通项公式；
（2）求数列
的前
项和
．
13.（2025·高考综合改革适应性·演练）已知数列
中，
（1）证明：数列
为等比数列；
（2）求
的通项公式；
（3）令
，证明:
．
题型02 数列的前n 项和问题
抓关键
· 破难点
◎高分技法一、分组求和法
①适用范围：某些数列的求和是将数列转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和，注
意在含有字母的数列中对字母的讨论．
②常见类型：
分组转化法：若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列：
奇偶并项求和：通项公式为an＝的数列，其中数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列．
◎高分技法二、裂项相消法
①识别：观察待求和式子是否满足分式型、指数型、根式型等结构.
②裂项：利用裂项技巧裂项，检验裂项后的式子是否需要“配凑”系数才能保证裂项前、后的式子等价.
③相消：明确正、负相消时，是从哪一项开始消去的，消去多少项，留下了多少项，一般前面留下了几项，
后面相应留下几项。
-----------------------考场必备的5 大裂项技巧--------------------------
◎高分技法三、错位相减法
①识别：数列各项由公差为
的等差数列
和公比为
的等比数列
对应项之积构成.
②展开：
---------------①
③乘公比：
--------②
④错位相减：
得
.
⑤求和：
.
刷经典
· 通方法
🎯命题方向一 分组求和法求数列的前项和
1.（2021·新高考Ⅰ卷）已知数列
满足
，
（1）记
，写出
，
，并求数列
的通项公式；
（2）求
的前20 项和.
2．（2026·湖南邵阳第二次联考）已知数列
是等差数列，且
，
，数列
满足
，
.
（1）求
的通项公式，并证明数列
是等比数列；
（2）若数列
满足
，求
的前
项和.
3.（2026·内蒙古包头市·一模）数列
的前n 项和
，数列
满足
，
．
（1）求数列
，
的通项公式；
（2）将数列
和数列
各取前100 项，按从小到大排成一个新的数列
，其中重复的数只取
一次，求数列
的前100 项和．
🎯命题方向二 裂项相消法求数列的前
项和
4. （2026·黑龙江哈尔滨第三中学·一模）已知数列
的前项和为
.
（1）求
的通项公式；
（2）令
，求数列
的前项和
.
5 .（2026·广东深圳市第一次调研）已知数列
是等比数列，
，
，数列
满足：
.
（1）求
，
的通项公式；
（2）求数列
的前项和
.
6.（2026·河北唐县第一中学·一模） 已知数列
的前n 项和为
，且
，
.
（1）求
；
（2）若
，求数列
的前n 项和.
7.（2026·辽宁抚顺·一模）已知数列
满足
，且对任意的正整数，当
时，都有
．
（1）证明：数列
是等差数列；
（2）设
，求数列
的前项和
．
8 .（2026·辽宁名校联盟·二模）已知数列
的前n 项和为
，
，且
．
（1）证明：数列
为等差数列；
（2）记
，求数列
的前
项和
．
9.（2026·安徽江南十校检测）已知等差数列
的前项和为
，且
.
（1）求数列
的通项公式；
（2））若
，求数列
的前项和.
10.（2026·山东聊城·一模）已知数列
满足
.
（1）求
的前n 项和
；
（2）记数列
的前n 项和为
，若
．
（i）证明数列
为等差数列，并求出
的通项公式；
（ii）求数列
的前n 项和
．
🎯命题方向三 错位相减法求数列的前项和
11．（2025· 全国高考一卷）已知数列
中，
，
.
（1）证明：数列
为等差数列；
（2）给定正整数m，设函数
，求
.
12．（2026·四川成都石室中学二模））已知正项数列
的前n 项和为
，且
，
．
（1）求数列
的通项公式；
（2）若
，求数列
的前n 项和．
13．（2026·河南九师联盟模拟预测））已知数列
的前n 项和为
，且
，
．
（1）求数列
的通项公式；
（2）数列
满足
，求数列
的前n 项和．
14. （2026·陕西榆林一模）已知数列
的前n 项和
，等比数列
满足
，
．
（1）求
和
的通项公式；
（2）求数列
的前n 项和
．
题型03 数列与不等式的综合应用
抓关键
· 破难点
高考对数列解答题的考查偏重于综合性，其中数列不等式的证明是数列模块中的难点。当数列结构复杂
时，不能直接求和，要对通项进行预放缩后才能利用求和公式，进而证明不等式.因此，放缩的思想就是通过
放缩将不能求和的数列变成可以求和的数列.
一、数列不等式放缩法的类型
序号
放缩法类型
具体操作
①
分式放缩
对于 “分式” 型不等式，将代数式中的分母或分子 “扩大” 或 “缩小”，
放缩成等比数列的形式，再利用等比数列求和公式化简，进而得以证明
②
不等式放缩
利用基本不等式或其他重要不等式对 “和”“积”“倒数和”“平方和” 等放
缩。
③
添项或去项放缩
在不等式的两边同时 “加上” 或 “减去” 某一项实现放缩
④
拆项放缩
对一些比较复杂的代数式 “拆开” 再重新组合，可以消去一些项，从而简化运
算（如裂项相消）
二、数列不等式的6 大放缩实例
①
②
，
③
④
**
错
误
的
表
达
式
**
**
，
刷经典
· 通方法
🎯命题方向一 数列与不等式的证明
1．（2023·新课标Ⅱ卷）已知
为等差数列，
.记
，
分别为数列
，
的前n 项和，若
，
.
（1）求
的通项公式；
（2）证明：当
时，
.
2．（2026·锡林郭勒盟检测）记
为正项数列
的前项和，已知
.
（1）求数列
的通项公式；
（2）若数列
满足
，
，求证：
.
3. （2026·重庆名校联盟第一次·联考）已知数列
的前项和为
，若
，
且
．
（1）证明：
为等差数列，并求
．
（2）若
，数列
的前项和
，求证：
．
4.（2026·湖北武汉3 月·调研）在数列
中，
，
，
，且
是等差数列.
（1）求
；
（2）证明：
🎯命题方向二 数列与不等式的恒成立或能成立问题
5．（2026·贵州黔东南模拟·预测）已知公差不为0 的等差数列
的前n 项和为
，且
，
，
，
成等比数列.
（1）求
的通项公式；
（2）求使
成立的n 的最小值.
6．（2026·湖北孝感·二模）已知数列
的前项和为
，若对任意
，向量
，
，有
．数列
满足
，其前项和为．
（1）求数列
的通项公式；
（2）若
对任意
恒成立，求实数的取值范围．
7. (2026·福建名校联盟·开学考试)记数列
的前n 项和为
，已知
．
（1）求
的通项公式；
（2）设
，记数列
的前n 项和为
，若
，
，求t 的取值范围．
题型04 数列与其他模块知识的创新交汇问题
抓关键
· 破难点
数列是以正整数为自变量的一类特殊函数，因此数列创新问题常与解析几何、函数、概率等模块交汇
考查。与解析几何交汇，能依托数的本质属性与形的几何特征；与函数交汇，能放大数列的函数特征；与
概率交汇，能彰显数列工具的妙用。这些问题以数列为核心，常出现在解答题中，明确问题属于哪个知识
主体、运用相应主体模块是解题关键。
创新交汇1：交汇函数
定位主体：需要分析切线、单调性、极值时，主体为函数，要充分运用导数工具；根据函数图象上的
点列建立坐标之间的递推关系时，主体为数列。
创新交汇2：交汇概率
定位主体：需要求概率值、分布列、期望时，主体为概率；根据实际情境分析出各个情况下概率的递
推关系后，需要求具体期望值时，主体为数列。
刷经典
· 通方法
🎯命题方向一 数列与集合的融合创新
1. （2026·广东东莞3 月质量·检测）已知数列
的前n 项和为
，且
，
.
（1）求数列
的通项公式；
（2）设集合
，
，等差数列
的任一项
，
其中
是
中的最小元素，
，求数列
的前n 项和
.
🎯命题方向二 数列与复数的交汇问题
2．（2026·山东青岛3 月·调研）设
为复数数列，
，
，记
的实部为
，
虚部为
．
（1）求数列
的通项公式；
（2）证明：数列
为等比数列；
（3）求
．
🎯命题方向三 数列与三角的交汇问题
3. （2026·湖北随州·二模）已知数列
和
，
为数列
的前n 项和，
，且
，
．
（1）求
；
（2）求数列
的通项公式；
（3）求证：
．
🎯命题方向四 数列与概率统计交汇问题
4．（2026·广东茂名第一次·综合测试）已知甲乙两个盒子均装有
､
1 个白球和1 个黑球，现进行如下操作：
从这两个盒子中各取1 个球放入对方的盒子中.重复这样的操作，第次操作后甲盒中白球的个数记为
.
（1）求
；
（2 证明：
是等比数列；
（3）求
的数学期望.
🎯命题方向五 数列与函数、导数的交汇问题
5 .（2026·江苏南京师范大学附属中学G4·联考）数列
中，
，
，
.
（1）证明：
是等差数列；
（2）设
，求
.
6．（2026·河南开封高级中学第一次·调研）已知函数
.
（1）若数列
，求数列
的前n 项和
；
（2）已知函数
在
处的切线为直线，直线在y 轴上的截距为
，求数列
的
前n 项和.
7. （2026·江苏南京市六合区名校联盟第一次·调研）设
，
，
为数列
的前项
和，令
，
，
．
（1）若
，求数列
的前项和
；
（2）求证：对
，方程
在
上有且仅有一个根；
（3）求证：对
，由（2）中
构成的数列
满足
．
8．（2026·云南红河州、文山州·模拟预测））已知数列
满足
（
），且
，
函数
．
（1）求函数
的极大值；
（2）若
，
，
，使得
成立，求
的取值范围；
（3）若
，求
的前项和．
