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专题10 磁场
【命题解读】
选择题常考查电流的磁效应、磁感应强度的叠加、安培力的计算、带电粒子在有界磁场中的运动。特别注
重带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的作图训练，培养数形结合能力，运用动态放缩圆、定点旋转圆、平
移圆，圆对称等几何知识解决带电粒子在有界磁场中的临界和多解性问题；
解答题则考查带电粒子在叠加场（组合场）中的运动，考查学生对带电粒子运动的受力和过程分析，搞清
带电粒子是否考虑重力、是电场偏转还是磁偏转，然后选择合适的分段求解。
【命题预测】
2026 年高考中大概率选择题以磁感应强度的叠加、安培力的计算、带电粒子在有界磁场中运动的临界和多
解性问题进行考查。
2026 年高考中解答题大概率以带电粒子在复合场中的运动仍是命题重点，注重配速法解决带电粒子在叠加
场中运动问题。
题型01 磁场及其对电流的作用
1．（2026·广东广州·一模）如图（a），矩形导体框mnkp 被四根等长的绝缘细绳悬挂于水平轴OO′上，其
所在区域存在方向垂直指向OO′的磁场（未画出），与OO′距离相等位置的磁感应强度大小相等且不随时
间变化，其截面图如图（b）所示。开始时导体框静止在水平位置，现给导体框通上沿mnkp 方向的恒定电
流，则（ ）
A．mn 和pk 所受安培力方向相反
B．mn 和pk 所受安培力方向相同
C．绝缘细绳对导体框的拉力增大
D．导体框将绕OO′轴顺时针转动
【答案】C
【详解】AB．对mn 和pk 分别应用左手定则，可得到安培力的方向如下
由图可知，mn 和pk 受到的安培力方向不共线，故AB 错误；
CD．由题意可知两导体所在位置处的磁感应强度大小相等，由对称性，可知导体框整体受到的安培力合
力竖直向下，导体框受到的细绳拉力变大，导体框在水平方向受到的合力为零，没有转动的趋势，故C 正
确，D 错误。
故选C。
2．（2026·江苏·一模）如图所示，用硬质铜丝均匀绕成螺线管并固定于绝缘水平面上，两端吸附有圆柱形
强磁铁（导体）的干电池置于螺线管当中，电流只沿P、Q 间的铜丝流动，则磁铁的吸附方式能使干电池
和磁铁一起向左滑动的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】通电铜丝与电池两端的磁铁有相互作用，一端排斥，另一端吸引，螺线管内的磁场向左，根据同
名磁极相互排斥，异名磁极相互吸引，可知干电池左端磁铁的右端为N 极，右端磁铁的左端为N 极，干电
池和磁铁一起向左滑动。
故选D。
3．（2026·山东济宁·模拟预测）如图所示，一绝缘斜面体放置在水平地面上，其上固定两平行金属导轨，
空间存在垂直于斜面向上的匀强磁场。一导体棒
垂直放在金属导轨上且接触良好，导体棒通有从
到
的电流，此时导体棒可保持静止。若通过导体棒的电流变大，在导体棒和斜面体仍保持静止的过程中，下
列说法正确的是（ ）
A．导体棒所受摩擦力先减小后变大
B．导体棒所受支持力变小
C．地面对斜面体的支持力不变
D．地面对斜面体的摩擦力增大
【答案】D
【详解】A．对导体棒受力分析，如图所示
由于摩擦力的方向不确定，故做如下讨论：
当摩擦力
为0，通过导体棒的电流变大，即
变大，则
方向向下且大小增大，
当摩擦力
向下，
变大，
大小增大，
当摩擦力
向上，
变大，
先减小后反向增加，
综合以上分析，导体棒所受摩擦力不一定先减小后变大，故A 错误；
B．导体棒受力平衡，则有
故导体棒的支持力与安培力无关，保持不变，故B 错误；
C．对斜面体和导体棒整体受力分析，如图所示
根据力的平衡有
当
变大，
减小，
增大，故C 错误，D 正确。
故选D。
4．（2026·山西晋城·一模）材料及粗细完全相同的金属圆环和金属棒ac 按如图所示的方式连接在某直流
电源上，金属圆环半径为r，
。若金属棒ac 所受的安培力大小为F，则上部分金属圆弧abc
所受的安培力大小为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】设单位长度的电阻为
，金属棒
的电流为
，则电阻值为
，
所受的安培力大小
为
圆弧
的长度为
，电阻值为
，流过的电流
金属圆弧
所受的安培力大小为
，可得
故选A。
5．（2026·四川绵阳·二模）2025 年11 月14 日，全球首艘电磁弹射两栖攻击舰“四川舰”正式启航。电磁
弹射简化模型图如图所示，有一质量为
、长度为
的金属棒，垂直放置在足够长的水平固定导轨上，导
轨处在方向竖直向上、磁感应强度大小为
的匀强磁场中。闭合开关
，电源控制回路电流大小恒为
，
金属棒由静止做匀加速运动至达到“弹射”速度
，即完成“弹射”。金属棒始终与导轨接触良好，不计
一切摩擦。求：
(1)金属棒由静止匀加速到“弹射”速度的时间；
(2)金属棒由静止匀加速到“弹射”速度一半的过程中流过金属棒的电荷量。
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设金属棒在水平方向匀加速运动的加速度为
，由静止匀加速到“弹射”速度的时间为，
则
，
解得
（2）设金属棒由静止匀加速到“弹射”速度一半的时间为
，流过金属棒的电荷量为
，则
，
解得
题型02 带电粒子在有界磁场中的运动
6．（2026·云南昆明·模拟预测）如图所示，直角三角形
中
，
，其区域内存在磁感应强
度大小为
、方向垂直纸面向外的匀强磁场，点处的粒子源向磁场区域内各个方向发射速度大小为
的带正电的粒子，粒子的质量为
、带电量为
，不考虑粒子的重力和相互间的作用力，下列说法正确
的是（ ）
A．
边上各处均有粒子射出
B．
边上有粒子射出的区域离
点的最大距离为
C．从
边射出的粒子在磁场中运动的最短时间为
D．垂直于
边发射的粒子在磁场中运动的时间最长
【答案】D
【详解】A．粒子在磁场中由洛伦兹力提供向心力得
解得
，如图甲所示
当粒子轨迹与ab 边相切时，由ac 边出射的粒子距离c 点最远，但fa 段无粒子射出，故A 错误；
B．如图乙所示，粒子从c 点沿cb 方向射出时，粒子由
边上
点射出，由几何关系可知，此时圆心角为
，cd 与ab 垂直，此时d 点距离a 点最远
则ab 边上有粒子射出的区域离a 点的最大距离为
，故B 错误；
C．由于cd 与ab 垂直，轨迹圆的弦长最短，对应的圆心角最小，所用时间最短，则最短时间为
，故C 错误；
D．如图甲所示，当粒子垂直于ab 边发射时，粒子与ab 边相切于e 点，从
边上
点射出时，此时对应
的轨迹最长，圆心角最大，所用时间最长，D 正确。
故选D。
7．（多选）（2026·海南省直辖县级单位·二模）如图所示，水平面内边长为a 的正三角形ABC 区域内存在
垂直纸面向外的匀强磁场，在ABC 区域外存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小均为B。M 为
AB 边上的一个离子源，能够沿垂直于AB 方向向三角形区域内发射速度为v 的带电粒子。已知
，
带电粒子的比荷均为
，不计粒子的重力及粒子间相互作用，则（ ）
A．粒子在磁场中做圆周运动的半径为
B．粒子回到M 点时，粒子在三角形区域内与三角形区域外运动的时间之比可能为3:5
C．粒子回到M 点时，粒子在三角形区域内与三角形区域外运动的时间之比可能为2:3
D．经时间
粒子可能回到M 点
【答案】ABD
【详解】A．由洛伦兹力提供向心力有
解得
，故A 正确；
BC．粒子在磁场中做圆周运动的周期为
粒子在磁场中的运动时间为
若粒子带正电，粒子运动轨迹如图所示
由于粒子在三角形区域内及区域外运动周期相同，则运动时间之比等于转过的圆心角之比，即
若粒子带负电，粒子运动轨迹如图所示
运动时间之比为
，故B 正确，C 错误；
D．正负粒子运动周期均为
若粒子带负电，粒子第一次回到M 点的时间为
，故D 正确。
故选ABD。
8．（2026·湖南邵阳·二模）如图所示为扇形聚焦回旋加速器的部分原理图。将半径为R 的圆形区域分成
个扇形区域，相互间隔的n 个圆心角相同的区域内存在垂直纸面向外，磁感应强度大小为
B 的匀强磁场，另外n 个圆心角相同的区域内没有磁场，其中有磁场区域的圆心角等于无磁场区域圆心角
的一半。一群速度大小不同，质量为m，电荷量为q 的同种带电粒子，依次经过2n 个扇形区域在闭合轨道
上做周期性运动。不考虑粒子之间的相互作用，则下列说法正确的是（ ）
A．粒子在n 个磁场区域运动的时间为
B．粒子在n 个无磁场区域运动的时间为
C．粒子的运动周期与n 无关
D．粒子运动最大半径为
【答案】ABD
【详解】A．粒子在磁场中
由于粒子做周期性运动，根据对称性可将粒子一个周期内在磁场中的运动连成一个完整的圆
所以粒子在n 个磁场中运动的时间为
，故A 正确。
B．由图易知
则
又
，
粒子在无磁场区域运动时间
，故B 正确。
C．粒子运动周期
，与n 有关，故C 错误。
D．当粒子在磁场中运动轨迹与圆形区域相切时，半径最大，由
可得
，故D 正确。
故选ABD。
9．（多选）（2026·吉林长春·一模）在高能粒子研究中，常用环形磁场来约束带电粒子的运动范围，简化
后模型如图所示。内、外同心圆半径分别为R、
的环形区域内（含边界）有垂直纸面向里的匀强磁场，
磁感应强度为B。到圆心的距离为
（
）的P 点有一粒子源，可沿纸面向各个方向发射速率不同、
比荷均为
的带负电粒子，忽略粒子重力、粒子间的相互作用及磁场边界效应，取
，
。则（ ）
A．
时，不能离开磁场外圆边界的粒子的最大速度为
B．
时，不能离开磁场外圆边界的粒子每次经过磁场时间最长为
C．
时，速度为
的粒子全部都能从磁场外圆边界飞出
D．
时，不能离开磁场外圆边界的粒子的最大速度为
【答案】ABD
【详解】A．带负电的粒子做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律有
解得
时，粒子从圆心发射，不能离开磁场外圆边界的粒子的速度达到最大时，粒子运动轨迹与外圆相切，
作出轨迹如图所示
设此时粒子圆周运动的半径为
，根据几何关系有
解得
代入半径公式有
，故A 正确；
B．
时，粒子从圆心发射，作出运动轨迹如图所示
则有
粒子在磁场中运动时间
半径越大，
越大，粒子在磁场中运动时间越长，结合上述可知，最大半径为
解得
则
时，不能离开磁场外圆边界的粒子每次经过磁场时间最长为
，故B 正
确；
C．当速度为
时，粒子在磁场中圆周运动的轨道半径
时，粒子源位于内圆边界上，当速度方向沿OP 进入磁场时，结合前两个选项的分析，此时粒子轨迹
恰好与外圆边界内切，粒子没有从磁场外圆边界飞出，即
时，速度为
的粒子不一定都能从磁场
外圆边界飞出，故C 错误；
D．
时，粒子源位于内圆半径的中点位置，粒子从P 点向各方向射出，当粒子的运动轨迹与外圆相
切时，可画出如下图像
根据正弦定理，有
已知
联立可得
根据余弦定理，有
可解得
当
时，半径
此时可解得
，故D 正确。
故选ABD。
10．（2026·浙江·二模）如图所示，垂直纸面的金属薄板M、N 与荧光屏平行放置，板N 中间有一小孔
O。当频率为
的光照射板M 时有光电子逸出，光电子从板M 逸出后经极板间电压U 加速（板间电场视为
匀强电场），从小孔O 飞出的电子直接进入N 板右侧由螺线管线圈产生的匀强磁场中，小孔O 与荧光屏中
心P 点连线为整个装置的中轴线。已知金属薄板M 的逸出功为
，普朗克常量为h，匀强磁场的磁感应强
度大小为B，电子的电荷量为e，质量为m。不考虑电子重力及电子间的相互作用力，求
(1)螺线管内的磁场方向；
(2)求光电子从O 点射入螺线管时的速度大小范围；
(3)从O 点射出的电子分布在一个顶角
（
已知）很小的圆锥内，调整荧光屏到N 板的距离，就能使速
度大小相同的电子束正好打在荧光屏同一点上，实现磁聚焦。若要实现将最大速度的光电子聚焦在P 点，
求螺线管的最小半径及N 板到荧光屏的最小距离（当
很小时，
，
）。
【答案】(1)水平向右
(2)
(3)
【详解】（1）根据左手定则可知磁场方向水平向右
（2）光电效应方程，逸出光电子的最大初动能
（3）电子进入磁场后，
在平行于磁场和垂直于磁场方向的分量大小分别为
电子在沿磁场方向做匀速直线运动，在垂直于磁场方向的平面内做匀速圆周运动，所以电子的合运动为螺
旋线运动。设电子在垂直于磁场方向的平面内做匀速圆周运动的半径为r，周期为T，则根据牛顿第二定律
有
则螺线管的最小半径
根据匀速圆周运动规律有
电子从开始运动到再次会聚于一点时所用的最小时间为T，电子在一个回旋周期T 内沿水平方向前进的距
离为
N 板到荧光屏的最小距离
11．（2026·河北石家庄·一模）在如图所示的平面直角坐标系
中，第一、四象限区域存在磁感应强度
大小为
、方向垂直于纸面的匀强磁场，第二象限存在磁感应强度大小为
、方向垂直于纸面的圆形有
界匀强磁场（磁场均没有画出）。从
点发射一质量为
、电荷量为
的粒子，粒子依次经过
两点后进入第二象限。粒子经过第二象限圆形有界磁场偏转后恰好回到
点，且回到
点时速度方向与在
点发射时相同。不计粒子重力，已知
，求：
(1)粒子从
点发射时的速度大小；
(2)第二象限圆形磁场区域的最小面积；
(3)粒子从
点第一次运动到
点的时间。
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）设粒子在第一象限运动时，粒子轨迹圆半径
，根据几何关系有
解得
根据
联立解得
（2）由几何关系，从
点进入第二象限时速度垂直
连线，与
轴负方向夹角
，在第二象限轨
迹圆半径为
，则有
解得
可知，粒子回到
点时速度垂直
连线，与
轴负方向的夹角仍为
，故粒子在第二象限中运动时
速度方向改变了
，在有界磁场中轨迹所对的圆心角为
，所以圆形磁场最小半径为
所以最小面积为
联立解得
（3）粒子在第二象限的磁场中运动时间为
粒子在第二象限有界磁场外做匀速直线运动的距离
则粒子在第二象限做匀速直线运动的时间为
粒子相邻两次经过
点的时间为
联立解得
12．（2026·天津河西·一模）中国自主研发的霍尔推进器在推力等级、功率水平、可靠性等方面均达到国
际领先水平，为载人登月、深空探测和大规模卫星星座提供了核心动力支撑。某小组受到启发设计了如图
所示的模型装置来研究电荷运动及作用力。三束比荷为
、速度为
、间距相等的
平行带正电粒子流
、
、在纸面内沿垂直
连线方向、持续均匀射入半径
的圆形匀强磁场区
域，其中
束粒子沿半径方向射入，偏转后三束粒子均汇聚于
点，磁场方向垂直于纸面。粒子流随后进
入右侧间距
、边界为M、N 的区域中，该区域有磁感应强度为
的水平向右的匀强磁场。
最终粒子打在边界
处足够大的荧光屏上，圆形磁场圆心、
点及荧光屏上坐标原点
共线且连线与荧
光屏垂直。粒子重力及粒子间的相互作用可忽略，求：
(1)圆形磁场区域的磁感应强度
的大小及方向；
(2)已知粒子流
、从
点射出圆形磁场时，速度方向与
连线的夹角均为
，则
束粒子在
、
区域的运动时间及轨迹在荧光屏上投影形状的半径；
(3)在M、N 区域中再加上水平向右、电场强度
的匀强电场，并将整个装置安装在一个飞船模型
上，同时把荧光屏变为粒子喷射出口。已知粒子质量
，若每束粒子在单位时间内有
个喷出，求该装置为飞船模型提供的沿
方向的平均推力大小。
【答案】(1)
，垂直纸面向外
(2)
(3)
【详解】（1）粒子在圆形磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力
束粒子沿半径方向射入，偏转后三束粒子均汇聚于
点，根据几何关系可知
可得
方向垂直纸面向外。
（2）
粒子在
点的速度分解为沿磁场方向的速度
，垂直于磁场方向的速度
，则
，
粒子从
点运动到屏上的时间
可得
粒子在垂直磁场方向做匀速圆周运动
可得
（3）粒子在
、
区域运动时，
、粒子从
处喷出时沿
方向的速度均为
，有
根据速度位移关系
粒子从
处喷出时速度为
，有
沿
方向，根据动量定理得
由牛顿第三定律得
13．（2026·江西南昌·一模）如图甲所示，直三棱柱
的底边是等边三角形，
为
的中点，
在三棱柱内（含边界）有一平行
向右的匀强磁场，在
点有一粒子源可沿某方向发射初速度不同的带
电粒子，带电粒子的质量均为
、电荷量均为
。当发射源沿
方向发射粒子时（如图乙），限
定粒子速度的最大值，使得速度最大的粒子恰好能垂直
边离开磁场，其在磁场中运动的时间为，不计
粒子的重力及粒子间的相互作用。
(1)求磁感应强度
的大小；
(2)求
边界有粒子飞出的长度与
的长度之比；
(3)若将发射源发射的方向改为沿
（如图甲），且不再限定粒子速度的最大值，求能从
面射出的
粒子中，所用时间的最小值。
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）粒子垂直
边界飞出时由几何关系可知
，则
得
（2）当轨迹与
相切时，设
的长度为
，则有
可得
（3）设
，速度最大时
，
其中
联立可得
14．（2026·湖北宜昌·二模）如图所示，在第一象限和第四象限中，分别存在垂直于xoy 平面向里和向外
的匀强磁场，磁感应强度大小均为
。x 轴上P、Q 两点的横坐标分别为xP=d、xQ=1.6d。位于坐标
原点的粒子源可在第一象限某范围内连续发射电子，其出射速度大小为v（v0≤v≤2v0），出射方向与y 轴正
方向的夹角为θ（0≤θ≤60°）。所有电子仅在第一象限内偏转一次后，可到达x 轴上的MN 范围内（含端
点）。已知电子质量为m，电荷量为e，不计电子重力、电子间的相互作用和碰撞，sin37°=0.6，
cos37°=0.8。
(1)求MN 的长度；
(2)仅通过第一象限内的磁场偏转后，求能到达Q 点的电子速度大小范围；
(3)若两电子仅通过第一象限内的磁场偏转后，同时到达P、Q 点，以此作为计时起点，求这两个电子第一
次在x 轴上相遇的时刻与位置。
【答案】(1)
(2)1.6v0≤v≤2v0
(3)
，
【详解】（1）电子从原点O 沿与y 正方向成
角射出时，到达x 轴时，设其水平位移大小为s，则
，
解得
当
，
时，s 最小，电子过M 点，则
当
，
时，s 最大，电子过N 点，则
MN 的长度
（2）根据
，得
解得
由于v0≤v≤2v0，0≤θ≤60°，所以1.6v0≤v≤2v0
（3）设电子过P 点后，第m 次到达x 轴时与过Q 点的电子相遇，此时过Q 的电子第n 次到x 轴，由位移
关系得
m、n 取最小自然数得
两个电子第一次在x 轴上相遇的位置
设过P 点的电子从坐标原点射出时，速度方向与y 轴正方向的夹角为θ1。设过Q 点的电子从坐标原点射出
时，速度方向与y 轴正方向的夹角为θ2。电子在磁场中的运动周期
可见所有电子在磁场中运动周期相同，又因为两电子运动时间相同。根据公式
可知，两电子运动轨迹所对应的圆心角相等，即
显然
根据
可知，要想运动时间最短，则
最大，由于0≤θ≤60°，则
两个电子第一次在x 轴上相遇的时刻
题型03 带电粒子在组合场中的运动
15．（2026·江苏·二模）如图甲、乙为两款加速器工作原理的示意图，它们都利用电场加速，最后将高能
粒子引出。图乙中磁感应强度为B，加速电压为U，下列说法正确的是（ ）
A．两装置所接电源都是交流电源，粒子出射速度都与加速电压的大小有关
B．图甲中粒子在筒中匀速运动，且第n 个筒的长度应与n 成线性关系
C．若利用图乙加速比荷为k 的粒子，则D2中第n 个半圆形轨道的半径为
D．用于加速质子的两装置，只要改变输入电压就可用来加速α 粒子
【答案】C
【详解】A．图甲中同一个金属筒所处的电势相同，整个金属筒是一个等势体，内部无电场，故粒子是在
筒缝中间不断加速，而在筒中匀速运动，由
，可得粒子的最大速度除与电压有关外，还与加
速次数有关。图乙中双D 形金属盒与高频交流电源两极相连，在两盒间的狭缝中形成周期性变化的电场，
一个周期加速两次，由
，可得粒子的最大速度
显见带电粒子的最大速度与D 形盒半径有关而与加速电压U 无关，故A 错误；
B．设vn为粒子在第n 个筒内的速度，则筒长为
又因为
可得
即第n 个筒的长度与n 不成线性关系，故B 错误；
C．图乙D2中，粒子过第n 个半圆形轨道前加速了n 次，则有
，
解得第n 个半圆形轨道半径为
，故C 正确；
D．甲、乙装置制成后，甲图中各筒的长度
图乙回旋加速器交流电压的周期
，因质子和α 粒子的比荷不同，改变加速电压不能保证α 粒子一
直加速，因此是不可行的，故D 错误。
故选C。
16．（多选）（2026·四川德阳·二模）如图所示，在水平面上有一质谱仪，由直线加速器和磁场偏转器组
成。偏转器内有方向竖直向上的匀强磁场，偏转器的水平截面是圆心为O、内半径为R、外半径为
的半
圆环。两种同位素粒子（两种粒子电荷量相同、质量不同），从静止经加速电压
加速后，正对偏转器
入口矩形
的中心进入磁场区域，粒子分别打在照相底片
上相距为
的两点。为便于观测，
的
数值大一些为宜。不计粒子重力及粒子间的相互作用，以下措施正确的是（ ）
A．减小磁感应强度B 的大小
B．减小偏转器内半径R
C．增大加速电场的电势差
D．增大加速器与偏转器间的距离
【答案】AC
【详解】A．粒子经电场加速，由动能定理，得
进入磁场后，洛伦兹力提供向心力，得
联立解得轨道半径
两种粒子电荷量相同、质量不同，分别设质量为
、
，且
，粒子偏转半周后打在底片上，两点
间距为两个轨迹直径的差值
代入的表达式整理得
减小磁感应强度
，
与
成反比，
减小，则
增大，故A 正确；
B．
与偏转器内半径
无关，故B 错误；
C．增大加速电压
，
与
成正比，
增大，则
增大，故C 正确；
D．加速器与偏转器的距离不改变粒子轨道半径，不影响
，故D 错误。
故选AC。
17．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图所示，在三维坐标系Oxyz 中，
的空间内充满匀强电场，
场强方向沿y 轴正向；
的空间内充满沿x 轴负方向的匀强磁场，磁感应强度大小为B；一带电粒子在
P 点，其坐标为
，以速度
沿x 轴正向射出，一段时间后粒子恰好通过坐标原点O 进入磁场
区域，设粒子的质量为m、电荷量为
，不计粒子重力，忽略场的边缘效应。求：
(1)匀强电场电场强度E 的大小；
(2)粒子经过坐标原点为计时起点，粒子在磁场中运动的过程中离x 轴的最远距离H 及到达最远点的时间
t。
【答案】(1)
(2)
，
（n=0、1、2、3）
【详解】（1）粒子在匀强电场中做匀变速曲线运动，x 轴正方向有
y 轴正向有
，
由以上公式解得
（2）粒子运动到坐标原点时有
，
粒子在磁场中沿x 轴正方向做匀速直线运动，yoz 平面内做匀速圆周运动，所以有
粒子在磁场中运动过程中离x 轴最远点的距离
， 所以
粒子在磁场中运动的周期
运动时间
n=0、1、2、3……
所以
n=0、1、2、3……
18．（2026·四川成都·二模）某仪器用电场和磁场来控制电子在材料表面上方的运动，如图所示，材料表
面上方矩形区域
充满竖直向下的匀强电场，电场宽为d；矩形区域
充满垂直纸面向里的
匀强磁场，磁感应强度为B，长为5s，宽为s，A 是
的中点；
为电场和磁场的分界线，电子可穿
过
，不考虑边界效应。一个电荷量为e、质量为m 的电子，从P 点开始由静止被电场加速后垂直
进入磁场，最后电子从磁场边界
飞出，不计电子受到的重力。
(1)求电场强度的最大值E；
(2)若要使电子在
间垂直于
飞出（不包含A、
两点），求满足条件的飞出电子中，在磁场内运
动时间的最大值t；
(3)若电场和磁场的分界线
存在薄隔离层，电子每次穿越隔离层的时间极短、运动方向不变，其动能损
失是每次穿越前动能的10%，要使电子从磁场边界
飞出，求电场强度大小的取值范围。
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）如图所示，
电场强度取最大值时，电子在磁场中运动的半径为
根据洛伦兹力提供向心力可得
可得
在电场中，根据动能定理有
可得
（2）设电子在磁场中运动半周的次数为
，轨道半径为，电子在
间垂直于
飞出，有
，
根据几何关系有
，
解得
取正整数，可得
时，在磁场中运动时间最大，解得
（3）电场强度取最大值时，电子经过薄隔离层后的速度等于第一问中的最大速度，有
根据
解得电场强度的最大值为
电场强度取最小值时，设电子第一次经过薄隔离层后的速度为
，再次经过薄隔离层后的速度为
，有
可得
根据
可得
，可得前后两次在磁场中运动的半径之比为
如图所示，根据几何关系有
可得
可得半径
对应的速度为
根据
，
解得
可得电场强度大小的取值范围为
19．（2026·四川遂宁·一模）如图所示，在
平面内有一平行于
轴宽为
的线状电子源，每秒沿
轴正方向均匀发射
个速度相同的电子。电子源中心与半径为
、磁感应强度大小为
、方向垂直纸面向
里的圆形匀强磁场区域圆心
等高。射入圆形磁场区域的电子汇聚到磁场的最低点
后，进入
轴正下方
足够大区域，该区域内分布着磁感应强度大小也为
、方向垂直纸面向外的匀强磁场。在
轴上有一左端
置于原点
，长为
的电子收集板
（收集板的厚度均不计）。打到收集板上的电子被收集板吸
收后流经电流表全部导入大地。已知电子质量为
，电荷量为，忽略电子重力和电子间的相互作用。
(1)求从电子源发射出来的电子的速度大小；
(2)电子源发射足够长时间后，求每秒收集板
上收集到的电子数N；
(3)现撤去
区域磁场，然后在
且
区域加垂直纸面方向的磁场，磁感应强度
随
轴坐标变化
的规律如图乙所示，规定垂直纸面向外为磁场的正方向。电子源正对
点以原初速度射向圆形磁场区域的
电子运动轨迹经过
，其中
且为已知量。求该电子运动轨迹上横坐标为
的点的纵坐标。
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）电子只受到洛伦兹力，根据
本题中的磁聚焦要求电子运动半径等于圆形磁场的半径
联立上式得：
（2）粒子轨迹如图1 由对称性，可设离电子源
中心线上、下距离
的电子经过磁场偏
转后与负
轴夹角为
，由三角函数，得
则
所以，
的范围为
粒子轨迹如图2，计算能打到收集板
的电
子在运动到
点时与负
轴夹的角，设为
，
在下方区域内做匀速圆周运动也为
。当
时，打在
处，由于
，
则该粒子打不到收集板
上。
设打在收集板
最右端的粒子对应的角为
，由几何关系得
即
由对称性，设离电子源中心线上、下距离
的电子经过磁场偏转后与负
轴夹角恰为
。由几何关系得
解得
所以，能到达收集板
的电子发射点与电子源中心线的距离为
每秒收集板收集到的电子数为
（3）正对
点射向圆磁场区域的电子在圆磁场区域内做
圆周运动，运动的轨道半径等于圆形磁场的半
径R，电子从O 点沿
轴负方向射出，速度大小为，运动轨迹如下图。设
轴正向为正，经时间△t，由
动量定理得：
所以
又由
得
设题中乙图图像与
轴围成的面积为
则
在
过程，
解得电子经过点
时沿
轴负方向分速度
由全程洛伦兹力不做功，速率不变，可知电子经过点
时沿
方向分速度
在
过程，，电子沿
轴负方向分速度由0 增大到，沿
方向分速度由减小到0，电子在轴负
方向的位移与
间的相同，之后重复运动。
故该电子轨迹上横坐标为4R 的点的纵坐标为：
20．（2026·四川绵阳·二模）如图所示，在平面直角坐标系
中，
在
轴上，
在
轴上，
是边长为
的正方形；
在
轴上，
平行
轴，
是等腰直角三角形，
；
区域
内有垂直纸面向里的匀强磁场，
区域内有沿
轴正方向的匀强电场（图中未画出）。一质量为
、
电荷量为
的粒子，以大小为
、方向沿
轴正方向的初速度从
点射入磁场，从
点离开磁场进入电场，
从
点离开电场。不计空气阻力及粒子重力。
(1)求匀强磁场的磁感应强度大小
；
(2)求匀强电场的电场强度的大小
；
(3)若
区域内匀强电场方向沿
轴负方向，相同的带电粒子从
点以大小不同的初速度
（
，
可以取不同值）沿
轴正方向射入磁场，求带电粒子经过
轴的位置距坐标原点
的最小距离。
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）粒子在匀强磁场做匀速圆周运动的轨迹如图1 所示
圆心在
点，设半径为
，则
解得
（2）粒子在
点速度垂直
轴，进入电场后做曲线运动，
方向做速度为大小
的匀速直线运动，
轴方
向做初速度为零的匀加速运动，设加速度大小为
，从
到
的运动时间为，则
解得
（3）若入射速度大小变为
，设带电粒子在磁场中运动轨道半径为，则
解得
粒子将沿
轴正方向从
边上
点离开磁场，根据对称性，在
边上
点进入电场，因为电场方向沿
轴负方向，粒子应从
边上某点
点离开电场，设经过
轴上的
点。粒子运动轨迹如图2 所示。
粒子在
点速度垂直电场进入电场后做曲线运动，
方向做速度为大小
的匀速直线运动，
轴方向做
初速度为零的匀加速运动，由（2）问解答可知，粒子在电场中从
到
的运动过程中，沿
方向位移与
沿
方向上的位移相等，设为，运动时间为
，则
解得
设粒子射出电场时速度方向与
轴正方向的夹角为
，则
过
作
轴垂线交
轴于
点，在
中有
设带电粒子经过
轴的位置
点距坐标原点
的距离为
，由几何关系
解得
当
时
有最小值，最小值为
题型04 带电粒子在叠加场中的运动
21．（2026·河南南阳·模拟预测）如图所示，平行金属板M、N 之间的距离为d，其中匀强磁场的磁感应强
度为B，方向垂直于纸面向外，有带电量相同的正、负离子组成的等离子束，以速度v 沿着水平方向由左
端连续射入，电容器的电容为C，当S 闭合且电路达到稳定状态后，平行金属板M、N 之间的内阻为r，
电容器的带电量为Q，则下列说法正确的是（ ）
A．当S 断开时，电容器的充电电荷量Q>CBdv
B．当S 断开时，电容器的充电电荷量Q＝CBdv
C．当S 闭合时，电容器的充电电荷量Q＝CBdv
D．当S 闭合时，电容器的充电电荷量Q>CBdv
【答案】B
【详解】AB。等离子束射入磁场中，受到洛伦兹力，离子将打到平行金属板M、N 上而产生电场，达到
稳定状态后，后来的离子所受的洛伦兹力与电场力平衡，有
得
当S 断开，电路稳定之后，电容器两端电压也为U，所以电容器的充电电荷量为
，故A 错
误，B 正确；
CD．当S 闭合时，电容器两端电压为
所以电容器的充电电荷量为
，故CD 错误。
故选B。
22．（2026·湖北宜昌·二模）磁轴键盘的按键装有磁铁与霍尔元件，通过检测磁场变化来感知按压，这种
设计具有响应快、寿命长等优点。按键结构简化示意图如图，永磁铁（N 极在下）固定在按键上，下方霍
尔元件（载流子为自由电子）长、宽、高分别为l、b、h，元件中通有由前向后的恒定电流I。按键下压到
某一位置时，下列说法正确的是（ ）
A．沿电流方向霍尔元件左表面比右表面电势高
B．仅增大电流I，霍尔电压增大
C．仅增大宽度b，霍尔电压增大
D．仅增大长度l，霍尔电压增大
【答案】B
【详解】A．根据左手定则可知，按下按键后，载流子（自由电子）向传感器左表面聚集，则传感器左表
面的电势比右表面低，故A 错误；
BCD．最终电子在电场力和洛伦兹力的作用下处于平衡
电流的微观表达式
联立解得霍尔电压
，故仅增大电流I，霍尔电压增大，仅增大长度l、仅增大宽度b 对霍尔电压无
影响，故B 正确，C 错误，D 错误。
故选B。
23．（多选）（2026·四川成都·二模）如图甲所示，空间存在相互垂直的匀强电场和匀强磁场，电场方向
竖直向上，磁场方向垂直纸面向里，一带正电小球以4m/s 的速率恰好能沿竖直平面做匀速圆周运动，小球
电荷量
，圆心O 的电势为零。以竖直向上为正方向建立y 轴。在小球从最低点运动到最高点
的过程中，轨迹上每点的电势随纵坐标y 的变化关系如图乙所示，重力加速度
，下列说法正确
的是（ ）
A．匀强电场的场强大小为
B．小球一定沿逆时针方向做匀速圆周运动
C．匀强磁场的磁感应强度大小为
D．小球从最低点运动到最高点的过程中，电势能增加了2.4J
【答案】BC
【详解】A．根据题意和题图乙可知，匀强电场的场强大小为
，故A 错
误；
B．小球受竖直向上的电场力与竖直向下的重力平衡，可知带正电
小球做匀速圆周运动由洛伦兹力提供向心力，根据左手定则可知，小球做逆时针方向的匀速圆周运动，故
B 正确；
C．由题意知
，洛伦兹力提供向心力
解得
，故C 正确；
D．小球从最低点运动到最高点的过程中，电势能减少了
，故D 错误。
故选BC。
24．（多选）（2026·福建莆田·二模）如图，在直角坐标系
中充满垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应
强度大小为B；
区域同时存在竖直向上的匀强电场，场强大小为E。一质量为m、电荷量为
的粒子
从
点垂直射入磁场，恰能从O 点沿y 轴正方向进入
区域，粒子在此区域运动的速度沿x 轴方
向分量
，比例系数k 与场强大小E 无关。不计粒子重力，则（ ）
A．粒子在O 点的速度为
B．比例系数
C．粒子的最大速度为
D．在
区域，粒子运动轨迹离x 轴最大距离为L
【答案】AD
【详解】AD．粒子在
区域仅受洛伦兹力，做匀速圆周运动，从P
垂直射入磁场，恰能从O 点
沿y 轴正方向射出，说明圆心在x 轴上，半径
洛伦兹力提供向心力
可得粒子在O 点的速度
粒子轨迹为四分之一圆弧，离x 轴最大距离为
，AD 正确；
B．粒子以
沿y 轴正方向进入
区域，电场力竖直向上，水平方向上只有洛伦兹力，在水平方
向上应用动量定理
其中
联立可得
由题意知
，可得
，B 错误；
C．粒子以
沿y 轴正方向进入
区域，把
分解为一个水平向右的速度
，另一个斜向左
上方的
与
对应的洛伦兹力与电场力平衡，粒子的一个分运动是以速度
向右的匀速直线运动；另一分运动是以
做匀速圆周运动，当
方向与
相同时，粒子速度有最大值
解得
， C 错误。
故选AD。
25．（2026·云南昆明·二模）如图所示，在一竖直平面内建立平面直角坐标系
，其中
轴竖直向上，
轴水平向右。空间中
区域分布有电场强度大小相等的匀强电场，其中
区
域电场方向沿
轴正向，
区域电场方向沿
轴正向；
区域还分布有磁感应强度大小为
方
向垂直纸面向里的匀强磁场。现从点
静止释放一带正电微粒，该微粒依次经过每个边界的速度大
小都相等且速度方向与边界的夹角都为
。已知重力加速度为
，求：
(1)带电微粒的比荷
；
(2)微粒由释放至到达边界
所需时间；
(3)在
区域，微粒运动过程中的最小速度
。
【答案】(1)
(2)
(3)0
【详解】（1）微粒依次经过每个边界的速度大小都相等且速度方向与边界的夹角都为
，所以可知带电
微粒在
做匀加速直线运动，微粒的位移与x 轴夹角为
，即
电场力与重力大小相等，即mg=Eq
微粒运动到第一个边界时的速度为v，即
，
解得
带电微粒在
区域内做匀速圆周运动。微粒运动轨迹如图所示
由几何关系得微粒做圆周运动的半径为
微粒在电磁场区域内，由牛顿第二定律得
联立解得
（2）微粒在
区域内运动的时间为
微粒在
区域内运动的时间为
解得
微粒在
区域内所受洛伦兹力
该洛伦兹力与微粒所受电场力与重力的合力等大反向，可知微粒在
区域内所受合力为零，微粒
做匀速直线运动。所以微粒在
区域内运动的时间为
微粒由释放至到达边界
所需时间
解得
（3）在
区域，如图所示
微粒仅受重力与洛伦兹力，水平方向的速度
产生竖直向上的洛伦兹力
，与重力等大
反向，竖直方向的速度
产生的洛伦兹力使微粒做匀速圆周运动，所以微粒的运动可以分解为水平方向做
匀速直线运动与竖直方向的匀速圆周运动。由于微粒的速度与边界夹角为
，即
，当
水平向左
时，此时微粒的合速度为0，所以微粒的最小速度为0。
26．（2026·河北·一模）如图所示，在
坐标系内以
点为圆心、
为半径的圆形区域内，存在
垂直纸面向外的匀强磁场。在
轴上
点平行
轴放置一个长为
的薄板，其中在
轴上方部分
是长度为
的粒子收集板，在
轴下方部分
是长度为
的线状粒子源，沿
方向均匀发射速度
大小均为
、质量为
、电荷量为
的相同粒子。粒子源释放的带电粒子在
方向上分布是均匀的，且
所有粒子经磁场偏转后从坐标原点
处射入
轴上方。打在收集板上的粒子将被立即导走，使收集板的电
势保持不变。不计带电粒子的重力及粒子间的相互作用，不考虑电磁场的边界效应。
(1)求匀强磁场的磁感应强度大小
；
(2)求被收集的粒子数目占粒子总数的比值
；
(3)为使经磁场偏转后从坐标原点
处沿
方向射入
轴上方的粒子能够恰好被收集板收集到，在第Ⅰ、Ⅱ
象限内加沿
方向的匀强电场，求所加电场的电场强度
的大小；
(4)在第Ⅰ、Ⅱ象限内施加第（3）问中的匀强电场后，在第Ⅰ、Ⅱ象限内再施加垂直纸面向里的匀强磁场，
磁感应强度大小
。求从坐标原点
处射入
轴上方的带电粒子到达
轴右侧距离
轴最远的位
置坐标。
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【详解】（1）由题可知，从左侧任选一个粒子经磁场偏转后，通过坐标原点
，其运动轨迹如图甲所示
由几何关系可知，四边形
为菱形，可得粒子运动轨迹的半径
洛伦兹力提供向心力，得
解得
（2）临界粒子的轨迹如图乙所示
由几何关系可得，粒子从
点离开磁场时，速度方向与
方向夹角为
范围内的粒子都能打到收集
板上。夹角为
的粒子进入磁场时的纵坐标
解得
打到收集板上的粒子占粒子源发出粒子总数的比值
解得
（3）加电场后，从坐标原点
处沿
方向射入
轴上方的粒子做类平抛运动，若恰好能够被收集板收集
到，将打在收集板的上端。由平抛运动规律，在
方向，有
在
方向，有
由牛顿第二定律，可得
联立解得
（4）从坐标原点
处射入
轴上方的带电粒子的初速度
，可以分解为一个沿
方向的速度
和另一个
速度
，沿
方向的速度
对应一个沿
方向的洛伦兹力，使其大小等于电场力，
得
则粒子沿
方向的分运动是速度为
的匀速直线运动，另一个分运动是以速度
沿逆时针方向的匀速圆周
运动。几何关系如图丙所示
可知带电粒子初速度
方向沿
方向时速度
最大，对应圆周运动的半径最大，且
角最小为
，粒子
能够到达
轴右侧且距离
轴的位置最远，此时
以速度
沿逆时针方向的匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，有
圆周运动的半径为
沿
方向发生位移为
粒子沿
方向，圆周运动的位移为
速度为
的匀速直线运动沿
方向的位移为
其中
，
可知
即带电粒子能到达距离
轴最远的位置坐标为
27．（2026·四川广安·模拟预测）如图所示，在
坐标系中，虚线
与
轴平行，距离为
，在虚线
与
轴之间的第二象限内，有沿
轴正方向的匀强电场，场强大小
（未知）；在虚线
与
轴之间的
第一象限内，有垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为
（未知），在
轴下方的足够大区域内，
存在沿
轴负方向的匀强电场
和垂直于纸面向外的匀强磁场
，场强大小
，磁感应强度大小
。现有一电量为
、质量为
的粒子在
点，坐标为
，以
的初速度向
轴正方向
射出，粒子第一次经过
轴时的速度大小为，不计粒子重力。求：
(1)场强大小
；
(2)要使粒子能够经过
轴，
需满足的条件；
(3)如果
，粒子第二次经过
轴的位置坐标。
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）粒子在电场
中，根据动能定理有
解得
（2）粒子第一次经过
轴时，对速度进行分解，设速度与
轴夹角为
，则有
可得
在
方向上，有
在
方向上，有
联立解得
粒子在磁场
中，根据牛顿第二定律有
解得
要使粒子能经过
轴，临界状态轨迹如图所示
当轨迹圆恰好和
轴相切时，有
得
联立解得
当轨迹圆恰好和虚线
相切时，有
得
联立解得
故
需满足的条件为：
（3）当
时，由
解得
轨迹如图所示，第一次经过
轴的位置坐标为
粒子在
轴下方的复合场中运动时，由配速法可得
解得
，故粒子有沿
轴负方向匀速的分运动，
由矢量三角形，如图所示，可知
，故粒子还有匀速圆周运动的分运动。
由
解得
从粒子第一次经过
轴到第二次经过
轴，历时
，匀速圆周运动的分运动，如图所示
由几何关系可得
粒子向
轴负方向侧移
对沿
轴负方向匀速的分运动，粒子向
轴负方向侧移
故第二次经过
轴，
粒子第二次经过
轴的位置坐标为
28．（2026·四川宜宾·二模）在xOy 平面内存在垂直于平面向里的匀强磁场，在
范围内有水平向右的
匀强电场，将质量为m、电荷量为q 的带正电小球，以初速度
从坐标原点与x 轴正方向成45°角射入，小
球恰好在此区域做匀速直线运动，重力加速度为g。求：
(1)电场强度E 和磁感应强度B 的大小；
(2)在
区域，小球的最小速度及速度最小时的位置坐标；
(3)以带电小球过
作为计时零点，经过时间
时，求小球在轨迹上该位置的曲率半径
。（提
示：在曲线运动中，某位置的曲率半径等于质点通过该位置速度的平方与向心加速度大小之比，即
）
【答案】(1)
，
(2)（
，
）（
，，
）
(3)
【详解】（1）小球恰好在
范围内做匀速直线运动，根据平衡条件可得
，
解得
，
（2）在
区域，将小球刚进入该区域的速度分解为沿
轴方向分速度和沿
轴方向分速度，则有
，
由于
可知分运动1：小球沿
轴正方向做速度为
的匀速直线运动；
分运动2：小球以速度大小为
做逆时针匀速圆周运动。
当分运动转过
周时，分速度
与分速度
方向相反，此时小球的速度最小，为
；
对于分运动2，有
，
解得
，
速度最小时的横坐标为
（
，，
）
纵坐标为
则小球速度最小时的位置坐标为（
，
）（
，，
）
（3）以带电小球过
作为计时零点，经过时间
时，可知
区域，分运动2 小球转过
的角度为
如图所示
根据几何关系可知此时小球合速度大小为
此时小球的受力如图所示
可知此时小球的向心力大小为
则向心加速度大小为
小球在轨迹上该位置的曲率半径为
1．（2026·湖南长沙·二模）“碳-14 测年法”通过测量生物化石中碳同位素的丰度来确定年代。如图所示
为某质谱仪的原理简化图，离子源A 可产生初速度不计、电荷量相同的
和
。两离子经电压为U 的
加速电场后，垂直边界进入磁感应强度为B、方向垂直纸面向外的匀强磁场中，最终由边界探测器接收。
已知离子重力及相互作用忽略不计，下列说法正确的是（ ）
A．在加速电场中，电场力对
做的功是对
做功的
倍
B．进入磁场时，
的动量大小是
的
倍
C．
在磁场中运动的时间是
的
倍
D．若要使
打在边界
原来的位置，需将加速电压U 调节为原来的
【答案】C
【详解】A．
和
电荷量相同，由
知电场力做功相同，故A 错误；
B．质量比
，由
，
有
，即
，故B 错误；
C．由
知
，故C 正确；
D．由
，
有
r 相同时，有
即
，D 错误。
故选C。
2．（2026·浙江宁波·二模）某地某学习小组利用智能手机中的磁传感器测量了地磁场的磁感应强度。如图
所示建立直角坐标系，手机显示屏所在平面为
平面，测量时
轴正向保持竖直向上，
后图像保持
稳定。下列说法正确的是（ ）
A．该学习小组在南半球进行的实验
B．地球内部磁场方向由地理南极指向地理北极
C．稳定后
轴的正方向指向东边
D．当地地磁场的磁感应强度大小约为
【答案】C
【详解】A．由题可知，地磁场的竖直分量在北半球（z 轴）向下（z 轴的负方向），南半球竖直向上，而
图中z 轴的磁感应强度方向为负，说明该学习小组在北半球，故A 错误；
B．由于地磁场的北极在地理的南极附近，而磁体外部的磁场方向总是从北极指向南极，而磁体内部的磁
感线从南极指向北极，因此地球内部磁场为从地理北极指向地理南极，故B 错误；
C．由于稳定后，
，
，因此此时x 轴指向地理上的南方，则y 轴正向指向东方，故C 正确；
D．根据矢量的合成可知，该地的磁感应强度大小为
，故
D 错误。
故选C。
3．（多选）（2026·江西·模拟预测）某种回旋加速器的设计方案如图甲所示，图中粗黑线段为两个正对的
极板，其间存在匀强电场，两极板间电势差为U。两极板的板面中部各有一沿OP 方向的狭长狭缝，带电
粒子可通过狭缝穿越极板，如图乙所示。两虚线外侧区域存在匀强磁场，磁感应强度方向垂直于纸面。在
离子源S 中产生的质量为m、带电量为q
的离子，由静止开始被电场加速，经狭缝中的O 点进入磁
场区域，最终只能从出射孔P 射出。如果离子打到器壁或离子源外壁即被吸收。O 点到极板右端的距离为
D，到出射孔P 的距离为bD
，图乙磁场的磁感应强度B 大小可调，下列说法正确的是（ ）
A．离子能从
射出，可能的磁感应强度
的最小值为
B．若
，则离子一定不能从
射出
C．若
，
，离子打到
点时在磁场中运动总时间为
D．若
，
，离子从
射出时的动能为
【答案】ABD
【详解】A．磁感应强度B 最小时，离子可经一次加速后从P 点离开磁场，根据动能定理得
进入磁场后做匀速圆周运动，有
解得
，故A 正确；
B．若
，根据
得到
可知离子经过加速后在磁场中转一圈打到离子源外壁被吸收，不能从P 射出，故B 正确；
CD．若
，
，则离子第一次加速后的半径为
在磁场中转动半圈后进入电场做减速运动，到下极板速度减为零又再次加速飞出上极板，速度大小不变，
半径仍为
如此重复两次后离子从下极板进入电场，可继续加速，速度变大半径变大，如此重复直至从P 射出。射出
时的半径为
所以射出时的速度
因此射出时动能为
离子在磁场中运动的时间为15.5 个周期，即
，故C 错误，D 正确。
故选ABD。
4．（多选）（2026·山东青岛·一模）如图所示为某同步加速器简化示意图，在以正六边形顶点为圆心、R
为半径的六个圆形区域内，存在磁感应强度相同且大小可调的匀强磁场，初始时磁感应强度为
，P、Q
间有恒定加速电压。将质量为m、电荷量为
的粒子从P 板无初速度释放，其沿顺时针方向在加速器内循
环加速。不计粒子重力和相对论效应，下列说法正确的是（ ）
A．圆形区域内磁场方向垂直纸面向里
B．带电粒子经
第一次回到P 点
C．带电粒子在磁场中运动的轨迹半径为R
D．带电粒子第二次加速后进入磁场时，磁感应强度为
【答案】AD
【详解】A．带电粒子从Q 飞入磁场，在磁场中做逆时针的圆周运动，根据左手定则可知，圆形区域内磁
场方向垂直纸面向里，A 正确；
BC．带电粒子在磁场中做圆周运动的轨迹如图所示
粒子做圆周运动的半径为r，粒子经过6 次偏转回到起点，由此可知粒子在每一个圆周运动中速度的改变
角
，由几何关系得
解得
粒子在每个圆形磁场中做圆周运动的时间
，所以粒子在磁场中总共运动的时间为一个周期，即
，又因为粒子在磁场外做匀速直线运动，所以粒子第一次回到P 点需要的时间大于
，故BC
错误；
D．由牛顿第二定律可得
解得
粒子第一次加速之后由动能定理可得
那么粒子经过两次加速之后，由动能定理得
解得
由题意可得，粒子在磁场中做圆周运动的半径不变，即
，所以带电粒子第二次加速后进入磁场时，
磁感应强度为
，D 正确。
故选AD 。
5．（多选）（2026·辽宁大连·一模）如图所示，在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向外的匀强磁场中，
固定一内部真空且内壁光滑的圆柱形薄壁绝缘管道，其轴线与磁场垂直。管道横截面半径为a，长度为l
（l>>a）。一位于管道一端中心的粒子源向管道内各方向均匀发射出大量速度为v 的相同带电粒子，粒子
在磁场力作用下打到管壁上，与管壁发生弹性碰撞，多次碰撞后从另一端射出，且沿轴线进入管道的粒子
恰好垂直打在管壁上，单位时间进入管道的粒子数为n，粒子电荷量为+q，不计粒子的重力、粒子间的相
互作用，下列说法正确的是（ ）
A．粒子在磁场中运动的圆弧半径为a
B．粒子质量为
C．管道内的等效电流为
D．粒子束对管道的平均作用力大小为
【答案】ABD
【详解】A．粒子在磁场中做匀速圆周运动，由于沿轴线进入管道的粒子恰好垂直打在管壁上，根据几何
关系可知，粒子在磁场中运动的圆弧半径为a，故A 正确；
B．结合上述，粒子在磁场中运动的圆弧半径为a，则有
解得
，故B 正确；
C．单位时间进入管道的粒子数为n，根据电流的定义式有
，故C 错误；
D．由于l>>a，则粒子束对管道的平均作用力大小在宏观上等于磁场对电流的安培力，则有
结合上述解得
，故D 正确。
故选ABD。
6．（多选）（2026·甘肃兰州·模拟预测）根据安培单位定义：真空中，两根相距1m 的无限长平行细直导
线通等量电流，若每米导线受力为
，则导线中的电流为1A。已知无限长通电细直导线周围某点
的磁感应强度
（k 为常量，I 为电流，r 为该点到导线的距离）。现有半径为R 的无限长绝缘圆筒，
筒的外侧M、N 处各有一根无限长通电细直导线，电流大小均为I，方向向上，如图甲所示。其俯视图如
图乙所示，圆心为O，A 点为圆弧MN 的中点，且
。下列说法正确的是（ ）
A．k 值为
B．O 点的磁感应强度的方向为水平向右
C．
越小，A 点的磁感应强度越大
D．A 点的磁感应强度大小为
【答案】AD
【详解】A．根据安培定义，两根相距
的平行导线，通
等量电流时，每米受力
。 一根导线在另一导线处产生的磁感应强度
，导线受力
解得
，A 正确；
B．两导线电流均垂直纸面向外，根据安培定则可知， M 在O 点产生的磁场竖直分量向上，N 在O 点产生
的磁场竖直分量向下，二者抵消；水平分量均向左，合磁感应强度方向水平向左，B 错误；
CD．由几何关系可知，M 到A 的距离
因此M 在A 点产生的磁感应强度大小
同理
M、N 在A 处的磁场竖直分量抵消，水平分量叠加。
、
的水平分量均为
合磁感应强度大小
大小与
无关，C 错误，D 正确。
故选AD 。
7．（多选）（2026·云南·模拟预测）MM50 是新一代三维适形和精确调强的放射治疗尖端设备，其核心技
术之一是多级能量跑道回旋加速器，工作原理如图所示。两个匀强磁场区域、
的边界平行，相距为
，
磁感应强度大小均为
，方向垂直纸面向外。下方两‘条横向虚线之间的区域存在水平向左的匀强电场
（两条横向虚线之间的区域宽度很窄，可忽略不计），方向与磁场边界垂直。某一质量为
、电荷量为
的电子从
端飘入电场（初速度忽略不计），经多次电场加速和磁场偏转后，电子从位于边界上的出射口
处向左射出磁场并被收集。已知
之间的距离为
，匀强电场的电场强度大小为
，电子的重力不
计，不考虑相对论效应。下列说法正确的有（ ）
A．电子第一次加速至
端时速度的大小
B．电子从
端飘入电场到第一次回到
端的过程中所用的时间
C．电子最终从
点射出时的动能为
D．电子经过
圆弧段的时间与经过
圆弧段的时间相同
【答案】BD
【详解】A．第一次加速，由动能定理得
解得
，故A 错误；
B．电子在加速电场中运动可看作速度为零的匀加速直线运动，由牛顿第二定律可得
电子在电场中加速了1 次，可得其运动的位移大小为
根据位移与时间的关系可得
联立以上各式解得
电子在磁场中做圆周运动，洛伦兹力提供向心力有
则周期为
电子从
点第一次加速至回到
点过程中，其在磁场中运动的时间
无场区运动时间
电子从
点第一次加速至回到
点所用时间
解得
，故B 正确；
C．当该电子从
处以最大速度
射出时，最后一次做圆周运动的轨迹半径不能变，即
由此可知，从
处射出的电子动能
，故C 错误；
D．该电子在磁场中运动的周期
，始终不变，故D 正确。
故选BD。
8．（多选）（2026·陕西榆林·模拟预测）如图所示，间距为
的两竖直虚线
、
边界内（含边界）有竖
直向上的匀强磁场，
点到边界
、
的距离相等。一带正电的粒子（重力不计）从
点射入磁场中，速
度方向与竖直方向的夹角
。若粒子在运动过程中恰好没有越过边界
、
，经历一段时间后，粒子
到达
点正上方的
点（图中未画出）处，则
、
两点间的距离可能等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【详解】将粒子的速度分别沿水平与竖直方向分解，粒子在竖直方向以速度
做匀速直线运动，在水
平面内以速度
做匀速圆周运动，则有
运动周期为
由于粒子在运动过程中恰好没有越过边界
、
，所以有
解得
经历一段时间后，粒子到达
点正上方的
点处，则有
（
），当n=1
时，O、A 两点间的距离
当n=2 时，O、A 两点间的距离
，无论n 取其他任何整数AD 都不可能。
故选BC。
9．（多选）（2026·辽宁大连·一模）如图所示，光滑水平桌面上有一轻质光滑绝缘管，处在竖直向下的匀
强磁场中，磁感应强度大小为
。绝缘管在水平外力
的作用下以速度向右匀速运动。一带电小球，由
管道
端相对管道静止释放，一段时间后，小球运动到管道
端。小球质量为
、电量为
，
长度为
，小球直径略小于管道内径。关于小球从
端运动到
端说法正确的是（ ）
A．小球的运动轨迹是一条抛物线
B．外力
和洛伦兹力做功大小相等
C．绝缘管的位移大小为
D．外力
的冲量大小为
【答案】AD
【详解】A．小球受洛伦兹力
恒定，故小球沿
做初速度为零的匀加速直线运动，同时小球
随绝缘管水平向右做匀速直线运动，故小球的合运动是类平抛运动，其运动轨迹是一条抛物线A 正确；
B．洛伦兹力不做功，故B 错误；
C D．对小球沿管方向
又
绝缘管的位移大小为
，外力始终与洛伦兹力的垂直管道的分力平衡，外力F 的冲量大小等
于
故C 错误,D 正确。
故选AD。
10．（2026·陕西宝鸡·二模）如图所示，在光滑绝缘水平桌面内建立水平方向的平面直角坐标系
，第
一象限存在竖直向下的匀强磁场。一个长度为、两端开口的光滑玻璃管平放在桌面上，将质量为
、带
电量为
的小球静置于玻璃管内的最左端，玻璃管左端刚好与
轴齐平。某时刻，玻璃管平行于
轴在水
平桌面上沿
轴正方向以速度
进入匀强磁场，做匀速直线运动。一段时间后，小球从玻璃管右端飞出，
最终以
的速度垂直击中右侧平行
轴放置的荧光屏。带电小球可视为质点，求：
(1)从玻璃管进入磁场到小球飞出玻璃管的过程中，玻璃管的位移大小
；
(2)磁感应强度的大小
；
(3)玻璃管的右端到荧光屏的距离
。
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）由题意可得小球在飞离玻璃管前，沿
轴正方向做初速为零的匀加速直线运动，沿
轴方向
以速度
做匀速直线运动，小球飞离玻璃管后做匀速圆周运动。
设小球飞离玻璃管时沿
轴方向的分速度为
，由题意可得小球离开玻璃管时的速度为
，则有
解得
x 轴方向上做匀加速运动，则有
则小球在玻璃管上运动的时间
所以从玻璃管进入磁场到小球飞离玻璃管的过程中，玻璃管的位移大小是
（2）设x 轴方向上做匀加速运动的加速度，
洛伦兹力提供向心力
联立得磁感应强度的大小
（3）设小球飞离玻璃管时速度方向与x 轴的夹角为θ，由
可得θ=30°
设小球做圆周运动的半径为
，由几何关系得
洛伦兹力提供向心力
解得挡板左端到荧光屏的距离
11．（2026·广东广州·一模）如图空间直角坐标系O-xyz 将y≥0 的空间划分为四个区域，IV 区域存在沿z 轴
负方向的匀强电场，Ⅱ、Ⅲ区域存在沿y 轴负方向的匀强磁场。在xOy 平面内x>0 区域放置一足够大的吸
收屏，吸收屏下方紧靠P（l，0，0）处有一粒子源可向x 轴负方向发射速率为v0、质量为m、带电量为+q
的粒子（重力不计）。粒子运动经过Q（0，0，
）点且刚好打在屏上P 点，粒子打在吸收屏上即被吸
收且不影响空间电、磁场分布。
(1)求匀强电场的电场强度大小E0；
(2)求匀强磁场的磁感应强度大小B0；
(3)若在I 区域加沿y 轴正方向、电场强度大小为2E0的匀强电场，同时调节IV 区域中电场强度大小为kE0
（电场方向不变），求粒子打在吸收屏上落点的坐标。
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）粒子从P 到Q 做类平抛运动，设运动时间为t1
x 方向有
z 方向有
其中
联立三式得：
（2）设粒子到达Q 点时，速度方向与x 轴成θ 角，由
得
粒子在磁场中做匀速圆周运动，从Q 点进入磁场，从M 点离开磁场。设粒子圆周运动半径为r，速度
，
由洛伦兹力提供向心力有
并且
粒子打在P 点，有
联立三式得
（3）调节I、IV 区域的电场分布后，设粒子从Q'点进入磁场，再从M'点离开磁场
由前面分析可知
，与IV 区域电场强度大小无关。
粒子要进入I 区域，打在吸收屏上，需满足
，即
粒子到达M'点时，z 方向的分速度
粒子在I 区域运动，设经历时间t2，落点在吸收屏上坐标设为（x，y，0）有
得
故
，
所以打在吸收屏的坐标是
12．（2026·安徽安庆·二模）如图所示，在xoy 平面的第一、二象限内存在垂直坐标平面向外的匀强磁场，
第一象限的磁场范围足够大，第二象限的磁场左边界是一半径为R 的四分之一圆弧，圆心在y 轴上的
点，
圆弧边界与x 轴相切于坐标原点O；在x 轴下方存在沿y 轴正方向的匀强电场，电场强度大小为
。
现有大量质量为m、电荷量为q 的带电粒子，从四分之一圆弧边界处沿x 轴正方向射入磁场，初速度大小
均为
，其中从A 点射入磁场的粒子，恰好经过坐标原点O。粒子的重力不计，忽略粒子之间的相互作用。
求：
(1)磁感应强度的大小；
(2)粒子从A 点射入磁场开始计时，则粒子经过多长时间再次返回磁场；
(3)从圆弧中点P 处射入的粒子第三次经过x 轴正半轴时离坐标原点的距离。
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）设从A 点射入的粒子轨道半径为r，由几何关系得：
由
，得
，
解得：
（2）粒子在磁场中运动的时间为：
粒子在电场中运动的加速度大小为：
粒子在电场中运动的时间为：
所以，从A 点射入磁场的粒子再次回到磁场的时间为：
（3）从圆弧中点P 处射入的粒子必经过坐标原点O，设在O 点时速度与x 轴正方向的夹角为
，则：
，
粒子进入电场后做类斜抛运动，第一次经过x 轴正半轴时离坐标原点的距离为：
粒子再次进入磁场，速度与x 轴正方向的夹角为45°，第二次经过x 轴正半轴时离坐标原点的距离为：
粒子第三次经过x 轴正半轴时离坐标原点的距离为：
13．（2026·福建龙岩·二模）如图所示，整个空间存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，
竖直边界MN 的左边区域存在竖直向上的匀强电场。足够长且不转动的绝缘传送带倾斜放置，与水平方向
的夹角为θ，传送带底端O 刚好在边界MN 上。在O 点正上方的P 点，一质量为m，电荷量为+q 的小物块
A（可视为质点）以初速度v0飞出，进入MN 的左边区域做匀速圆周运动，第一次飞出边界MN 时，恰好
在O 点沿着传送带的方向进入传送带并沿传送带向上滑动。物块A 与传送带之间的动摩擦因数为μ，重力
加速度为g，不计空气阻力。
(1)求电场强度E 的大小；
(2)求OP 间的距离L；
(3)求物块A 沿传送带上滑过程中所受摩擦力的最大功率；
(4)在传送带底部O 点静止放置一个质量未知，不带电的小物块B（图中未标出，可视为质点），物块B 与
传送带之间的动摩擦因数也为μ。物块A 仍从P 点以相同初速度v0飞出，运动至O 点与物块B 发生弹性碰
撞，碰撞的时间极短，碰撞前后两物块的电量保持不变。碰撞后，传送带立即以速度v 逆时针匀速转动，
物块A、B 在O 点沿传送带上滑，物块A 经过一段时间后又返回O 点且恰好与传送带共速，此过程中AB
两物块未再次发生碰撞。求物块A 返回O 点时物块B 的速度。
【答案】(1)
(2)
(3)见解析
(4)见解析
【详解】（1）物块A 做匀速圆周运动，则
所以
（2）物块A 做圆周运动，有
由几何关系知
所以
（3）设物块A 上滑过程的速度为v，受到支持力为
物块A 所受摩擦力
摩擦力的功率
联立得
当
时，功率最大，且
物块A 上滑过程中不脱离传送带，有
即
i.当
时，物块A 脱离传送带，故该情况不符合题意
ii.当
时，最大功率为
iii.当
时，最大功率为
（4）设物块A 与物块B 碰撞，由动量守恒定律，有
，
解得
，
，
设物块A 上滑过程时间为t1，下滑过程时间为t2，以沿传送带向下为正方向，由动量定理，在上滑过程中，
有
在下滑过程中，有
物块A 恰返回O 点，有
物块B 在此过程中，由动量定理有
联立可得
，
若
，则
，此时物块B 沿传送带向下运动；
若
，则
，此时物块B 沿传送带向上运动。
14．（2026·广东佛山·二模）如图为某装置简化示意图。有界匀强磁场Ⅱ垂直纸面向外，上边界是以点
为圆心、半径为
的某段圆弧，下边界是以点
为圆心、半径
的半圆弧，半圆区域内有均匀
辐射电场。有界匀强磁场I 垂直纸面向里，边界是以点
为圆心、半径
的圆形，两磁场的磁感应强
度大小相等，
在同一直线上且
间距为
。在磁场Ⅱ右侧有长为
的接收屏与
、
连线平行放置。一束质量为
、电荷量为
、宽度为
的带电粒子流（分布均匀）以相同的速度
垂直
连线射入磁场Ⅰ，其中正对
射入的粒子，恰好沿
连线方向射出，经电场加速后进入磁场Ⅱ
做半径为
的圆周运动，不计粒子重力及粒子间相互作用，
。
(1)求磁感应强度
的大小及均匀辐射电场点
到半圆弧边界之间的电压
；
(2)请证明能打到接收屏的粒子均垂直打中接收屏，并求能打到接收屏的粒子在磁场I 中运动的最长时间
；
(3)打到屏幕上的粒子占发射总粒子数的比例
。
【答案】(1)
；
(2)证明过程见解析，
(3)
【详解】（1）正对
射入的粒子在磁场Ⅰ中做匀速圆周运动：
，
得：
在磁场Ⅱ中：
，
在电场中：
得：
，
（2）由于粒子在磁场Ⅰ中：
，所有粒子均会从
点沿半径方向进入电场，对任意粒子进入磁
场Ⅱ作出运动轨迹，如图，从
点射出，由几何关系：
，
则四边形
为平行四边形，
，故能打到接收屏的粒子速度方向均垂直于接收屏。如图，
从磁场Ⅱ的最高点射出打中接收屏时时间最长
则
，
则粒子在磁场Ⅰ中运动的最长时间
（或
，
）
（3）从磁场Ⅱ的最高点射出打中接收屏的粒子在磁场I 中运动轨迹如图：
比例
15．（2026·河北保定·一模）如图，平面直角坐标系xOy 中，y 轴右侧存在一系列匀强磁场区域，磁场区域
均是半径为R 的圆，圆心在x 轴上，相邻两磁场区域相切且磁场方向相反，磁感应强度大小均为B，磁场
边界不含磁场。y 轴右侧第一个磁场磁感应强度方向垂直纸面向里，与y 轴相切于原点O，最右侧的磁场
区域与一垂直于x 轴的荧光屏相切于x 轴上A 点。虚线MN、PQ 分别与圆形磁场区域的最上端、最下端相
切，MN 上方有沿y 轴负方向的匀强电场，电场强度大小为E，PQ 下方有沿y 轴正方向的匀强电场，电场
强度大小为2E。某粒子源能够向外发射比荷为
的带电粒子，不计粒子重力和粒子间的相互作用。
(1)若粒子源在MN 上方某处，由静止释放的粒子恰好在（R，R）处进入第一个磁场区域并从（2R，0）处
射出，求粒子源位置的坐标；
(2)若粒子源在原点O 处，且能向xOy 平面内各个方向发射粒子，射出粒子的速度大小均为
求粒子在第
一个磁场中运动的最长时间；
(3)若（2）问中粒子源发射粒子的速度大小均变为
，其余条件不变，求粒子从被发射至到达荧光屏所用
的最短时间。
【答案】(1)（R，2R）
(2)
(3)
，
【详解】（1）由题意和几何知识可知，带电粒子在第一个磁场区域中运动
周期，轨迹半径为
在磁场中由洛伦兹力提供向心力
解得
带电粒子在上方电场中做匀加速直线运动，可知粒子源的横坐标为R，设粒子源的纵坐标为y₁
根据匀加速直线运动规律
，其中
解得
即粒子源的位置坐标为（R，2R）
（2）根据洛伦兹力提供向心力
轨迹半径为
由几何关系可知，当粒子从第一个磁场区域与x 轴右交点处离开磁场时，带电粒子的偏转角最大如图1 所
示
则有
，即
可知带电粒子的最大偏转角为60°
运动时间
（3）由第一小问的解析可知，粒子在磁场中运动的轨迹半径为R
分析可知，当粒子从磁场区域最上方离开磁场时，整个运动过程粒子不会进入磁场和电场间的区域，粒子
的运动时间最短，部分运动轨迹如图2 所示
粒子在每个磁场中运动轨迹所对圆心角之和为180°
又粒子在磁场中运动的周期
则粒子在每个磁场中运动的时间均为
粒子每次在x 轴上方电场中运动的时间为
同理可知，粒子每次在x 轴下方电场中运动的时间为
当磁场区域为偶数个时，粒子从被发射至到达荧光屏所用的最短时间为
当磁场区域为奇数个时，粒子从被发射至到达荧光屏所用的最短时间为
