文档文本内容
2026 年高考数学三轮临考冲刺卷 03（全国二卷通用）
（考试时间：120分钟，分值：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．记集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由 可得 ，可得 ，
由 可得 ，即 ，
得 ，解得 ，
于是 ， ，故 ．
故选：A．
2．已知复数 满足 ，则 （ ）
A．4 B．1 C． D．
【答案】B【解析】因为 ，所以 ，
所以
所以 .
故选：B
3．已知 为两条直线， 为两个平面，则下列结论中正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】C
【解析】A选项， ， 与 可能平行或异面，故A错误；
B选项， ，则 ，故B错误；
C选项，由 ，过直线 作平面 ，与平面 相交于直线 ，则有 ，
由 ，有 ，又 ，所以 ，故C正确；
D选项， ，则 不一定垂直于 ，如 可以在 内，故D错误．
故选：C.
4．在等比数列 中， ， ， 是 的前n项和，则 （ ）
A. 15 B. 31 C. 48 D. 63
【答案】B
【解析】令等比数列 的公比为 ，则 ， ，
解得 ， ，所以 .
故选：B
5．已知向量 满足 ，且 ，则 （ ）A． B． C． D．2
【答案】C
【解析】因为 ，所以 ，
两式相减得 ，即 ．
又 ，所以 ，联立 ，解得 ,即 ．
故选：C．
6．一个知识问答竞赛每题有3个选项．甲参加该竞赛有以下情况：若甲掌握该知识，则一定回答正确；若
甲未掌握该知识，则从3个选项中随机选择一个作答．已知甲回答正确的概率为 ，则甲掌握该知识的概
率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设甲掌握该知识的概率为 ，记“甲回答正确”为事件 ，
根据题意， ， ， .
根据全概率公式， ，代入已知 ，
得： ，解得 .
7．已知函数 ，且 在 上有且只有一个零点，则
（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】A
【解析】函数 ，由 ，得 ，而 ，解得 ，则 ，由 ，得 ，
由 在 上有且只有一个零点，得 ，解得 ，
而 ，因此 ， ，所以 .
故选：A
8．已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，过 的直线与 交于点 ．直线 为
在点 处的切线，点 关于 的对称点为 ．由椭圆的光学性质知， 三点共线．若
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如下图所示：
因为点 关于 的对称点为 ，则 ，
因为 ，且 ，所以， ，
所以， ，可得 ，
则 ，
所以， ，故 ．
故选：D
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．民营经济是推进中国式现代化的生力军.为了更好地支持民营企业的发展，某市决定对部分企业的税收
进行适当的减免.某机构调查了当地的中小型民营企业年收入情况，并根据所得数据画出了样本的频率分布
直方图，则下列结论正确的是（ ）
A．样本数据落在区间 内的频率为0.45
B．若规定年收入在500万元以内的民营企业才能享受减免税政策，估计有 的当地中小型民营企业
能享受到减免税政策
C．若该调查机构调查了100家民营企业，则年收入不少于400万元的有80家
D．根据频率分布直方图估计样本的中位数为500万元
【答案】AB
【解析】对于A，由 ，得 ，
所以数据落在区间 内的频率为 ，A正确；对于B，数据落在区间 内的频率为 ，B正确；
对于C， ，年收入大于或等于400万元的有四组，
其频率和是 ，
所以符合条件的民营企业有 家，C错误；
对于D，数据落在区间 内的频率为 0.3，
数据落在区间 内的频率为 ，
估计中位数为 ，D错误.
故选:AB.
10．若公比为 的等比数列 的前 项积为 ， ， ， ，则
（ ）
A． B．
C． 中 最小 D．使 成立的最小正整数 的值是4050
【答案】ABD
【解析】因为 ，所以 ，
所以 ，又 ，
所以 ，所以 ，A对，
由 ， ，可知 单调递增，
又 ，所以 ，
所以 ，B对，
当 时， ，当 时， ，所以 最小，故C错，
因为 为正项递增数列，且 ，
所以使 成立的最小正整数 的值是4050，D对，
故选：ABD
11．已知 是函数 的极值点，则（ ）
A．实数a的取值范围是
B．函数 的图象关于点 对称
C．存在实数a，使得 是 的极大值点
D．若 ，则
【答案】ACD
【解析】因为 ，
是函数 的极值点，
所以 是 的两个不等的实数根，
所以 ，解得 或 ，由 ，
所以 ，故A正确；
在函数 的图象上取点 ,则 关于点 的对称点为 ，
而 ，显然 不恒等于 ，
故函数 的图象关于点 不对称，故B错误；
当 是 的极大值点时， ，解得 ，当 时， ，
所以当 时， ， 在区间 上单调递增，
当 时， ， 在区间 上单调递减，
所以 是 的极大值点，故C正确；
由A选项知， 是 的两个不等的实数根，
所以 ，
所以
，
由 ，
因为 ，所以 ，故D正确.
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知 ，则 .
【答案】1
【解析】由 知， ， ，同理可得 .
得到 .
故答案为：113．在平面直角坐标系 中，圆 与双曲线 相交于A，B，C，D四
点，若点A，B，C，D构成圆O圆周的四等分点，圆O的直径长度是双曲线C实轴长的3倍，则双曲线C
的离心率为 .
【答案】
【解析】由已知圆 的直径为4，又直径长度是双曲线C实轴长的3倍，所以 ，所
以 .
因为点A，B，C，D构成圆O圆周的四等分点，所以四等分点到圆心的距离为半径，
且四点与原点构成的连线互相垂直.即如图所示：
设圆与 轴交于点N，所以 ，且 ，
所以设 是圆与双曲线的交点，所以 或
解得 或 或 或 ，
所以四等分点的坐标为 ,
把 代入 中，得 ，解得 ，所以双曲线C的离心率 .
14．已知圆锥的母线为3，底面半径为1，球 与圆锥的侧面、底面均相切．球 与球 外切，且与圆锥
的侧面相切．球心 位于圆锥的顶点和 之间，则球 的体积为________．
【答案】
【解析】依题意，圆锥的轴截面截球 得球 的大圆，且为圆锥轴截面等腰 的内切圆，
截球 得球 的大圆，该圆与圆 外切，与 都相切，设球 、球 的半径分别为 ，
在等腰 中， ，则边 上的高 ，
由 ，得 ，解得 ，
显然圆 可视为 平行于 的中位线截 所得小三角形的内切圆，而此小三角形与 相似，
因此 ，解得 ，所以球 的体积 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）
记 内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 .
(1)求角 的大小；
(2)若 的面积为 ， 的角平分线 交 于点 ，且 ，求 的周长.15． 【答案】
(1)
(2)
【解析】（1）由正弦定理得 ，
得 ，
，.............................................................2分
， ， ，.....................................................................4分
又 ， ............................................................................................6分
（2）由题知 是 的角平分线，则 ，.....................7分
， .
，.................................................................................................................9分
，即 ， ，.....................................................10分
由余弦定理和 ，得 ，
即 ...............................................................................................................................12分
的周长 .........................................................................................13分
16．（15分）如图，四边形 是等腰梯形， 是 的中点， 是
与 的交点，将 沿 折到 的位置.(1)证明： 平面 ；
(2)若 平面 ，求二面角 的正弦值.
16.【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】（1）如图，连接 .
为 的中点， ，
又 且 四边形 为菱形， . ........................2分
，又 平面 . ..............................4分
与四边形 为菱形同理，可知四边形 为菱形，
平面 .......................................................................................6分
（2）由（1）可知 即 是边长为2的等边三角形，又 平面 ，
所以 两两互相垂直，以 为坐标原点，
以 所在直线分别为 轴建立空间直角坐标系，
已知 ，
则 ，
......... ................................8分
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，取 . .....................................................10分
设平面 的一个法向量为 ，
则 取 . .............................................................12分故二面角 的正弦值为 ................................................15分
17．（15分）
已知抛物线 上一点 与焦点的距离为4，点 到 轴的距离为 .
(1)求 的方程；
(2)点 为 的准线上一动点，直线 （ 为坐标原点）与 交于另一点 ，过点 作 轴的垂线与 交
于点 .
①求证：直线 过定点；
②若 ，求 的面积.
17.【答案】
(1) ；
(2)①证明见解析；② .
【详解】（1）设点 ，由 ，得 ， ........................................1分
由点 到 轴的距离为 ，得 ，又 ，则 ，解得 ，.......3分
所以抛物线 的方程为 .................................................................................................................4分
（2）①由（1）得抛物线 ： 的焦点 ，准线方程为 ，
设 ，由 轴，且点 在抛物线 上，得 ，...................................................6分
直线 方程为 ，由 ，得点 ，.....................................................................7分当 时，直线 的斜率 ，其方程为 ，........................9分
整理得 ，因此直线 过定点 ，当 时，直线 过点 ，
所以直线 过定点 ..................................................................................................................11分
②由①知， ，
因此 ， ，..............................14分
所以 的面积 ...........................................................15分
18．（17分）
已知函数 .
(1)对任意 ， 是 的必要条件，求 的最小值；
(2)对任意 ，函数 存在两个零点 .
（i）求 的取值范围；
（ii）对于（i）中给定的 ，证明：当 取得最小值时， .
18.【答案】 (1)
(2)（i） （ii）证明见解析
【解析】（1）∵对任意 ， 是 的必要条件，∴ ，
在 上单调递增，...................................................................................1分
则 ，即 在 上恒成立，.............................................2分
令 ， ，
在 单调递减， ................................................................................3分
................................................................................................................................4分
（2）（i）因为对 有两个不等的实根 ，
所以 有两个零点 ..................................................................................5分
令 ，
当 ，则 ，当 ，则 ，
所以 在 单调递减； 单调递增，............................................................7分
，
要使 有两个零点，只需 ，
即 ，.....................................................................................................................9分
令 ，
在(0,1)单调递增； 单调递减，
............................................................................................................11分(ii)令 ，则 ， ，即 ，................................12分
构造方程 ，两根为 ，
令 ，其中 的两根为 ............................................13分
令 则 ，令 ，则 ，
在 单调递减； 单调递增，......................................................................14分
作出 大致图象如下：
令 ，
在 单调递减； 单调递增，
当 时， ，此时 最小.
取最小值时， .........................................................................................................17分
19．（17分）形如 的公式称为多项式定理，
其中 为该多项式展开式中 对应项的系数，该定理在解决概率问题中有着广泛的应用.，
(1)已知 ，分别求 的奇数次方与偶数次方的系数和；
(2)现有三名水平相当的篮球运动员进行投篮训练，规则如下:按照甲乙丙的顺序依次投篮，若投中则继续投篮直到未投中为止，然后换下一人继续练习，直到三人均完成练习. 每人投篮投中一次则计1分， 每人每
次练习投中的概率均为 ，且每次投篮互不影响.
①记 为甲练习投篮得分，证明: ；
②若三人投篮次数均不超过七次，求三人总得分为偶数的概率(保留两位小数).
19.【答案】 (1)偶数次方的系数和为 ，奇数次方的系数和为 ；
(2)①证明见解析；②0.51
【解析】（1）令 有 ，①
令 有 ，②................................................................2分
则①+②有 ，即
所以 的偶数次方的系数和为 ，....................................................................3分
则①-②有 ，即
所以 的奇数次方的系数和为 ；........................................................................................4分
（2）① ，则 ，①
，②..................................................................................7分
两式相减，得 ，.........................................................8分
所以 ； .........................................11分
②记每人投篮为 ， 表示有 次投中， 次投中的概率为 ，
由式子 ③，...............13分
可以表示三人投篮投中次数情况，其中 中 表示三人共投中 次， 表示投中 次的概率，所以三人总得分为偶数的概率即为③式中 的偶次方的系数和，
令 有：
令 有： ..................................................................15分
由上两式解得 ................................................17分
