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第08 讲 基本初等函数
易错分析
易错点一 忽略对含参数的底数的分类讨论
题型方法
题型一 指数幂与对数的运算
题型二 幂函数的图象与性质
题型三 指数（型）函数的图象与性质
题型四 对数（型）函数的图象与性质
一．幂函数
(1)幂函数的定义
一般地，函数 叫做幂函数，其中x 是自变量，α 是常数．
(2)常见的五种幂函数的图象
题型梳理
知识清单
(3)幂函数的性质
①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；
②当α>0 时，幂函数的图象都过点 和 ，且在(0，＋∞)上单调递增；
③当α<0 时，幂函数的图象都过点 ，且在(0，＋∞)上单调递减；
④当α 为奇数时，y＝xα为
；当α 为偶数时，y＝xα为
．
二．二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式
一般式：f(x)＝ ．
顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为 ．
零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的
．
(2)二次函数的图象和性质
函数
y＝ax2＋bx＋c(a>0)
y＝ax2＋bx＋c(a<0)
图象(抛物线)
定义域
值域
对称轴
x＝
顶点坐标
奇偶性
当b＝0 时是偶函数，当b≠0 时是非奇非偶函数
单调性
在上单调递
；
在上单调递
在上单调递
；
在上单调递
三．根式
(1)一般地，如果xn＝a，那么 叫做a 的n 次方根，其中n>1，且n∈N*.
(2)式子叫做
，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数．
(3)()n＝ .
当n 为奇数时，＝ ，
当n 为偶数时，＝|a|＝
四．分数指数幂
正数的正分数指数幂：
＝ (a>0，m，n∈N*，n>1)．
正数的负分数指数幂：
＝
＝(a>0，m，n∈N*，n>1)．
0 的正分数指数幂等于 ,0 的负分数指数幂没有意义．
五．指数幂的运算性质
aras＝ ；(ar)s＝ ；(ab)r＝ (a>0，b>0，r，s∈Q)．
六．指数函数及其性质
(1)概念：一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x 是自变量，定义域是 .
(2)指数函数的图象与性质
a>1
0<a<1
图象
定义域
值域
性质
过定点 ，即x＝0 时，y＝1
当x>0 时， ；
当x<0 时，
当x<0 时， ；
当x>0 时，
在(－∞，＋∞)上是_______
在(－∞，＋∞)上是_______
常用结论
1．指数函数图象的关键点(0,1)，(1，a)，.
2.如图所示是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，则c>d>1>a>b>0，即在第一象限内，指数函数y
＝ax(a>0，且a≠1)的图象越高，底数越大．
七．对数的概念
一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作 ，其中 叫做对数的底
数， 叫做真数．
以10 为底的对数叫做常用对数，记作 .
以e 为底的对数叫做自然对数，记作 .
八．对数的性质与运算性质
(1)对数的性质：loga1＝ ，logaa＝ ，
＝ (a>0，且a≠1，N>0)．
(2)对数的运算性质
如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：
①loga(MN)＝ ；
②loga＝ ；
③logaMn＝ (n∈R)．
(3)对数换底公式：logab＝(a>0，且a≠1；b>0；c>0，且c≠1)．
九．对数函数的图象与性质
a>1
0<a<1
图象
定义域
值域
性
质
过定点 ，即x＝1 时，y＝0
当x>1 时， ；
当0<x<1 时，
当x>1 时， ；
当0<x<1 时，
在(0，＋∞)上是
在(0，＋∞)上是
十.反函数
指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数 (a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线 对称．
常用结论
1．logab·logba＝1，
＝logab.
2．如图给出4 个对数函数的图象
则b>a>1>d>c>0，即在第一象限，不同的对数函数图象从左到右底数逐渐增大．
3．对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象恒过点(1,0)，(a,1)，.
【易错点一】忽略对含参数的底数的分类讨论
【例1】（2025·天津·模拟预测）已知函数
在
上单调递增，则a 的取值范围
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【举一反三】【变式1】（2024·陕西西安·一模）已知函数
为偶函数，满足
，且
时，
易错分析
，若关于
的方程
至少有两解，则
的取值范围为（ ）．
A．
B．
C．
D．
【变式2】（2024·贵州贵阳·二模）已知集合
，集合
且
，若
，则
的取值范围是 .
【变式3】（2025·上海·三模）设
且
，已知函数
．
(1)判断
是否为偶函数，并说明理由；
(2)令函数
，解关于
的不等式
．
【题型一】指数幂与对数的运算
【例1】（2020·全国I 卷·高考真题）设
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
解题技巧
(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：
①必须同底数幂相乘，指数才能相加．
②运算的先后顺序．
(2)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．
解决对数运算问题的常用方法
题型方法
(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简．
(2)将同底对数的和、差、倍合并．
(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．
【举一反三】【变式1】（2025·山西临汾·三模）已知
，
，则
（ ）
A．3
B．1
C．
D．
【变式2】（2025·重庆九龙坡·三模）已知
，则
.
【变式3】（2024·上海黄浦·二模）设
，函数
.
(1)求
的值，使得
为奇函数；
(2)若
，求满足
的实数
的取值范围.
【题型二】幂函数的图象与性质
【例2】（2024·四川南充·二模）已知函数
的图象如图所示，则
的解析式可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
解题技巧
(1)对于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x＝1，y＝1，y＝x 所
分区域．根据α<0,0<α<1，α＝1，α>1 的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定．
(2)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较．
【举一反三】【变式1】（2025·天津·二模）已知函数
，则此函数是（ ）
A．偶函数，且在区间
上单调递减B．偶函数，且在区间
上单调递增
C．奇函数，且在区间
上单调递减D．奇函数，且在区间
上单调递增
【变式2】（2020·上海杨浦·一模）函数
的定义域为 ．
【变式3】（2024·北京延庆·一模）已知函数
在区间
上单调递减，则
的一个取值为 ．
【题型三】指数（型）函数的图象与性质
【例3】（2025·天津·高考真题）函数
的零点所在区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
解题技巧
对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得
到．特别地，当底数a 与1 的大小关系不确定时应注意分类讨论．
【举一反三】【变式1】（2025·河南·三模）函数
的大致图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（2025·湖北黄冈·模拟预测）已知函数
在R 上单调递增，则
的取值范围是
．
【变式3】（2024·上海黄浦·二模）设
，函数
.
(1)求
的值，使得
为奇函数；
(2)若
，求满足
的实数
的取值范围.
【题型四】对数（型）函数的图象与性质
【例4】（2025·全国一卷·高考真题）若实数x，y，z 满足
，则x，y，z 的大小关系不可
能是（ ）
A．
B．
C．
D．
解题技巧
对数函数图象的识别及应用方法
(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最
低点等)排除不符合要求的选项．
(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．
【举一反三】【变式1】（2024·广东深圳·二模）已知
，且
，则函数
的图象一定经过（ ）
A．一、二象限
B．一、三象限
C．二、四象限
D．三、四象限
【变式2】（2025·海南·模拟预测）已知函数
在
上单调递增，则实数
的取值范围是
．
【变式3】（2025·上海崇明·二模）已知
．
(1)是否存在实数a，使得函数
是偶函数？若存在，求实数a 的值，若不存在，请说明理由；
(2)若
且
，解关于x 的不等式
．
一、单选题
1．（2023·全国乙卷·高考真题）已知
是偶函数，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．2
2．（2024·广东江苏·高考真题）已知集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2025·福建福州·模拟预测）若函数
的定义域和值域的交集为空集，则a 的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2025·山东青岛·模拟预测）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2024·北京·高考真题）已知
，
是函数
的图象上两个不同的点，则（ ）
A．
B．
好题必刷
C．
D．
二、多选题
6．（2025·江苏苏州·三模）若
，
，则下列判断正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2025·湖南娄底·模拟预测）下列函数，其图象平移后可得到函数
的图象的有（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（2022·山东滨州·二模）（多选）若实数a，b 满足
，则下列结论中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
三、填空题
9．（2025·河南·模拟预测）已知函数
，若
，则
的最大值为 .
10．（2025·江西景德镇·模拟预测）已知函数
，若
，则
的最大值为 .
11．（2025·安徽六安·模拟预测）已知函数
则
的解集是 ．
四、解答题
12．（2023·江苏连云港·模拟预测）计算：
(1)
；
(2)
.
13．（2024·河南·模拟预测）已知
，函数
.
(1)若
，求
的值；
(2)若
分别为
的零点，求
的值.
14．（2025·上海黄浦·二模）已知
．
(1)若
，求
的值；
(2)是否存在实数
，使函数
是奇函数？请说明理由．
15．（2025·上海金山·二模）已知函数
是定义在
上的奇函数，当
时，
.
(1)求
的值；
(2)若
，求函数
的值域.
16．（2025·上海宝山·三模）已知
，函数
.
(1)若
，求函数
的表达式及定义域；
(2)若关于
的方程
的解集中恰好只有一个元素，求实数
的取值范围.
17．（2025·上海宝山·二模）已知函数
，（
且
）
(1)若
，求方程
的解；
(2)已知
，若关于
的不等式
在区间
上恒成立，求实数
的最大值.
18．（2025·江苏苏州·三模）已知函数
．
(1)若
，解关于
的不等式
；
(2)证明：关于
的方程
有且仅有一个实根；
(3)证明：
的充要条件是
．
