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第17 讲 幂指对比较大小 · 讲义
一、考情分析......................................................................................................................................1
二、知识清单......................................................................................................................................2
三、典题精练......................................................................................................................................3
考点一：利用指数、对数函数单调性直接比较..................................................................3
考点二：引入媒介值与估算法..............................................................................................3
考点三：特殊值法与不等式性质..........................................................................................4
考点四：构造函数与同构法..................................................................................................5
考点五：数形结合法..............................................................................................................6
考点六：进阶技巧（放缩法、泰勒展开与不定方程）......................................................6
四、高考真题......................................................................................................................................7
一、考情分析
1. 考查频次与题型
年份
题号与题
型
分
值
考察类
型
考察内容与方式
2026
无
-
-
-
2025
第8 题 单
选题
5 分
直接
给出多变量对数连等式，考查利用引入参数法或数形结
合思想比较变量大小
2024
无
-
-
-
近三年全国一卷中，幂指对比较大小的考查频率不高，但一旦出现，往往以中档或偏
难的单选题形式呈现，侧重考查对数方程的转化与数形结合思想的灵活运用.
2. 命题角度与特色
核心考点：主要考查对数式、指数式的大小比较，常伴随多变量的连等式或不等式.
命题趋势：从单纯的数值估算比较，向方程根的比较、函数交点横纵坐标的比较转变，
强调同构思想与引入媒介值.
试题特点：计算量通常不大，但思维要求高，需要灵活运用指数函数、对数函数的单
调性和图象特征，或借助特殊值法进行排除.
3. 备考策略
· 熟练掌握指数函数、对数函数的图象与性质，特别是底数对函数图象变化趋势的影
响.
· 强化“引入媒介值（如0、1 等）”和“设常数（如连等式设参数k）”的解题技巧，
能够熟练进行指对互化.
· 培养数形结合意识，在遇到复杂的指对数连等式时，能迅速将其转化为函数图象的
交点问题进行直观判断.
二、知识清单
1. 利用函数与方程的思想，构造函数，结合导数研究其单调性或极值，从而确定 a、b、
c 的大小。
2. 指、对、幂大小比较的常用方法：
①底数相同，指数不同时，如 a
x1 和 a
x2，利用指数函数 y =a
x 的单调性；
②指数相同，底数不同，如 x1
a 和 x2
a 利用幂函数 y = x
a 单调性比较大小；
③底数相同，真数不同，如 loga x1 和 loga x2 利用对数函数 loga x 单调性比较大小；
④底数、指数、真数都不同，寻找中间变量 0、1 或者其它能判断大小关系的中间量，
借助中间量进行大小关系的判定。
3. 转化为两函数图象交点的横坐标
4. 特殊值法
5. 估算法
6. 放缩法、基本不等式法、作差法、作商法、平方法
7. 常见函数的麦克劳林展开式
① e
x =1+ x + x
2
2! +⋯+ x
n
n! +
e
θx
(n+1)! x
n+1.
② sin x = x - x
3
3! + x
5
5! -⋯+(-1)
n
x
2n+1
(2n+1)! +o( x
2n+2).
③ cos x =1- x
2
2! + x
4
4! - x
6
6! +⋯+(-1)
n
x
2n
(2n)! +o( x
2n).
④ ln(1+ x)= x - x
2
2 + x
3
3 -⋯+(-1)
n x
n+1
n+1 +o( x
n+1).
⑤ 1
1- x =1+ x + x
2+⋯+ x
n+o( x
n).
⑥ (1+ x)
n=1+nx + n(n-1)
2!
x
2+o( x
2).
【易错提醒】
· 指数函数 y =a
x 与对数函数 y = loga x 的单调性严格依赖于底数 a 与 1 的大小关
系：当 a>1 时单调递增，当 0<a<1 时单调递减.在化同底比较大小时，切勿忽略底数所
在的区间.
· 幂函数 y = x
α 在 (0,+∞) 上的单调性由指数 α 的符号决定：α >0 时单调递增，
α <0 时单调递减.
【防坑警示】
· 在利用导数构造函数比较大小时，常用的放缩不等式（切线不等式）需牢记等号成
立的条件：对于任意 x∈R，e
x≥x +1（当且仅当 x =0 时取等号）；对于任意 x>0，
ln x ≤x -1（当且仅当 x =1 时取等号）.
三、典题精练
考点一：利用指数、对数函数单调性直接比较
考法1：利用指数、对数函数单调性直接比较
例1.（2025·安徽·皖北）若a= log26,b= log49,c = 3
2，则（ ）
A. a>2c
B. b<c
C. a+b>4
D. a-b<1
【考点一 方法总结】
· 利用指数函数和对数函数的单调性比较大小时，首要步骤是观察底数.若底数相同，
直接利用单调性比较指数或真数；若底数不同，需通过对数运算性质或指数幂的运算法则
化为同底.
· 对于常数与对数或指数的比较，应将常数转化为与待比较数同底的对数或指数形
式，再利用单调性进行判断.
考点二：引入媒介值与估算法
考法2：引入0、1 等常数媒介值比较
例2.（2025·河北·石市）已知a=2
0.6，b=0.5
0.8，c = log20.9，则a,b,c的大小关系为
（ ）
A. a<b<c
B. b<a<c
C. b<c<a
D. c<b<a
考法3：引入其他媒介值或估算法比较
例3.已知a=2
3
4 ,b=3
1
2 ,c = log34 ,d = log45，则a,b,c ,d的大小关系为（ ）
A. b>a>d >c
B. b>c>a>d
C. b>a>c>d
D. a>b>d >c
【考点二 方法总结】
· 遇到不同类型的数（如指数与对数混搭）时，优先考虑引入常数媒介值（如0或1
）.通过判断各数与0和1的大小关系，快速实现初步分层.
· 当多个数均位于同一区间（如都大于1）且无法直接比较时，需寻找更精细的有理
数媒介值（如1
2、3
2、4
5 等）.寻找媒介值的方法通常是观察指数幂的临界状态或对数真数
的平方/立方关系.
· 对于结构相似的对数乘积或大小比较，灵活运用基本不等式（如ab≤( a+b
2
)
2）进
行放缩，结合对数加法运算，能够有效建立不等关系.
考点三：特殊值法与不等式性质
考法4：利用特殊值代入或不等式性质比较
例4.（2026·安徽·淮北）已知ln a>ln b>0,c>0，则（ ）
A. 2
a<2
b
B. ab+1>a+b
C. loga2>logb2
D. b+c
a+c < b
a
【考点三 方法总结】
· 在处理抽象的含参不等式选择题时，若题目条件较为宽泛，可直接选取符合条件
的特殊值代入各选项进行验证，快速排除错误选项.
· 严格证明代数式大小关系时，作差法是首选.将两式相减后，通过通分、因式分解
等手段将差值化为连乘或连除的形式，进而根据已知条件判断各因式的正负.
· 面对底数和真数均不相同的对数比较，务必熟练运用换底公式，将其统一转化为
同底对数或同真数对数，再结合单调性进行判断.
考点四：构造函数与同构法
考法5：构造单一函数利用导数单调性比较
例5.（2026·安徽·阜阳）已知函数f ( x)= ln x
❑√x ,a= f (e),b= f(
9
2),c = f （7），则（ ）
A. a>b>c
B. b>a>c
C. b>c>a
D. c>b>a
考法6：利用同构法构造函数比较
例6.（2026·山东·济南）已知正实数a,b,c满足ae
a=b ln b=c
3，则（ ）
A. a<c<b
B. c<a<b
C. b<a<c
D. a<b<c
【考点四 方法总结】
· 当待比较的数值可以抽象为同一个函数在不同自变量处的取值时，直接构造该函
数并利用导数求解单调区间.重点在于准确估算自变量的大小，确保它们落在已知的单调
区间内.
· 面对结构不对称的连等式或不等式，需利用指对数恒等式（如 x =e
ln x 或 x = ln e
x
）进行变形，强行凑出相同的代数结构，从而构造出单一函数（同构法）.
· 在同构转化后，若仍需比较两个函数值，可采用作差法构造辅助函数，通过二次
求导证明辅助函数恒大于或小于零，进而得出大小关系.
考点五：数形结合法
考法7：结合函数图象交点或反函数特征比较
例7.已知a>1，x1, x2, x3为函数f ( x)=a
x- x
2的零点，x1< x2< x3，若x1+ x3=2 x2，则
（ ）
A. x3
x2
<2ln a
B. x3
x2
=2ln a
C. x3
x2
>2ln a
D. x3
x2
与2ln a大小关系不确定
【考点五 方法总结】
· 当遇到超越方程的根或零点问题时，务必将其转化为两个熟悉函数图象的交点问
题.在同一坐标系中画出草图，通过交点的横纵坐标位置直观判断大小关系.
· 在数形结合中，常需利用导数求解曲线的切线方程，特别是过原点的切线，以确
定函数图象相交或相切的临界条件，从而精准界定参数的取值范围.
考点六：进阶技巧（放缩法、泰勒展开与不定方程）
考法8：利用放缩法比较大小
例8.（2026·山东·济宁）设a=e
- 4
5 ,b= ln 5
2 ,c = 3
5，比较a，b，c的大小，并说明理由.
考法9：利用泰勒展开比较大小
例9.a=2ln1.01,b= ln1.02,c = ❑√1.04 -1，则a,b,c的大小关系为＿＿＿＿＿＿.
考法10：结合不定方程比较大小
例10.已知实数a,b，满足a= log23+ log64 ,3
a+ 4
a=5
b，则关于a,b下列判断正确的是（
）
A. a<b<2
B. b<a<2
C. 2<a<b
D. 2<b<a
【考点六 方法总结】
· 熟记并灵活运用经典放缩不等式（如 e
x≥x +1，ln x ≤x -1，ln x ≥2( x -1)
x +1
等）是
解决此类问题的捷径.在应用时，注意自变量的取值范围及等号成立的条件.
· 当数值差异极小时，一阶导数（即切线放缩）往往失效，需要利用二阶导数甚至
更高阶导数构造多项式（本质是泰勒展开）进行高精度放缩.通过保留更多的项，可以更
准确地估算函数值.
· 处理形如 A
x+ B
x =C
y（其中 A
2+ B
2=C
2）的不定方程比较大小问题时，两边同除
以 C
x 构造单调递减的指数型函数是标准解法.
四、高考真题
1.（2025·全国一卷）若实数x , y , z满足2+ log2 x =3+ log3 y =5+ log5 z，则x , y , z的大小关系
不可能是（ ）
A. x> y > z
B. x> z> y
C. y > x> z
D. y > z> x
