第12 讲 函数与方程 · 分类练习
考点一：函数的零点与二分法
考法1：函数的零点定义与存在性定理
1.（2025·沧州运东五校·二模）函数f ( x)=2
x+ ln x -1的零点所在的区间为（ ）
A. (0, 1
2 )
B. ( 1
2 ,1)
C. (1, 3
2 )
D. ( 3
2 ,2)
2.（2026·泰安·一模）函数f ( x)=( x -1)2
x -26的零点所在的大致区间为（ ）
A. (1,2)
B. (2,3)
C. (3,4)
D. (4 ,5)
3.已知函数f ( x)=e
x+ ln x +2，若x0是方程f ( x)- f
'( x)=e的一个解，则x0可能存在的区间是
（ ）
A. (0,1)
B. (1,2)
C. (2,3)
D. (3,4)
考法2：求方程的近似解
4.函数f ( x)的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下：
f （1）=-2 f (1.5)=0.625 f (1.25)=-0.984
f (1.375)=-0.260 f (1.438)=0.165 f (1.4065)=-0.052
那么方程的一个近似解 (精确度为 0.1) 为（ ）
A. 1.5
B. 1.25
C. 1.41
D. 1.44
5.利用二分法求方程log3 x =3- x的近似解，可以取的一个区间是（ ）
A. (0,1)
B. (1,2)
C. (2,3)
D. (3,4)
6.用二分法求函数f ( x)= ln( x +1)+ x -1在区间[0,1]上的零点，要求精确度为 0.01 时，所
需二分区间的次数最少为（ ）
A. 6
B. 7
C. 8
D. 9
7.牛顿迭代法是我们求方程近似解的重要方法．对于非线性可导函数f ( x)在x0附近一点的
函数值可用f ( x)≈f ( x0)+ f
'( x0)( x - x0)代替，该函数零点更逼近方程的解，以此法连续迭
代，可快速求得合适精度的方程近似解．利用这个方法，解方程x
3-3 x +1=0，选取初始
值x0= 1
2，在下面四个选项中最佳近似解为（ ）
A. 0.333
B. 0.335
C. 0.345
D. 0.347
考点二：函数零点与方程根的个数
考法3：利用数形结合判断交点或零点个数
8.（2026·佛山·检测）下列曲线中，与曲线y = x
3-3 x交点个数最多的是（ ）
A. y =-2 x
B. | x|+| y |=2
C. y
2= 4
D. | y |= x
2
9.（2025·衡水中学·一模）函数f ( x)=2sin(2 x + π
6 )与函数g( x)= log2 x的图象交点个数为（
）
A. 3
B. 5
C. 6
D. 7
10.（2024·华南师大附中·三模）（多选）已知函数y = x +e
x的零点为x1，y = x + ln x的零点
为x2，则（ ）
A. x1+ x2>0
B. x1 x2<0
C. e
x1+ ln x2=0
D. x1 x2- x1+ x2>1
11.（2026·黄冈·调研）（多选）若直线y =a与两条曲线f ( x)= x e
2 x和g( x)= x ln x
2
共有四个
不同的交点，设从左到右四个交点的横坐标分别为x1, x2, x3, x4，则（ ）
A. - 1
2e <a<0
B. e
2 x1= x3
C. x1, x2, x3, x4成等比数列
D. x1 x3= x2 x4
考法4：结合导数与单调性判断零点个数
12.（2026·山东九五协作体·一模）已知a,b,c为两两不相等的正数，设函数f ( x)=a
x+b
x -c
x，
则（ ）
A. f ( x)没有零点
B. f ( x)有唯一零点
C. f ( x)至多有一个零点
D. f ( x)至少有一个零点
13.（2026·孝感·二模）（多选）已知函数y = f ( x)的定义域是[0,+ ∞)，满足
f ( x)={
-2 x +2,0≤x<1
- x
2+ 4 x -3,1≤x<3
2 x -6,3≤x<4
，且f ( x + 4)= f ( x)+a，若存在实数k，使函数g( x)= f ( x)+k在
区间[0,2026]上恰好有 2026 个零点，则实数a的值可能为（ ）
A. - 1
508
B. 0
C. 1
506
D. 1
505
考法5：分析分段函数或特殊方程的零点个数
14.（2026·菏泽·一模）（多选）函数y = F( x)图象是由函数f ( x)=(
1
16)
x
，x ≤1
4 与函数
g( x)= ❑√x，x> 1
4 的图象“拼接”而成.则下列说法正确的有（ ）
A. F(
1
4)+ F （4 ）= 5
2
B. 若g(m+ 4)< g(3-2m)，则m<- 1
3
C. 若y = F( x)-k( x +1)有三个零点，则2
5 <k < 1
2
D. 若关于x的方程F( x -2026)-t
2+ 1
2 t =0存在实数解，则实数t满足t ≤- 1
2或t ≥1
考点三：利用零点求参数范围
考法6：结合零点存在性定理与端点效应求参数
15.函数f ( x)= log2 x + x
2+m在区间(1,2)存在零点．则实数m的取值范围是（ ）
A. (-∞,-5)
B. (-5,-1)
C. (1,5)
D. (5,+∞)
16.函数f ( x)=2
x - 3
x -a的一个零点在区间(1,3)内，则实数a的取值范围是（ ）
A. (7 ,+ ∞)
B. (-∞,-1)
C. (-∞,-1)∪(7,+ ∞) D. (-1,7)
17.已知函数f ( x)=a-
2
2
x+1是 R 上的奇函数，若函数y = f ( x -2m)的零点在区间(-1,1)内，
则m的取值范围是（ ）
A. (- 1
2 , 1
2 )
B. (-1,1)
C. (-2,2)
D. (0,1)
考法7：利用分离参数法与导数求参数范围
18.（2026·山东名校联盟·检测）若函数f ( x)= x
e
x - a
x 有且只有一个零点，则实数a的取值范
围为（ ）
A. ( 4
e
2 ,+∞)
B. ( 4
e
2 ,+∞)∪{0}
C. (-∞,0)∪( 4
e
2 ,+ ∞)
D. (-∞,0]∪( 4
e
2 ,+∞)
19.（2025·保定·一模）函数f ( x)=mx -|ln x +1|有且只有三个零点，则m的取值可以是（
）
A. 3
B. e
C. 1
D. 1
e
20.已知函数f ( x)=a x
3+3 x
2- 4，若f ( x)存在唯一的零点x0，且x0<0，则a的取值范围是＿
＿＿＿＿＿.
21.若至少存在一个x，使得方程ln x -mx = x( x
2-2ex)成立．则实数m的取值范围为＿＿＿
＿＿＿.
22.（2026·龙岩·检测）已知函数f ( x)={
x
2-2 x -a, x<2
ln( x -2), x ≥2 恰有三个零点，则实数 a 的取值范
围是＿＿＿＿＿＿.
考法8：利用分段函数或特殊方程的根求参数范围
23.（2026·山东师大附中·检测）已知函数f ( x)= 4 sin(2 x + π
6 )，且函数g( x)= f ( x)-a在
[0,nπ ]，(n∈N
*)内恰有 2025 个零点，则满足条件的有序数对(a,n)（ ）
A. 有且仅有 1 对
B. 有且仅有 2 对
C. 有且仅有 3 对
D. 有无数对
24.已知函数f ( x)={
2
x , x ≤0
log2 x , x>0，若函数g( x)= f ( x)+m有两个零点，则m的取值范围是（
）
A. [-1,0)
B. [-1,+ ∞)
C. (-∞,0)
D. (-∞,1]
25.（2026·临泉田家炳·二模）已知函数f ( x)={
2
x( x -a)-2, x<2
ln( x -2), x ≥2恰有三个零点，则实数 a 的
取值范围是＿＿＿＿＿＿.
26.（2025·张家口·二模）已知关于 x 的方程 2a
2 x +1+2ax =1 有两个不等实根，则正数 a
的取值范围是＿＿＿＿＿＿.
27.（2026·山东九五协作体·一模）已知函数f ( x)=
x +1
| x|+1 .
（1）求曲线y = f ( x)在点(-1,f (-1))处的切线方程；
（2）关于x的方程f ( x)-kx -b=0(k ,b∈R)有三个实根x1, x2, x3，且x1+ x2+ x3=0，求b的取
值范围.
考点四：复合函数与嵌套函数的零点
考法9：利用换元法处理嵌套函数零点
28.（2026·宁波·二模）已知函数f ( x)={
- 2
x -1,-2≤x<0
ln x , x>0
，设a,b,c是三个不同的实数，且
满足f (f (a))= f (f (b))= f (f (c))，则a+b+c的最小值为（ ）
A. e
2-1
B. e -1
C. e
2-1+ 1
e
D. e -1+ 1
e
2
29.已知函数f ( x)=|2
| x|-2|-1，则关于x的方程f
2( x)+mf ( x)+n=0有 7 个不同实数解，则
实数m,n满足（ ）
A. m>0且n>0
B. m<0且n>0
C. 0<m<1且n=0
D. -1<m<0且n=0
30.定义在 R 上函数f ( x)，若函数y = f ( x -1)关于点(1,0)对称，且
f ( x)={
- x
2, x∈[0,1)
e
x -1-2, x∈[1,+ ∞)，则关于x的方程f
2( x)-2mf ( x)=1(m∈R)有n个不同的实数解，
则n的所有可能的值为（ ）
A. 2
B. 4
C. 2 或 4
D. 2 或 4 或 6
31.（2026·阜阳·一模）已知函数f ( x)={
x +2, x ≤0
ln( x +1), x>0若关于x的方程f (f ( x))=m恰有三个
不相等的实数根，则实数m的取值范围是＿＿＿＿＿＿.
考点五：零点的综合应用
考法10：结合函数对称性求零点之和
32.（2026·滁州·一模）已知函数f ( x)= x +(
1
2)
5730
-3，g( x)= x + log
5730√
1
2
x -3的零点分别是
x1, x2，则x1, x2满足（ ）
A. x1+2 x2=2
B. 2 x1+ x2=3
C. x1+ x2=2
D. x1+ x2=3
33.（2025·河南青桐鸣·联考）已知函数f ( x),g( x)的定义域均为 R，且f ( x +1)为偶函数，
f ( x +2)为奇函数，函数g( x)= x
2-mx -11(m>0)的最小值为-36，若函数F( x)= f ( x)- g( x)
有两个零点s,t，则s+t =＿＿＿＿＿＿.
考法11：利用等高线模型求零点的和与积
34.已知函数f ( x)={
( x +1)
2, x ≤0
|log2 x|, x>0，若方程f ( x)=a有四个不同的解x1, x2, x3, x4，且
x1< x2< x3< x4，则x3⋅( x1+ x2)+ 1
x3
2 ⋅x4的取值范围是（ ）
A. [-1,1)
B. [-1,1]
C. (-1,1]
D. (-1,1)
35.已知函数f ( x)={
|log3 x|,0< x ≤3
1
3 x
2- 10
3 x +8, x>3，若方程f ( x)=m有四个不同的实根x1, x2, x3, x4，满
足x1< x2< x3< x4，则
( x3-3)( x4-3)
x1 x2
的取值范围是（ ）
A. (0,3)
B. (0,4 ]
C. [3,4 ]
D. (1,3)
36.已知函数f ( x)={
|( 1
2 )
x -1-1|, x ≤1
- 1
2 x +1, x>1
，若互不相等的实数x1, x2, x3满足f ( x1)= f ( x2)= f ( x3)，
则( 1
2 )
x1+( 1
2 )
x2+( 1
2 )
x3的取值范围是（ ）
A. ( 9
4 , 5
2 )
B. (1,4)
C. (❑√2,4)
D. (4 ,6)
37.设函数f ( x)={
- x
2-2 x , x ≤0
|ln x|, x>0
①若方程f ( x)=a有四个不同的实根x1, x2, x3, x4，则x1⋅x2⋅x3⋅x4的取值范围是(0,1)
②若方程f ( x)=a有四个不同的实根x1, x2, x3, x4，则x1+ x2+ x3+ x4的取值范围是(0,+ ∞)
③若方程f ( x)=ax有四个不同的实根，则a的取值范围是(0, 1
e )
④方程f
2( x)-(a+ 1
a )f ( x)+1=0的不同实根的个数只能是 1，2，3，6
四个结论中，正确的结论个数为（ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
考法12：利用函数性质处理唯一零点问题
38.已知函数h( x)是奇函数，且f ( x)=h( x)+2，若x =2是函数y = f ( x)的一个零点，则
f (-2)=（ ）
A. - 4
B. 0
C. 2
D. 4
39.已知函数f ( x)=| x +2|+e
x +2+e
-2- x+a有唯一零点，则实数a=（ ）
A. 1
B. -1
C. 2
D. -2
40.已知实数x , y满足ln ❑√2 y +1+ y =2，e
x+ x =5，则x +2 y =＿＿＿＿＿＿.
41.（2026·唐山·一模）已知f ( x)= x| x -2|，若f ( x)=3，则x =＿＿＿＿＿＿.
42.（2026·宜春十校·联考）设数列{an}的前 n 项和为Sn，对任意n∈N
*，函数
f ( x)= x
2- Sncos x +2an-1在定义域内有唯一的零点，则数列{an}的通项公式＿＿＿＿＿＿.
