第13 讲指数函数与对数函数
（知识清单+7 典例精讲+6 方法技巧+分层训练）
近3 年考查情况
题型
分值
指数对数大小比较、对数运算性质loga MN = loga M + loga N、函数定点
(1,0)
单选、填空
题
5 分
对数函数单调性、对数不等式求解log2 ( x−1)<1
单选、多选
题
5 分/6 分
复合指数函数y =2
x
2−2 x单调区间与最值
填空题
5 分
指对幂综合比大小：a=2
0.1,b= log2 0.1,c =0.1
2
单选题
5 分
对数换底公式loga b= ln b
ln a化简求值
单选、解答
题
5 分/10 分
指数型偶函数判定f ( x)=a
x+a
−x
单选题
5 分
复合对数函数y = log0.5 ( x
2−1)定义域、单调性判断
单选题
5 分
指数不等式求解2
x +1>4
x−1，同底转化单调性
单选题
5 分
【知识点01】根式
(1)一般地,如果xn＝a,那么x 叫做a 的n 次方根,其中n>1,且n∈N*.
(2)式子n√a叫做根式,这里n 叫做根指数,a 叫做被开方数.
(3)(n√a)n＝a.
当n 为奇数时,
n√a
n＝a,
当n 为偶数时,
n√a
n＝|a|＝{
a,a≥0,
−a,a<0.
【例1】化简下列根式：（1）(
3√−5)
3；（2）
4√(−2)
4
解析：（1）由(
n√a)
n=a，得(
3√−5)
3=−5；
（2）偶次根式需绝对值：
4√(−2)
4=|−2|=2。
【知识点02】分数指数幂
正数的正分数指数幂：a
m
n ＝
n√a
m(a>0,m,n∈N*,n>1).
正数的负分数指数幂：a
−m
n ＝1
a
m
n
＝1
n√a
m(a>0,m,n∈N*,n>1).
0 的正分数指数幂等于0,0 的负分数指数幂没有意义.
【例2】将下列根式化为分数指数幂：（1）
5√a
3；（2）1
❑√a
解析：（1）5√a
3=a
3
5；
（2）
1
❑√a = 1
a
1
2
=a
−1
2
。
【知识点03】指数幂的运算性质
aras＝a r ＋ s ；(ar)s＝a rs ；(ab)r＝a r b r (a>0,b>0,r,s∈R).
【例3】化简a
1
2 ⋅a
2
3 ÷ a
1
6
解析：原式
=a
1
2 + 2
3 −1
6
¿
=a
1
¿
¿
.
【知识点04】对数的概念
一般地,如果ax＝N(a>0,且a≠1),那么数x 叫做以a 为底N 的对数,记作x＝logaN,其中a 叫做对数的底数,N 叫做真数.
以10 为底的对数叫做常用对数,记作lg
N .
以e 为底的对数叫做自然对数,记作ln
N .
【例4】将指数式化为对数式：（1）3
4=81；（2）2
−3= 1
8
解析：（1）log3 81= 4；
（2）log2 1
8 =−3。
【知识点05】对数的性质与运算性质
(1)对数的性质：loga1＝0,logaa＝1,a
lo ga N＝N(a>0,且a≠1,N>0).
(2)对数的运算性质
如果a>0,且a≠1,M>0,N>0,那么：
①loga(MN)＝logaM
＋
log
aN；
②loga M
N ＝logaM
－
log
aN；
③logaMn＝n log
aM(n∈R).
(3)对数换底公式：logab＝lo gcb
lo gc a(a>0,且a≠1；b>0；c>0,且c≠1).
【例5】计算log6 12+ log6 3−log6 6
解析：
原式
= log6 (12×3)−1
¿
=2−1
¿
¿
.
【知识点06】指数函数及其性质
(1)概念：一般地,函数y＝ax(a>0,且a≠1)叫做指数函数,其中指数x 是自变量,定义域是R.
(2)指数函数的图象与性质
a>1
0<a<1
图象
定义域
R
值域
(0,
＋
∞
)
性质
过定点(0,1),即x＝0 时,y＝1
当x>0 时,y >1
；
当x<0 时,0<
y <1
当x<0 时,y >1
；
当x>0 时,0<
y <1
增函数
减函数
【例6】比较大小：1.8
0.5与1.8
0.3
解析：函数y =1.8
x中a=1.8>1，在R上单调递增；
因0.5>0.3，故1.8
0.5>1.8
0.3。
【知识点07】对数函数的图象与性质
a>1
0<a<1
图象
定义域
(0,
＋
∞
)
值域
R
性质
过定点(1,0),即x＝1 时,y＝0
当x>1 时,y >0
；
当0<x<1 时,y <0
当x>1 时,y <0
；
当0<x<1 时,y >0
增函数
减函数
【例7】求y = log2 ( x−2)的定义域与单调区间
解析：
定义域：真数大于0，x−2>0⇒x>2，即(2,+ ∞)；
外层函数y = log2 u递增，内层u= x−2递增，由同增异减，函数在(2,+ ∞)上单调递增。
【知识点08】反函数
指数函数y＝ax(a>0,且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0,且a≠1)互为反函数,它们的图象关于直线y ＝
x 对称.
【例8】已知指数函数y =3
x过点(2,9)，求其反函数所过定点，并写出反函数解析式。
解析：
y =3
x的反函数为y = log3 x；
由反函数对称性质，原函数过(2,9)，则反函数过(9,2)。
【题型一】根式与指数幂化简求值
【例1】（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）已知集合
，
，若
，则
（ ）
A．
B．2
C．
D．1
【答案】D
【详解】因为
，且
，所以
，即
，
所以
.
【变式1】（2026·陕西榆林·三模）已知实数
且
，
，函数
，若
，则
（ ）
A．
B．2
C．
D．3
【答案】B
【分析】根据函数
的解析式形式，构造新函数，根据新函数的性质进行求解即可.
【详解】令
，
则
，
所以
，
所以
，
所以
，
因为
，所以
.
【变式2】（2026·山西临汾·二模）已知
（
，且
），则
______．
【答案】
/
【详解】已知
（
，且
），令
，则
，
，解得
，
，
；
，
．
【变式3】（2026·陕西安康·三模）若
，则
___________．（用m，n 表示）
【答案】
【分析】由条件结合指数幂的运算性质可得
，结合关系
可得结论.
【详解】因为
，所以
，
所以
．
【题型二】对数式化简与求值
【例1】（2026·河南·模拟预测）
（ ）
A．1
B．
C．
D．2
【答案】D
【分析】根据两角和与差的正切公式，结合对数运算性质求解即可.
【详解】
，
，
所以
．
【变式1】（2026·甘肃武威·模拟预测）已知函数
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】法1：由
，得
，所以
，所以
，
所以
，即
，所以
．
法2：
，
所以
．
【变式2】（2026·山东泰安·模拟预测）已知
，
，则
__________．
【答案】1
【详解】由
可得
，又
，
则
.
【变式3】（2026·安徽合肥·模拟预测）已知
，则
______．
【答案】16
【详解】由题意得
，解得
.
，
即
，
则
，
则
，
则
，即
，即
，
即
，则
，解得
.
【题型三】指数、对数函数定义域求解
【例3】（2025·黑龙江·二模）已知命题
；命题
，则（ ）
A．
和
都是真命题
B．
和
都是真命题
C．
和
都是真命题
D．
和
都是真命题
【答案】D
【分析】对于命题
，对于命题
，举出例子判断为假命题,进而根据选项判断正确选项.
【详解】对于命题
，当
时，
，所以
为假命题；
对于命题
，因为
成立，所以
为假命题.
故选：D.
【变式1】（多选）（2024·广东·模拟预测）已知函数
，则（ ）
A．当
时，
的定义域为R
B．
一定存在最小值
C．
的图象关于直线
对称
D．当
时，
的值域为R
【答案】AC
【分析】根据对数函数的性质及特殊值一一判断.
【详解】对于A：若
，则
，则二次函数
的图象恒在
轴的上方，
即
恒成立，所以
的定义域为R，故A 正确；
对于B：若
，则
的定义域为
，值域为R，没有最小值，故B 错误；
对于C：由于函数
为偶函数，其图象关于y 轴对称，
将该函数的图象向左平移
个单位长度即可得到函数
的图象，
此时对称轴为直线
，故C 正确；
对于D：若
，则
，故
的值域不是R，故D 错误.
故选：AC
【变式2】（2026·贵州毕节·一模）函数
的定义域为__________.
【答案】
【分析】根据对数的真数大于0 即可得解.
【详解】令
，
解得
或
，即
，
因此函数
的定义域为
.
故答案为：
.
【变式3】（2025·湖北恩施·模拟预测）若函数
定义域为
，则a 的取值范围是________.
【答案】
【分析】应用一元二次不等式恒为正分
两种情况计算求解.
【详解】
对一切实数均成立，
所以当
时，显然成立；
当
时，
，
解得
；
故
的取值范围为
.
故答案为：
【题型四】指数函数、对数函数的值域
【例4】（2025·甘肃武威·模拟预测）如图所示的函数图象对应的函数解析式可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】应用函数对称性判断C，D，再根据
时，
排除A.
【详解】由图可知函数图象关于原点对称，所以该函数为奇函数，
中，
，
，
不相等，所以C 选项错误；
中，
，
，
不相等，所以D 选项错误；
对于
，当
时，
，与图象不符，故排除A.
故选：B
【变式1】（多选）（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知函数
，设
且
，下列说法正
确的有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【详解】对于A，由指数函数的值域是
，可得
，故A 正确；
对于B，由函数
，可得
，故B 正确；
对于C，由
，两者不一定相等，故C 错误；
对于D，因为
，所以
在
上单调递减，所以
，故D 正确．
【变式2】（2025·贵州·二模）已知函数
（
）的图象经过点
，
．若
，
则
______．
【答案】5
【分析】利用给定函数所过点建立方程组，结合已知等式求出
.
【详解】依题意，
，整理得
，则
，
而
，因此
，又
，则
，而
，
所以
.
故答案为：5
【变式3】（2025·陕西西安·一模）已知函数
，且函数
的图象与
的图象关于直线
对
称.
(1)求
的解析式；
(2)证明：
.
【答案】(1)
；
(2)证明见解析.
【分析】（1）根据给定条件，利用轴对称列式求出解析式.
（2）由（1）的结论，按
分段，结合对数函数性质及不等式性质推理得证.
【详解】（1）函数
，因函数
的图象与
的图象关于直线
对称，
则
，
故函数
的解析式为
.
（2）由（1）知，
，恒有
，
若
，则
，
，而
，因此
；
若
，则
，
，
，因此
，
综上，可得
.
【题型五】由指数函数、对数函数的单调性解不等式
【例5】（2026·四川眉山·模拟预测）已知集合
，集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】由
，解得
，所以
，
因为
，所以
.
【变式1】（多选）（2025·湖北孝感·三模）已知函数
在区间
上单调递增，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【分析】设
，可得函数
在
上单调递减，根据复合函数的单调性即可得
的范围即可判断AB，
利用单调性即可判断CD.
【详解】
的定义域为
．
设
，可得函数
在
上单调递减，
在
上单调递增，
根据复合函数的单调性可得
，故A 正确，B 错误；
由
，可得
，
又
在
上单调递减，
则
，故C 正确，D 错误．
故选：AC．
【变式2】（2025·福建宁德·三模）设函数
，则满足
的
的取值范围是__________.
【答案】
【分析】先求得函数定义域，然后分
与
讨论，结合对数函数的单调性代入计算，即可得到结果.
【详解】由
可得
，
则
，解得
，所以定义域为
，
当
时，
，
由
可得
，即
，无解；
当
时，
，
由
可得
，即
，
即
，解得
，
又
，所以
，
即不等式的解集为
.
故答案为：
【变式3】（2025·河北张家口·模拟预测）已知奇函数
（
）.
(1)求a 的值；
(2)若对于任意的
，不等式
恒成立，求m 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先根据奇函数性质求得
，然后利用奇函数定义判定即可得解.
（2）结合（1）根据指数函数单调性判断
是
上的单调递增且奇函数，然后将题干恒成立问题转化为
恒成立，分离常数令
，则
对
恒成立，然后结合不等式的性质利用基本不
等式求解最值即可.
【详解】（1）由题意知
的定义域为
，
又
是奇函数，所以
，解得
，此时
，
故
，
所以
是定义域为
的奇函数，所以
.
（2）因为
在定义域上单调递增，所以
在
上单调递增，又
是
上的奇函数，
所以
等价于
，
即
，所以
，
即
，因为
恒成立，
所以
，
故
，
令
，因为
，所以
，
所以
对于一切
恒成立，
因为
，当且仅当
时取等号，所以
，
所以
，当且仅当
时取等号，即m 的取值范围为
.
【题型六】比较指数幂、对数式的大小
【例6】（2026·云南·模拟预测）已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】
，故
【变式1】（2026·山东临沂·二模）已知实数x，y，z 满足
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】由题意，
．由
，得
，
函数
在
上单调递增，
单调递减，
故方程有唯一解，且
．
由
，代入
得
，故
．
令
，该函数在
上单调递增，
因为
，
，所以
．
综上，
．
【变式2】（2024·河北衡水·模拟预测）已知
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用对数函数的单调性得到a，b 的范围，利用指数函数的单调性得到c 的范围比较.
【详解】因为
，
所以
易知
，
所以
【变式3】（2024·全国·模拟预测）已知命题“对于
，
”为真命题，写出符合条件的
的一个
值：______．
【答案】
（答案不唯一）
【分析】当
时，
，当
时，可得
可取任意负数，即可求解.
【详解】对于
，
，
当
时，对于
，
，则
可取任意负数，如
；
故答案为：
.
【题型七】反函数问题
【例7】（2026·广东广州·二模）若函数
的图象与
的图象关于直线
对称，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．9
【答案】B
【分析】根据两个函数图象关于直线
对称，得出它们互为反函数，进一步求出反函数表达式，并作为
的解
析式，最后根据题意得到关于
的方程，求解
.
【详解】因为两个函数图象关于直线
对称，
所以
是
的反函数，
对
整理得：
，
，
交换
可得反函数：
，
又因为
，所以
，
化简可得：
，即
，
两边取以3 为底的对数，则
.
【变式1】（2025·辽宁鞍山·一模）函数
的反函数是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】求得原函数的值域，再用
表示
，写出反函数即可.
【详解】因为
，所以函数
的值域为
，
由
，所以
，得
，
所以
，
所以函数
的反函数为
.
故选：B.
【变式2】（多选）（2024·湖南怀化·二模）已知函数
的零点为
的零点为
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【分析】利用函数零点的意义，结合函数
与
互为反函数，确定
的关系，再逐项分析判断得解.
【详解】依题意，
，
，
则
分别是直线
与函数
，
图象交点的横坐标，
而函数
与
互为反函数，它们的图象关于直线
对称，
又直线
垂直于直线
，则点
与点
关于直线
对称，
则
，于是
，
，
，BC 正确，A 错误；
因为
,所以
，
则
，即
，D 错误.
故选：BC
【变式3】（2025·陕西宝鸡·二模）已知
分别是函数
，
的零点，则
的
值为________.
【答案】
【分析】根据
与
的对称关系可知
，由此可求得结果.
【详解】由题意知：
，
分别为
、
与直线
交点的横坐标，
与
关于直线
对称，
关于直线
对称，
则由
得：
，
，
.
故答案为：
.
【解题大招01】指数、对数式快速化简技巧
技巧原理：所有根式、负指数、分数指数统一化为幂形式，对数优先统一底数，利用运算公式合并，杜绝分步
出错。
核心公式：
a
m⋅a
n=a
m+n, a
m
a
n =a
m−n,loga M + loga N = loga ( MN )
【例1】计算 log4 8+
4√16
3
解析：
log4 8
= log2
2 2
3= 3
2 log2 2= 3
2
4√16
3
=(2
4)
3
4 =2
3=8
原式
= 3
2 +8= 19
2
【解题大招02】指对函数定义域秒杀技巧
技巧口诀：对数真数必大于0，底数大于0 且不为1，分母不为0，根式非负，多重限制联立求解。
【例2】求 f ( x)=
1
log2 ( x−1) 的定义域
解析：列约束条件：
{
x−1>0
log2 ( x−1)≠0⇒{
x>1
x−1≠1⇒x>1 且x≠2
定义域：(1,2)∪(2,+ ∞)
【解题大招03】复合函数单调性“同增异减”秒杀法
技巧原理：设复合函数y = f (g( x))，内外层单调性相同则增，相反则减，必须优先求定义域。
单层单调性：a>1，y =a
x、y = loga x 递增；0<a<1，y =a
x、y = loga x 递减。
【例3】求 y = log 1
2
( x
2−4 x) 的单调区间
解析：① 定义域：x
2−4 x>0⇒x<0或x>4
② 拆分：外层y = log 1
2
u（递减），内层u= x
2−4 x
③ 同增异减：
x∈(−∞,0)，内层递减、外层递减，复合函数单调递增
x∈(4 ,+∞)，内层递增、外层递减，复合函数单调递减
【解题大招04】指对幂数值大小比较
解题套路：找中间量 0、1 分层，先分层再精细对比。
1. 指数：a>1 底数大则值大；0<a<1 底数大则值小；
2. 对数：loga x>0( x>1),loga x<0(0< x<1)。
【例4】比较 a=3
0.2,b= log3 0.2,c =0.2
3 大小
解析：
a
=3
0.2>3
0=1
b
= log3 0.2<log3 1=0
0<c
=0.2
3=0.008<1
大小关系：b<c<a
【解题大招05】指数、对数不等式通用解法
核心规则：同底函数单调性脱壳，a>1不等号不变，0<a<1不等号反向，对数必须保留真数大于0。
【例5】解不等式 2
2 x−1>2
x +3
解析：底数2>1，单调递增，直接脱壳：
2 x−1> x +3⇒x>4
解集：(4 ,+∞)
【解题大招06】反函数性质秒杀技巧
核心结论：y =a
x与 y = loga x 互为反函数，图象关于 y = x 对称；原函数点(m,n)，反函数必过(n,m)。
【例6】已知 y =2
x 过点 (3,8)，求其反函数定点。
解析：
y =2
x 反函数为 y = log2 x，由对称性质，反函数过定点 (8,3)。
【基础过关】（共8 题）
一、单选题
1．（2026·甘肃兰州·模拟预测）记
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】
，
, 因
, 故
.
.
综上可得大小关系：
.
2．（2026·山西·二模）集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】由
，其中
，
又
，
则
．
3．（2026·河北保定·三模）已知集合
，
，则
的非空真子集的个数为（ ）
A．0
B．2
C．4
D．6
【答案】B
【详解】由
，所以
，
所以
，所以
的非空真子集有
和
共2 个.
二、多选题
4．（2025·河北保定·二模）若函数
，则（ ）
A．
为减函数
B．
C．
的值域为
D．
【答案】BC
【分析】根据对数的运算性质化简函数
的解析式，即可判断选项A，C；根据对数函数的性质解方程与对数不等
式，即可判断选项B，D.
【详解】因为
，
，
所以
为增函数，
的值域为
，故选项A 错误，选项C 正确；
，故选项
正确；
，故选项
错误.
故选：BC.
三、填空题
5．（2026·浙江绍兴·模拟预测）已知
，则
__________．
【答案】
【详解】由
，得
，所以
，所以
．
6．（2026·云南·模拟预测）已知
，则
_______．
【答案】2
【详解】因为
，
则
四、解答题
7．（2024·山东·模拟预测）计算：
(1)
；
(2)
【答案】(1)1
(2)
【分析】（1）利用根式与指数幂运算法则计算即可得出结果；
（2）由根式与分数指数幂的互化，计算化简即可得出答案.
【详解】（1）原式
（2）由根式与分数指数幂互化运算可得，
8．（2024·广东肇庆·一模）已知函数
（其中
，
为常量，且
，
，
）的图象经过点
，
．
(1)求
，
的值
(2)若关于
的不等式
在
上有解，求
的取值范围．
【答案】(1)
，
(2)
【分析】（1）把
两点坐标代入函数解析式，求
，
的值；
（2）证明函数
在
上单调递增，有
，可求
的取值范围．
【详解】（1）函数
的图象经过点
，
，
得
，解得
；
（2）由（1）得
，
，
因为函数
在
上单调递增，函数
在
上单调递减，
所以
在
上单调递增，
所以
在
上的最大值为
，
因为关于
的不等式
在
上有解，
所以
，解得
，
即
的取值范围为
【拔高选练】（共6 题）
一、单选题
1．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知集合
，集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】化简集合，即可根据交集的定义求解.
【详解】由题意，得
，所以
.
2．（2026·山东德州·模拟预测）在人工智能的图象识别算法优化过程中，模型的准确率提升倍数
与训练数据量
（单位：
）的关系式为
，其中
为常数.当训练数据量为
时，模型的准确率提升倍数为22.5.当准
确率提升倍数
达到135 时，模型在识别复杂图象时能达到极高的准确率，要想达到此标准，应该选择的训练数据量
约为（ ）（参考数据：
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据题设条件，将
代入关系式
可求出
的值，再利用对数的运算即可求解.
【详解】当
时，
，即
.
当
时，
，即
，
则
，即
.
因为
，
所以
.令
，则
，
所以
，则
.
二、多选题
3．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知函数
，则（ ）
A．
是奇函数
B．
C．
在区间
上单调递增
D．
【答案】AC
【详解】令
，则
或
，故
的定义域关于原点对称，
选项A：
的定义域为
，
，满足奇
函数定义，A 正确。
选项B：
，B 错误。
选项C：由于
在
单调递增，而
为定义域内的单调递增函数，为由复合函数“同增异
减”得
在区间
单调递增，由于
为奇函数，因此
在区间
上单调递增，C 正确。
选项D：由于
，
不满足
，D 错误。
三、填空题
4．（2026·江苏·模拟预测）已知
两点在函数
的图象上，
两点在函数
的图象
上，且
平行于
轴，
和
平行于
轴.若线段
的长度是线段
长度的12 倍，则线段
长度为
__________.
【答案】
【分析】设
，利用
，再列式因式分解即可求解．
【详解】解：设
，则
，
线段
的长度为
，线段
的长度为
，
因为
，所以：
，
又因为
平行于
轴，所以点
与点
的纵坐标相等，
即
，
，故
，
，
，
即
，
，
，
，
，解得
，
线段
长度为
．
四、解答题
5．（2025·山西吕梁·模拟预测）已知函数
．
(1)若
是偶函数，求实数
的值；
(2)解不等式
．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先求出
的定义域，再利用奇偶函数的性质，即可求解；
（2）根据条件，利用对数的运算及对数函数的性质得
，再结合函数的定义域，即可求解.
【详解】（1）由
，解得
，所以
的定义域为
，
又
是偶函数，则
的定义域关于原点对称，所以
，即实数
的值为.
（2）由（1）知
的定义域为
，由
，
得到
，，
即
，
则
，解得
，
所以不等式
的解集为
.
6．（2025·四川·模拟预测）已知函数
．
(1)若函数
有最大值为1，求
的值；
(2)对于
，使得
，求实数
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据对数函数的单调性得出
有最小值
，再结合二次函数的性质求解即可；
（2）先求出
，再分
、
、
三种情况并结合
求解即可.
【详解】（1）因为
在
上单调递减，
有最大值为1，
所以
有最小值
，
故
且
，解得
；
（2）由题意得
，
因
，则
，
，则
，
而
，使得
，则
，
若
，则
，符合题意；
若
，则
，则
，解得
；
若
，则
，则
，解得
，
综上，实数
的取值范围为
.
【错题复盘】（共5 题）
一、单选题
1．（2026·辽宁·三模）设
，
，
，则
，
，的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】设函数
，求导可得
，
当
时，
，
在
上单调递增，
所以
，即
，
令
，代入可得
，即
，
设函数
，求导可得
，
当
时，
，
在
上单调递增，
所以
，即
，
令
，代入可得
，即
，
所以
的大小关系为
.
2．（2026·陕西渭南·三模）若
，
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】
，
，
当
，
，则
，
，此时
；
当
，
，则
，
，此时
；
充分性不成立.
由
，得
，即
；
，
，
由基本不等式得
（当且仅当
时等号成立）；
；
.
必要性成立.
综上，“
”是“
”的必要不充分条件.
二、多选题
3．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）以下运算正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BD
【分析】根据指数幂运算和对数的计算公式逐一判断即可.
【详解】
，A 错误；
，B 正确；
，C 错误；
，D 正确.
三、填空题
4．（2026·山东威海·二模）已知函数
为偶函数，则
________．
【答案】1
【分析】根据偶函数的定义域关于原点对称，先确定参数
，再验证该参数下
．
【详解】因为函数有意义，则
．
若
，则
，此时定义域为
，不关于原点对称，不符合偶函数定义，故
．
当
时，临界点为
和
，定义域为
或
．
因为
为偶函数，所以定义域关于原点对称，故两个临界点互为相反数，即
，解得
．
当
时，定义域为
．
对任意
，有
.
所以
．
四、解答题
5．（2025·福建漳州·一模）已知函数
，
，
(1)当
时，设函数
的图象、
的图象与函数
的图象的交点分别为P，Q，求线段PQ 中点M 的坐标.
(2)若
对
恒成立，求实数k 的取值范围.
(3)若函数
至少有两个相异的零点，求整数k 的最大值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用
互为反函数，又函数
的图象也关于直线
对称，可求线段PQ 中点M
的坐标.
（2）由题意
恒成立，可令
，利用单调性可得
，参变分离，可得
，令
，求导可得其最大值，进而可得k 的取值范围；
（3）求导，由（2）可得
，函数
至多只有一个零点，可得
，由
，可得函数
至少存
在两个零点，可得结论.
【详解】（1）当
时，函数
与函数
互为反函数，
两个函数的图象关于直线
对称，函数
的图象也关于直线
对称，
所以P，Q 关于直线
对称.
综上可知点M 为函数
的图象与直线
的交点，
计算可得M 的坐标为
（2）不等式
恒成立等价于
恒成立，
即
恒成立，
构造函数
，上式等价于
易知
为单调递增函数，所以
，等价于
，
设函数
，求导可得
，
当
时，
；当
时，
；
由此可得
在
上单调递增，在
上单调递减，
即可得
，由此可得k 的取值范围是
（3）
的定义域为
，由函数
，
可得
，
由（2）可知，当
时，
，
即可得
在
上单调递增，所以函数
至多只有一个零点.
所以当函数
至少有两个相异的零点时，
，
又因为k 为整数，所以不妨令
，则
，
当
时，
，
，当
时，
，
此时函数
至少存在两个零点，由此可得整数k 的最大值为
【点睛】关键点点睛：
恒成立，得到
，利用同构令
，利用单调性得到
，进而计算可求解.
