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第四章 指数函数、对数函数与幂函数单元复习
教学目标
1．掌握指数（根式、分数指数幂）和对数的运算性质，会进行指数、对数互化及换
底，能熟练开展相关运算。
2．理解指数函数、对数函数、幂函数的概念，熟记其定义域、值域、单调性、定点
等核心性质，能画出大致图象。
3．知晓指数函数与对数函数互为反函数，掌握二者图象关于直线y=x 对称的性质，
了解反函数的基本概念。
4．能运用指对幂函数的性质解决比较大小、简单求值等问题，初步掌握三类函数的
应用方法。
教学重难点
重点：指数与对数的运算性质；指数函数、对数函数、幂函数的图象与核心性质；指
数函数与对数函数的反函数关系。
难点：对数运算性质的灵活运用；指对幂函数性质的综合应用；反函数概念的理解及
简单求法。
知识点01 指数运算
1.根式的概念
一般地,如果
,那么
叫做
的
次方根,其中
,且
.
（1）当
是奇数时,正数的
次方根是一个正数,负数的
次方根是一个负数,这时,
的
次方根用符号
表示.
（2）当
是偶数时,正数
的
次方根有两个,记为
,负数没有偶次方根.
（3）0 的任何次方根都是0,记作
.
式子
叫做根式,其中
,且
叫做根指数,
叫做被开方数.
2.根式的性质
根据
次方根的意义,可以得到:（1）
；
（2）当
是奇数时,
;当
是偶数时,
温馨提示:
中当
为奇数时,
为偶数时,
,而
中
.
3．分数指数幂的意义
分数指数
幂
正分数指数幂
规定
负分数指数幂
规定
0 的分数指数幂
0 的正分数指数幂等于0,0 的负分数指数幂没有意义
温馨提示：（1）分数指数幂
不可以理解为
个
相乘．
（2）对于正分数指数幂，规定其底数是正数．
4．有理数指数幂的运算性质
（1）
;
（2）
;
（3）
.
5．无理数指数幂
一般地，无理数指数幂
(
是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于
无理数指数幂．
温馨提示：（1）对于无理指数幂，只需了解两点：①它是一个确定的实数；②它是有理数幂无限逼近的
结果．
（2）
是正无理数)．
（3）定义了无理数指数幂后，幂的指数由原来的有理数范围扩充到了实数范围．
【即学即练】
1．求值：
.
2．若
，
，则
．
知识点02 指数函数
1．指数函数的概念
一般地，函数
且
)叫做指数函数，其中
是自变量，函数的定义域为
温馨提示：指数函数解析式的3 个特征：
（1）底数
为大于0 且不等于1 的常数．（2）自变量
的位置在指数上，且
的系数是1.
（3）
的系数是1.
2．指数函数的图形及性质
图象
性质
定义域
值域
定点
过定点
单调性
是R 上的增函数
是R 上的减函数
温馨提示：（1）当
时，指数函数的图象是“上升”的；当
时，指数函数的图象是“下降”
的．
（2）指数函数
且
)的图象恒过点
，只要确定了这三个点的坐标，即
可快速地画出指数函数
且
)的大致图象．
3．图象位置关系
底数
的大小决定了图象相对位置的高低．
（1）在
轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，“底大图高”．作出直线
，与图象的交点从
上至下即为底数从大到小的排列顺序．
（2）在
轴左侧，图象正好相反．如图所示的指数函数的底数的大小关系为
.
【即学即练】
1．函数
的图象恒过定点 .
2．已知
，则指数函数
，
，
分别对应图中的哪个函数（ ）
A．
，
，
B．
，
，
C．
，
，
D．
，
，
知识点03 对数的运算
1．对数的概念
一般地，如果
且），那么数
叫做以
为底
的，记作
，其中
叫做对数的，
叫做．
常用对数与自然对数：通常我们将以10 为底的对数叫做常用对数，记为.在科学技术中常使用以无理数
为底的对数，以
为底的对数称为自然对数，并记为.
2．指数与对数的互化
当
时，
.
3．对数的性质
（1）
；（2）
；（3）和没有对数．
4．对数恒等式
（1）
且
；（2）
且
5．对数运算性质
如果
，且
，那么：
（1）
；（2）
；（3）
温馨提示：对数的这三条运算性质，都要注意只有当式子中所有的对数都有意义时，等式才成立．
例如，
是错误的．
6．对数换底公式
若
，且
，则
(
，且
)．
由换底公式推导的重要结论
（1）
（2）
（3）
【即学即练】
1．计算，并写出必要的步骤：
(1)
．
(2)
．
2．已知
，则
可用
表示为 ．
知识点04 对数函数
1．对数函数的概念
函数
，且
)叫做对数函数，其中
是自变量，函数的定义域是
．
温馨提示：（1）对数函数
是由指数函数
反解后将
互换得到的．
（2）无论是指数函数还是对数函数，都有其底数
，且
2．对数函数的图象及性质
图象
性质
定义域
值域
定点
过定点
单调性
是
上的增函数
是
上的增函数
3．当底数不同时对数函数图象的变化规律
作直线
与所给图象相交，交点的横坐标即为对数的底数，依据在第一象限内，自左向右，图象
对应的对数函数的底数逐渐变大，可得
.
【即学即练】
1．关于
的不等式
的解集为 ．
2．函数
的定义域是 ．
知识点05 反函数
1．反函数的概念
一般地，如果在函数
中，给定值域中任意一个y 的值，只有的x 与之对应，那么x 是y 的函
数，这个函数称
的反函数．此时，称
存在反函数．而且，如果函数的自变量仍用x 表
示，因变量仍用y 表示，则函数
的反函数的表达式，可以通过对调
中的与，然后从
中求出y 得到．
2．反函数的性质
若函数
的反函数记作，则具有以下性质：
（1）定义域与值域互逆：
的定义域是
的，
的值域是
的。
（2）图像对称关系：两函数的图像关于直线呈轴对称；
（3）单调性一致：单调函数必存在反函数，且原函数与反函数的单调性。
3．求反函数的步骤
①确定值域：先根据原函数
，求出因变量y 的。
②求解x 的表达式：由
变形得到
，若x 有多个解，需结合原函数中x 的筛选，仅
保留符合要求的一个。
③得到反函数：将x 与y 的符号，得到
，其定义域需依据原函数的确定，不可随意设定。
4．指数函数与对数函数的关系
（1）互为反函数：指数函数
和对数函数
是一对反函数。
（2）图像对称：二者的图像关于直线对称。
【即学即练】
1．若函数
与
（
且
）互为反函数，且
的图象过点
，则
．
2．函数
的图象和函数
的图象关于直线
对称，则
.
知识点06 幂函数
1．幂函数的概念
一般地，函数
叫做幂函数，其中
是自变量，
是常数．
幂函数的特征
①
中
前的系数为“”；②
中
的底数是单个的自变量“
”；③
中
是
2．常见幂函数的图象与性质
幂函数
图象
定义域
值域
奇偶性
奇函数
偶函数
非奇非偶函数
奇函数
单调性
在
上递增
上
递
增，
上递减
在
上递增
在
上递增
上递增
上递减
定点
注意：幂函数在区间
上，当
时，
是增函数；当
时，
是减函数．
【即学即练】
1．已知幂函数
的图象与坐标轴没有交点，则
.
2．幂函数
在
上单调递减，则
（ ）
A．
或
B．
C．
D．
或
题型01 指数与对数混合运算
例1．（1）求值：
；
（2）化简：
．
变式1-1．已知函数
，则
变式1-2．（1）计算
；
（2）计算
．
变式1-3．计算：
(1)
(2)
题型02 指数运算中的条件求值
例2．已知
，下列各式正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
变式2-1．已知正数x，y 满足
，则
的最小值是 .
变式2-2．已知
，求下列各式的值：
(1)
；
(2)
；
(3)
.
变式2-3．已知
，求
的值.
题型03 用已知对数表示其他对数
例3．已知
，
，则
（结果用
、
表示）.
变式3-1．若
，则
.（用
表示）
变式3-2．若
，
，则用
、
表示
.
变式3-3．已知
，
．
(1)当
，求
的值；
(2)当
时，用
，
表示
．
题型04 指数函数与对数函数定义
例4．若函数
是指数函数，则
的值为（ ）
A．2
B．1
C．1 或
D．
变式4-1．（多选题）（多选）下列函数表达式中，是对数函数的有 （ ）
A．
B．
C．
D．
变式4-2．若点
都在同一个对数函数的图象上，则t 等于（ ）
A．3
B．6
C．9
D．12
变式4-3．已知指数函数
的图象经过
，试求
和
的值．
题型05 指数函数的图象与性质
例5．已知函数
，则“
”是“
的图象不经过第二象限”的
（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
变式5-1．函数
的单调递增区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
变式5-2．已知函数
的图象过原点，且无限接近于直线
，但不与该直线相交，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
变式5-3．已知
，且
，函数
在
上单调递减，则实数
的取值范围是
（ ）
A．（0，1）
B．
C．
D．
题型06 对数函数的图象与性质
例6．已知函数
在
上为严格减函数，则实数
的取值范围为 .
变式6-1．已知
，则函数
与
的图像可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
变式6-2．若函数
的图象经过第二、三、四象限，则（ ）
A．
B．
C．
D．
变式6-3．已知函数
在
上单调递增，则实数m 的取值范围是 .
题型07 幂函数的图象与性质
例7．幂函数
的大致图象为（ ）
A．
B．
C．
D．
变式7-1．已知函数
，
，则下列说法正确的是（ ）
A．
为奇函数
B．
为奇函数
C．
在
上单调递减
D．
在
上单调递增
变式7-2．如图所示曲线是幂函数
在第一象限内的图像，其中
，则曲线
对应
的值依次是（ ）
A．
B．
C．
D．
变式7-3．已知幂函数
为偶函数.
(1)求
的值及写出单调区间；
(2)若
，求实数
的取值范围.
题型08 指数函数与对数函数过定点
例8．已知
，且
，函数
的图象恒过点P，若P 在指数函数
图象上，则
.
变式8-1．函数
且
的图象过定点（ ）
A．
B．
C．
D．
变式8-2．已知函数
的图象过定点
，正实数
，满足
，则
的最小
值为 .
变式8-3．已知函数
且
的图象过定点
，若
且
，
，则
的
最小值为 .
题型09 指数函数与对数函数定义域
例9．设函数
，则函数
的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
变式9-1．函数
的定义域为 ．
变式9-2．函数
的定义域为 ．
题型10 指数函数与对数函数的值域
例10．已知函数
的值域为
，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
变式10-1．函数
的值域为（ ）
A．
B．
C．
D．
变式10-2．函数
的最小值为 .
变式10-3．已知函数
的值域为
，则
的取值范围是 .
题型11 利用单调性解指/对不等式
例11．设
，
，则（ ）
A．
是
的充分条件但不是必要条件
B．
是
的必要条件但不是充分条件
C．
是
的充要条件
D．
既不是
的充分条件也不是
的必要条件
变式11-1．若定义域为
的偶函数
在
上是增函数，且
，则不等式
的解集
.
变式11-2．不等式
的解集为 .
变式11-3．不等式
的解集是 ．
题型12 指对幂比较大小问题
例12．已知
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
变式12-1．设
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
变式12-2．已知
则
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
变式12-3．若
，
，
，则
，
，之间的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型13 反函数
例13．证明函数
（
，且
）的反函数是该函数自身．
变式13-1．下列函数中，其图象通过平移或翻折后不能与函数
的图象重合的是（ ）
A．
B．
C．
D．
变式13-2．若指数函数
的反函数过
，则
．
变式13-3．已知a，b 分别是函数
与
和
的图象在第一象限的交点的横坐标，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
题型14 指对数函数模型
例14．某金融产品的价格增长模型遵循连续复利模型，公式为
，其中r 为年收益率，t 为投资
时间（单位：年），为自然对数的底数，
为初始资金，
为t 年后的资金，已知某产品年收益率
，则使初始资金翻倍至少需要（参考数据：
）（ ）
A．12 年
B．13 年
C．14 年
D．15 年
变式14-1．美国生物学家雷蒙德·皮尔提出一种能较好地描述生物生长规律的生长曲线，称为“皮尔曲线”，
常用的“皮尔曲线”的函数解析式可以简化为
的形式．已知
描述的是一种植物的高度随着时间
（单位：年）变化的规律．若刚栽种时该植物
的高为1 米，经过一年，该植物的高为2 米，要让该植物的高度超过3.8 米，至少需要（ ）年．
A．2
B．3
C．4
D．5
变式14-2．在极端刺激下，物理刺激强度与人类心理感受之间的关系近似满足史蒂文斯幂定律：
，
其中
为非零常数，
为幂常数，为主观感觉强度，
为物理刺激强度，
.现有如下RPE（主观感觉
强度）表：
强度
自我感觉
6－8
9－11
12－14
15－17
18－20
已知在临床条件下
，在RPE（多选）强度为
时得到的实际物理刺激强度为
，则（ ）
A．当
时，
B．当
时，
C．当
时，
D．当
时，
变式14-3．某农场有土地800 亩，平均每亩每年产出粮食12 吨.为了优化种植结构，决定调整出
亩土地种植经济作物，调整后的土地每亩每年产出粮食
吨
，剩下的土地每亩每年产出
粮食可以提高
.
(1)若调整出的土地为200 亩，此时要使调整出的土地的年总粮食产量等于剩余土地的年总粮食产量，求
的值.
(2)设剩余土地产出的年总粮食为
，请写出
与
的函数表达式
.若要保证剩余土地产出的年总粮食
不低于原来800 亩土地产出的年总粮食，则最多可调整出多少亩土地种植经济作物？
(3)在（2）的条件下，调整出的土地年总粮食产量始终不高于剩余土地的年总粮食产量，求
的最大值.
15 恒成立问题
例15．若函数
在
上恒成立，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
变式15-1．已知函数
是
上的增函数，且关于
的不等式
恒成立，
则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
变式15-2．已知函数
.
(1)证明：函数
的图象关于
对称；
(2)若对
，不等式
恒成立，求实数
的取值范围.
变式15-3．已知定义域为
的函数
是奇函数；
(1)求
的解析式，并写出
的单调性（无需证明单调性）；
(2)若
恒成立，求实数
的取值范围．
16 零点问题
例16．已知函数
，若函数
有且仅有2 个零点，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
变式16-1．函数
的零点为 .
变式16-2．已知函数
，若
恰有3 个零点
，则
的取值范
围是 ．
变式16-3．已知函数
有且只有一个零点，则实数m 的取值范围是 ．
一、单选题
1．若
，则
的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．设
，则
的分数指数幂形式为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．已知
是常数，幂函数
在
上单调递减，则
（ ）
A．
B．
C．2
D．4
4．已知集合
，函数
，则
的值为（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7
5．已知
，函数
过点
、
.若
，则
（ ）
A．2
B．4
C．8
D．16
6．已知函数
，且
，其中
，则下列结论错误的是
（ ）
A．函数
的定义域为
B．函数
是奇函数
C．
D．
二、多选题
7．已知函数
，则（ ）
A．
的图象过点
B．
在
上单调递增
C．
为非奇非偶函数
D．函数
的最小值是0
8．
年8 月
日，我国新疆、西藏等地发生多次
至
级地震，一般来说，震级在3 级以上时，我
们称该地震为有感地震（即人们能感觉到此次地震）.里氏震级R 与地震释放能量E 的关系为
.已
知6 级地震释放的能量为
，则下列说法正确的是（ ）
A．震级越大，地震释放的能量越大
B．
C．8 级地震释放的能量为6 级地震释放能量的1000 倍
D．某次地震释放的能量为
，则该地震为有感地震
9．已知
且
，
，则函数
与
在同一坐标系内的图象可能是
（ ）
A．
B．
C．
D．
三、填空题
10．已知
均为正实数，若
，则
的值为 .
11．已知定义在
上的幂函数
，则
，
.
12．已知函数
，当
时，函数的值域为 .若函数
有三个不同零点，则
的取值范围是 .
四、解答题
13．已知奇函数
与偶函数
满足
.
(1)求
，
的解析式；
(2)若
，求
的值；
14．已知函数
是定义在
上的奇函数，当
时，
．
(1)求函数
的解析式；
(2)若
，解关于
的不等式
．
15．（1）设
，求
在
上的最小值，并求此时
的值.
（2）已知函数
，
，当
，求
的最值及对应的
的值.
16．已知幂函数
．
(1)求
的解析式；
(2)①若
图像不经过坐标原点，写出函数
在哪个区间上是严格增函数，哪个区间上是严格减函数；
②若
图像经过坐标原点，解不等式
．
17．已知函数
，
.
(1)若函数
是奇函数，求实数m 的值；
(2)当
时，若存在
，使得
成立，求实数t 的取值范围；
(3)当
时，
，求函数
的最小值.
