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第14 讲函数零点问题
（知识清单+5 典例精讲+7 方法技巧+分层训练）
近3 年考查情况
题型
分值
零点存在性判定、零点个数判断，利用 f (a)⋅f (b)<0 判断区间零点
单选、填空
题
5 分
基础零点求解、零点与方程根的等价转化 f ( x)=0⇔ 方程根
单选题
5 分
数形结合判断零点个数，转化 f ( x)= g( x) 交点问题
填空题
5 分
复合函数零点、零点存在区间判断，结合单调性判定唯一零点
单选、多选
题
5 分/6 分
二分法区间判定、零点近似区间缩选，中点公式x0= a+b
2
应用
单选题
5 分
导数与零点综合，已知零点个数求参数范围，利用函数最值正负判定零点
解答题
5 分/ 12 分
指对函数零点问题、零点大小比较，结合函数单调性分析零点分布
单选题
5 分
含参函数零点存在性问题，利用 f (a)⋅f (b)<0 求参数取值范围
填空题
5 分
多零点存在性证明、零点个数讨论，结合导数分析函数极值与零点关系
解答题
5 分/ 12 分
【知识点01】函数的零点与方程的解
(1)函数零点的概念
对于一般函数y＝f(x),我们把使f(x)＝0 的实数x 叫做函数y＝f(x)的零点.
(2)函数零点与方程实数解的关系
方程f(x)＝0 有实数解⇔函数y＝f(x)有零点⇔函数y＝f(x)的图象与x 轴有公共点.
(3)函数零点存在定理
如果函数y＝f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,且有f(a)f(b)<0,那么,函数y＝f(x)在区间(a,b)
内至少有一个零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)＝0,这个c 也就是方程f(x)＝0 的解.
【例1】求函数 f ( x)= x
2−5 x +6 的零点。
【知识点02】二分法
对于在区间[a,b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0 的函数y＝f(x),通过不断地把它的零点所在区间一分为二,使所
得区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
【例2】已知函数 f ( x)= x
3−2 x −1 在区间 (1,2) 内存在唯一零点，用二分法确定第一次缩小区间。
【题型一】求函数的零点
【例1】（2025·河北邯郸·一模）已知函数
的定义域为
，
，且
，若
，则
的零点为（ ）
A．
B．
C．1
D．2
【例2】（多选）（2025·广东广州·三模）函数
的图象被称为牛顿三叉戟曲线，以下图象可能
为函数
的图象的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【例3】（2025·山东·模拟预测）函数
的零点为________.
【变式1】（2026·河南濮阳·一模）已知函数
的零点分别为
，
则
的大小顺序为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（多选）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】（2025·全国·模拟预测）我们不妨定义：使函数值为0 的自变量的值，称为该函数的零点.例如：函数
的零点为1 和
.若函数
的零点是
和
，则函数
的零点是______.
【题型二】求函数零点或方程根的个数
【例4】（多选）（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）对于函数
和
，下列说法中正确的有
（ ）
A．
与
有相同的零点
B．
与
有相同的最大值
C．
与
有相同的最小正周期
D．
与
的图象有相同的对称轴
【例5】（2026·山西晋中·模拟预测）定义域为
的函数
满足
，当
时，
，则
当
时，函数
的零点个数为（ ）
A．
B．
C．
D．
【例6】（2024·广东·一模）已知
，函数
.
(1)求
的单调区间.
(2)讨论方程
的根的个数.
【变式1】（2024·河南·二模）已知函数
是偶函数，对任意
，均有
，当
时，
，则函数
的零点有__________个.
【变式2】（2026·江苏徐州·模拟预测）设函数
和
的定义域为D，若存在非零实数
，使得
，则称函数
和
在D 上具有性质
.现有下列三组函数：
①
，
；②
，
；③
，
．
其中具有性质
的是_______.（填序号）
【变式3】（2025·安徽·一模）已知函数
.
(1)若
，求
在
上的极大值；
(2)若函数
，讨论函数
在
上零点的个数.
【题型三】函数零点存在性定理
【例7】（2026·山东泰安·一模）函数
的零点所在的大致区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
【例8】（多选）（2025·甘肃兰州·一模）已知函数
和
，以下判断正确的是（ ）
A．函数
在区间
内有唯一的零点
B．
时，
C．
时，
D．存在正实数a，当
时，对于任意大于1 的正实数N，
【例9】（2025·湖南·模拟预测）已知
，若
在
上有解，则
的最小值是_____．
【变式1】（2026·黑龙江齐齐哈尔·二模）函数
，若
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（2025·江苏苏州·模拟预测）已知函数
，若
在
有唯一的极值点且为极大
值点，则a 的取值范围为____________.
【变式3】（2026·浙江·模拟预测）已知函数
.
(1)求函数
的单调区间；
(2)试判断曲线
与直线
在
上公共点的个数；
【题型四】函数零点的分布
【例10】（2024·全国甲卷·高考真题）曲线
与
在
上有两个不同的交点，则
的取值
范围为______．
【例11】（2026·河南南阳·二模）已知函数
，若
在区间
上恰有5 个零点，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【例12】（多选）已知函数
为定义在
上的单调函数，且
10.若函数
有3 个零点，则
的取值可能为（ ）
A．2
B．
C．3
D．
【变式1】（2026·河北沧州·一模）已知函数
,若函数
至少有7 个零点，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（2025·山西临汾·二模）已知
，函数
，若函数
有三个零点，则实数
的取值范围是______.
【变式3】（2024·河南·模拟预测）设
且
，函数
.
(1)当
时，求不等式
的解集；
(2)若函数
在区间
上有零点，求的取值范围.
【题型五】用二分法求方程的近似解
【例13】（2025·广东汕头·模拟预测）用二分法求函数
在
内的零点近似值，若精确度要求为
，则需重复相同步骤的次数至少为（ ）
A．
B．
C．
D．
【例14】（多选）（2024·广东东莞·模拟预测）下列说法正确的是（ ）
A．方程
的解在
内
B．函数
的零点是
C．函数
有三个不同的零点
D．用二分法求函数
在区间
内零点近似值的过程中得到
，则零
点近似值在区间
上
【例15】已知方程
的根在区间
上，第一次用二分法求其近似解时，其根所在区间应为__________．
【变式1】用二分法求方程
近似解时，所取的第一个区间可以是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（多选）（2024·江苏无锡·模拟预测）下列命题错误的是（ ）
A．当
时，函数
的图象是一条直线
B．命题“
，都有
”的否定是“
，使得
”
C．用二分法求函数
在区间
内的零点近似值，至少经过
次二分后精确度达到
D．某同学用二分法求函数
的零点时，计算出如下结果：
，
，
，
，
，
，则1.375 和1.4 都是精确度为
的近似零点
【变式3】若函数
有零点，但不能用二分法求其零点，则实数
的值为______．
【解题大招01】零点等价转化技巧
将零点问题、方程根问题、图象交点问题三者互相转化，是解决所有零点题型的通用思路
【例1】判断方程 2
x= x +2 零点个数
【解题大招02】零点存在性快速判定技巧
连续函数区间端点函数值异号，则区间内必有零点；若函数单调，则零点唯一。
核心公式
f ( x)在[a,b]连续,f (a)⋅f (b)<0⇒∃x0∈(a,b),f ( x0)=0.
【例2】判断f ( x)= x
3+ x−1 在区间 (0,1) 内零点情况
【解题大招03】零点个数数形结合速判技巧
复杂方程不求解，拆分两个初等函数，利用图象交点个数判定零点个数，规避复杂运算。
转化思路
f ( x)=0⇒g( x)=h( x)，交点个数即为零点个数
【例3】求函数 f ( x)= ln x +2 x−6 零点个数
【解题大招04】区间存在零点求参数技巧
一次、二次函数在开区间存在零点，优先使用端点异号法列不等式求解参数范围。
核心结论
一次函数 f ( x)=kx +b 在 (m,n) 存在零点 ⇒f (m)⋅f (n)<0
【例4】已知 f ( x)=mx +2 在 (1,3) 内存在零点，求 m 的取值范围
【解题大招05】二分法区间快速锁定技巧
区间中点，代入函数判断符号，依据异号缩小区间。
核心公式x0= a+b
2
判定规则{f (a)⋅f ( x0)<0⇒零点∈(a, x0)
f ( x0)⋅f (b)<0⇒零点∈( x0,b)
【例5】已知 f ( x) 在 (2,3) 有零点，f (2)<0,f (2.5)>0，锁定零点区间
【解题大招06】复合函数零点分层换元技巧
由外到内分层换元，先解外层方程，再回代求解内层方程，分层计数不重不漏。
解题步骤
令 t = g( x)，先解 f (t )=0，再解 g( x)=t
【例6】求 f ( x)=( x
2−2)
2−1=0 的零点个数
【解题大招07】零点有无最值判定技巧
利用函数最值正负，快速判定区间内有无零点，规避繁琐讨论。
核心结论
1. f ( x)min>0⇒ 区间内无零点
2. f ( x)max<0⇒ 区间内无零点
【例7】判断 f ( x)= x
2−2 x +2 有无零点
【基础过关】（共8 题）
一、单选题
1．（2026·内蒙古赤峰·一模）已知函数
，则方程
根的个数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
2．（2026·山东青岛·三模）函数
在
的零点个数为（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
3．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数
，
，当
时，曲线
与
恰有一个交点，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．2
二、多选题
4．（2024·贵州遵义·模拟预测）已知函数
，函数
，下列选项正确的是
（ ）
A．方程
无实数解
B．方程
有且仅有两个解
C．方程
有且仅有三个解
D．方程
有且仅有四个解
三、填空题
5．（2025·全国·模拟预测）已知函数
有三个零点，则实数
的取值范围是______.
6．（2025·广东江门·一模）若多项式
能被
整除，则
______.
7．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知函数
则
的零点之和为_____________．
四、解答题
8．（2024·湖南邵阳·三模）已知函数
．
(1)求函数
的单调递增区间；
(2)若函数
有且仅有三个零点，求
的取值范围．
【拔高选练】（共6 题）
一、单选题
1．（2025·江苏扬州·三模）当
时，曲线
与
的交点个数为（ ）
A．3
B．4
C．6
D．8
2．（2026·江苏镇江·二模）已知函数
有两个零点，则实数m 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
3．（2025·河南南阳·模拟预测）已知函数
与
的图象上存在关于
轴
对称的点，则实数
的取值可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2025·四川眉山·模拟预测）已知函数
函数
，则下列结论正
确的是（ ）
A．若关于
的方程
恰有1 个实数根，则
的取值范围是
B．若关于
的方程
恰有2 个不同的实数根，则
的取值范围是
C．若
有5 个零点，则
的取值范围是
D．
可能有6 个零点
三、填空题
5．（2022·广东汕头·一模）为检测出新冠肺炎的感染者，医学上可采用“二分检测法”、假设待检测的总人数是
（
）将
个人的样本混合在一起做第1 轮检测（检测一次），如果检测结果为阴性，可确定这批人未感染；如
果检测结果为阳性，可确定其中有感染者，则将这批人平均分为两组，每组
人的样本混合在一起做第2 轮检测，
每组检测1 次，如此类推：每轮检测后，排除结果为阴性的那组人，而将每轮检测后结果为阳性的组在平均分成两组，
做下一轮检测，直到检测出所有感染者（感染者必须通过检测来确定）.若待检测的总人数为8，采用“二分检测法”
检测，经过4 轮共7 次检测后确定了所有感染者，则感染者人数最多为______人.若待检测的总人数为
，且
假设其中有不超过2 名感染者，采用“二分检测法”所需检测总次数记为n，则n 的最大值为______.
四、解答题
6．（2025·安徽六安·模拟预测）已知函数
.
(1)若
为
上的单调函数，求k 的取值范围；
(2)若函数
，求证：k 可以取无数个值，使得每一个
的取值
都恰有三个不同的零点.
【错题复盘】（共5 题）
一、单选题
1．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）已知函数
的零点分别为
，则
的大小顺序为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2026·四川绵阳·三模）将函数
的零点从小到大排列构成数列
，则
的前8
项和为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
3．（2026·重庆·三模）已知函数
则（ ）
A．∃a R
∈，使得f（x）为偶函数
B．∃a R
∈，使得f（x）存在零点
C．∀a R
∈，f（x）为增函数
D．∃a R
∈，使得f（x）的最小值为0
三、填空题
4．（2026·广西崇左·二模）已知函数
有且仅有1 个零点，则
______．
四、解答题
5．（2026·湖南湘潭·模拟预测）已知函数
，直线
与曲线
相切．
(1)求实数a 的值；
(2)若
是函数
的极大值点，求实数b 的取值范围；
(3)若
，且
在
上有且只有一个零点，求b 的取值范围．
