第12 讲 函数与方程 · 讲义
一、考情分析......................................................................................................................................1
二、知识清单......................................................................................................................................2
一、函数的零点...................................................................................................................... 2
二、方程的根与函数零点的关系..........................................................................................2
三、零点存在性定理..............................................................................................................2
四、二分法.............................................................................................................................. 2
五、用二分法求函数零点近似值的步骤..............................................................................3
三、典题精练......................................................................................................................................3
考点一：函数零点所在区间的判断与二分法......................................................................3
考点二：判断函数零点或方程根的个数..............................................................................4
考点三：已知零点个数求参数范围......................................................................................4
考点四：复合函数与嵌套方程的零点问题..........................................................................5
考点五：函数零点的综合应用..............................................................................................5
四、高考真题......................................................................................................................................6
一、考情分析
1. 考查频次与题型
年
份
题号与
题型
分值
考察
类型
考察内容与方式
202
6
6 题 单
选题
5 分
间接
考察函数最值问题中的方程思想，通过极值点与最值构建
方程组，求解超越方程得出参数值
202
5
8 题 单
选题
5 分
间接
考察对数方程根的大小比较，需构造指数函数图象，通过
交点位置判断根的大小关系
202
4
7 题 单
选题
5 分
直接
考察三角函数图象交点个数，将方程根的个数转化为两函
数图象的交点个数
近三年全国一卷中，函数与方程思想的考查频次较为稳定，常以单选题形式出现.考
查方式既有直接判断图象交点个数，也常作为核心解题工具隐藏在导数或对数综合题中.
2. 命题角度与特色
核心考点：重点考查函数图象交点个数的判断，以及利用函数图象交点位置分析方程
根的大小关系.
命题趋势：常与三角函数、指数函数、对数函数等基本初等函数结合，呈现跨模块交
汇考查的趋势.
试题特点：题目灵活性强，对代数变形能力和空间想象（画图）能力要求高，往往需
要精准绘制函数草图.
3. 备考策略
· 熟练掌握各类基本初等函数的图象特征，做到能快速、准确地绘制函数草图.
· 强化数形结合思想的训练，遇到方程根的个数或大小比较问题时，优先考虑转化为
函数图象交点问题.
· 注意积累三角函数周期性、对称性在图象交点问题中的应用技巧.
二、知识清单
一、函数的零点
对于函数 y = f ( x)，我们把使 f ( x)=0 的实数 x 叫做函数 y = f ( x) 的零点.
【防坑警示】 零点是一个实数，即方程的根，而不是坐标系中的一个点（坐标）.表述为
“函数的零点为 x0”，严禁表述为“函数的零点为 ( x0,0)”.
二、方程的根与函数零点的关系
方程 f ( x)=0 有实数根 ⇔ 函数 y = f ( x) 的图像与 x 轴有公共点 ⇔ 函数 y = f ( x)
有零点.
三、零点存在性定理
如果函数 y = f ( x) 在区间 [a,b] 上的图像是连续不断的一条曲线，并且有
f (a)⋅f (b)<0，那么函数 y = f ( x) 在区间 (a,b) 内有零点，即存在 c∈(a,b)，使得
f (c)=0，c 也就是方程 f ( x)=0 的根.
【易错提醒】 函数在区间 [a,b] 上连续且 f (a)⋅f (b)<0 是函数在 (a,b) 内有零点的充
分不必要条件.若函数在区间内有零点，不一定有 f (a)⋅f (b)<0（例如图像与 x 轴相切或
有偶数个零点的情况）.
四、二分法
对于区间 [a,b] 上连续不断且 f (a)⋅f (b)<0 的函数 f ( x)，通过不断地把函数 f ( x)
的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的
方法叫做二分法.求方程 f ( x)=0 的近似解就是求函数 f ( x) 零点的近似值.
五、用二分法求函数零点近似值的步骤
· （1）确定区间 [a,b]，验证 f (a)⋅f (b)<0，给定精度 ε.
· （2）求区间 (a,b) 的中点 x1.
· （3）计算 f ( x1).若 f ( x1)=0，则 x1 就是函数 f ( x) 的零点；若 f (a)⋅f ( x1)<0，
则令 b= x1（此时零点 x0∈(a, x1)）.若 f (b)⋅f ( x1)<0，则令 a= x1（此时零点
x0∈( x1,b)）.
· （4）判断是否达到精确度 ε，即若 |a-b|<ε，则函数零点的近似值为 a（或 b）；
否则重复第（2）-（4）步.
用二分法求方程近似解的计算量较大，因此往往借助计算完成.
三、典题精练
考点一：函数零点所在区间的判断与二分法
考法1：利用零点存在性定理判断零点所在区间
例1.已知函数f ( x)=e
x+ ln x +2，若x0是方程f ( x)- f
'( x)=e的一个解，则x0可能存在的区间
是（ ）
A. (0,1)
B. (1,2)
C. (2,3)
D. (3,4)
考法2：二分法求方程的近似解
例2.用二分法求函数 f ( x)=lg x + x -2 的一个零点，根据参考数据，可得函数 f ( x) 的一
个零点的近似解 (精确到 0.1) 为 (参考数据：lg1.5≈0.176，lg1.625≈0.211，lg1.75≈0.243，
lg1.875≈0.273，lg1.9375≈0.287)
A. 1.6
B. 1.7
C. 1.8
D. 1.9
【考点一 方法总结】
· 判断函数零点所在区间时，先将方程转化为函数零点问题，构造函数并求导确定
单调性，再选取合适的整数或特殊值代入，利用零点存在性定理寻找函数值异号的区间端
点.
· 利用零点存在性定理时需注意：若连续不断的函数在定义域上是单调函数，则至
多有一个零点；函数通过零点时函数值不一定变号；在闭区间上有零点，不一定能推出端
点函数值异号.
· 使用二分法求近似解时，核心在于“不断取中点，判断异号区间”.每次计算中点
函数值后，保留与中点函数值异号的端点，舍弃同号端点，直到区间长度小于精确度要求，
此时区间内任意一点（通常取中点）均可作为近似解.
考点二：判断函数零点或方程根的个数
考法1：数形结合判断交点个数
例3.（2026·广东佛山·检测）下列曲线中，与曲线y = x
3-3 x交点个数最多的是（ ）
A. y =-2 x
B. | x|+| y |=2
C. y
2= 4
D. | y |= x
2
考法2：利用函数的性质与导数判断零点个数
例4.已知函数 f ( x)={
e
x ,
x ≥0
-3 x ,
x<0，若函数 g( x)= f (- x)- f ( x)，则函数 g( x) 的零点个
数为
A. 1
B. 3
C. 4
D. 5
【考点二 方法总结】
· 处理曲线交点个数或方程根的个数问题时，首选数形结合法.画图的核心在于找准
关键点（极值点、与坐标轴交点）和渐近趋势，对于含有绝对值的方程，可通过对称性快
速还原整体图象.
· 对于结构对称的新函数，优先考察其奇偶性.若为奇函数或偶函数，只需研究半个
周期的零点分布，再通过对称性翻折即可.
· 利用导数确定函数的单调性与极值点，结合零点存在性定理，是判断各单调区间
内零点个数的核心手段.
考点三：已知零点个数求参数范围
考法1：分离参数法求参数范围
例5.（2026·山东名校联盟·检测）若函数f ( x)= x
e
x - a
x 有且只有一个零点，则实数a的取值
范围为（ ）
A. ( 4
e
2 ,+∞)
B. ( 4
e
2 ,+∞)∪{0}
C. (-∞,0)∪( 4
e
2 ,+∞)
D. (-∞,0]∪( 4
e
2 ,+∞)
考法2：分段函数的零点问题
例6.已知函数 f ( x)={
x
2+ 4 x +a,
x ≤0
1
x +a+1,
x>0，若函数 g( x)= f ( x)-ax -1 在 R 上恰有三个不
同的零点，求 a 的取值范围.
考法3：利用同构或换元法求参数范围
例7.（2026·江西宜春·一模）已知关于 x 的方程 3m
3mx +1+3mx =2 有两个不相等的实数
解，则正实数 m 的取值范围是＿＿＿＿＿＿.
【考点三 方法总结】
· 含参方程零点问题首选分离参数法，将动态的零点问题转化为静态的图象交点问
题.在绘制新函数图象时，不仅要找准极值点，还必须关注定义域边界及无穷远处的函数
极限趋势.
· 处理分段函数的零点问题时，将其拆解到各个子区间内分别讨论.转化为二次方程
根的分布问题后，结合判别式、对称轴、区间端点函数值这三大条件构建不等式组即可求
解.
· 对于结构复杂的超越方程，尝试通过取对数、指数化等代数变形，将等式两边凑
成 f ( A )= f (B) 的形式（同构法），从而将问题转化为研究函数 f ( x) 的单调性与极值.
考点四：复合函数与嵌套方程的零点问题
考法1：嵌套方程的零点问题
例8.定义在 R 上函数f ( x)，若函数y = f ( x -1)关于点(1,0)对称，且
f ( x)={
- x
2, x∈[0,1)
e
x -1-2, x∈[1,+∞)，则关于x的方程f
2( x)-2mf ( x)=1(m∈R)有n个不同的实数解，
则n的所有可能的值为（ ）
A. 2
B. 4
C. 2 或 4
D. 2 或 4 或 6
【考点四 方法总结】
· 处理嵌套函数方程 F(f ( x))=0 时，基本原则是“由外及内”.先解外层方程求出
f ( x) 的所有可能值，再转化为水平直线与 y = f ( x) 图象的交点问题.
· 对于二次嵌套方程，常利用韦达定理判断内外层交点的位置关系（如两根之和、
两根之积的正负），进而结合内层函数的图象确定总的实数解个数.
考点五：函数零点的综合应用
考法1：利用对称性求零点之和
例9.（2026·湖南联盟·3 月联考）函数 f ( x)= ❑√x +3+ ❑√| x -1|- 5
2 的所有零点的和为＿＿
＿＿＿＿.
考法2：方程多根的代数式求值或范围
例10.已知函数 f ( x)={
|(
1
2)
x -1
-1|,
x ≤1
- 1
2 x +1,
x>1
，若互不相等的实数 x1，x2，x3 满足
f ( x1)= f ( x2)= f ( x3)，则 (
1
2)
x1
+(
1
2)
x2
+(
1
2)
x3
的取值范围是（ ）
A. ( 9
4 , 5
2 )
B. (1,4)
C. (❑√2,4)
D. (4 ,6)
【考点五 方法总结】
· 求复杂函数多个零点之和时，往往暗示函数存在对称中心或对称轴.通过代数变形
验证 f (a+ x)= f (a- x) 或 f (a+ x)+ f (a- x)=b，确定对称性后，零点成对出现，其和即为
对称轴横坐标的倍数.
· 处理“f ( x1)= f ( x2)=⋯=t”类多根求值域问题，核心是“统一变量”.通过解析式
反解出各个 xi 关于 t 的表达式，再代入所求代数式，结合图象确定的 t 的取值范围，
即可顺利求出目标范围.
四、高考真题
1.（2024·全国一卷）当 x∈[0,2π ] 时，曲线 y =sin x 与 y =2sin(3 x - π
6) 的交点个数
为
A. 3
B. 4
C. 6
D. 8
