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2025年高考数学一轮复习讲义及高频考点归纳与方法总结（新高考通用）
第 06 练 函数的概念与表示（精练）
1.了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域.
2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.
3.了解简单的分段函数，并能简单应用.
一、填空题
1．（2023·北京·高考真题）已知函数 ，则 ．
【答案】1
【分析】根据给定条件，把 代入，利用指数、对数运算计算作答.
【详解】函数 ，所以 .
故答案为：1
2．（2022·浙江·高考真题）已知函数 则 ；若当 时，
，则 的最大值是 ．
【答案】 /
【分析】结合分段函数的解析式求函数值，由条件求出 的最小值, 的最大值即可.【详解】由已知 ， ，
所以 ，
当 时，由 可得 ，所以 ，
当 时，由 可得 ，所以 ，
等价于 ，所以 ，
所以 的最大值为 .
故答案为： ， .
3．（2022·北京·高考真题）设函数 若 存在最小值，则a的一个取值为 ；
a的最大值为 ．
【答案】 0（答案不唯一） 1
【分析】根据分段函数中的函数 的单调性进行分类讨论，可知， 符合条件， 不符合条件，
时函数 没有最小值，故 的最小值只能取 的最小值，根据定义域讨论可知
或 ， 解得 .
【详解】解：若 时， ，∴ ；
若 时，当 时， 单调递增，当 时， ，故 没有最小值，不符合题
目要求；
若 时，
当 时， 单调递减， ，
当 时，
∴ 或 ，解得 ，
综上可得 ；
故答案为：0（答案不唯一），1
4．（2022·北京·高考真题）函数 的定义域是 ．
【答案】
【分析】根据偶次方根的被开方数非负、分母不为零得到方程组，解得即可；
【详解】解：因为 ，所以 ，解得 且 ，
故函数的定义域为 ；
故答案为：
5．（2021·浙江·高考真题）已知 ，函数 若 ，则 .
【答案】2
【分析】由题意结合函数的解析式得到关于 的方程，解方程可得 的值.
【详解】 ，故 ，
故答案为：2.
【A级 基础巩固练】
06讲A组2.0
一、单选题
1．（23-24高一下·山西临汾·阶段练习） 的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【分析】
根据具体函数定义域的要求列不等式组求解.
【详解】要使函数 有意义，
必须满足 ，解得 ，
函数 的定义域为 .
故选；B.
2．（23-24高二下·河北承德·开学考试）下列函数中，表示同一函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
从函数的定义域和对应法则两个方面是否都相同考查函数即得.
【详解】
对于A项， ，与 的对应法则不同，故不是同一函数，A项错误；
对于B项， 的定义域为 的定义域为 ，
故两函数定义域不同，故 与 不是同一函数，B项错误；
对于C项， 与 的定义域相同，对应法则也相同，C项正确；
对于 项， ， 与 的对应法则不同，故不是同一函数，D项错误.
故选:C.
3．（2024·安徽·模拟预测）已知 ， ，则 （ ）．
A． B．C． D．
【答案】B
【分析】根据函数定义域和值域的求法可分别确定集合 ，由交集定义可得结果.
【详解】由 得： 或 ，即 ；
， ，即 ，
.
故选：B.
4．（23-24高一下·江西南昌·期中）函数 的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据函数的定义列出不等式解得即可.
【详解】根据题意得 ，解得
即 .
故选：D．
5．（23-24高一下·广东广州·期中）已知函数 ，若 ，则实数 的取
值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A【分析】结合二次函数性质判断函数 的单调性，再借助单调性求解不等式作答.
【详解】因为 在 上单调递增，
在 上单调递增，
且 连续不断，可知函数 在R上单调递增，
则 ，可得 ，解得 ，
所以实数 的取值范围是 .
故选：A.
6．（23-24高二下·浙江宁波·期中）已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由 求解即可
【详解】函数 的定义域为 ，
由 ，得 ，
则函数 的定义域为
故选：C
7．（23-24高一上·江苏盐城·阶段练习）函数 满足 ，则函数 （ ）
A． B．
C． D．【答案】B
【分析】由 可得 ，运用解方程组法求解析式即可.
【详解】因为 ①，所以 ②，
得 ，即 .
故选：B.
8．（2024·江苏南通·二模）已知 对于任意 ，都有 ，且 ，则
（ ）
A．4 B．8 C．64 D．256
【答案】D
【分析】由题意有 ，得 ，求值即可.
【详解】由 ，当 时，有 ，
由 ，则有 .
故选：D
9．（2024高一·全国·专题练习）已知 的定义域为 ，则 的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】利用抽象函数定义域的解法即可得解.
【分析】因为 的定义域为 ，即 ，则 ，
所以 ，所以 的定义域为 .
故选：C.10．（2024·江西南昌·二模）已知 ，则不等式 的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】分别在 条件下化简不等式求其解可得结论.
【详解】当 时，不等式 可化为 ，
所以 ，可得 ；
当 时，不等式 可化为 ，
所以 ，且 ，
所以 ，
所以不等式 的解集是 ，
故选：B.
11．（2024高三·全国·专题练习）已知函数 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用换元法令 ，代入运算求解即可.
【详解】令 ，则 ，由于 ，则 ，
可得 ，
所以 .
故选：B.二、多选题
12．（2024高三·全国·专题练习）(多选)下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）
A．f(x)＝eln x，g(x)＝x
B．f(x)＝x2－2x－1，g(s)＝s2－2s－1
C．f(x)＝ ，g(x)＝sin x
D．f(x)＝|x|，g(x)＝
【答案】BD
【解析】略
13．（23-24高一上·河南南阳·期末）已知函数 ，若 存在最小值，则实数a的可能
取值为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】CD
【分析】运用指数函数的单调性，求得 的 的值域，再由对数函数的单调性，讨论对称轴和区间的
关系，可得 的值域，由题意列出不等式，求解即可得到所求范围．
【详解】函数函数 ，
当 时， 的范围是 ；
时， ， ，
由题意 存在最小值， ，
故选：CD．
14．（23-24高一上·河北保定·期末）已知函数 ，则下列命题正确的是（ ）
A． 的值域为
B． 的值域为C．若函数 在 上单调递减，则 的取值范围为
D．若 在 上单调递减，则 的取值范围为
【答案】AC
【分析】由已知结合二次函数及分段函数的值域及单调性依次判断各选项即可得出结果.
【详解】当 时， 的值域为 ，当 时， 的值域不为 ，A正确，B错误.
若函数 在 上单调递减，则 的取值范围为 ，C正确.
若 在 上单调递减，则 的取值范围为 D错误.
故选：AC
三、填空题
15．（23-24高二下·广东汕头·阶段练习）函数 的定义域为
【答案】 且
【分析】根据函数解析式，建立不等式求解即可.
【详解】要使函数有意义，则需 且 ，
解得 且 ，
所以函数定义域 且 .
故答案为： 且
16．（2024高三·全国·专题练习）设函数f(x)＝ 若f(2)＝4，则实数a的取值范围是 ．
【答案】(－∞，2]
【详解】
因为f(2)＝4，所以2∈[a，＋∞)
17．（2024高三·全国·专题练习）若函数f(x)的定义域为[0，2]，则函数f(x－1)的定义域为 ．
【答案】[1，3]【详解】
∵ f(x)的定义域为[0，2]，∴ 0≤x－1≤2，即1≤x≤3，∴ 函数f(x－1)的定义域为[1，3].
18．（2024·湖北武汉·二模）已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为
.
【答案】
【分析】借助函数定义域的定义计算即可得.
【详解】由函数 的定义域为 ，则有 ，
令 ，解得 .
故答案为： .
19．（2024高三·上海·专题练习）若函数 的值域为 ，则实数a的值为 ．
【答案】2
【分析】分离常数得出 ，根据 ，即可得出该函数值域为 ，从而得出a的值．
【详解】由 ，
∵ ，∴ ，
又该函数的值域为 ，
∴ ．
故答案为：2．
20．（2024高一·全国·专题练习）若函数 的定义域为 ，则 的范围为 .
【答案】
【分析】
将条件转化为不等式的任意性问题，然后取特殊值得到 的取值范围，再验证该范围下的 都符合条件.
【详解】由于函数 的定义域是 ，
故条件即为 ，这等价于 对任意实数 成立.若 对任意实数 成立，取 知 ，即 ；
若 ，则对任意实数 都有 ，
故 对任意实数 成立.
综上， 的取值范围是 .
故答案为： .
四、解答题
21．（23-24高一上·广东潮州·期中）已知函数 .
(1)求 ， 的值；
(2)若 ，求实数 的值.
【答案】(1) ，
(2)
【分析】（1）利用函数对应关系代入求解即可；
（2）令 ，讨论 的范围解方程求解得答案.
【详解】（1）因为 ，且 ，所以 .
因为 ，所以 .
（2）依题意，令 ，若 ，则 ，解得 ，
与 矛盾，舍去；
若 ，则 ，解得 ，
故 ，解得 ，所以实数 的值为 ；
综上所述： 的值为 .
22．（23-24高一上·湖南衡阳·期末）已知二次函数 满足 ．
(1)求 的解析式．
(2)求 在 上的值域．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）令 ，则 ，利用换元法代入可求得 的解析式；
（2）由（1）可得函数 的解析式，结合二次函数的性质分析可得答案.
【详解】（1）令 ，则 ，
，∴ .
（2）因为 ，
所以 的图象对称轴为 ，在 上递减，在 上递增，
∴ ， ，
即 的值域为 .23．（23-24高一下·河南·开学考试）已知函数 满足．
(1)求 的解析式；
(2)求函数 在 上的值域．
【答案】(1)
(2) ．
【分析】（1）利用换元法进行求解即可；
（2）根据二次函数的单调性进行求解即可.
【详解】（1）令 ，得 ，
则 ，
故 的解析式为 ．
（2）由题意得 ，
函数 的对称轴为 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，
，
故 在 上的值域为 ．
24．（23-24高一上·四川宜宾·期中）已知
(1)求 ， 的值；
(2)求满足 的实数a的值；(3)求 的定义域和值域．
【答案】(1) ，
(2)
(3)定义域为 ，值域为
【分析】根据自变量所属范围，求分段函数求函数值；根据函数值，求自变量值；确定分段函数的定义域
值域.
【详解】（1） ，
.
（2）由 或 ，解得 .
（3）
的定义域为 ，值域为
25．（22-23高一上·吉林长春·阶段练习）已知函数 在 上有定义，且满足 .
(1)求函数 的解析式；
(2)若 ，对 均有 成立，求实数m的取值范围.
【答案】(1)
(2)【分析】(1)换元法和配凑法可求函数解析式.
(2)依题意， ，设 ，则 在区间内恒成立，用一次函数性质求
解.
【详解】（1） ，
∴ ，
又∵ ，
∴ .
（2） ，对 均有 成立，
在 上单调递增， ，
依题意有对 均有 成立，
即 在 时恒成立，
∴ ，解得 ，∴实数m的取值范围是 .
【B级 能力提升练】
一、单选题
1．（23-24高二下·福建三明·阶段练习）下列各组函数相等的是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】D
【分析】分别求每个选项中两个函数的定义域和对应关系，即可判断是否为相同函数，进而可得正确选项.【详解】对于A中，函数 的定义域为R， 的定义域为 ，
所以定义域不同，不是相同的函数，故A错误；
对于B中，函数 的定义域为R， 的定义域为 ，
所以定义域不同，不是相同的函数，故B错误；
对于C中，函数 的定义域为R，与 的定义域为 ，
所以定义域不同，所以不是相同的函数,故C错误；
对于D中，函数 与 的定义域均为R，
可知两个函数的定义域相同，对应关系也相同，所以是相同的函数, 故D正确；
故选：D.
2．（2024高三·全国·专题练习）函数f(x)＝ 的定义域为（ ）
A．(－∞，3] B．(1，＋∞)
C．(1，3] D．[3，＋∞)
【答案】C
【详解】
解析：依题意log (x－1)＋1≥0，即log (x－1)≥－1，∴ 解得1<x≤3．故选C．
3．（2024·吉林·模拟预测）已知 若 ，则实数 的值为（ ）
A．1 B．4 C．1或4 D．2
【答案】B
【分析】分 和 ，求解 ，即可得出答案.
【详解】当 时， ，则 ，解得： （舍去）；当 时， ，则 ，解得： .
故选：B.
4．（23-24高一上·北京通州·期末）下列函数中，其定义域和值域分别与函数 的定义域和值域相
同的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用幂函数、指数函数、对数函数的定义域、值域一一判定选项即可.
【详解】易知 ，且 ， ，故其定义域与值域均为 .
显然A选项定义域与值域均为 ，故A错误；
因为 ，且 恒成立，即其定义域与值域均为 ，故B错误；
，即其定义域为 ，值域为 ，故C错误；
，且 ，故其定义域与值域均为 ，即D正确.
故选：D
5．（23-24高一上·湖北·阶段练习）已知函数 的定义域是 ，则函数 的定
义域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由函数定义域的概念及复合函数定义域的求解方法运算求解即可.
【详解】因为函数 的定义域是 ，所以 ，所以 ，所以函数 的定义域为 ，
所以要使函数 有意义，则有 ，解得 ，
所以函数 的定义域为 .
故选：A.
6．（23-24高一下·江西·阶段练习）已知函数 在 上单调递增，则实数 的
取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
依据分段函数的单调性知，函数g(x)每一段均需单调增，且每相邻两段函数，右段函数的左端点函数值不
小于左段函数右端点函数值，列出不等式组求解即可.
【详解】由题：函数 在 上单调递增，
故 ，
解得： ,
故选：C.7．（23-24高一上·北京·期中）若函数 的值域为 ，则实数 的取值范围为
（ ）.
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求出函数 在 上的值域，由已知可得函数 在 上的值域包含 ，
再列出不等式求解即得.
【详解】当 时，函数 在 上单调递减， 在 上的值域为 ，
因为函数 在R上的值域为 ，则函数 在 上的值域包含 ，
显然 ，否则当 时， ，不符合题意，
于是函数 在 上单调递减，其值域为 ，因此 ，则 ，
所以实数 的取值范围为 .
故选：D
8．（23-24高一上·河南商丘·期中）已知 ，则函数 的值域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用换元法求得 的解析式，进而结合二次函数的性质求解即可.
【详解】设 ，则 ，
，， ，
函数 在 上单调递减，
当 时， ，
函数 的值域为 .
故选：C.
9．（2024·全国·模拟预测）已知 ，函数 是 上的减函数，则 的取
值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据分段函数的单调性和指数函数的单调性列出不等式组，解之即可直接得出结果.
【详解】因为函数 是减函数，所以 ．
又因为函数 5） 图像的对称轴是直线 ，
所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增．
又函数 是 上的减函数，所以 ，解得 ，
所以 的取值范围是 ．
故选:B．
10．（23-24高二上·广东广州·期末）函数 的最大值是（ ）
A． B． C． D．4【答案】B
【分析】
设 ，根据辅助角公式，结合三角函数的性质求解.
【详解】由 ，解得 ，故 的定义域为 .
设 ，
则 ，
其中， ，
∵ ，则 ，
∴当 ，即 时，
取最大值 ，即函数 的最大值是 .
故选：B.
11．（2024·四川绵阳·三模）已知函数 ，存在 使得 ，则实数 的取值范
围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】分a≤0和a＞0两种情况讨论即可得到答案．
【详解】 ，
当a≤0时，当x＞0时， ，
f(x)如图：f(x)≥0恒成立，不满足题意；
当a＞0时， ，
f(x)如图：
当 时， ．
故选：D．
二、多选题
12．（23-24高一下·内蒙古鄂尔多斯·开学考试）下列函数中，最小值是4的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【分析】A选项，举出反例；B选项，利用基本不等式求出最小值；C选项，利用基本不等式“1”的妙用
求出最小值；D选项，求出定义域，平方后求出 ，得到答案.
【详解】A选项，当 时， ，A错误；
B选项， ，当且仅当 ，即 时取最小值，B正确；
C选项，因为 ，所以 ， ，
故
，
当且仅当 ，即 时，等号成立，C错误；
D选项，易知 ，且其定义域为 ，
而 ，即当 或 时, 取最小值 ，
的最小值为 ，D正确
故选：BD
13．（23-24高一上·广东广州·期末）已知定义域为 的函数 ，使 ，则下列函数中符
合条件的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】根据特值以及基本不等式判断即可.
【详解】对于A选项， ，故A选项符合题意；
对于B选项， ，当 ，即 时等号成立，故B选项不符合题意；
对于C选项， ，故C选项符合题意；对于D选项，由题意得 ，故D选项不符合题意.
故选：AC.
14．（23-24高一下·福建·期中）已知函数 ，则以下说法正确的是（ ）
A．若 ，则 是R上的减函数
B．若 ，则 有最小值
C．若 ，则 的值域为
D．若 ，则存在 ，使得
【答案】BC
【分析】把选项中的 值分别代入函数 ，利用此分段函数的单调性判断各选项.
【详解】对于A，若 ， ，
在 和 上单调递减，故A错误；
对于B，若 ， ，
当 时， ， 在区间 上单调递减，
，则 有最小值1, 故B正确；
对于C，若 ， ，
当 时， ， 在区间 上单调递减， ；
当 时， ， 在区间 上单调递增， ，
则 的值域为 ，故C正确；对于D，若 ，
当 时， ；
当 ，即 时， ；
当 ，即 时， ，
即当 时， ，
所以不存在 ，使得 ，故D错误.
故选：BC
三、填空题
15．（23-24高一下·安徽安庆·开学考试）若函数 的定义域为 ，则函数 的定义域
为
【答案】
【分析】
由 的取值范围求出 的取值范围，再令 ，求出 的范围即可.
【详解】
当 时 ，所以 ，
所以 ，即 ，则 ，
即 ，解得 ，
所以函数 的定义域为 .
故答案为：16．（23-24高一上·江苏徐州·期中）已知函数 对任意实数 都有 ，则
.
【答案】
【分析】由 可列出方程组： ，从而求解.
【详解】由题意得：对任意实数 都有 ，
所以： ，解得： .
故答案为： .
17．（23-24高一上·山东·期中）已知 ，则当 时， 的最小值为
．
【答案】1
【分析】先利用换元法得到 ，进而得到 ，再利用基本不等式求解.
【详解】解：因为 ，令 ，则 ，
所以 ，
所以 .
所以当 时， ，
，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
故答案为：118．（2024·上海松江·二模）已知 ，函数 ，若该函数存在最小值，则
实数 的取值范围是 .
【答案】 或
【分析】令 ， ， ， ，分类讨论 的取值范围，判断
， 的单调性，结合 存在最小值，列出相应不等式，综合可得答案．
【详解】由题意，令 ， ， ， ，
当 时， 在 上单调递减， 在 上单调递减，则 在 上的值域为 ，
因为 存在最小值，故需 ，解得 ，
结合 ，此时 ；
当 时， 在 上单调递减， 在 上单调递增，则 在 上的值域为
，
因为 存在最小值，故需 ，即 ，解得 ，
这与 矛盾；
当 时， 在 上单调递减，且在 上的值域为 ， ，此时存在最小
值2；
则实数 的取值范围为 或 ．
故答案为： 或 ．
四、解答题
19．（23-24高一上·浙江杭州·期中）求下列函数的值域：
(1)(2)
(3)
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）（3）根据题意结合基本不等式求值域；
（2）换元令 ，结合二次函数求值域.
【详解】（1）因为 ，则 ，
可得 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
所以函数的值域为 .
（2）令 ，则 ，
可得 ，
当 时，等号成立，
所以函数的值域为 .
（3）因为 ，则 ，可得 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
即 ，所以函数的值域为 .
20．（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）已知函数 满足 ，函数 满足
．
(1)求函数 和 的解析式；
(2)求函数 的值域．
【答案】(1) ，
(2)
【分析】（1）利用换元法求出 的解析式，利用解方程组法求出 的解析式；
（2）利用换元法求函数的值域.
【详解】（1）令 ，即 ，所以 ，即 ，
因为 ①， ②，
由①②解得， .
（2）因为 ，
令 ，
所以 ，因为 ，所以 ，
所以该函数的值域为 .
21．（23-24高一上·河北·阶段练习）已知二次函数 的解为 .
(1)求 ；
(2)证明： 也是方程 的解，并求 的解集.
【答案】(1)
(2)证明见解析，
【分析】（1）根据题意列式求解即可；
（2）根据 ，代入证明即可，展开 解方程即可.
【详解】（1）因为 的解为 ，则 ，解得 .
（2）由（1）可知： ，且 ，
则 ，
即 也是方程 的解，
对于 ，即 ，
整理得： ，解得 ，
所以 的解集为 .【C级 拓广探索练】
一、单选题
1．（23-24高三下·湖北·阶段练习）以 表示数集 中的最小值，已知不全为 的实数 ， ，二元
函数 ，则 的最大值为（ ）
A．0 B． C．1 D．2
【答案】C
【分析】首先求出 ，再分 、 两种情况讨论，即可求出 的最大值.
【详解】因为 ，又实数 ， 不全为 ，且 ，所以 ；
当 时 ；
当 ， 时 ；
当 时，
①若 ，即 ，则 ，所以 ，
②若 ，即 ，所以 ，
③若 ，即 ，则 ，所以 ，
当 时 ，所以 ，
综上，当 时， ；
当 时， ， ，则 ，
所以 ，
综上可得 ，
故选：C．
【点睛】关键点点睛：本题关键是分 、 两种情况讨论得到当 时， ，当 时.
2．（23-24高一下·湖南·阶段练习）已知 的值域为 ， ，则 的
取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】考虑 时，由指数函数的单调性得到取值范围，此时 不成立，舍去，再考
虑 ，结合基本不等式求出函数值域 ，A错误；考虑 ，求出 与 时的函数
值取值范围，进而得到不等式，求出答案.
【详解】①若 ，当 时， 在 上单调递增，
此时 ，则 ，又 不成立，
所以此时 不成立，排除选项D；
②若
当 时， ，
当 时， ，当且仅当 时，等号成立，
则函数 的值域 ，满足 ；排除选项A；③若 ，当 时， 在 上单调递减，此时 ，
当 时， ，当且仅当 时，等号成立，
又函数 的值域 满足 ，
则 解得 .
综上所述： .
故选：C.
3．（23-24高一上·浙江·期末）已函数 ，若对于定义域内任意一个自变量 都
有 ，则 的最大值为（ ）
A．0 B． C．1 D．2
【答案】B
【分析】由已知对 的取值进行分类讨论，结合 的取值范围求出函数的定义域，再结合函数的性质分别
进行求解即可.
【详解】若 ，则 恒成立，故 符合题意；
若 .
①当 即 时， ，此时函数的定义域为 ，
所以 恒成立，所以： 符合题意；
②当 即 时， ，此时函数的定义域为 ，
则 ，所以 恒成立，所以： 符合题意；③当 即 时，函数的定义域为 且
则取 ，则 ，
令 ，当 时， ， 可以取得负值，
故 不符合题意.
若 ，则函数定义域为 且 ，
令 ，则 .
当 且 时， ， 可以取得负值，
故 不符合题意；
综上， ，即 的最大值为 .
故选：B
【点睛】关键点点睛：对 的取值进行分类讨论，分别判断 是否恒成立.
二、多选题
4．（23-24高一上·江苏泰州·期末）已知函数 ，若 的值域为 ，则实数 的值可
以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【分析】分别求出值域，根据值域的并集为 建立不等式，逐项判断即可.【详解】当 时， 单调递增，其值域为 ，
当 时， 单调递增，其值域为 ，
由题意 的值域为 ，所以 ，所以 ，
记 ，且 ，在一个坐标系内作出函数图象，如图：
因为 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，
所以 ，要使 ，则 ，
因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
结合选项可知，实数 的值可以是 ， .
故选：BD
5．（23-24高一上·贵州毕节·期末）设 表示不超过 的最大整数，如 ．设
（ 且 ），则下列选项正确的有（ ）
A．函数 的值域为B．若 ，则
C．函数 的值域为
D．函数 的值域为
【答案】ABC
【分析】由己知可得 ， ，分类讨论，求出 和
的值.
【详解】对于A，
时， 在 上单调递减； 时， 在 上单调递增，
，有 ，则 ，即 ，可得
函数 的值域为 ，故A正确；
对于B， （ 且 ）定义域为
（ 且 ），故 ，
又 是 上的单调函数， ，故B正确；
对于C， ，
①当 时， ，
，
②当 时， ， ，当③ 时，
，
所以函数 的值域为 ，故C正确；
函数 的值域为 ，故D错误.
故选：ABC．
三、填空题
6．（23-24高一下·上海·开学考试）已知函数 的值域是 ,当
时，实数 的取值范围是 .
【答案】
【分析】借助分段函数的性质分类讨论，当 时，可得 ，当 时，令
，结合函数单调性及对称性，可得 ， ，又 的值域是 ，
即可得当 时的值域应该包含 ，即可得解.
【详解】当 时，函数 为增函数，此时 ，
， ，
令 ，即 ，则 关于 对称，且当 时， ，
且 在 上单调递增，在 上单调递减，
令 ，有 ，即有 ，解得 或 ，
的值域是 ，
当 时，当 时的值域应该包含 ，
此时 的取值范围是 .
故答案为： .
7．（23-24高一上·浙江金华·期末）若函数 的值域为 ，则实数
的最小值为 ．
【答案】
【分析】结合题意由值域为 转化 ，结合基本不等式求出最值即可.
【详解】根据题意，函数 的定义域为 ，
因为 的值域为 ，
所以 在 上恒成立，
当 时，则 ，则 ，
此时必有 ，变形可得 ，
当 时，则 ，则 ，
此时必有 ，变形可得 ，综合可得： 在 上恒成立，
设 ， ，
则 ，
因为 ，所以 且 ，
由基本不等式可得 ，
即 ，所以 ，
因为 在 上恒成立，
所以 ，解得 ，
故实数 的最小值为 .
故答案为： .
【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用参变分离得到 ，再运用函数及基本不等式的思想研
究不等式.
四、解答题
8．（23-24高一下·广西·开学考试）已知函数 .
(1)求 的解析式；
(2)求不等式 的解集；
(3)若存在 ，使得 ，求 的取值范围.
【答案】(1)
(2)(3)
【分析】（1）利用换元法可求得函数 的解析式；
（2）利用二次不等式的解法可得出不等式 的解集；
（3）由已知可得出 ，令 ， ，可得出 ，对
实数 的取值进行分类讨论，求出函数 在 上的最大值，根据 可求得实数 的取值范围.
【详解】（1）解：设 ，则 .
因为 ，所以 ，
则 .
（2）解：不等式 ，即 ，即 ，
则 ，解得 ，即不等式 的解集为 .
（3）解：因为 ，所以 ，
则不等式 等价于不等式 .
设 ，则函数 ，
故二次函数 图象的对称轴方程为 .
当 时，即 时， 在 上单调递增，
则 ，解得 ，故 符合题意；
当 ，即 时， 在 上单调递减，在 上单调递增，
则 ，解得 或 ，故 或 符合题意；
当 时，即 时， 在 上单调递减，
则 ，解得 ，故 符合题意.
综上， 的取值范围是 .
