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第14 题 极值求解三重智慧（解透一题）
【成都2024-2025 学年高三下二诊T8】若函数
有极值，则
的取值
范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
考的过程
一元函数
极值存在的充要条件是导数为零且导数变号（或二阶导数非零），知函数
，其定义域为
．若求函数存在极值时a 的取值范围，需先对该函
数求导，再依据极值点处导数为0 且在该点两侧导数异号这一性质进行求解．
【方法一】常规求导法
利用导数与极值的关系，对函数
求导，再依据极值点处导
数为0 且在该点两侧导数异号列式求解．对函数
求导后设
，
，分
，
结合导数分析求解即可．
对
求导，依据乘积的求导法则
，其中
)．
因为
，所以
．
由于
在
上恒成立，所以\\(f(x)\\)存在极值等价于
在
上存在变号零点．
对
求导可得
．
当
时，
，
在
上不存在零点．
当
时，令
，即
，解得
．
当
（即
时，
在
上
，
单调递减；在
上
，
单调递增．
．要使
存在变号零点，则
，即
，因为
，两边同时除以
得
，
，解得
．
当
)时，
，
在
上恒成立，
在
上单调递减．
当
时，
；当
时，
，所以
在
上存在变号零点．
综上，
的取值范围是
．
本题的关键在于将函数f(x)存在极值转化为
存在变号零点，通过对
求导并分析其单调性和最值来确定零点情况．在求导过程中要熟练运用求导公式和法
则，对于含参函数的单调性讨论要做到不重不漏．作为选择题，小题大做不推荐．
【方法二】分离参数法
判断函数
有无变号 零点，将方程
进行变形，使参数
得以分离，转化为
的形
式，即
．通过对函数
的图像特征、单调性以及极值
情况展开分析，进而确定参数
的取值区间．
原方程
可进行参数分离，得到
，
设
，则
．
对
求导可得：
令
，解得其临界点为
．
- 当
时，由于
，所以
呈单调递减态势．
- 当
时，因为
，所以
呈单调递增态势．
函数
在
处取得最小值， 且
因为
的最小值为
，
当
时，着原函数f(x)存在极值．所以，参数 a 的取值范围是
．
分离参数法将问题转化为函数图象交点问题，通过求导分析函数)h(x)的单
调性和最值，进而得到 (x+1)ln(x+1)的性质．这种方法避免了对参数a 的复杂分类讨论，但
需要熟练掌握函数图象的绘制和分析技巧，对极限的理解和运用也有较高要求．
【方法三】特殊值排除法
题目给定函数
，需求出该函数存在极值时a 的取值
范围．可运用特殊值排除法进行求解，即代入特定的a 值，判断函数是否存在
极值，从而排除不符合条件的选项．
由
，其定义域为
，
则
，
1． 当
时，
)．
令
，对
求导可得
．
在区间
上，
，
呈单调递减态势；在区间
上，
，
呈
单调递增态势．
- 所以
，又因为
，所以
，
在
上单调递增，不存在极值．
由于
时函数无极值，而选项D 中包含1，故可排除D．
2． 当
时，
-
令
，则
．
令
，即
，解得
．
当
时，
)，
单调递减；当
时，
单调递
增．
- 所以
在
处取得极小值，且
．
则在
两侧
符号不改变，（易错点：误将导数为零等同于极值存在，忽
略二阶条件或符号变化分析） f(x)不存在极值，所以选项B，C 可排除 ，答案选A．
特殊值排除法在解决这类选择题时非常有效．通过选取合适的特
殊值，能够快速地排除不符合条件的选项，缩小答案范围．在选取特殊值时，
要结合函数的特点以及选项的差异进行选择．本题中，根据选项中a 的取值边
界和特殊值进行代入验证，先排除了包含使函数无极值的a 值的选项，再通过
验证确定了正确答案．同时，在求导过程中要熟练运用求导公式和法则，准确
分析函数的单调性和极值情况，这是判断特殊值是否符合条件的关键．
解决函数有极值问题，解决的关键是要保证其导数有变号零点，处理方法较多．
直接处理函数零点的问题需要准确把握分类讨论的分界点，导函数为二次型的函数的分界
点需要考虑二次项的系数以及二次方程的判别式．所以不仅要考虑二次方程根的大致范围，
而且要注意函数值的变 化趋势．
分离参数法能够将问题转化为函数图像交点的问题，从而避免了复杂的分类讨论过程，尤
其在处理含参方程根的存在性问题时具有显著优势．
作为选择题，本题可利用特值法排除不合题意的选项，从而快速得到正确 选 项，体 现
了“小题不大做”的解题智慧．值得关注．
1．若函数
在
有极值，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】首先求导得到
，再根据题意得到
，解不
等式即可.
【详解】
，
，
因为函数
在
有极值，
所以
，解得
或
.
故选：C
2．若函数
在
处取得极小值，则
（ ）
A．4
B．2
C．-2
D．-4
【答案】A
【分析】先由
，求得
的值，再代入导函数，根据函数的单调性，进行验证.
【详解】由题意可得
，则
，解得
.
当
时，
，
当
或
时，
，则
在
，
单调递增，
当
时，
，则
在
单调递减，
所以，函数
在
处取得极小值，此时
.
故选：A
3．已知函数
在
上既有极大值，也有极小值，则实数a 的取值
范围为（ ）
A．
B．
C．
且
D．
且
【答案】C
【解析】先求导函数，根据函数在区间
内既有极大值又有极小值，故导函数为0
的方程有不等的实数根，可求实数a 的取值范围.
【详解】
,
又函数
既有极大值又有极小值，
且
，
且
.
故选：C
【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数极值,关键是将问题转化为导函数为0 的方程有
不等的实数根，属于中档题.
4．若函数
既有极大值也有极小值，则错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】求出函数
的导数
，由已知，可得函数
在
上有两个变号零点，
转化为一元二次方程有两个不等的正根判断作答即可．
【详解】函数
的定义域为
，
由
，得
，
因为函数
既有极大值也有极小值，
所以函数
在
上有两个变号零点，而
，
所以方程
有两个不等的正根
，
所以
，所以
，
所以
，即
．
故BCD 正确，A 错误．
故选：A．
5．若函数
恰好有两个极值，则实数a 的取值范围是 （ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】求出函数的导函数，利用函数
恰好有两个极值，说明导函数有两个不同的零
点，从而求出a 的取值范围.
【详解】因为
，所以
，
由函数
恰好有两个极值，得
有两个不相等的零点，
故方程
有两个不相等的实根，
则
，且
，解得
或
，
所以实数a 的取值范围是
.
故选：D.
6．已知函数
在
上无极值，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】求导数确定单调性，讨论x 的取值范围可得结果.
【详解】由题意得，
，故
，
因为函数
在
上无极值，
所以
在R 上恒成立，
当
时，
，
设
，则
，
当
时，得
，当
时，得
，
则
在
上单调递减，在
上单调递增，
从而
，故
，
当
时，
，则
.
综上，
.
故选：D.
7．已知函数
的最大值为1．
(1)求实数
的值；
(2)若函数
有极值，求实数
的取值范围．
【答案】(1)1；
(2)
.
【分析】（1）先求导函数及其零点，再分段讨论求单调区间及最值计算参数即可；
（2）根据函数有极值得
在
上有零点，结合二次函数零点分布分类讨论计算即
可.
【详解】（1）由题意得
，
令
，
，
当
时，
，
递增；当
时，
，
递减.
，所以
．
（2）
，
有极值，即
在
上有零点，
令
，即
在
上有解
当
时，
，
在
上单调递增，无极值；
当
时，
在
上有解，
所以
，所以
.
