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专题三 导数专题归纳总结及测试
一．单选题：本题共8 小题，每题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的。
1．（2025·河南安阳·三模）已知函数
的极小值为
，则实数
的值为（ ）
A．8
B．6
C．4
D．2
【答案】A
【解析】由已知得
，令
，得
，
当
时，
单调递减，
当
或
时，
单调递增，
所以
的极小值为
，解得
.
故选：A.
2．（2025·重庆·三模）若函数
在
上有零点，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为
，
对函数求导得
.
所以函数
在
上单调递减.
因为
在
上有零点，
所以
.
即：
，
.
求解得：
.
故选：A.
3．（2025·江西景德镇·模拟预测）已知函数
，若曲线
在点
处的切线方
程为
，则
的值为（ ）
A．
B．1
C．
D．2
【答案】C
【解析】因为
，
所以
，
所以由题意得
，
所以切点
，所以
.
故选：C
4．（2025·河南·三模）将函数
的图象上所有点的横坐标变为原来的
，得到函数
的图象，若
在
上只有一个极大值点，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】将函数
的图象上所有点的横坐标变为原来的
，
得到函数
的图象，则
，
当
时，
，
因为
在
上只有一个极大值点，则
，解得
，
因为
，故正整数
的最大值为
.
故选：D.
5．（2025·安徽滁州·二模）已知函数
，若
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】令
，该函数的定义域为
，
，
由
可得
或
，由
可得
，
且当
时，
，当
时，
.
所以，函数
的单调递减区间为
、
，增区间为
，
作出函数
的图象如下图所示：
由图可知，函数
的增区间为
、
，减区间为
，
因为
，则
，
因为
，即
，
接下来比较
与
的大小，
作差得
，
所以，
，因此，
.
故选：D.
6．（2025·江西景德镇·模拟预测）已知函数
，若
，则实数
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由
，可得：
，
构造函数
，易知
在
上单调递增，
所以可得
在
时恒成立，
即
，
令
，
则
，令
，可得：
，
当
时，
，当
时，
，
也即
在
单调递增，在
单调递减，
当
时，
取得最大值
，
所以
，
所以实数
的取值范围是
，
故选：D
7．（2025·河南·三模）若
，都有
，则a 的取值范围为（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由题设
，
，即
，
令
且
，则
，
当
时，
，即
在
上单调递减，
当
时，
，即
在
上单调递增，
当
，此时
，则
，不合题设，
故
，所以
，
而
在
上单调递增，则
，
问题化为
，
在
上恒成立，
令
且
，则
，
当
时，
，即
在
上单调递增，
当
时，
，即
在
上单调递减，
所以
，故
.
故选：D
8．（2025·江西·二模）已知函数
恰有2 个零点，则实数a 的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】令f(x)=0，得
即
令
则
(1-e)t-1=0，
令
则
令
在区间(ln(e-1) ，+∞)上单调递增；
令
在区间
上单调递减，又
1，h(0)=h（1）=0，则
h(x)=0 有且只有两个根，分别为0，1.
当a≥0 时，函数f(x)恰有2 个零点等价于
的图象与直线y=0 和y=1 共有2 个交点.
令p(x)= lnx+ ax，则
则p(x)在区间(0，+∞)上单调递增，又x→0，p(x)→-∞，x→+∞，
p(x)→+∞，即p(x) R
∈，则.y= ax+ lnx 的图象与直线y=0 和y=1 各有1 个交点，符合题意.
当a<0 时，函数f(x)恰有2 个零点，等价于函数y=lnx 的图象与直线y=-ax，y=1-ax 的图象共有2 个交点，临界情
况为两条直线分别与y=lnx 的图象相切.
如图1，当y=-ax 与y=lnx 相切，设对应切点为
，因为
则相应切线方程为
如图2，当y=1-ax 与y= lnx 相切，设对应切点为
，则相应切线方程为
则
综上
故选：D.
二．多选题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分。在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选
对得6 分，不分选对的得部分分，有选错的得0 分。
9．（2025·山东威海·模拟预测）设函数
，则（ ）
A．
有3 个零点
B．过原点作曲线
的切线，有且仅有一条
C．
与
交点的横坐标之和为0
D．
在区间
上的取值范围是
【答案】BC
【解析】
，
0
0
单调增
单调减
单调增
，
所以
有2 个零点，A 不正确；
对于选项B：设切点为
，则切线方程为
，
代入原点，得
，
故切线有且仅有一条，正确；
对于选项C：
或
，
若
，根据对称性知，根之和为0，
若
，方程只有一个根为0，故正确；
对于选项D：
，又
，
故
在区间
上的取值范围是
，错误.
故选：BC.
10．（2025·广东珠海·模拟预测）对于以下结论正确的选项是（ ）
A．已知
，则
B．
的最小值是
C．
有两个零点，则实数
的最小值为
D．若不等式
恒成立，则正实数
的最小值为
【答案】AD
【解析】对于A，因为
，构造函数
，
，当
时，
，
是单调递增函数，又因为
，则
，故A 正确；
对于B，
，当且仅当
，即
时取等
，
故B 不正确；
对于C，已知
，
令
，单调递增，方程
有两个根，等价于
有两个根.
对
求导，
.
当
且
时，
，
单调递减；当
时，
，
单调递增.
所以
在
处取得最小值
.
要使
与
有两个交点，那么
.故C 不正确.
对于D，由
，两边同乘
得
，而
.
令
，求导
，因为
，所以
，
在
单调递增.
因为
，所以
，即
恒成立.
令
，求导
.
当
时，
，
单调递增；当
时，
，
单调递减.
所以
在
处取得最大值
，则
.
所以
最小值是
.故D 正确.
故选：AD.
11．（2025·山东滨州·二模）已知直线
与曲线
相交于
两点，曲线
在点
处的切线与在点
处的切线相交于点
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【解析】对于A，令
，则
，
故
时，
，
单调递增；
时，
，
单调递减，
所以
，且
时
，
因为直线
与曲线
相交于
两点，
所以
与
图象有2 个交点，如图：
所以
，故A 正确；
对于B，
，不妨设
，可得
，
在点
处的切线程分别为
，
则
得
，
即
，
因为
，所以
，即
是变化的，故B 错误；
对于C，因为
，所以
，
因为
为两切线的交点，
所以
，即
，所以
，
所以
，
所以
，故C 正确；
对于D，因为
，所以
，
又因为
，
，
所以
，
，
所以
，
得
，即
，
因为
，所以
①
，
所以
，故D 正确.
其中不等式①
的证明如下：不妨令
，
由
得
，即
，令
，
则即证
，
构造函数
，
，
所以
在
上单调递减，所以
，
所以不等式
成立，即
成立
①
.
故选：ACD
三．填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分。
12．（2025·广东清远·二模）已知函数
，若
，
，且
，
则
的最小值是 ．
【答案】4
【解析】因为
，
所以
，
，
所以函数
为奇函数且为增函数，
.
由
可得
，即为
.
因为
，所以
．当且仅当
，
时取等号．
故答案为：4
13．（2025·福建三明·三模）已知函数
存在最小值，则实数a 的取值范围为 .
【答案】
【解析】
的定义域为R，
，
令
，
若
，则
，令
得
，令
得
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
故
存在最大值，不存在最小值，舍去；
若
，
，
若
，则
，此时
，
其中
，
，
当
且
时，
，当
时，
，
故
在
上单调递增，在
上单调递减，
故
存在最大值，不存在最小值，舍去；
若
，即
时，
恒成立，
当
时，
，当
时，
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
故
存在最大值，不存在最小值，舍去；
若
，则
或
，
当
时，设
的两根为
，
开口向上，
，
当
时，
，
，
当
时，
，
，
当
时，
，
，
当
时，
，
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，在
上单调递减，在
上单调递增，
即为
的最小值，故
满足要求；
当
时，设
的两根为
开口向下，
，
当
时，
，
，
当
时，
，
，
当
时，
，
，
当
时，
，
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，在
上单调递增，在
上单调递减，
当
趋向于
时，
趋向于
，不存在最小值，
综上，
故答案为：
14．（2025·安徽·三模）已知关于
的方程
有两个不等实根，则
的取值范围是
．
【答案】
【解析】由
可得
，当
时，不满足题意，
当
时，方程两边同乘
，
得
，等价于
，变形可得
．
设函数
，则
，当
时，
，
单调递增，
当
时，
，
单调递减，
又因为
，当
时，
，且当
趋向于
时，
趋向于0，
由
知，只需满足
或
，
所以a 的取值范围是
．
故答案为：
四．解答题：本题共5 小题，共77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤；15 题13 分，16、17 题各
15 分，18、19 题各17 分
15．（2025·河南郑州·三模）已知函数
．
(1)若
是函数
的极值点，求a 的值；
(2)在（1）的条件下，若函数
有两个零点，求实数m 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
或
【解析】（1）
，
因为
是函数
的极值点，所以
，
即
，此时
，
由
，得
；由
，
，
所以函数
在区间
上单调递减，在区间
上单调递增，
所以，
是函数
的极小值点，故
.
（2）由（1）可知
有两个零点，
即方程
有两个解．
当
时，
，
当
时，
，即
．
设
，函数
零点个数为函数
的图象与直线
的交点个数．
，
，
令
，得
或
；令
，得
且
．
所以函数
在区间
和
上单调递减，在区间
和
上单调递增．
当
时，
；当
时，
；如图所示
，
，
函数
的图象与直线
有两个交点，即
或
，
即
或
时，函数
有两个零点.
16．（2025·安徽芜湖·二模）已知函数
(1)讨论
的单调性；
(2)设
，证明：
.
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【解析】（1）定义域
，
，
当
①
时，
，
在
上单调递减，
当
②
时，令
得
，
令
，得
，令
，得
，
所以
在
单调递减，在
单调递增.
综上：当
时，
在
上单调递减；
当
时，
在
单调递减，在
单调递增.
（2）法一：要证
即证
，
设
，即
，
设
，则
，令
得
，令
得
，
所以
在
上为增函数，在
上为减函数，所以
，
所以
成立，所以
得证.
法二：设
，则
，
因为
，所以
，
令
，则
，则
在
单调递增，
因为
，
，所以
在
上存在唯一零点
，
当
，
，故
，当
，
，故
，
所以
在
单调递减，在
单调递增，
则
，其中
，
所以
，
所以
，即
得证.
17．（2025·天津河北·二模）已知函数
．
(1)当
时，求曲线
在
处的切线方程；
(2)当
时，若不等式
恒成立，求a 的取值范围；
(3)若
有两个零点
，且
，证明：
．
【答案】(1)
；
(2)
；
(3)证明见解析.
【解析】（1）由题设
，则
，且
，
，
所以曲线
在
处的切线方程为
，即
；
（2）由题设
，即
且
，
令
且
，则
，
令
，则
，故
在
上单调递增，
所以
，
当
，
时，
，则
在
上单调递增，
，符合；
当
，
时，
，
时
，
所以
，使
，即在
上
，
在
上单调递减，从而
，不
符合；
综上，
；
（3）由
，则
，
，且
，
所以
，故
，
要证
，需证
，即
，
需证
，令
，即
，即证
，
最终只需证明
，令
且
，则
，
所以
在
上单调递增，所以
，即
，
所以
得证.
18．（2025·浙江·二模）已知函数
.
(1)求曲线
在点
处的切线方程；
(2)若函数
无极值点，求实数
的取值范围；
(3)若
为函数
的极小值点，证明：
.
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【解析】（1）
，
，
又
，
在点
处的切线方程为：
.
（2）由题意知：
的定义域为
，
若函数
无极值点，
在
上单调，
或
在
上恒成立；
，
在
上恒成立，
，
，解得：
；
下面证明充分性：
当
时，
，又
，
，
，
令
，
当
时，
，
在
上单调递增，又
，
为定义在
上的偶函数，
在
上单调递减，
，
，
在
上单调递增，无极值点，充分性成立；
综上所述：
.
（3）由（2）可得：当
时，函数
无极值点.
当
时，令
，则
，
当
时，
，又
，
为定义在
上的奇函数，
在
上单调递增，又
，
当
时，
；当
时，
；
在
上单调递减，在
上单调递增，
又
，
，
，
，
，使得
，
在
，
上单调递增，在
上单调递减；
函数
存在唯一的极小值点
，且满足
.
下证：
.
令
，则
，
令
，则
，
在
上单调递增，即
，
在
单调递增，
，即
又
，
，
又
，
，
即
，
，
即
，
，又
，
.
19．（2025·贵州安顺·二模）已知函数
．
(1)求曲线
在点
处的切线方程；
(2)若函数
在定义域内有两个不同零点，求实数
的取值范围；
(3)若
且
，有
恒成立，求实数
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【解析】（1）因为
的定义域为
，且
，
则
，即切点坐标为
，斜率
，
所以所求切线方程为
.
（2）由（1）可得：
，
当
时，
；当
时，
；
可知
在
内单调递减，在
内单调递增，则
，
且当x 趋近于0 时，
趋近于0，当x 趋近于
时，
趋近于
，
可得
的图象如图所示：
令
，则
令
，可得
，
原题意等价于：
与
有2 个交点，
结合函数图象可得
，所以实数
的取值范围为
.
（3）因为
，令
，则
，即
，
由
可得
，
可知
在
内单调递增，
则
，可得
在
内恒成立，
构建
，则
，
构建
，则
，
且
，可知
在
内单调递增，
构建
，可知
在
内单调递增，
且
，
则
在
内存在唯一零点
，
当
时，
，
，可得
，即
；
当
时，
，
，可得
，即
；
可知
在
内单调递减，在
内单调递增，
则
，
且
，则
，
，
可得
，即
，
可得
，所以实数
的取值范围为
.
