第23 讲 不等式恒成立 · 分类练习
考点一：直接法（构造函数法）
考法1：利用导数分析单调性与极值求参数范围
1.（2026·安徽黄山·一模）已知函数f ( x)=(2 x -m)ln x ,g( x)=2nx -mn，若f ( x)≥g( x)恒成
立，则m
n 的取值范围是（ ）
A. [-∞,- 1
e ]∪[e+1,+∞)
B. [-∞,- 1
e ]∪[2e,+∞)
C. (-∞,0)∪[e+1,+ ∞)
D. (-∞,0)∪[2e,+ ∞)
2.（2026·广东江西稳派·3 月检测）已知函数f ( x)= ( x
3-6 x
2+9 x -m)(e
x -n)
ln x -2❑√x
(m>0)，若
f ( x)≤0恒成立，则(ln n-3)
2⋅ln n的取值范围是（ ）
A. (-∞,4 ]
B. (-∞,- 4 ]
C. [ 4 ,+∞)
D. [- 4 ,+∞)
考法2：结合函数奇偶性与对称性求参数范围
3.（2025·福建百校·5 月押题）已知函数f ( x)是定义在R上的偶函数，且当x ≥0时，
f ( x)= x
2-2 x +2．若f ( x)≥2 x +b对任意的x∈R恒成立，则实数b的取值范围是（ ）
A. (-∞,2]
B. (-∞,1]
C. (-∞,0]
D. (-∞,-2]
4.（2026·安徽A10 联盟·最后一卷）已知函数f ( x)及其导函数f
'( x)的定义域均为R，且
f ( x)= f (- x)-2 x，当x<0时，f
'( x)+1<0．若不等式f ( x + ln a)>f ( x)- ln a在x∈[-1,+∞)
上恒成立，则实数a的取值范围是＿＿＿＿＿＿．
5.（2025·深圳高级中学高中园·一模）已知函数f ( x)= ln(e
2 x+1)-ax -| x|，其中a∈R．
（1） 当a=0时，讨论函数f ( x)的单调性；
（2） 当a=1时，证明：曲线f ( x)是轴对称图形；
（3） 若f ( x)≤ln 2在R上恒成立，求a的取值范围．
考法3：结合切线方程与图象上下关系求参数范围
6.（2026·湖北新八校·4 月二模）已知函数f ( x)= x e
x -mx -n，且f ( x)≥0对x∈R恒成立，
则m+2n的最大值为＿＿＿＿＿＿．
7.（2025·江西萍乡实验·3 月一模）已知函数f ( x)=( x -1)e
x -a x
2-1,a∈R．
（1） 当a=0时，求函数f ( x)的图象在点(1,f （1）)处的切线方程；
（2） 讨论函数f ( x)的单调性；
（3） 设g( x)= ln x -e
x - x
2+ x，若f ( x)≥g( x)，求实数a的取值范围．
考法4：结合二次函数、基本不等式或绝对值求参数范围
8.（2026·江苏苏锡常镇四市·5 月二模）已知函数f ( x)=| x
3-3 x
2+kx |(k >2)，g( x)= x
e
x -1 （
e为自然对数的底数），若对任意x1∈[0,2]，总存在x2∈[0,2]，使得f ( x1)≤g( x2)，则实
数k的最大值为（ ）
A. 9
4
B. 5
2
C. e
D. 2❑√2
9.（2025·江西十校协作体·二模）已知对任意的x<0，不等式(ax - 4)( x
2+b)≥0(a,b∈Z )恒
成立，则a
2-b的取值集合为＿＿＿＿＿＿．
10.（2026·河南新未来·5 月测评）已知函数f ( x)=(ln x -ax -bx)( x
3-ax +2)，若存在a∈R，
使得f ( x)≤0对任意x∈(0,+∞)恒成立，则实数b的取值范围为＿＿＿＿＿＿．
考法5：双变量不等式恒成立与极值点偏移
11.（2025·深圳中学·一阶测试）已知函数f ( x)=e
2 x -ae
x+6 x ,a∈R．
（1） 当a=8时，求函数f ( x)的单调区间；
（2） 设函数g( x)= ln x +ax +1
x
-ae
x+6 x，若函数g( x)与函数f ( x)的图象恰有一个公共点，
求实数a的值；
（3） 若函数f ( x)有两个极值点x1, x2，且f ( x1)+ f ( x2)<me
x1+me
x2恒成立，求实数m的取
值范围．
12.（2026·江西南昌·4 月二模）已知函数f ( x)=nx - x
n, x∈R，其中n∈N
*,n≥2．
（Ⅰ）讨论f ( x)的单调性；
（Ⅱ）设曲线y = f ( x)与x轴正半轴的交点为P，曲线在点P 处的切线方程为y = g( x),求证：
对于任意的正实数x，都有f ( x)≤g( x)；
（Ⅲ）若关于x的方程f ( x)=a(a为实数)有两个正实根x1, x2，求证：| x2- x1|<
a
1-n +2．
考法6：结合存在性问题或反证法证明不等式
13.（2026·江苏南京盐城·一模）已知函数f ( x)=( x
2-kx + k -2)e
x+(k -2)e
2，若存在x0<2，
对于任意x∈( x0,2)都有f ( x)<0，则实数k的取值范围是（ ）
A. (-∞,3)
B. (-3,0)
C. (0,3)
D. (-3,+∞)
14.（2025·河北沧州运东五校·二模）已知关于x的函数y = f ( x), y = g( x)与
h( x)=kx +b(k ,b∈R)在区间D上恒有f ( x)≥h( x)≥g( x)．
（1） 若f ( x)= x
2+2 x , g( x)=- x
2+2 x , D =(-∞,+∞)，求h( x)的表达式；
（2） 若f ( x)= x
2- x +1, g( x)=k ln x ,h( x)=kx -k , D =(0,+ ∞)，求k的取值范围；
（3） 若
f ( x)= x
4-2 x
2, g( x)= 4 x
2-8,h( x)= 4(t
3-t )x -3t
4+2t
2(0<|t |≤❑√2), D =[m,n]⊆[- ❑√2,❑√2]，
求证：n-m≤❑√7．
考点二：分离参数法
考法7：全分离或半分离参数结合导数求最值
15.（2026·广东湛江·高考测试）已知不等式2 x -mln x +1≥2ln x +n（m,n∈R，且m≠-2）
对任意正实数x恒成立，则n-5
m+2的最大值为（ ）
A. ln2
B. 1
C. -1
D. - ln2
16.（2026·河北沧州运东七县·一模）已知函数f ( x)=(ln x -mx)( x + 1
x -m-1)，若f ( x)≤0在
(0,+∞)上恒成立，则实数m的取值范围为（ ）
A. (0, 1
e ]
B. [ 1
e
2 ,1]
C. [1,e]
D. [ 1
e ,1]
17.（2026·山东枣庄·5 月模拟）若∀x∈(0,+∞)，e
x
3(2mln x - 2 x
3 +1)≤x
m(m>0)，则实数
m的最大值为＿＿＿＿＿＿．
考法8：分离参数结合切线方程或换元法求参数范围
18.（2026·山东泰安·二模）已知M =(2e x - y)(ln y - ln x)-tx ,t ∈R．
（1） 当t =0, y =1时，求M关于x的函数M ( x)在x =1处的切线方程；
（2） 当y =e时，M >0在x∈[1,+ ∞)上的解集非空，求t的取值范围；
（3） 若对于任意的x , y ∈(0,+∞)，都有M ≤0成立，求t的最小值．
19.（2025·深圳高中园·适应性考试）已知函数f ( x)= x
2+ a
x , g( x)=2ln x + 1
x
2．
（1） 讨论函数f ( x)的单调性；
（2） 求函数g( x)的最小值；
（3） 当a=2时，证明：f ( x)ln x + 1
x
3 ≥1．
考法9：分离参数结合存在性问题或三角函数求参数范围
20.（2025·江苏高邮·一模）已知函数f ( x)=e
- x(ln a+ ln x)，若存在x>0，使得f ( x)> 1
a，则
实数a的取值范围是（ ）
A. (0, 1
e )
B. ( 1
e ,+ ∞)
C. (0,❑√e)
D. (e,+∞)
21.（2026·广东江门·二模）已知函数f ( x)= x +2sin x +3．
（1） 求曲线y = f ( x)在点(0,f （0）)处的切线方程；
（2） 若不等式f ( x)>2❑√2sin( x + π
4 )+m对x∈[- π
2 , π
2 ]恒成立，求m的取值范围．
考点三：端点效应与必要性探路
考法10：利用端点恒成立求参数范围
22.已知函数f ( x)= x ln x -a( x
2-1)．
（1） 当a=0时，求函数f ( x)在点(1,f （1）)处的切线方程；
（2） 若函数y = f
'( x)在x =1处取得极值，求实数a的值；
（3） 若不等式f ( x)≤0对x∈[1,+∞)恒成立，求实数a的取值范围．
23.已知函数f ( x)= ln(1+ x), g( x)= ax
e
x ,f
'( x)与g
'( x)分别是f ( x)与g( x)的导函数．
（1） 证明：当a=1时，方程f
'( x)= g
'( x)在(-1,0)上有且仅有一个实数根；
（2） 若对任意的x∈(0,+∞)，不等式f ( x)>g( x)恒成立，求实数a的取值范围．
考法11：利用端点不成立求参数范围
24.已知函数f ( x)=a ln x - x(a≠0)．
（1） 讨论函数f ( x)的极值；
（2） 当x>0时，不等式x
a
e
x -2f ( x)≥sin[ f ( x)]+1恒成立，求a的取值范围．
25.已知函数f ( x)=ax - ln x ,a∈R．
（1） 若a= 1
e ，求函数f ( x)的最小值及取得最小值时的x值；
（2） 若函数f ( x)≤x e
x -(a+1)ln x对x∈(0,+ ∞)恒成立，求实数a的取值范围．
考法12：利用必要性探路缩小参数范围
26.（2025·河北衡水中学·综合评价）已知a>0，f ( x)=(ae
x- 1
x )ln( x +b)，当x>0时，
f ( x)≥0，则a(1-b)
3的最大值为（ ）
A. 1
e
2
B. 2
e
2
C. 3
e
2
D. 4
e
2
27.已知函数f ( x)= ln( x +1)-ax(a>0)．
（1） 若函数g( x)= f ( x)-a在[0,e
2-1]上有且仅有2个零点，求a的取值范围；
（2） 若f ( x)≤a
2e
x -a( x +1)恒成立，求a的取值范围．
考点四：同构法与构造函数技巧
考法13：利用同构法构造函数求参数范围
28.（2026·河北NT 名校·1 月月考）对于任意的x>0，不等式(e
x -3 x)(ln x - x +a)≤0恒成立，
则实数a的值为（ ）
A. e
B. 1
C. ln 2
D. ln3
29.（2026·湖北楚天协作体·二模）关于x的方程2ln(ax + b
2 )=
❑√4 x
2+1有实根，则a
2+b
2的取
值范围为（ ）
A. [e,+ ∞)
B. [e
2,+ ∞)
C. [2e,+ ∞)
D. [ 4e
2,+ ∞)
30.（2025·河南南阳一中·三模）已知函数f ( x)= 2a
x e
2 x -1+ ln a,g( x)=2ln x +1．若
f ( x)≥g( x)恒成立，则a的最小值是＿＿＿＿＿＿．
考法14：利用特定构造函数技巧求参数范围
31.（2025·郑州外国语学校·5 月调研）已知函数f ( x)=e
x -e
- x -2sin x +2，若关于x的不等式
f (ln x + x
2-ax)+ f (e
x -2ln x)≥4在(0,+∞)上恒成立，则实数a的最大值为＿＿＿＿＿＿．
32.已知关于x的函数y = f ( x), y = g( x)与h( x)=kx +b(k ,b∈R)在区间D上恒有
f ( x)≥h( x)≥g( x)．
（1） 若f ( x)= x
2+2 x，g( x)=- x
2+2 x，D =(-∞,+ ∞)，求h( x)的表达式；
（2） 若f ( x)= x
2- x +1，g( x)=k ln x，h( x)=kx -k , D =(0,+ ∞)，求k的取值范围；
（3） 若f ( x)= x
4-2 x
2，g( x)= 4 x
2-8，
h( x)= 4(t
3-t )x -3t
4+2t
2(0<|t |≤❑√2), D =[m,n]⊆[- ❑√2,❑√2]，求证：n-m≤❑√7．
考点五：洛必达法则与max/min 函数问题
考法15：利用洛必达法则求参数范围
33.已知函数f ( x)=a ln x +bx(a,b∈R)在x = 1
2处取得极值，且曲线y = f ( x)在点(1,f （1）)
处的切线与直线x - y +1=0垂直．
（1） 求实数a,b的值；
（2） 若∀x∈[1,+ ∞)，不等式f ( x)≤(m-2)x - m
x 恒成立，求实数m的取值范围．
34.设函数f ( x)=1-e
- x．当x ≥0时，f ( x)≤
x
ax +1，求a的取值范围．
考法16：利用max/min 函数性质求参数范围
35.已知函数f ( x)=( x -1)e
x- 1
2 x
2+1,g( x)=sin x -ax，其中a∈R．
（1） 证明：当x ≥0时，f ( x)≥0；当x<0时，f ( x)<0；
（2） 用max {m,n}表示m,n中的最大值，记F( x)=max {f ( x),g( x)}．是否存在实数a，对
任意的x∈R , F( x)≥0恒成立．若存在，求出a；若不存在，请说明理由．
36.已知函数f ( x)= x
2- x - x ln x ,g( x)= x
3-3ax +e．
（1） 证明f ( x)≥0恒成立；
（2） 用max {m,n}表示m,n中的最大值．已知函数h( x)= f ( x)
x
- x +2，记函数
φ( x)=max {h( x),g( x)}，若函数φ( x)在(0,+∞)上恰有2个零点，求实数a的取值范围．
考法17：双变量最值问题求参数范围
37.已知f ( x)=mx +n,g( x)= ln x，对于∀x∈(0,+ ∞),f ( x)≥g( x)恒成立，则m+2n的最小
值为（ ）
A. - ln2
B. -1
C. - ln 4
D. -2
38.若对于任意正实数x，都有ln x -ae x -b+1≤0(e为自然对数的底数)成立，则a+b的最小
值是＿＿＿＿＿＿．
39.已知函数f ( x)= ln x ,g( x)=a x
2+bx +1，其中a,b∈R．
（1） 当a=0时，直线y = g( x)与函数y = f ( x)的图象相切，求b的值；
（2） 当a≠0时，若对任意x>0，都有f ( x)≤g( x)恒成立，求b
a的最小值．
