第16 讲 极值与最值 · 讲义
一、考情分析......................................................................................................................................1
二、知识清单......................................................................................................................................2
1.极值与最值........................................................................................................................... 2
2.不等式恒成立与存在性问题相关结论...............................................................................3
三、典题精练......................................................................................................................................4
考点一：求函数的极值与极值点..........................................................................................4
考点二：根据极值、极值点求参数......................................................................................6
考点三：求函数的最值..........................................................................................................8
考点四：根据最值求参数及综合应用..................................................................................9
四、高考真题....................................................................................................................................10
一、考情分析
1. 考查频次与题型
年
份
题号与题型
分值
考察类
型
考察内容与方式
202
6
第6 题 单
选题
5 分
直接
考查根据函数的最大值求参数，需构造辅助函数分
析导数符号
202
6
第11 题 多
选题
6 分
间接
解析几何中求弦长之和的最大值，转化为一元函数
后利用导数求最值
202
5
第19 题 解
答题
17 分
直接
考查利用导数求三角复合函数的最大值，并结合最
值求参数的最小值
202
4
第10 题 多
选题
6 分
直接
考查具体函数的求导，判断极小值点及函数在特定
区间上的最值
202
4
第18 题 解
答题
17 分
直接
考查含参函数求导，根据不等式恒成立求参数的最
值及取值范围
近三年全国一卷中，极值与最值是导数板块的核心考查内容.不仅在解答题中作为压
轴题的核心考点直接出现，也常在单选、多选题中作为解题工具间接考查，综合性较强.
2. 命题角度与特色
· 核心考点：具体函数的极值与最值求解、根据极值或最值反求参数、利用导数求最
值解决恒成立问题.
· 命题趋势：试题注重知识的交汇融合，常与解析几何、数列、三角函数等模块结合，
将几何最值或代数最值转化为函数最值问题.
· 试题特点：计算量大，对逻辑推理与代数变形能力要求较高.常需要灵活运用分离参
数、构造辅助函数、隐零点处理等解题技巧.
3. 备考策略
· 熟练掌握利用导数求极值与最值的标准步骤，确保基础求导与符号判断的准确性.
· 强化分类讨论意识，在处理含参函数最值时，明确分类标准，做到不重不漏.
· 提升跨模块综合能力，学会在解析几何、数列等背景下，提取函数关系并利用导数
工具求解最值.
二、知识清单
1.极值与最值
（1） 函数的极值
· 函数f ( x)在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有点都有f ( x)<f ( x0)，则称f ( x0)是
函数的一个极大值，记作y极大值= f ( x0).如果对x0附近的所有点都有f ( x)>f ( x0)，则称f ( x0)
是函数的一个极小值，记作y极小值= f ( x0).极大值与极小值统称为极值，称x0为极值点.
· 注：
①可导函数f ( x)在点x0处取得极值的充要条件是：x0是导函数的变号零点，即
f
'( x0)=0，且在x0左侧与右侧，f
'( x)的符号异号.
②f
'( x0)=0是x0为极值点的既不充分也不必要条件，如f ( x)= x
3，f
'（0）=0，但
x0=0不是极值点.另外，极值点也可以是不可导的，如函数f ( x)=| x|，在极小值点x0=0是
不可导的，于是有如下结论：x0为可导函数f ( x)的极值点 ⇒f
'( x0)=0；但f
'( x0)=0推不出
x0为f ( x)的极值点.
（2）函数的最值
· 函数y = f ( x)最大值为极大值与靠近极小值的端点之间的最大者；函数f ( x)最小值为
极小值与靠近极大值的端点之间的最小者.
· 导函数为f ( x)=a x
2+bx +c =a( x - x1)( x - x2) (m< x1< x2<n)
①当a>0时，最大值是f ( x1)与f (n)中的最大者；最小值是f ( x2)与f (m)中的最小者.
②当a<0时，最大值是f ( x2)与f (m)中的最大者；最小值是f ( x1)与f (n)中的最小者.
注：
①函数的极值反映函数在一点附近情况，是局部函数值的比较，故极值不一定是最值；
函数的最值是对函数在整个区间上函数值比较而言的，故函数的最值可能是极值，也可能
是区间端点处的函数值.
②函数的极值点必是开区间的点，不能是区间的端点.
③函数的最值必在极值点或区间端点处取得.
【易错提醒】
· 可导函数f ( x)在x0处取得极值，则f
'( x0)=0，但f
'( x0)=0只是f ( x)在x0处取得极值的
必要不充分条件.
· 闭区间上的连续函数一定有最值，但开区间上的连续函数不一定有最值.
· 函数的极值是局部概念，而最值是整体概念.极大值不一定大于极小值，极小值也不
一定小于极大值.
2.不等式恒成立与存在性问题相关结论
（1） 若函数f ( x)在区间D上存在最小值f ( x)min和最大值f ( x)max，则
不等式f ( x)>a在区间D上恒成立 ⇔f ( x)min>a；
不等式f ( x)≥a在区间D上恒成立 ⇔f ( x)min≥a；
不等式f ( x)<b在区间D上恒成立 ⇔f ( x)max<b；
不等式f ( x)≤b在区间D上恒成立 ⇔f ( x)max≤b.
（2） 若函数f ( x)在区间D上不存在最大（小）值，且值域为(m,n)，则
不等式f ( x)>a（或f ( x)≥a）在区间D上恒成立 ⇔m≥a.
不等式f ( x)<b（或f ( x)≤b）在区间D上恒成立 ⇔m≤b.
（3） 若函数f ( x)在区间D上存在最小值f ( x)min和最大值f ( x)max，即f ( x)∈[m,n]，
则对不等式有解问题有以下结论：
不等式a<f ( x)在区间D上有解 ⇔a<f ( x)max；
不等式a≤f ( x)在区间D上有解 ⇔a≤f ( x)max；
不等式a>f ( x)在区间D上有解 ⇔a>f ( x)min；
不等式a≥f ( x)在区间D上有解 ⇔a≥f ( x)min.
（4） 若函数f ( x)在区间D上不存在最大（小）值，如值域为(m,n)，则对不等式有
解问题有以下结论：
不等式a<f ( x)（或a≤f ( x)）在区间D上有解 ⇔a<n.
不等式b>f ( x)（或b≥f ( x)）在区间D上有解 ⇔b>m.
（5） 对于任意的x1∈[a,b]，总存在x2∈[m,n]，使得
f ( x1)≤g( x2)⇔f ( x1)max≤g( x2)max.
（6） 对于任意的x1∈[a,b]，总存在x2∈[m,n]，使得
f ( x1)≥g( x2)⇔f ( x1)min≥g( x2)min.
（7） 若存在x1∈[a,b]，对于任意的x2∈[m,n]，使得
f ( x1)≤g( x2)⇔f ( x1)min≤g( x2)min.
（8） 若存在x1∈[a,b]，对于任意的x2∈[m,n]，使得
f ( x1)≥g( x2)⇔f ( x1)max≥g( x2)max.
（9） 对于任意的x1∈[a,b]，x2∈[m,n]使得f ( x1)≤g( x2)⇔f ( x1)max≤g( x2)min.
（10） 对于任意的x1∈[a,b]，x2∈[m,n]使得f ( x1)≥g( x2)⇔f ( x1)min≥g( x2)max.
（11） 若存在x1∈[a,b]，总存在x2∈[m,n]，使得f ( x1)≤g( x2)⇔f ( x1)min≤g( x2)max.
（12） 若存在x1∈[a,b]，总存在x2∈[m,n]，使得f ( x1)≥g( x2)⇔f ( x1)max≥g( x2)min.
三、典题精练
考点一：求函数的极值与极值点
考法1：根据导数图象与概念判断极值点
例1.（2026·安徽马鞍山·一模）函数f ( x)的导函数y = f
'( x)的图象如图所示，则函数f ( x)在
区间(a,b)上的极值点有（ ）
A. 1 个
B. 2 个
C. 3 个
D. 4 个
考法2：求具体函数的极值与极值点
例2.（2026·广东广州·一模）函数f ( x)=sin x - x cos x在区间(-3 π ,3 π )上的极值点个数为（
）
A. 4
B. 5
C. 6
D. 7
考法3：含参函数的极值点个数问题
例3.（2026·福建福州·二模）已知函数f ( x)=( x -a)
m( x -b)
n(m,n∈N
*,m<n,a≠b)有且仅
有3个极值点x1、x2、x3，且x1< x2< x3，则（ ）
A. m为奇数
B. n为奇数
C. 若a<b，则2 x2> x1+ x3
D. 若a>b，则2 x2> x1+ x3
考法4：含参函数的极值求解与讨论
例4.（2026·广东中山·二模）已知函数f ( x)=( x -a)ln x - x +a-3(a∈R).
（1）若a=0，求f ( x)的极小值；
（2）讨论导函数f
'( x)的单调性.
考法5：极值与切线、单调性、对称性等综合
例5.（2026·安徽安庆·二模）（多选）已知函数f ( x)=cos x + ln x，将f ( x)的所有极值点按
照由小到大的顺序排列，得到数列{xk }，对于任意的正整数k，则（ ）
A. xk +1- xk<π
B. x2k是极小值点
C. x2k +2- x2k<2π
D. f ( x2k)<f ( x2k +2)
考法6：极值与不等式证明及恒成立问题
例6.（2026·山东德州·三模）已知函数f ( x)= ln x - x +1.
求f ( x)的极值；
【考点一 方法总结】
· 根据导数图象判断极值点：观察导函数图象与 x 轴的交点及两侧符号变化，正变
负为极大值点，负变正为极小值点.
· 求具体函数的极值：求导，解 f
'( x)=0，列表分析单调性，确定极值.
· 含参函数极值点个数：求导后，根据参数大小、指数奇偶性分类讨论导数符号变
化，或转化为导函数变号零点个数.
· 极值与切线、单调性综合：利用极值点处导数为零，结合零点存在性定理确定极
值点所在区间，再结合单调性分析.
· 极值与不等式证明：构造差函数，通过求导分析单调性与极值（最值），从而证
明不等式.
考点二：根据极值、极值点求参数
考法7：已知极值求参数
例7.已知函数f ( x)=a x
3+bx在x =1处取得极大值4，则a-b=（ ）
A. 8
B. -8
C. 2
D. -2
考法8：已知极值点求参数
例8.（2025·江西·五月联考）已知x =1是函数f ( x)= ln x - a
x + x的极值点，则a=（ ）
A. 2
B. -2
C. 1
D. -1
考法9：根据极值点个数求参数范围
例9.（2025·九师联盟·五月检测）已知函数f ( x)=e
- x+a x
2恰有两个极值点，则实数a的取
值范围是（ ）
A. (-∞,-e)
B. (-∞,-2e)
C. (-2e ,0)
D. (-∞,-2e)∪(0,+∞)
考法10：极值点结合不等式与切线综合求参数
例10.（2026·山东东营·一模）已知函数f ( x)= 3 x
2+ax
e
x
(a∈R)，
若函数f ( x)在x =0处取得极值，
（i）求a的值；
（ii）已知g( x)=- x
3+b x
2-5 x +1
3 x
2
，若f ( x)g( x)≤1在x∈(0,+∞)上恒成立，求实数b的取
值范围.
【考点二 方法总结】
· 已知极值或极值点求参数：利用 f
'( x0)=0 且 f ( x0)= 极值，列方程组求出参数，
务必进行充分性检验以排除伪极值点.
· 三次函数无极值：等价于其导函数（二次函数）恒大于等于或恒小于等于零，利
用判别式 Δ≤0 求解.
· 极值点个数求参数范围：将极值点个数转化为导函数变号零点个数，分离参数后
构造新函数，通过数形结合或求导确定参数范围.
考点三：求函数的最值
考法11：求具体函数的最值
例11.（2026·山东滨州·二模）已知函数f ( x)= x
2e
x , x∈[-3,0]，则函数f ( x)的最大值为＿
＿＿＿＿＿.
考法12：求含参函数的最值
例12.（2025·福建百校·五月押题）已知函数f ( x)= x
2-2a ln x(a>0).
（1）求函数f ( x)的极值点；
（2）若函数f ( x)在区间[1,e ]上的最小值为0，求实数a的值.
考法13：最值与不等式、方程综合
例13.（2026·安徽临泉·二模）已知函数f ( x)=e
x( x -1)+ x
2- x，则满足f (m)<f (m+2)的m的取
值范围是（ ）
A. (0,+ ∞)
B. (- 1
2 ,+∞)
C. (-1,+∞)
D. (-∞,0)
【考点三 方法总结】
· 求闭区间上函数的最值：求出函数在区间内的所有极值，将极值与区间端点处的
函数值进行比较，最大者为最大值，最小者为最小值.
· 含参函数最值：根据极值点与闭区间端点的大小关系分类讨论，确定最值所在位
置，进而解出参数.
· 最值与不等式综合：通过换元或同构变形将复杂函数化简，利用导数分析新函数
的单调性与最值，从而确定参数条件或证明不等式.
考点四：根据最值求参数及综合应用
考法14：已知最值求参数
例14.（2026·湖北随州·三模）已知a>0，函数f ( x)= ln| x|-|ax +b|的最大值为0，则a的
最小值为（ ）
A. 1
e
B. 1
2
C. 1
D. e
考法15：最值结合不等式恒成立与存在性求参数
例15.（2026·山东德州·二模）若存在a>0，对任意的x∈(0,+∞)，都有ln x + 2a-b
x
-a≥0，
则当b取到最大值时，a的值为（ ）
A. 1+ ln 2
B. 2+ ln 2
C. ln 2
D. 2ln 2
考法16：极值最值与隐零点及放缩法综合证明
例16.（2026·湖南长沙·适应）已知函数g( x)= 4 x -mln x - 1
2 x
2-2,m>0.
（1）y = g( x)在x =1处切线的斜率为3
2，求m的值；
（2）若函数g( x)有两个极值点a,b，
（i）求m的取值范围；
（ii）证明：g(a)+ g(b)<6- ln m.
【考点四 方法总结】
· 已知最值求参数：将最值问题转化为两函数图象的上下位置关系，利用相切时的
临界状态求出参数，或根据极值点与区间端点大小关系分类讨论.
· 最值结合不等式恒成立：分离参数，将恒成立问题转化为求新函数的最值，再对
最值函数求导寻找参数的最值或范围.
· 极值最值与隐零点放缩：利用极值点满足的方程（隐零点方程）替换参数或消元，
构造新函数并多次求导分析单调性，完成不等式的放缩证明.
四、高考真题
1.（2026·全国一卷）已知函数f ( x)= x +2
e
x+a的最大值为1，则a=（ ）
A. 1
2
B. 1
C. 3
2
D. 2
2.（2025·全国一卷）设函数f ( x)=5cos x -cos5 x，求f ( x)在[0, π
4 ]的最大值；
给定θ∈(0,π )，设a为实数，证明：存在y ∈[a-θ ,a+θ ]，使得cos y ≤cosθ；
若存在φ使得对任意x，都有5cos x -cos(5 x +φ)≤b，求b的最小值.
3.（2024·全国一卷）（多选）设函数f ( x)=( x -1)
2( x - 4)，则（ ）
A. x =3是f ( x)的极小值点
B. 当0< x<1时，f ( x)<f ( x
2)
C. 当1< x<2时，- 4<f (2 x -1)<0
D. 当-1< x<0时，f (2- x)>f ( x)
4.（2024·全国一卷）已知函数f ( x)= ln
x
2- x +ax +b( x -1)
3.
（1）若b=0，且f
'( x)≥0，求a的最小值；
（2）证明：曲线y = f ( x)是中心对称图形；
（3）若f ( x)>-2当且仅当1< x<2，求b的取值范围.
5.（2026·全国一卷）（多选）已知圆C1:( x +1)
2+ y
2=1，圆C2:( x -1)
2+ y
2=1，圆
C3: x
2+( y - ❑√3)
2=1，直线l: y =kx +b与C1,C2,C3均有两个交点，且l被C1,C2,C3截得的弦长
分别为s1,s2,s3，则（ ）
A. k可以取任意实数
B. 满足s1= s2= s3的直线l共有3 条
C. 满足s1+ s2+ s3=3的直线l多于3 条
D. 当b=0时，s1+ s2+ s3的最大值为2❑√21
3
