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第13讲 抛物线与圆相关问题专题训练
目 录
题型01：四点共圆问题...........................................................................................................................1
题型02：外接圆问题............................................................................................................................13
题型03：圆过定点问题.........................................................................................................................18
题型04：等角问题................................................................................................................................22
题型01：四点共圆问题
【典型例题】已知直线
交抛物线
于
两点．
（1）
直
设
线与
的交点
轴
为
．若
，求
数
实
的
；
值
（2）若点
在抛物线
上，且关于直线
称，求
：
对
证
四点共
．
圆
【答案】（1）
；（2）
明
解析．
证
见
【分析】
（1）设
，直
方程代入抛物
方程后由判
式得
线
线
别
的范
，由
达定理得
围
韦
，
再由向量的数乘可得
＝0，
合
达定理可得
结
韦
；
值
（2）设
，由
称性得
对
，
．再由
在抛物
上，代入
形得
线
变
与
的关系，然后
算
计
，得
，
同理
，得
四点共
．
证
圆
【
解】
详
解：由
得
．
设
，
则
．
因
直
为
线与
相交，
所以
得
．
（1）由
，得
，
所以
，解得
从而
，
因为
所以
解得
．
（2）设
，
因为
两点关于直线
称，
对
则
解得
．
又
于是
解得
．
又点
在抛物
上，
线
于是
．
因为
所以
，
于是
因此
，
同理
于是点
在以
直径的
上，
为
圆
即
四点共
．
圆
【点睛】
方法点睛：本
考
直
与抛物
相交
，解
方法是
而不求的思想方法，如
交点坐
题
查
线
线
问题
题
设
设
标为
，直
方程代入抛物
方程后
用
达定理可得
线
线
应
韦
，再利用向量的
性运算求
线
得
关系，从而可求得
．
值
【变式训练1-1】已知抛物线
：
（
）上的点
到其焦点的距离为1．
（Ⅰ）求
和
的
；
值
（Ⅱ）求直线：
交抛物线
于两点
、
，
段
线
的垂直平分
交抛物
线
线
于两点
、
，求
：
证
、
、
、
四点共
．
圆
【答案】（Ⅰ）
，
；（Ⅱ）
明
解析
证
见
.
【分析】
（Ⅰ）根据抛物
的定
可得点
线
义
到其焦点的距离等于
点到准
距离，即可求出
该
线
，从而得到抛物
方程
线
，
再
算出参数
计
的
；
值
（Ⅱ）设
，
，
立直
与抛物
方程，消元、列出
达定理，即可求出
段
联
线
线
韦
线
的中点
的
坐
，因
直
标
为
线
段
为线
的垂直平分
，直
线
线
的方程为
，设
，
，
求出
段
线
的中点坐
，再利用勾股定理
算可得；
标
计
【
解】
详
解：（Ⅰ）
的准线为
，
因
点
为
到其焦点的距离等于
点到准
距离，
该
线
所以
，
故
，即
，
又
在
上，
所以
；
（Ⅱ）设
，
，
立
联
，得
，
则
，
，
且
，即
，
则
，
且
段
线
中点的
坐
纵
标为
，则
，
所以
段
线
中点为
，
因
直
为
线
段
为线
的垂直平分
，直
线
线
的方程为
，
立
联
，得
，
设
，
，
则
，
故
，
段
线
中点为
，
因为
，
，
所以
，
所以点
在以
直径的
上，
为
圆
同理点
在以
直径的
上，
为
圆
所以
、
、
、
四点共
．
圆
【点睛】
(1)直
与抛物
的位置关系和直
与
、双曲
的位置关系
似，一般要用到根与系数的关系；
线
线
线
椭圆
线
类
(2)有关直
与抛物
的弦
，要注意直
是否
抛物
的焦点，若
抛物
的焦点，可直接使用公式
线
线
长问题
线
过
线
过
线
|AB|＝
x1＋x2＋p，若不
焦点，
必
用一般弦
公式．
过
则
须
长
【变式训练1-2】已知直线
与
，
轴
分
交于
轴
别
，
，
段
线
的中垂线
与抛物线
有两个不同的交点
、
．
（1）求
的取
范
；
值
围
（2）是否存在
，使得
，
，
，
四点共
，若存在，
求出
圆
请
的
，若不存在，
明理由．
值
请说
【答案】（1）
（2）存在，
【分析】
（1）求出
两点坐
，得出其中垂
方程
标
线
为
，与抛物
方程
立根据
线
联
即可得
果；
结
（2）设
，
，
段
线
的中点为
，将（1）和
达定理可得
韦
，
，
合四点共
的特征得
结
圆
，代入两点
距离公式可解得
间
的值.
【
解】
详
（1）因
直
为
线
与
，
轴
分
交于
轴
别
，
.
所以
，
，
所以
段
线
的中点为
，
，
所以
段
线
的中垂线
的方程为
，即
.
将
代入
，
得
，
因为
与
有两个不同的交点
，
.
所以
，
又
，所以
，即
的取
范
值
围为
.
（2）若
，
，
，
四点共
，由
称性可知，
心
段
圆
对
圆
应为线
的中点，
设
，
，
段
线
的中点为
，
则
，
所以
，
，
若
，
，C，
四点共
，
圆则
，即
，
所以
.
所以
，解得
，
又
足
满
，所以存在
，使得
，
，C，
四点共圆.
【点睛】
本
主要考
了直
与抛物
的位置关系，
内接四
形的特征，考
了学生的
算能力，属于中档
题
查
线
线
圆
边
查
计
题.
【变式训练1-3】已知抛物线
的焦点为F，准线为
坐
原点，
为
标
过F 的直线m 与抛物线E 交于
两点，过F 且与直线m 垂直的直线n 与准线交于点M．
（1）若直线m 的斜率为
，求
的
；
值
（2）设
的中点为N，若
四点共
，求直
圆
线m 的方程．
【答案】（1）
或
；（2）
．
【分析】
（1）由抛物
的定
建立方程即可
线
义
.
（2）
直
设
线m 的方程为
，用表示
坐
，再
合条件得到
标
结
，建立关于的方程即可
解
获
.
【
解】
详
（1）设
，当
，
时设
，则
，
直线m 的斜率为
直线m 的
斜角
倾
为
，
由抛物
的定
，有
线
义
，
，解得：
，
若
，同理可得：
时
，
或
．
（2）
直
设
线m 的方程为
，代入
，得
．
设
，则
．
由
，
得
，
所以
．
因
直
为
线m 的斜率为，所以直线n 的斜率为
，
直
则
线n 的方程为
．
由
解得
．
若
四点共
，再
合
圆
结
，得
，
则
，解得
，
所以直线m 的方程为
．
【点睛】
（1）有些
目可以利用抛物
的定
合几何关系建立方程
解；
题
线
义结
获
（2）直
与抛物
的位置关系和直
与
、双曲
的位置关系
似，一般要用到根与系数的关系
线
线
线
椭圆
线
类
.
【变式训练1-4】如
，已知
图
椭圆C 的方程为
，
半焦距，
为
椭圆C 的左、右焦点分别为
，椭圆C 的离心率为．
（1）若
点
椭圆过
，两条准
之
的距离
线
间
为
，求椭圆C 的
准方程；
标
（2）
直
设
线
与椭圆C 相交于
，
两点，且
四点共
，若
圆
，
求
试
的最大
．
值
【答案】（1）
（2）
【分析】
(1)利用准线,以及
求出离心率,又因
点
为椭圆过
,确定方程.
(2)将直
方程代入
方程
线
椭圆
, 根据中心
称性和
对
四点共
，所以
圆
. 所以三角形
是直
角三角形,
,根据
得出
取得最大值.
【
解】
详
（1）因
两条准
之
的距离
为
线
间
为
，所以
，又
，故
，
因为
，所以
，解得
，
因为椭圆
点
过
，所以
，
故
，
，所以椭圆
的
准方程
标
为
.
（2）设
，
由
得
，解得
.由
的中心
椭圆
对
称性得，
，
因为
四点共
，所以
圆
，
所以
，即
，
所以三角形
是直角三角形，且
，所以
，
即
，故
，
所以
，即
，
分离k，e 得，
，
因为
，所以
，
令
则
，所以
，
令
，
则
，易得当
，
减，
单调递
所以
，
时
取最大
，即
值
取得最大值为
．
【点睛】
本
考
方程
题
查椭圆
,直
与
的位置关系
线
椭圆
,含参分式的最值,属于难题.
【变式训练1-5】已知点F( p
2 ,0)，直线l: x =−p
2
，点Μ是l上的
点，
点
动
过
Μ垂直于y
的直
与
段
轴
线
线
ΜF的
垂直平分
相交于点
线
Ν．
（1）求点Ν的
迹方程；
轨
（2）若p=2，直线y = x与点Ν的
迹交于
轨
A 、B两点，试问Ν的
迹上是否存在两点
轨
C 、D，使得
A 、B、C 、D四点共
？若存在，求出
的方程；若不存在，
明理由．
圆
圆
请说
【答案】（1）y
2=2 px；（2）存在a> 7
2
且a≠4，a≠8的无数个圆( x −a)
2+( y +a−4)
2=a
2+(−a+ 4)
2
足条件
满
.
【解析】
分析：（
试题
1）借助点
在
段
线
ΜF的中垂
上建立等式并化
即可；（
线
简
2）依据
条件建立方程
题设
,通
方程有无
过
解的分析析作出推理和判断即可.
解析：解
试题
: （1）设Ν ( x , y)，依
意，
题
| Ν F|=| ΝΜ |，即❑√( x−p
2 )
2
+ y
2=| x + p
2 |．
化
整理得
简
y
2=2 px．
（2）把y = x与y
2= 4 x
立，解得
联
Α(0,0)，Β(4,4)，
段
则线
ΑΒ的垂直平分
方程
线
y =−x + 4
若存在C、D两点，使得Α、Β、C、D四点共
，
心必在直
圆则圆
线y =−x + 4上，
心坐
设圆
标(a,−a+ 4)，
半径
则
r =
❑√a
2+(−a+ 4)
2，
∴
的方程
圆
为( x −a)
2+( y +a−4)
2=a
2+(−a+ 4)
2，
将x = y
2
4
代入并整理得y
4+(16−8a) y
2+32(a−4) y =0，
则y( y −4)( y
2+ 4 y +32−8a)=0，∴ y1=0或y2= 4或y
2+ 4 y +32−8a=0，
∴ y
2+ 4 y +32−8a=0
有除
应
y1=0、y2= 4之外的两个根，
∴ Δ>0，且32−8a≠0，4
2+ 4×4 +32−8a≠0，解得a> 7
2
且a≠4，a≠8．
∴存在a> 7
2
且a≠4，a≠8的无数个圆( x −a)
2+( y +a−4)
2=a
2+(−a+ 4)
2
足条件．
满
考点：(1)
迹方程与探求方法；
轨
(2)
的方程及
高次方程的求解等有关知
的运用
圆
简单
识
.
【变式训练1-6】从抛物线
上各点向
作垂
段，
垂
段中点的
迹
曲
轴
线
记
线
轨
为
线
．
（1）求曲线
的方程，并
明曲
说
线
是什么曲
；
线
（2）
点
过
的直线交曲线
于两点
、
，
段
线
的垂直平分
交曲
线
线
于两点
、
，探究是否存
在直线使
、
、
、
四点共
？若能，
求出
的方程；若不能，
明理由．
圆
请
圆
请说
【答案】（1）曲线
的方程为
，曲线
是焦点为
的抛物
；（
线
2）存在；圆
的方程为
或
．
【分析】
（1）
抛物
设
线
上的任意点为
，垂
段的中点
线
为
，根据中点坐
公式得出
标
，代入
等式
化
可得出曲
简
线
的方程，
而可得出曲
进
线
的形状；
（2）
直
设
线的方程为
，将直线的方程与曲线
的方程
立，列出
达定理，求出
联
韦
，求出线
段
的中点的坐
，
一步求出
段
标进
线
的中垂线
的方程，求出
，根据四点共
合垂径定理可得
圆结
出关于的等式，求出的
，
一步可求得
的方程，由此可得出
值进
圆
结论.
【
解】
详
（1）
抛物
设
线
上的任意点为
，垂
段的中点
线
为
，
故
，则
，代入
得
，得曲线
的方程为
，
所以曲线
是焦点为
的抛物
；
线
（2）若直线与
重合，
直
轴
则
线与曲线
只有一个交点，不合乎
意
题
.
直
设
线的方程为
，根据
意知
题
，设
、
，
立
联
，得
，
，则
，
，
则
，
且
段
线
中点的
坐
纵
标为
，即
，
所以
段
线
中点为
，
因
直
为
线
段
为线
的垂直平分
，可
直
线
设
线
的方程为
，
则
，故
，
立
联
，得
，
设
、
，则
，
，
故
，
段
线
中点为
，
假设
、
、
、
四点共
，
弦
圆则
的中垂
与弦
线
中垂
的交点必
心，
线
为圆
因为
段
为线
的中垂
，
可知弦
线则
的中点
必
心，
为圆
则
，
在
中，
，所以
，
则
，
故
，即
，
解得
，即
，
所以存在直线，使
、
、
、
四点共
，且
心
弦
圆
圆
为
的中点
，
圆
的方程为
或
．
【点睛】
方法点睛：求
点的
迹方程有如下几种方法：
动
轨
（1）直
法：直接将条件翻
成等式，整理化
后即得
点的
迹方程；
译
译
简
动
轨
（2）定
法：如果能确定
点的
迹
足某种已知曲
的定
，
可利用曲
的定
写出方程；
义
动
轨
满
线
义则
线
义
（3）相关点法：用
点
动
的坐标
、
表示相关点
的坐标
、
，然后代入点
的坐标
所
足的曲
满
线
方程，整理化
可得出
点
简
动
的
迹方程；
轨
（4）参数法：当
点坐
动
标
、
之
的直接关系
以找到
，往往先
找
间
难
时
寻
、
与某一参数得到方程，即
点
为动
的
迹方程；
轨
（5）交
法：将两
曲
方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即
两
曲
交点的
迹方程
轨
动
线
为
动
线
轨
.
【变式训练1-71】在平面直角坐
系
标
中，已知抛物线
的焦点为
，准线为，
是
抛物
上
线
上一点，且点
的横坐标为
，
.
（1）求抛物线
的方程；
（2）
点
过
的直线
与抛物线
交于
、
两点，
点
过
且与直线
垂直的直线
与准线交于点
，设
的中点为
，若
、
、
四点共
，求直
圆
线
的方程.
【答案】（1）
（2）
【分析】
（1）由抛物
的定
可得
线
义
，即可求出
，从而得到抛物
方程；
线
（2）
直
设
线
的方程为
，代入
，得
.
设
，
，列出
达定理，表示出中点
韦
的坐
，若
标
、
、
、
四点共
，再
合
圆
结
，得
，则
即可求出参数，从而得解；
【
解】
详
解：（1）由抛物
定
，得
线
义
，解得
，
所以抛物线
的方程为
.
（2）
直
设
线
的方程为
，代入
，得
.
设
，
，则
，
.
由
，
，得
，
所以
.
因
直
为
线
的斜率为，所以直线
的斜率为
，
直
则
线
的方程为
.
由
解得
.
若
、
、
、
四点共
，再
合
圆
结
，得
，
则
，解得
，
所以直线
的方程为
.
【点睛】
本
考
抛物
的定
及性
的
用，直
与抛物
合
，属于中档
题
查
线
义
质
应
线
线综
问题
题.
题型02：外接圆问题
【典型例题】已知抛物线
，
是
的准线上的
点，
动
过
作
的两条切
，切点分
线
别为
，
．
（1）当
点在
上
，求切
轴
时
线
，
的方程；
（2）设圆
是
的外接
，当
圆
圆
的面
最小
，求
积
时
圆
的方程．
【解答】解：（1）抛物线
，准线的方程
，
点在
上，
轴
，
设
，
，
，
，且
，
由
，求导
，
，
解得
，
切线
的方程为
，即
，
同理可得切线
的方程为
，
（2）如
：
点
图设
，
点
设过
与抛物线
相切的直
方程
线
为
，
由
△
．
，
即切线
，
互相垂直．即
是直角三角形，
的外接
直径
弦
圆
为
．
当圆
的面
最小
，即是
积
时
最短
，
时
，此时
垂直
，
轴
的外接
心
圆圆
为
，
的方程
圆
为
．
【变式训练2-1】已知定点
，定直线
，动圆
点
过
，且与直线相切．
（Ⅰ）求动圆
的
心
迹
圆
轨
的方程；
（Ⅱ）
点
过
的直
与曲
线
线
相交于
，
两点，分
点
别过
，
作曲线
的切线
，
，两条切
相交于点
线
，
求
外接
面
的最小
．
圆
积
值
【解答】解：（Ⅰ）
点
设
到直线的距离为
，依
意
题
．
设
，
有
则
．
化
得
简
．
所以点
的
迹
轨
的方程为
．
（Ⅱ）设
，
代入
中，得
．
设
，
，
，
，
则
，
．
所以
．
因为
，即
，所以
．
所以直线
的斜率为
，直线
的斜率为
．
因为
，
所以
，即
直角三角形．
为
所以
的外接
的
心
段
圆
圆
为线
的中点，
段
线
是直径．
因为
，
所以当
段
时线
最短，最短
度
长
为4，此
的面
最小，最小面
时圆
积
积为
．
【变式训练2-21】
点
过
作抛物线
的两条切
，切点分
线
别为
，
，
，
．
（Ⅰ）
明：
证
定
；
为
值
（Ⅱ） 记
的外接
的
心
点
圆
圆
为
，点
是抛物线
的焦点，
任意
数
对
实
，
判断以
试
直径的
是否
为
圆
恒
点
过
？并
明理由．
说
【解答】解：（Ⅰ）
明：法
证
1：由
，得
，所以
．所以直线
的斜率为
．
因
点
为
，
和
，
在抛物线
上，所以
，
．
所以直线
的方程为
．
（1 分）
因
点
为
在直线
上，
所以
，即
．
（2 分）
同理，
．
（3 分）
所以
，
是方程
的两个根．
所以
．
（4 分）
又
，
（5 分）
所以
定
．
为
值
（6 分）
法2：
点
设过
且与抛物线
相切的切
方程
线
为
，
（1 分）
，消去
得
，
由△
，化
得
简
．
（2 分）
所以
．
（3 分）
由
，得
，所以
．
所以直线
的斜率为
，直线
的斜率为
．
所以
，即
．
（4 分）
又
，
（5 分）
所以
定
．
为
值
（6 分）
（Ⅱ） 法1：直线
的垂直平分
方程
线
为
，
（7 分）
由于
，
，
所以直线
的垂直平分
方程
线
为
．①
（8 分）
同理直线
的垂直平分
方程
线
为
．②
（9 分）
由①②解得
，
，
所以点
．
（10 分）
抛物线
的焦点为
，则
．
由于
，
（11 分）
所以
．
所以以
直径的
恒
点
为
圆
过
．
（12 分）
另法：以
直径的
的方程
为
圆
为
．
（11 分）
把点
代入上方程，知点
的坐
是方程的解．
标
所以以
直径的
恒
点
为
圆
过
．
（12 分）
法2：
点
设
的坐标为
，
则
的外接
方程
圆
为
，
由于点
，
，
，
在
上，
该圆
则
，
．
两式相减得
，①
（7 分）
由（Ⅰ）知
，代入上式得
，
（8 分）
当
，得
时
，②
假
以
设
直径的
恒
点
为
圆
过
，则
，即
，
，
，
得
，③
（9 分）
由②③解得
，
（10 分）
所以点
．
（11 分）
当
，
时则
，点
．
所以以
直径的
恒
点
为
圆
过
．
（12 分）
【变式训练2-3】已知抛物线
，
直
为
线
上任意一点，
点
过
作抛物线
的两条切线
，
，切点分别为
，
．
（1）当
的坐标为
，求
时
过
，
，
三点的
的方程；
圆
（2）若
，
是
上的任意点，求
：
证
点
的切
的斜率
处
线
为
；
（3）
明：以
证
直径的
恒
点
为
圆
过
．
【解答】解：（1）当
的坐标为
，
时
设过
点的切
方程
线
为
，代入
，整理得
，
令△
，解得
，
代入方程得
，故得
，
，
因为
到
的中点
的距离为2，
从而过
，
，
三点的
的方程
圆
为
．
（2）
明：抛物
证
线
，
数
导
为
，
可得
，
是
上的任意点，
点
的切
的斜率
处
线
为
；
（3）
明：
切点分
证
设
别为
，
，
，
，
，
，
切线
的方程为
，即
，
切线
的方程为
，即
，
又因
切
为
线
点
过
，
，
所以得
，①
又因
切
为
线
也
点
过
，
，
所以得
，②
所以
，
是方程
的两
根，
实
由
达定理得
韦
，
，
因为
，
，
，
，
所以
，
将
，
代入，得
，
以
则
直径的
恒
点
为
圆
过
．
【变式训练2-4】已知点
是抛物线
的
点，
顶
，
是
上的两个
点，且
动
．
（1）判断点
是否在直线
上？
明理由；
说
（2）
点
设
是
的外接
的
心，求点
圆
圆
的
迹方程．
轨
【解答】解：（1）由抛物
的方程可得
点
线
顶
，由
意可得直
题
线
的斜率存在，
直
设
线
的方程
：
为
，设
，
，
，
立直
与抛物
的方程：
联
线
线
，整理可得：
，△
，即
，
，
，
，
，
因为
，
，
，
而
，所以
，解得
，
足判
式大于
满
别
0，
即直
方程
线
为
，所以恒过
可得点
在直线
上．
（2）因
点
为
是
的外接
的
心，所以点
圆
圆
是三角形
三条
的中垂
的交点，
边
线
段
设线
的中点为
，
段
线
的中点为为
，
因为
，设
，
，
，
所以
，
，
，
，
，
，
所以
段
线
的中垂
的方程
：
线
为
，
因为
在抛物
上，所以
线
，
的中垂
的方程
：
线
为
，即
，
同理可得
段
线
的中垂
的方程
：
线
为
，
立两个方程
联
，解得
，
由（1）可得
，
，
所以
，
，
即点
，所以
，
即点
的
迹方程
：
轨
为
．
题型03：圆过定点问题
【典型例题】已知动圆
与定圆
相外切，又与定直线
相切.
（1）求
的
心
动圆
圆
的
迹
轨
的方程，
（2）
点
过
的直线交曲线
于
，
两点，直线
分
交直
别
线
，
于点
和点
.求
：
证
以
直径的
为
圆经过
上的两个定点
轴
.
【答案】（1）
（2）
明
解析
证
见
【分析】
（1）易知
到点
的距离与到直线
的距离相等，得到
迹方程
轨
.
（2），
直
设
线方程
：
为
，
立方程得到
联
，
直径的
方程
：
为
圆
为
，
算得到答案
计
.
【
解】
详
（1）如
所示：根据
意知
图
题
到点
的距离与到直线
的距离相等，
所以
的
迹方程
：
轨
为
.
（2）
然直
显
线不与
重合，
直
轴
设
线方程
：
为
，
与
立消
联
得：
，
设
，则
，
直线
方程
：
为
，所以
，即
，
同理
，所以以
直径的
方程
：
为
圆
为
，
令
得：
，即
，
以
直径的
为
圆经过
上的两个定点
轴
和
.
【点睛】
本
考
了
迹方程，定点
，意在考
学生的
算能力和
合
用能力
题
查
轨
问题
查
计
综
应
.
【变式训练3-1】已知动圆
定点
过
，且和直线
相切，
心
动圆圆
形成的
迹是曲
轨
线
，
点
过
的直
与曲
线
线
交于
两个不同的点.
（1）求曲线
的方程；
（2）在曲线
上是否存在定点
，使得以
直径的
恒
点
为
圆
过
？若存在，求出
点坐
；若不存在，
明
标
说
理由.
【答案】（1）
（2）
解析
见
【分析】
（1）由抛物
定
确定
线
义
P 的
迹方程，（
轨
2）设
，直
的方程
线
为
，代入
抛物
方程，整理得
线
存在定点
设
，由
，代入
达定理整理得
韦
，利用
即可得
【
解】
详
（1）
心
设动圆圆
到直线
的距离为
，根据
意，
题
点
动
形成的
迹是以
轨
焦点，以直
为
线
准
的抛物
，
为
线
线
抛物
方程
线
为
.
（2）根据
意，
题
设
，直
的方程
线
为
，代入抛物
方程，整理得
线
若
抛物
上存在定点
设
线
，使得以
直径的
恒
点
为
圆
过
，设
，则
，同理可得
解得
在曲线
上存在定点
，使得以
直径的
恒
点
为
圆
过
.
【点睛】
本
考
由定
求
迹方程，考
直
与抛物
的位置关系，
的性
的
用，考
算能力，是中档
题
查
义
轨
查
线
线
圆
质
应
查计
题
【变式训练3-2】已知抛物线
与
点
过
的直线交于
两点.
（1）若
，求直线的方程；
（2）若
，
，垂足
轴
为
，探究：以
直径的
是否
定点？若是，求出
定点的坐
；
为
圆
过
该
标
若不是，
明理由
请说
.
【答案】（1）
或
；（2）
定点，
过
【分析】
（1）
出直
设
线的方程
，
立直
与抛物
方程，利用根与系数的关系及弦
公式
算即可
联
线
线
长
计
；
（2）
以
设
直径的
点
为
圆经过
，
，
，利用
得
，令
解方程
即可
组
.
【
解】
详
（1）由
可知，直
题
线的斜率不为0，
其方程
设
为
，
将
代入
，消去
可得
，
然
显
，设
，
，则
，
，
所以
，
因为
，所以
，解得
，
所以直线的方程为
或
.
（2）因为
，所以
是
段
线
的中点，
设
，
由（
则
1）可得
，
，
所以
，又
，垂足
轴
为
，所以
，
以
设
直径的
点
为
圆经过
，则
，
，
所以
，即
，
化
可得
简
①，
令
，可得
，
所以当
，
，
任意的
时对
，①式恒成立，
所以以
直径的
定点，
定点的坐
为
圆过
该
标为
.
【点睛】
本
考
直
与抛物
的位置关系，涉及到抛物
中的定点
，考
学生的
算能力，是一道中档
题
查
线
线
线
问题
查
计
题.
题型04：等角问题
【典型例题】已知
斜角
倾
为
的直
抛物
线经过
线
的焦点
，与抛物线
相交于
、
两
点，且
.
（1）求抛物线
的方程；
（2）设
抛物
为
线
上任意一点（异于
点），
顶
过
做
斜角互
的两条直
倾
补
线
、
，交抛物线
于另两点
、
，
抛物
记
线
在点
的切线的
斜角
倾
为
，直线
的
斜角
倾
为
，求
：
证
与
互补.
【答案】（1）
（2）
明
解析
证
见
【分析】
（1）根据
意，
直
方程
题
设
线
为
，
立方程，根据抛物
的定
即可得到
；
联
线
义
结论
（2）根据
意，
题
设
的方程为
，
立方程得
联
，同理可得
，
而得
进
到
，再利用点差法得直线
的斜率，利用切
与
数的关系得直
线
导
线的斜率，
而可得
进
与
互补.
【
解】
详
（1）由
意
直
题
设
线
的方程为
，令
、
，
立
联
，得
，
根据抛物
的定
得
线
义
，
又
，
故所求抛物
方程
线
为
.
（2）依
意，
题
设
，
，
设
的方程为
，与
立消去
联
得
，
，同理
，直线
的斜率
=
切线的斜率
，
由
，即
与
互补.
【点睛】
本
考
直
与抛物
的位置关系的
合
用，直
斜率的
用，考
分析
解决
的能力，属于中档
．
题
查
线
线
综
应
线
应
查
问题
问题
题
【变式训练4-1】在直角坐
系
标
中，
点
过
的直
与抛物
线
线
相交于
，
两点，弦
的中点
的
迹
轨
记为
.
（1）求
的方程；
（2）已知直线
与
相交于
，
两点.
（i）求
的取
范
；
值
围
（ii）
上是否存在点
轴
，使得当
，
有
变动时总
？
明理由
说
.
【答案】(1)
； (2) （i）
或
.（ii）
解析
见
.
【分析】
（1）先设
，
，
，根据
，以及
意，得到
题
，再由
，两式
立，即可得出
果；
联
结
（2）（i）先由
意得到方程
题
组
有两不同
数解，消去
实
，根据判
式，以及
中条件，列出不等式
别
题
求解，即可得出
果；
结
（ii）假
存在
设
是符合
意的点；
题
设
，
，
立直
与曲
方程，根据
达定理，得到
联
线
线
韦
，
，
算
计
，只需
，即可得
.
【
解】
详
（1）设
，
，
，由
意可得：
题
，
则
，从而
，
因
点
为
弦
为
的中点，所以
，即
，
又直线
点
过
，所以
，
则
，即
，
而
必在抛物线
的内部，从而
，即
.
故
的方程为
.
（2）（i）因
直
为
线
与
相交于
，
两点，
所以方程组
有两不同
数解，
实
由
消去
，得
，
即
在
上有两个不相等的
数根，
实
所以，只需
且
，
即
且
，解得：
或
.
所以
的取
范
是
值
围
或
；
（ii）假
存在
设
是符合
意的点；
题
设
，
.
将
消去
，得
，故
，
，
由（i）知：
或
；
从而
，
因此，当
，即
，
时
，
又
坐
原点，所以
为
标
，
即存在点
符合
意
题
.
【点睛】
本
主要考
求抛物
弦中点的
迹，以及直
与抛物
位置关系的
合，熟
抛物
的
准方程，以及抛物
题
查
线
轨
线
线
综
记
线
标
线
的
性
即可，属于常考
型
简单
质
题
.
【变式训练4-2】在直角坐
系
标
中，抛物线
：
与直线：
交于
，
两点.
（1）设
，
到
的距离分
轴
别为
，
，
明：
证
与
的乘
定
积为
值.
（2）
上是否存在点
轴
，当
化
，
有
变
时总
？若存在，求点
的坐
；若不存在，
明理
标
请说
由.
【答案】（1）
解析（
见
2）存在,
【解析】
【分析】
（1）先将
代入
，设
，
，
合
达定理，即可
明
成立；
结
韦
证
结论
（2）先设设
符合
意的点，直
为
题
线
，
的斜率分别为
，
，由
，得当
化
变
，
时
恒成立，
而可求出
果
进
结
.
【
解】
详
（1）
明：将
证
代入
，得
.
设
，
，则
，
从而
定
为
值.
（2）解：存在符合
意的点，
明如下：
题
证
设
符合
意的点，直
为
题
线
，
的斜率分别为
，
.
从而
.
当
，有
时
任意
对
恒成立，
直
则
线
的
斜角与直
倾
线
的
斜角互
，故
倾
补
，所以点
符合
意
题
.
【点睛】
本
主要考
直
与抛物
的位置关系、以及抛物
中的定点
，通常需要
立直
与抛物
方程，
合
达
题
查
线
线
线
问题
联
线
线
结
韦
定理等求解，属于常考
型
题
.
【变式训练4-3】在直角坐
系
标
中，抛物线
与直线
交于
，
两点.
（1）当
，分
求抛物
时
别
线
在点
和
的切
方程；
处
线
（2）
上是否存在点
轴
，使得当
，
有
变动时总
？
明理由
说
.
【答案】(1)
点
过
和点
的切
方程分
线
别为
.(2)存在点
，理由
解析
见
【分析】
（1）将直线l 的方程代入抛物线C 的方程，求出点M、N 的坐
，再
立方程，判
式
零，可求出抛物
标
联
别
为
线C 在点
M、N
的切
方程；
处
线
（2）
点
设
P
符合
意的点，将直
为
题
线l 的方程与抛物线C 的方程
立，列出
达定理，利用斜率公式
算直
联
韦
计
线PM 和直线PN 的斜率之和为0，求出
的
，即可解决
．
值
该问题
【
解】
详
（1）由
意知
题
，
立
时联
，
解得
，
．
点
设过
的切
方程
线
为
，
立
联
得：
，
由
意：
题
，即
，解得
，
根据
称性，
点
对
过
的切
斜率
线
为
，
所以
点
过
和点
的切
方程分
线
别为
.
（2）存在符合
意的点，
明如下：
题
证
点
设
符合
意的点，
为
题
，
，直线
，
的斜率分别为
，
．
立方程
联
，得
，故
，
，
从而
．
当
，有
时
，
直
则
线
与直线
的
斜角互
，
倾
补
故
，所以点
符合
意．
题
【点睛】
本
考
直
与抛物
的
合
，考
达定理
而不求法在抛物
合
中的
用，考
算能力，属于
题
查
线
线
综
问题
查韦
设
线综
问题
应
查计
中等
．
题
【变式训练4-4】在直角坐
系
标
中，曲线
：
与直线
交与
，
两点.
（1）当
，求弦
时
长
；
（2）
上是否存在点
轴
，使得当
，
有
变动时总
？
明理由
说
.
【答案】（1）
；（2）存在点
足要求，理由
解析
满
见
.
【分析】
（1）将直线的方程与抛物线
的方程
立，利用
达定理和弦
公式
算；
联
韦
长
计
（2）
等价
化
问题
转
为
，设
符合
意的点，将直
为
题
线的方程与抛物线
的方程
立，利用
联
达定理和斜率公式表示直
韦
线
和直线
的斜率，代入
化
整理，根据恒成立的意
求出
简
义
的
，即可得到
．
值
结论
【
解】
详
（1）当
，直
方程
时
线
为
，设
，
，
立
联
∴
，
∴
，
，
∴
.
（2）假
存在
足条件的点
设
满
，设
，
，
，
立
联
∴
，
则
，∴
，
.
∵
，∴
，
即
.
所以
，整理得：
，
所以
，所以
任意
对
成立，所以
，
所以存在点
足要求
满
.
【点睛】
本
考
直
与抛物
的
合
，涉及弦
，斜率
，定点定
，考
达定理
而不求法，考
题
查
线
线
综
问题
长问题
问题
值问题
查韦
设
查
算能力，属于中等
．
计
题
【变式训练4-5】在直角坐
系
标
中，曲线
与直线
交于
两点，
（Ⅰ）当
，求
时
在点
和
的切
方程；
处
线
（Ⅱ）若
上存在点
轴
，当
，
有
变动时总
,
求出
试
坐标.
【答案】（Ⅰ）
或
（Ⅱ）
【分析】
（Ⅰ）过
的切
斜率
线
为
切
方程
：
线
为
，与
立方程得，
联
, 由
得
,同理求N 点
的切
方程；（Ⅱ）当
处
线
，
时
，
立直
和抛物
再
合
达定理代入上式，可得到
果
联
线
线
结
韦
结
.
【
解】
详
（Ⅰ）当
，
立方程
时联
得
或
，
不妨取
和
，设过
的切
斜率
线
为
，
其切
方程
：
则
线
为
，与
立方程得，
联
，
由
得
，
分所以曲线
在
的切
方程
：
线
为
，
同理，曲线
在
的切
方程
：
线
为
.
上
综
在点
和
的切
方程分
处
线
别为
和
，
（Ⅱ）
立方程
联
，消去
整理得
，
设
，
斜率分别为
，
由根与系数关系得
则
，
由
意，当
题
，
时
，
将
代入整理得
恒成立，所以
．
所以
上存在点
轴
，当
，
有
变动时总
.
【点睛】
本
主要考
直
与
曲
位置关系，所使用方法
达定理法：因直
的方程是一次的，
曲
的方程是
题
查
线
圆锥
线
为韦
线
圆锥
线
二次的，故直
与
曲
的
常
化
方程
关系
，最
化
一元二次方程
，故用
达定理及判
线
圆锥
线
问题
转
为
组
问题
终转
为
问题
韦
式是解决
曲
的重点方法之一，尤其是弦中点
，弦
，可用
达定理直接解决，但
注意不
别
圆锥
线问题
问题
长问题
韦
应
要忽
判
式的作用．
视
别
【变式训练4-6】在直角坐
系
标
中，曲线
：
与直线：
交于
，
两点.
（1）当
，求
时
的面
的取
范
积
值
围.
（2）
上是否存在点
轴
，使得当
，
有
变动时总
？若存在，求点
的坐
；若不存在，
标
请说
明理由.
【答案】（1）
（2）存在符合
意的点
题
，
解析
详见
【分析】
（1）设
，
，将
代入C 得方程整理得
，
．利用△MON 的
面积
．可得MON 的面
的取
范
．
积
值
围
（2）直线
，
的斜率分别为
，
，利用根与系数的关系、斜率
算公式可得
计
⇔直线PM，PN
的
斜角互
⇔∠
倾
补
OPM＝∠OPN．即可
明．
证
【
解】
详
解：（1）将
代入
，得
，
设
，
，则
，
，
从而
.
因为
到的距离为
，
所以
的面积
.
因为
，所以
.
（2）存在符合
意的点，
明如下：
题
证
设
符合
意的点，直
为
题
线
，
的斜率分别为
，
.
从而
.
当
，有
时
，
直
则
线
的
斜角与直
倾
线
的
斜角互
，
倾
补
故
，所以点
符合
意
题
.
【点睛】
本
考
了直
与抛物
相交
化
方程
立可得根与系数的关系、斜率
算公式，考
了推理能力与
题
查
线
线
问题转
为
联
计
查
计
算能力，属于中档
．
题
