文档内容
第 03 讲 圆中的切线方程、切点弦方程及圆系方程
（高阶拓展、竞赛适用）
（6 类核心考点精讲精练）
1. 5年真题考点分布
5年考情
考题示例 考点分析 关联考点
切线长
2024年新Ⅱ卷，第10题,6分 圆中切线问题 根据抛物线方程求焦点或准线
直线与抛物线交点相关问题
给值求值型问题
2023年新I卷，第6题,5分 圆中切线问题
余弦定理解三角形
2022年新I卷，第14题,5分 圆的公切线方程 判断圆与圆的位置关系
2021年新I卷，第11题,5分 切线长 直线与圆的位置关系求距离的最值
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的选考内容，设题不定，难度中等，分值为5-6分
【备考策略】1.熟练掌握圆中切线问题的快速求解
2.熟练掌握圆系方程的快速求解
【命题预测】本节内容是新高考卷的拓展内容，需要大家掌握二级结论来快速解题，需强化练习知识讲解
一、圆中切线问题
1. 已知圆方程为: ,
若已知切点 在圆上,则切线只有一条,其方程是:
2. 已知圆方程为: ,
若已知切点 在圆上,则该圆过 点的切线方程为 ;
3. 已知圆方程为圆: .
(1)过圆上的 点的切线方程为 .
(2)过圆外一点 作圆的两条切线,则切点弦方程为 .
4. 过圆外一点 引圆(标准方程,一般方程)的切线长度
一般方程 (标准方程)
二、常见的圆系方程
1、同心圆圆系
(1)以 为圆心的同心圆圆系方程: ;
(2)与圆 同心圆的圆系方程为: ;2、过线圆交点的圆系
过直线 与圆 交点的圆系方程为:
;
3、过两圆交点的圆系
过两圆
交点的圆系方程为 ,此圆系不含
)
(1)特别地,当 时,上述方程为一次方程,两圆相交时,表示公共弦方程;两圆相切时,表示公切线方程.
(2)为了避免利用上述圆系方程时讨论圆过 ,可等价转化为过圆 和两圆公共弦所在直线交点的圆系方程:
考点一、 过圆上一点的切线问题
1．（23-24高二上·四川成都·阶段练习）过点 作圆 的切线l，求切线l的方程
【答案】
【分析】当直线斜率不存在时，直线方程为： ，由圆心到直线的距离等于半径判断；当直线的斜率存
在时：设直线方程为 ，由圆心到直线的距离等于半径求解.
【详解】当直线斜率不存在时，直线方程为： ，
圆心到直线的距离为 ，不成立；
当直线的斜率存在时：设直线方程为 ，即 ，
圆心到直线的距离等于半径为： ，
解得 ，所以直线方程为： ，
即 .
故答案为： .
2．（23-24高三下·福建·开学考试）过点 的直线l与圆 相切，则直线l的方程
为（ ）
A． B． C． D．【答案】B
【分析】根据题意，点P在圆C上，由切线性质即可得出结果.
【详解】由点P在圆C上，又由直线 的斜率为 ，
可得直线l的斜率为2，则直线l的方程为 ．
故选：B．
1．（22-23高二上·上海浦东新·期中）已知圆 ，则过点 的圆的切线方程为 .
【答案】
【分析】根据切线与过切点的半径垂直即可求解.
【详解】点 在圆 上,圆心为 ，
，所以切线的斜率 ，
则过点 的圆的切线方程为 ,
即 .
故答案为： .
2．（11-12高二上·浙江杭州·期中）圆 在点 处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】容易知道点 为切点，圆心 ，设切线斜率为k，从而 ，由此即可得解.
【详解】将圆的方程 化为标准方程得 ，
∵点 在圆 上，∴点P为切点．
从而圆心与点P的连线应与切线垂直．又∵圆心为 ，设切线斜率为k，
∴ ，解得 ．
∴切线方程为 ．
故选：D.
考点二、 过圆外一点的切线问题
1．（23-24高三上·陕西西安·阶段练习）过点 且与圆 ： 相切的直线方程为
【答案】 或
【分析】首先将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，再分切线的斜率存在与不存在两种情况
讨论，分别求出切线方程.
【详解】圆 ： 即 ，圆心为 ，半径 ，
当切线的斜率不存在时，直线 恰好与圆 相切；
当切线的斜率存在时，设切线为 ，即 ，则 ，
解得 ，所求切线方程为 ，
综上可得过点 与圆 相切的直线方程为 或 .
故答案为： 或
2．（22-23高三上·湖南长沙·阶段练习）过点 作圆 的切线，则切线方程为（ ）
A． B．
C． 或 D． 或
【答案】D
【分析】根据切线斜率是否存在分类讨论，利用圆心到切线距离等于半径可求结果．
【详解】由圆心为 ，半径为2，斜率存在时，设切线为 ，
则 ，可得 ，所以 ，即 ；
斜率不存在时， ，显然与圆相切，
综上，切线方程为 或 ．
故选：D．3．（2023·全国·模拟预测）已知圆 ，过点 作圆 的两条切线，切点分别为
A，B，则 的正切值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设出切线方程，然后根据圆心到直线的距离等于半径求出斜率，然后根据几何图形的性质得答案.
【详解】由题可得，圆 的圆心为 ，半径 ．
易知切线 的斜率都存在，
设切线的方程为 ，即 ，
圆心 到切线的距离 ，
解得 或 ，
如图，设点 在点 下方，
，
（提示：由圆的性质可知 ）．
另法： 由题可得，圆 的圆心为 ，半径 ．
易知直线 是圆 的一条切线，不妨设切点为 ，则 ．
又 （提示：圆的切线的性质）， ．
故选：A．
1．（24-25高三上·山东潍坊·开学考试）已知圆 ，则过点 的圆 的切线方程是
（ ）
A． B．C． D．
【答案】C
【分析】首先说明点在圆外，再设点斜式方程，利用圆心到直线距离等于半径得到方程，解出即可.
【详解】将 代入圆方程得 ，则该点在圆外，
，即 ，则其圆心为 ，半径为1，
当切线斜率不存在时，此时直线方程为 ，显然不合题意，故舍去，
则设切线方程为： ，即 ，
则有 ，解得 ，此时切线方程为 .
故选：C.
2．（22-23高二上·湖南岳阳·期中）经过 向圆 作切线，切线方程为（ ）
A．
B．
C． 或
D． 或
【答案】C
【分析】根据切线的斜率是否存在进行分类讨论，结合点到直线的距离公式求得正确答案.
【详解】（1）当切线的斜率不存在时，直线 是圆的切线；
（2）当切线斜率存在时，设切线方程为 ，
由 到切线距离为 得 ，
此时切线方程为 即 .
故选：C
3．（2024高三·全国·专题练习）设过点 与圆 相切的两条直线的夹角为 ，
则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】解法1：如图，由题意确定圆心坐标和半径，求出 ，由二倍角的余弦公式求出
即可求解；解法2：如图，由题意确定圆心坐标和半径，利用余弦定理求出 即可求解；解法3：易知切线斜率存在，利用点到直线的距离公式和斜率的定义求出 ，进而求出 即可.
【详解】解法1：如图，圆 ，即 ，
则圆心 ，半径 ，过点 作圆 的切线，切点为 ，连接 .
因为 ，则 ，得 ，
则 ，即 为钝角，且 为锐角，
所以 .
故选：A.
解法2：如图，圆 ，即 ，则圆心 ，半径 ，
过点 作圆 的切线，切点为 ，连接 .因为 ，则 ，
因为 ，
且 ，则 ，
即 ，解得 ，
即 为钝角，且 为锐角，则 .
故选：A.
解法3：圆 ，即 ，则圆心 ，半径 ，
若切线斜率不存在，则切线方程为 ，则圆心到切点的距离 ，不合题意；
若切线斜率存在，则设切线方程为 ，即 ，则圆心到切线的距离 ，解得 ，
所以 ，又 为锐角，
由 解得 .
故选：A.
考点三、 切点弦方程
1．（2024高三·全国·专题练习）已知圆 外一点 ，过点 作圆 的两条切线，
切点分别为 和 ，则直线 的方程为 .
【答案】
【分析】由二级结论：若点 在圆外，过点 引圆的两条切线，切点为 ，则切点弦(两切点
的连线段)所在直线的方程为 （圆的方程为 ），代
入即可的直线 的方程.
【详解】由题意，切点弦 所在直线的方程为:
，
化简得： .
故答案为： .
2．（2024·浙江·模拟预测）过点 作圆 ： 的两条切线，切点分别为 ， ，则原
点 到直线 的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】首先求解四边形 的外接圆的方程，再求解直线 的方程，即可求解点到直线的距离.
【详解】由图可知， ， ，
则 四点共圆，圆的直径是 ，点 ， ，， 的中点坐标为 ，
所以四边形 的外接圆的方程为 ，
即 ，圆 ，
两式相减得直线 的方程 ，
则原点到直线 的距离 .
故选：A
1．（2023·全国·模拟预测）已知圆 ： ，点 ，若直线 分别切圆 于
两点，则直线 的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】方法一：利用直线 ，得出 ，在 中，利用几何关系求出 及
，进而可求出点 到直线MN的距离，再利用点到直线的距离公式即可求出结果；方法二：
利用直线 为圆 和以AC为直径的圆的公共弦，求出以AC为直径的圆，即可求出结果.
【详解】由题意得直线 垂直平分线段 ，又圆 ： ，所以圆心 ，
，
又由 ，得直线AC的斜率 ，所以直线MN的斜率 ，
可设直线 的方程为 ，又 ，
在 中， ， ，得到 ，则点 到直线MN的距离 ，
即 ，解得 或 ，
当 时，直线MN与圆C相离，不符合题意，所以直线MN的方程为 ．
一题多解 因为 分别是圆C的切线，所以 ，
所以点 在以AC为直径的圆上．因为 ，
所以以 为直径的圆的圆心为 ，半径为
故以 为直径的圆的方程为 ，又因为圆C： ，
所以直线MN的方程为 ，化简得 ，
故选：B．
2．（2024高三·全国·专题练习）已知圆 外一点 ，过点 作圆 的两条
切线，切点分别为 和 ，则直线 的方程为 .
【答案】
【分析】由二级结论：若点 在圆外，过点 引圆的两条切线，切点为 ，则切点弦(两切点
的连线段)所在直线的方程为： （圆的方程为 ），
代入即可的直线 的方程
【详解】由题意，切点弦 所在直线的方程为：
，
化简得： .
故答案为： .
考点 四 、 切线长1．（2024·四川攀枝花·三模）由直线 上的一点 向圆 引切线，切点为 ，则 的最
小值为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】B
【分析】根据已知条件，求得 ，由此可知 时，|PQ|取得最小值，
由此即可求解.
【详解】
由已知有：圆的圆心 ，半径为 ，直线的一般方程为 ，
设点 到圆心的距离为 ，则有 ，所以 ，
所以 取最小值时，|PQ|取得最小值，
因为直线上点 到圆心的距离最小值为圆心到直线的距离，
所以 ，故|PQ|的最小值为 .
故选：B
2．（2024·全国·模拟预测）已知P为直线 上一点，过点P作圆 的一条切线，
切点为A，则 的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】A
【分析】根据已知条件，结合勾股定理以及点到直线的距离公式求解即可.
【详解】连接 ，则 ，
而|PC|的最小值为点C到直线l的距离 ，所以 .
故选：A.
1．（24-25高三上·陕西·开学考试）由直线 上的一点向圆 引切线，则切线段的最小
值为（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】C
【分析】由圆的方程得圆心坐标和半径，求出圆心到直线的距离，利用切线的性质及勾股定理求出切线长
的最小值即可.
【详解】由圆的方程 ，得圆心 ，半径 ，
如图，切线长 ，当 最小时， 最小，
最小值为圆心 到直线 的距离 ，
所以切线长 的最小值 .
故选：C.
2．（24-25高三上·湖南衡阳·阶段练习）已知圆 ，过直线 上的动点 作圆
C的一条切线，切点为A，则 的最小值为（ ）
A．2 B．4 C． D．3
【答案】C
【分析】求出切线长，得出|PC|最小时， 最小，再由点到直线距离公式求解可得.
【详解】连接 ，则 ，当|PC|最小时， 最小，又圆 的圆心为(1,0)，半径为 ，
则 ，故 的最小值为 .
故选：C.
考点 五 、 圆中的公切线问题（含根轴）
1．（23-24高三下·山东·开学考试）圆 和圆 的公切线
方程是（ ）
A． B． 或
C． D． 或
【答案】A
【分析】先判断两个圆的位置关系，确定公切线的条数，求解出两圆的公共点，然后根据圆心连线与公切
线的关系求解出公切线的方程.
【详解】解： ，圆心 ，半径 ，
，圆心 ，半径 ，
因为 ，
所以两圆相内切，公共切线只有一条，
因为圆心连线与切线相互垂直， ，
所以切线斜率为 ，
由方程组 解得 ，
故圆 与圆 的切点坐标为 ，
故公切线方程为 ，即 ．
故选：A.
2．（23-24高二下·江苏盐城·阶段练习）（多选）已知直线 与圆 ： 和圆 ：都相切，则直线 的方程可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【分析】先明确两圆位置关系，从而根据两圆位置关系明确公切线的情况，再根据公切线特征情况分情况
直接计算求解即可.
【详解】由题知 ，两圆半径 ，
所以 ，
故圆 、 外切，则两圆有三条公切线，如图， 的中点为两圆外切切点 ，
当直线 过 的中点，且与 垂直时，
因为 ，所以直线 的方程为 ，即 ；
当直线 与 平行，且 到 的距离为 时，设直线 的方程为 ，
所以 ，解得 或 ，
所以直线 的方程为 或 ．
故选：ABC．
1．（2024·河北张家口·三模）圆 与圆 的公切线的方程为
．
【答案】
【分析】先判断两圆位置关系，然后将圆 化为一般式，两式相减可得.
【详解】圆 的圆心为(1,0)，半径为1，圆 的圆心为 ，半径为6，
因为 ，所以两圆内切，只有一条公切线，将圆 化为一般式得：
， ，
两式相减得 ，即 ，
所以圆 的公切线的方程为 .
故答案为：
2．（23-24高三下·江苏镇江·开学考试）与圆 和圆 都相切的直线方程是
．
【答案】
【分析】根据题意，判断两圆的位置关系内切，联立方程组求得公切线方程.
【详解】设圆 的圆心为 ，半径为 ，则 ， ，
设圆 的院系为 ，半径为 ，则 ， ，
所以 ，所以两圆内切.
联立方程 ，解得 ，
所以两圆的公切线方程为 .
故答案为： .
考点 六 、 圆系方程
1．（2024高三·全国·专题练习）已知圆系方程 （ ，m为参数），这些圆的公
切线方程为 .
【答案】
【分析】先求圆心的轨迹,再设切线方程计算即可求出公切线.
【详解】圆心坐标为 ，所以圆心在直线 上，
设圆的切线为 ，即 ，
所以两直线间的距离为圆的半径 ， ，所以直线方程为 .
故答案为: .
2．（24-25高二上·全国·课后作业）若圆 与圆 相交，我们把经过圆 和圆 交点的圆称为圆 、圆 的圆系方程，其方程可设为
．根据以上信息，解决如下问题：已知圆
与 交于 两点，则以 为直径的圆的一般方程为 ．
【答案】
【分析】由题意可设经过点 ， 的圆的方程 ，化简整理可得圆
心为 ，圆 和圆 方程相减，求出直线 的方程，再把圆心 代入直线 的方程求
出 的值即可．
【详解】由题意可设经过点 的圆的方程为 ，
整理得 ，则圆心为 ．
圆 ①，圆 ②，
由①-②得， ，即直线 的方程为 ．
因为 为直径，圆心在直线 上，所以 ，解得 ，
故以 为直径的圆的方程为 ．
故答案为： ．
1．（2023高三·全国·专题练习）（多选）已知圆 和圆 相交于
两点，下列说法正确的是（ ）
A．所有过点 的圆系的方程可以记为 （其中 ，
）
B．直线 的方程为
C．线段 的长为
D．两圆有两条公切线 与
【答案】CD
【分析】
根据圆系方程的条件，可判定A错误；利用两圆相减，求得公共弦的方程，可判定B错误；利用圆的弦长
公式，求得弦长，可判定C正确；根据得到 为两圆的公切线，得到 关于两圆圆心所在直线对称的直线得到另一条公切线，求得公切线的方程，可判定D正确.
【详解】
对于A中，圆系方程 （其中 ， ）此时不含圆M，所以
A错误．
对于B选项，联立方程组 ，
两式相减得到直线AB的方程为 ，所以B错误．
对于C中，原点O到直线AB的距离为 ，
根据勾股定理得 ，所以C正确．
对于D中，由圆 ，可得 ，
可得圆 的圆心坐标为 ，半径为 ，
又由圆 ，可得圆心 ，半径为 ，
可得直线 与两圆相切，即 为两圆的公切线，
则 关于两圆圆心所在直线对称的直线即为另一条公切线，
由 和 ，可得两圆心所在直线为 ，即 ，
联立方程组 ，解得 ，即交点坐标为 ，
在直线 上任取一点 ，
设点 关于直线 对称点为 ，可得 ，
解得 ，即对称点的坐标为 ，
所求的另一条切线过点 ， ，可得其方程为 ，
故所求切线方程为 或 ，所以D正确.
故选：CD.一、单选题
1．（23-24高二上·江苏连云港·期中）圆 在点 处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用直线与圆的位置关系计算即可.
【详解】易知该切线斜率存在，不妨设切线方程 ，
易知圆心 ，半径 ，所以 到 的距离为 ，
解之得 ，即切线 .
故选：A
2．（2023高三·全国·专题练习）过点 向圆 引两条切线，切点是 、 ，
则直线 的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】先根据圆的切线的特点求出 的长，然后得出以 为圆心， 长为半径的圆的方程，两圆
的交点就是 、 ，再把两圆的方程作差即可求出直线 的方程.
【详解】把 （1）转化为 ，圆心 ，半径 ，
则 ， ，
圆 的方程为 （2），
（1） （2），得 ．
故选：B.
二、填空题
3．（23-24高三上·浙江·阶段练习）过圆 上点 的切线方程为 ．
【答案】
【分析】由圆的切线性质求出切线斜率，利用点斜式方程即可得.
【详解】由题知， ，则切线斜率 ，
所以切线方程为 ，整理为 ．
故答案为：
4．（2023·天津武清·模拟预测）已知点 ， ，经过点 作圆 的切线与 轴交
于点 ，则 ．
【答案】
【分析】由直线与圆的位置关系作出切线，求得 ，即可得解.
【详解】如图所示，设圆心为 点，则 ，
，则点 在圆上，且 ，
由 与圆相切可得 ，所以切线方程为 ，
令 ，解得 ，故 ，
所以
故答案为： .5．（23-24高三上·湖北·开学考试）已知过点 作圆 的切线，则切线长为 .
【答案】
【分析】根据题意，利用圆的切线长公式，即可求解.
【详解】由圆 ，可得圆心 ，半径 ，
设切点为 ，因为 ，可得 ，
所以切线长为 .
故答案为： .
6．（23-24高三上·河北邢台·期末）已知圆 ，过 作圆 的切线 ，则直线 的倾斜角
为 ．
【答案】 （或写为 ）
【分析】分析可知，点 在圆 上，根据圆的几何性质可知 ，求出直线 的斜率，即可得出直线
的倾斜角.
【详解】因为 ，所以，点 在圆 上，直线 的斜率为 ，
由圆的几何性质可知， ，则直线 的斜率为 ，
设直线 的倾斜角为 ，则 ，则 ，故 .
即直线 的倾斜角为 （或 ）.
故答案为： （或写为 ）.
7．（2023·江西·二模）已知圆 ，圆 .请写出一条与两圆都相切的直线方程：
.
【答案】 或
【分析】由题可知两圆相交，两圆有2条公切线，求出切线与两圆圆心连线的交点，点斜式设切线方程，
利用圆心到切线距离等于半径，计算即可.【详解】圆 圆心 ，半径 ，
圆 圆心 ，半径 ，
由两圆相交，所以两圆有2条公切线，设切线与两圆圆心连线的交点为 ，
如图所示，
则 ，即 ，所以 ，
解得 ，所以 ，
设公切线l︰ ，所以圆心 到切线l的距离 ，解得 ， 所以公切线方程
为 ，即 或 .
故答案为： 或
8．（2023·河南·模拟预测）写出与圆 和圆 都相切的一条直线的方程
.
【答案】 （或 或 ，写出一个即可）
【分析】根据题意，得到圆 与圆 相外切，将两圆的方程相减，求得其中一条公切线的方程，再由圆
与圆 的半径相等，得到外公切线与 平行，求得 ，设 ，结合圆心到直线的距离
等于半径，列出方程，求得 的值，即可得到公切线的方程.
【详解】由题意得，圆 ，可得圆心 ，半径为 ，
圆 ，可得圆心 ，半径为 ，
因为 ，可得 ，所以圆 与圆 相外切，
将两圆的方程相减，可得 ，此方程为圆 与圆 的公切线，
又由圆 与圆 的半径相等，故外公切线与直线 平行，因为 ，所以圆C与圆D的外公切线的方程可设为 ，
即 ，则 ，解得 或 ，
所以两条外公切线的方程为 或 ，
综上所述，圆C与圆D公切线的方程为 或 或 .
故答案为： 或 或 .
9．（22-23高二上·河北邢台·期末）已知圆 的方程为 ，则过点 的圆 的切线方程为
.
【答案】 或
【分析】若直线斜率存在，设出直线方程，利用圆心到直线的距离等于半径列方程求解, 若直线斜率不存
在，直接验证可得答案.
【详解】圆 的方程为 ，即 .
因为 ，所以点P在圆 外，
若直线斜率存在，设切线的斜率为 ，
则切线方程为 ，即
所以 ，解得 .
所以切线方程为 ，
若直线斜率不存在，直线方程为 ，满足题意.
综上过点 的圆 的切线方程为 或
故答案为： 或
三、解答题
10．（2024高三·全国·专题练习）平面上有两个圆，它们的方程分别是 和
，求这两个圆的内公切线方程．【答案】
【分析】判断出两圆外切，两圆的方程相减可得答案.
【详解】圆 ，圆心 ，半径 ，
圆 ，
其圆心 ，半径 ，
，∴这两圆外切，
∴ ，
可得 ，
∴所求的两圆内公切线的方程为： ．
一、单选题
1．（23-24高三上·广西百色·阶段练习）圆 ，圆 ，则两圆的
一条公切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
由圆与圆位置关系的判断可知两圆外离，得公切线条数；根据两圆半径相同可确定两条公切线过 ，两
条公切线平行于 ，假设公切线方程，利用圆心到直线距离等于半径可构造方程求得公切线.
【详解】
由两圆方程得：圆心 ， ，半径 ，
两圆圆心距 ， ，即两圆外离，公切线共有 条；
两圆半径相同， 两圆两条公切线经过 中点 ，两条公切线与 平行，
经过 中点的公切线斜率显然存在，可设为： ，
，解得： 或 ，即公切线方程为： 或 ；
， 与 平行的公切线方程为 ，即 ，
，解得： ，即公切线方程为 或 ；综上所述：两圆的公切线方程为： 或 或 或 .
故选：C.
2．（23-24高二上·江西·阶段练习）过点 作圆 ： 的切线 与 轴交于点 ，过
点 的直线 与 ， 轴及 轴围成一个四边形，且该四边形的所有顶点都在圆 上，则点 到直
线 的距离为（ ）
A． B．
C． 或 D． 或
【答案】C
【分析】根据圆的切线性质，结合点到直线距离公式、四边形的性质进行求解即可.
【详解】 化为标准方程为 ，
所以 ，圆 的半径为 ，设 ： ，
由直线 与圆 相切得 ，解得 ， ： ，
令 得 ，
若 ， 交于点 ，且 ，设原点为 ，
因为 ， ，
所以四边形 对角互补，点 ， ， ， 都在圆 上，
点 为线段 的中点， ，直线 的方程为 ，
到直线 的距离为 ；
若 ，设 与 轴交于点 ，
四边形 是等腰梯形，对角互补，点 ， ， ， 都在圆 上，
此时点 既在线段 的垂直平分线 上，又在线段 的垂直平分线 上，所以 ，
此时直线 的方程为 ，
到直线 的距离为 ，
故选：C.
【点睛】关键点睛：本题的关键是利用圆的切线性质、四点共圆的性质.
3．（23-24高二上·广东·期末）在平面直角坐标系 中，已知圆 ，若圆
上存在点P，由点P向圆C引一条切线，切点为M，且满足 ，则实
数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据 可求出点P的轨迹方程，根据点P的轨迹与圆D有交点列出不等式求解.
【详解】设点P的坐标为 ，如图所示：
由 可知： ，而 ，∴
∴ ，整理得 ，即 .
∴点P的轨迹为以点 为圆心， 为半径的圆，又∵点P在圆D上，∴所以点P为圆D与圆E的
交点，即要想满足题意，
只要让圆D和圆E有公共点即可，∴两圆的位置关系为外切，相交或内切，∴ ，解得 .
故选：D
4．（23-24高三上·广东·阶段练习）已知圆M： ，P为x轴上的动点，过点P作圆
M的切线切 ， ，切点为A，B，则四边形 面积的最小值为（ ）
A．2 B． C．2 D．
【答案】B
【分析】把四边形 面积转化为 和 的面积的和，而 和 均为直角三角形且
面积相等，进而面积的最小值转化为求 最小，由此求得答案.
【详解】圆M的方程可化为 ，
所以x轴与圆M相离.
又 ，且 和 均为直角三角形，
， 为圆 的半径，且 ，
所以面积的最小值转化为求 最小，
当 垂直于x轴时，四边形 面积取得最小值，
此时 ，所以四边形 面积最小值为 .
故选：B.
5．（23-24高三上·浙江·开学考试）过圆 上一点 作圆 的两条切线
，切点为 ，当 最大时，直线 的斜率为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】C
【分析】由题意确定当 三点线时， 最大，进而得到 即可得解.
【详解】，当 最大时，也即 取最大，
因为 ，在直角三角形 中，当 最短时， 最大，
又 ，当且仅当 三点线时 最小，
此时 ， ，
所以直线 的斜率为 .
故选： .
二、多选题
6．（2023·全国·模拟预测）已知圆C： ，P是直线l: 上的一个动点，过点P作圆C
的切线PA，PB，切点分别是A，B，则下列说法中正确的是（ ）
A．圆C上恰有一个点到直线l的距离为 B．切线长PA的最小值为1
C． 的最小值为 D．直线AB恒过定点
【答案】BCD
【分析】用点到直线的距离可判断A，由圆的切线长可判断B，用面积法可判断C，两圆联立得直线方程，
可判断D.
【详解】如图，由圆C： ，可知圆心 ，半径 ．
对于A，圆心 到直线l： 的距离为 ，
则圆上任意一点到直线l的距离的取值范围为 ．
而 ，所以圆C上有两个点到直线l的距离为 ．故A错误．
对于B，由圆的性质可得切线长 ，
所以当 最小 时， 最小．故B正确．
对于C，四边形ACBP的面积 ，，而 ，故 ．故C正确．
对于D，设 ，因为PA，PB为过点P的圆C的切线，
所以点A，B在以PC为直径的圆D上．
圆D上任意一点 满足 ，
则以PC为直径的圆为 ，
即 ，与圆C： 联立，
两式相减得直线AB的方程为 ．
由 得 即直线AB恒过定点 ．故D正确．
故选：BCD.
7．（2023·广西·模拟预测）已知圆 ： ，点 为直线 ： 上一动点，点 在圆 上，
以下四个命题表述正确的是（ ）
A．直线 与圆 相离
B．圆 上有2个点到直线 的距离等于1
C．过点 向圆 引一条切线 ，其中 为切点，则 的最小值为
D．过点 向圆 引两条切线 、 ， 、 为切点，则直线 经过点
【答案】ABD
【分析】A、B应用点线距离公式求圆心 到直线 的距离，结合圆的半径，判断直线与圆
的位置及点到直线 的距离等于1的个数；C由圆切线性质求最小切线长；D设点P(x ,y )，写出以 为
0 0直径的圆，结合已知圆求公共弦 的方程为 ，进而求定点即可判断.
【详解】A：圆 ： 的圆心 ，半径 ，
圆心 到直线 的距离 ，所以直线与圆相离．正确；
B：圆心 到直线 的距离 ，
所以 ，则圆 上有2个点到直线 的距离等于1，正确；
C：由切线的性质知， 为直角三角形， ，
当且仅当 与直线 垂直时等号成立，所以 的最小值为 ，错误；
D：设点P(x ,y )， ， ，所以四点 ， ， ， 共圆，
0 0
以 为直径，圆心为 ，半径 ，圆的方程为 ，
又圆 ： ，两圆相减得 ，所以直线 的方程为 ，
因为点P(x ,y )在直线 上，所以 ，
0 0
所以 ，整理得 ，
由 ，得 ，所以直线 过定点 ，正确．
故选：ABD
三、填空题
8．（23-24高三上·湖南衡阳·阶段练习）写出与圆 和圆 都相切的一
条直线的方程 .【答案】 或 或 （答案不唯一）
【分析】根据两圆方程可得两圆相离，且关于原点对称，两圆半径相等，所以有过原点的两条公切线和与
平行的两条公切线，利用点到直线距离即可求出结果.
【详解】由题设知，圆 的圆心为 ，半径为 ，
圆 的圆心为 ，半径为 ，
所以 ，即两圆外离，故共有4条公切线；
又易知 关于原点对称，且两圆半径相等，则有过原点的两条公切线和与 平行的两条公切线.
设过原点的公切线为 ，则 ，即 ，解得 或 ，
所以公切线为 或 ；
设与 平行的公切线为 ，且M，N与公切线距离都为1，
则 ，即 ，
所以公切线为 .
故答案为： 或 或
9．（23-24高二上·河北石家庄·阶段练习）过点P向圆 作切线，切点为A，过点
P向圆 作切线，切点为B，若 ，则动点P的轨迹方程为
【答案】
【分析】求出圆 的圆心坐标及半径，再利用切线的性质结合已知求解即得.
【详解】圆 的圆心 ，半径 ，
圆 的圆心 ，半径 ，
设点 ，因为 分别切圆 ，圆 于点 ，且 ，
于是 ，则 ，
整理得 ，所以动点P的轨迹方程为 .
故答案为：
10．（23-24高三上·重庆沙坪坝·阶段练习）已知圆 ，过直线 上一动
点P作圆C的两条切线，切点分别为A，B，则 的最小值为 ．【答案】
【分析】首先利用图形，解决向量的运算，再利用|PC|的最小值，即可求解.
【详解】如图，连结 ， ， ， 和 交于点 ，
，
因为 ，所以 ,
设 ，易知其在(0,+∞)为增函数，
则|PC|的最小值为圆心 到直线 的距离 ，
所以 的最小值为 ，那么 的最小值为 .
故答案为：
1．（2024·全国·高考真题）（多选）抛物线C： 的准线为l，P为C上的动点，过P作
的一条切线，Q为切点，过P作l的垂线，垂足为B，则（ ）
A．l与 相切
B．当P，A，B三点共线时，
C．当 时，
D．满足 的点 有且仅有2个
【答案】ABD
【分析】A选项，抛物线准线为 ，根据圆心到准线的距离来判断；B选项， 三点共线时，先
求出 的坐标，进而得出切线长；C选项，根据 先算出 的坐标，然后验证 是否成立；D选项，根据抛物线的定义， ，于是问题转化成 的 点的存在性问题，此时考察
的中垂线和抛物线的交点个数即可，亦可直接设 点坐标进行求解.
【详解】A选项，抛物线 的准线为 ，
的圆心 到直线 的距离显然是 ，等于圆的半径，
故准线 和 相切，A选项正确；
B选项， 三点共线时，即 ，则 的纵坐标 ，
由 ，得到 ，故 ，
此时切线长 ，B选项正确；
C选项，当 时， ，此时 ，故 或 ，
当 时， ， ， ，
不满足 ；
当 时， ， ， ，
不满足 ；
于是 不成立，C选项错误；
D选项，方法一：利用抛物线定义转化
根据抛物线的定义， ，这里 ，
于是 时 点的存在性问题转化成 时 点的存在性问题，
， 中点 ， 中垂线的斜率为 ，
于是 的中垂线方程为： ，与抛物线 联立可得 ，
，即 的中垂线和抛物线有两个交点，
即存在两个 点，使得 ，D选项正确.
方法二：（设点直接求解）
设 ，由 可得 ，又 ，又 ，
根据两点间的距离公式， ，整理得 ，
，则关于 的方程有两个解，
即存在两个这样的 点，D选项正确.故选：ABD
2．（2023·全国·高考真题）过点 与圆 相切的两条直线的夹角为 ，则 （ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【分析】方法一：根据切线的性质求切线长，结合倍角公式运算求解；方法二：根据切线的性质求切线长，
结合余弦定理运算求解；方法三：根据切线结合点到直线的距离公式可得 ，利用韦达定理结
合夹角公式运算求解.
【详解】方法一：因为 ，即 ，可得圆心 ，半径 ，
过点 作圆C的切线，切点为 ，
因为 ，则 ，
可得 ，
则 ，
，
即 为钝角，
所以 ；
法二：圆 的圆心 ，半径 ，
过点 作圆C的切线，切点为 ，连接 ，
可得 ，则 ，
因为且 ，则 ，
即 ，解得 ，
即 为钝角，则 ，
且 为锐角，所以 ；
方法三：圆 的圆心 ，半径 ，
若切线斜率不存在，则切线方程为x=0，则圆心到切点的距离 ，不合题意；
若切线斜率存在，设切线方程为 ，即 ，
则 ，整理得 ，且
设两切线斜率分别为 ，则 ，
可得 ，
所以 ，即 ，可得 ，
则 ，
且 ，则 ，解得 .
故选：B.
3．（2022·全国·高考真题）写出与圆 和 都相切的一条直线的方程
．
【答案】 或 或
【分析】先判断两圆位置关系，分情况讨论即可.
【详解】[方法一]：
显然直线的斜率不为0，不妨设直线方程为 ，于是 ，
故 ①， 于是 或 ，
再结合①解得 或 或 ，
所以直线方程有三条，分别为 ， ，
填一条即可
[方法二]：
设圆 的圆心 ，半径为 ，
圆 的圆心 ，半径 ，
则 ，因此两圆外切，
由图像可知，共有三条直线符合条件，显然 符合题意；
又由方程 和 相减可得方程 ，
即为过两圆公共切点的切线方程，
又易知两圆圆心所在直线OC的方程为 ，
直线OC与直线 的交点为 ，
设过该点的直线为 ，则 ，解得 ，
从而该切线的方程为 填一条即可
[方法三]：
圆 的圆心为 ，半径为 ，
圆 的圆心 为 ，半径为 ，
两圆圆心距为 ，等于两圆半径之和，故两圆外切，如图，
当切线为l时，因为 ，所以 ，设方程为
O到l的距离 ，解得 ，所以l的方程为 ，
当切线为m时，设直线方程为 ，其中 ， ，
由题意 ，解得 ，
当切线为n时，易知切线方程为 ，
故答案为： 或 或 .
4．（2021·天津·高考真题）若斜率为 的直线与 轴交于点 ，与圆 相切于点 ，则
．
【答案】
【分析】设直线 的方程为 ，则点 ，利用直线 与圆 相切求出 的值，
求出 ，利用勾股定理可求得 .
【详解】设直线 的方程为 ，则点 ，
由于直线 与圆 相切，且圆心为 ，半径为 ，
则 ，解得 或 ，所以 ，因为 ，故 .
故答案为： .
5．（2021·全国·高考真题）（多选）已知点 在圆 上，点 、 ，则
（ ）
A．点 到直线 的距离小于
B．点 到直线 的距离大于
C．当 最小时，
D．当 最大时，
【答案】ACD
【分析】计算出圆心到直线 的距离，可得出点 到直线 的距离的取值范围，可判断AB选项的正误；
分析可知，当 最大或最小时， 与圆 相切，利用勾股定理可判断CD选项的正误.
【详解】圆 的圆心为 ，半径为 ，
直线 的方程为 ，即 ，
圆心 到直线 的距离为 ，
所以，点 到直线 的距离的最小值为 ，最大值为 ，A选项正确，B选项错误；
如下图所示：
当 最大或最小时， 与圆 相切，连接 、 ，可知 ，
， ，由勾股定理可得 ，CD选项正确.
故选：ACD.
【点睛】结论点睛：若直线 与半径为 的圆 相离，圆心 到直线 的距离为 ，则圆 上一点 到直线
的距离的取值范围是 .
6．（2020·全国·高考真题）已知⊙M： ，直线 ： ， 为 上的动点，
过点 作⊙M的切线 ，切点为 ，当 最小时，直线 的方程为（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意可判断直线与圆相离，根据圆的知识可知，四点 共圆，且 ，根据
可知，当直线 时， 最小，求出以 为直径的圆的方程，根
据圆系的知识即可求出直线 的方程．
【详解】圆的方程可化为 ，点 到直线 的距离为 ，所以直线
与圆相离．
依圆的知识可知，四点 四点共圆，且 ，所以
，而 ，
当直线 时， ， ，此时 最小．
∴ 即 ，由 解得， ．
所以以 为直径的圆的方程为 ，即 ，
两圆的方程相减可得： ，即为直线 的方程．
故选：D.
【点睛】本题主要考查直线与圆，圆与圆的位置关系的应用，以及圆的几何性质的应用，意在考查学生的
转化能力和数学运算能力，属于中档题．
