第09 讲 抛物线定点，定值，定直线
目 录
知识要点.........................................................................................................................................................2
题型归纳.........................................................................................................................................................6
题型01：抛物线定点问题...............................................................................................................................6
（一）抛物向上两个动点，衍生直线过定点.............................................................................................6
（二）满足斜率，向量，长度关系定值过定点.........................................................................................9
（三）圆过定点.....................................................................................................................................13
（四）切线相关定点..................................................................................................错误！未定义书签。
（五）参数，坐标变换类过定点............................................................................................................17
题型02：抛物线定直线问题......................................................................................................................... 19
题型03：抛物线定值问题.............................................................................................................................24
（一） 斜率定值...................................................................................................................................24
（二） 斜率和，积定值........................................................................................................................ 26
（三） 距离及距离关系定值................................................................................................................. 28
（四） 面积定值...................................................................................................................................31
（五） 参数定值...................................................................................................................................34
（六） 向量定值...................................................................................................................................36
知识点一：抛物线定点问题
一、考情分析
1.定点问题是高考圆锥曲线高频难点，抛物线定点分为两类核心题型：
①动直线恒过定点（高考主流大题）；
②动点恒落在定点 / 定直线上。
2.核心解题逻辑：变量动态变化，但定点坐标恒定不变，通过参数表示直线方程，分离参数，令参数系数全部
为 0，解出定点坐标。
二、必备基础公式与结论
1.抛物线标准方程（开口向右）y²=2px (p>0) 焦点 F (p/2,0)，准线直线 x=-p/2
2.设抛物线上两点 A (x₁,y₁)，B (x₂,y₂)，满足 y₁²=2px₁，y₂²=2px₂。
3.直线最优设法（规避斜率不存在讨论）设直线：x=ty+m （t 代表斜率倒数；m 是直线与 x 轴交点横坐标，
可覆盖垂直 x 轴所有直线）。
4.联立方程 + 韦达定理（通用万能式）
联立方程组消去 x 得一元二次方程： y²-2pty-2pm=0
判别式：Δ=4p²t²+8pm>0
韦达定理：y₁+y₂=2pt y₁y₂=-2pm
推论：两点横坐标乘积 x₁x₂=(y₁y₂)²÷4p²=m²
抛物线两点式直线简化结论：过抛物线上 A、B 两点的直线满足：y₁y₂=p (x+x₁)
推导思路：两点方程作差求斜率 k AB=2p÷(y₁+y₂)，再用点
斜式化简。
三、定点问题两大通用解法
解法 1：参数分离法（大题标准解法）
步骤：
S1.设出动直线，引入参数 t、m、k；
S2.根据垂直、斜率定值、向量数量积等题干条件，推导出参数之间的等量关系；
S3.整理直线方程，写成：M (x,y)・t + N (x,y) = 0；
S4.等式对任意参数恒成立，等价于方程组：
M (x,y)=0
N (x,y)=0
S5.解方程组得到定点坐标。
解法 2：特殊点探路法（选择填空提速）
步骤：
S1.选取两条特殊位置的动直线，求出两条直线交点；
S2.代数证明所有动直线均经过该交点。
四、高频定点模型（直接套用）
模型 1：原点处两条互相垂直的弦
抛物线 y²=2px，OA 垂直 OB，直线 AB 恒过定点 (2p,0)。
模型 2：x 轴定点弦对称等角模型
若直线过 M (m,0) 交抛物线于 A、B，则 x 轴上点 R (-m,0) 满足∠ARM=∠BRM；
逆命题成立：若∠ARM=∠BRM，则直线 AB 过 (m,0)。
模型 3：焦点弦定点结论
焦点 F (p/2,0)，AB 为抛物线焦点弦，直线 AB：x=ty+p/2，韦达 y₁y₂=-p²；
A 关于 x 轴对称点为 A'，直线 A'B 恒过原点 (0,0)。
知识点二：抛物线定直线问题
一、考情解读
抛物线定直线问题是圆锥曲线常考题型，分为两大类：
①动点恒在某条定直线上（核心大题）；
②动切点、动交点、动垂线交点落在固定直线；
核心思路：设点设参，利用抛物线方程、韦达定理消参，消去参数后得到 x、y 恒满足的一次方程，即为定直线。
二、前置必备知识点
1.标准抛物线：y²=2px (p>0),抛物线上任一点 P (x₀,y₀) 满足 y₀²=2px₀
2.点差求斜率
A (x₁,y₁)、B (x₂,y₂) 在抛物线上：y₁²=2px₁，y₂²=2px₂ 两式作差：(y₁-y₂)(y₁+y₂)=2p (x₁-x₂)
直线 AB 斜率 k=
2 p
y ₁+ y ₂
3.切线方程（高频考点）
抛物线 y²=2px 在点 P (x₀,y₀) 处切线：y₀y=p (x+x₀)
4.直线通用设元：x=ty+m，规避斜率不存在讨论
联立抛物线得 y²-2pty-2pm=0
韦达：y₁+y₂=2pt，y₁y₂=-2pm
三、定直线两大通用解题方法
方法 1：消参法（通用大题解法）
步骤：
S1.设动点坐标、引入参数 t/m/k；
S2.根据题干垂直、切线、向量、斜率条件，写出动点横纵坐标关于参数的表达式；
S3.联立 x、y 表达式，消去所有参数，得到只含 x、y 的等式；
S4.若等式为一次方程 Ax+By+C=0，该直线即为定直线。
方法 2：特殊点预判法（选择填空快速判定）
步骤：
S1.取两组特殊参数，算出两个动点坐标；
S2.两点确定一条直线，写出直线方程；
S3.代数证明所有动点均满足该直线方程。
四、三大经典定直线模型（直接套用结论）
模型 1：抛物线两条切线交点在定直线（极点极线）
抛物线 C：y²=2px，过直线 x=-m 上任意一点 M 作抛物线两条切线 MA、MB，则切点弦 AB 恒过定点；
逆命题：若动直线 AB 过定点 M (m,0)，则 A、B 两点处切线交点恒在定直线 x=-m 上。
模型 2：焦点弦两端点切线交点在准线上
抛物线 y²=2px，AB 为过焦点 F ( p
2 ,0) 的焦点弦，分别过 A、B 作切线，两条切线交点恒在准线 x=- p
2 上。
推论：焦点弦端点切线互相垂直。
模型 3：垂直条件下动点轨迹为定直线
过原点作互相垂直两条直线交抛物线于 A、B，过 A、B 切线交点落在定直线 x=-2p。
知识点三：抛物线定值问题
一、考情分析
抛物线定值问题是高考圆锥曲线必考题型，核心特征：直线、点在运动变化，但某线段长度、斜率乘积 / 和、
向量数量积、比值、距离等数值始终不变，即为定值。
1.三大考查方向：
①坐标代数式定值（x₁x₂、y₁y₂、x₁+x₂ 等）
②斜率关系定值（k₁・k₂、k₁+k₂）
③线段、向量、距离、面积比值定值
2. 核心解题思路：设参→联立→韦达代入→化简消去参数，结果不含参数即为定值。
三、前置基础储备
1. 基础抛物线方程
标准开口向右：y²=2px (p>0)
焦点 F (p/2 , 0)，准线 x=- p
2
抛物线上两点 A (x₁,y₁)、B (x₂,y₂)，满足 y₁²=2px₁，y₂²=2px₂
2. 直线通用设法（避斜率不存在）
设直线 AB：x=ty+m
联立抛物线消 x：y²-2pty-2pm=0
判别式 Δ=4p²t²+8pm
韦达定理（核心公式）：
y₁+y₂=2pt
y₁y₂=-2pm
推论：x₁x₂=(y₁y₂)²/(4p²)=m²
3. 切线与斜率公式
抛物线上两点连线斜率：k AB=2p/(y₁+y₂)
点 P (x₀,y₀) 处切线：y₀y=p (x+x₀)
三、定值通用两大解法
解法 1：韦达代入消参法（大题标准解法）
步骤：
S1.设动点、动直线，引入参数 t、m；
S2.联立抛物线写出 y₁+y₂、y₁y₂；
S3.把要求定值的式子全部用 x₁、x₂、y₁、y₂ 表示；
S4.全部替换为韦达定理表达式，展开化简；
S5.化简后参数全部抵消，剩余常数即为定值。
解法 2：特殊值预判法（选填提速）
步骤：
S1.取两条特殊位置直线，分别计算目标代数式的值；
S2.若两次结果相等，预判该常数为定值；
S3.再用韦达代数证明一般情况恒为此值。
四、四大高频定值模型（直接背诵结论）
模型 1：焦点弦经典定值（最高频）
抛物线 y²=2px，AB 为过焦点 F (p/2,0) 的焦点弦，直线 AB：x=ty+ p
2
联立得 y₁y₂=-p²（定值）
推论 1：x₁x₂= p²
4 （定值）
推论 2：1/|AF| + 1/|BF| = 2/p（定值，焦点弦倒数和）
推论 3：A、B 在准线投影为 A₁、B₁，则∠A₁FB₁=90°
模型 2：过 x 轴定点弦的斜率定值
直线过 M (a,0) 交抛物线 y²=2px 于 A、B，则 kOA・kOB= −2 p
a
（定值）
特例：过原点垂直弦 OA⊥OB，直线 AB 过 (2p,0)，对应 x₁x₂+y₁y₂=0 恒成立。
模型 3：切线相关定值
焦点弦两端切线互相垂直，斜率乘积 =-1（定值）
动直线过 M (m,0)，两点切线交点 P，直线 OP 斜率与 AB 斜率乘积为定值。
模型 4：坐标对称斜率和定值
抛物线上定点 P，直线 PA、PB 斜率之和为 0，则 k AB为定值。
题型01：抛物线定点问题
（一）抛物向上两个动点，衍生直线过定点
【典型例题1】在平面直角坐标系
中，已知圆心为点
的动圆恒过点
，且与直线
相切，设动圆的
圆心
的轨迹为曲线
．
(1)求曲线
的方程；
(2)过
轴上点
的直线与
相切于点
，过
且垂直于的直线交
于
两点，
为线段
的中点，证明：
直线
过定点．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由抛物线的定义求解即可；
（2）设直线的方程为
，联立直线与抛物线的方程，由与
相切可得
可求出
，再由
“点差法”求出
，分类讨论直线
的斜率不存在和存在可求出直线
的方程，即可求出直线
过的定点.
【详解】（1）依题意，圆心
的轨迹是以
为焦点，直线
为准线的抛物线，
所以曲线
的方程为
．
（2）设直线的方程为
，
与
的方程联立，得
，
当与
相切时，
，则
，
代入
可得：
，故
．
直线
的方程为
，与
的方程联立得
．
设
，则
，
，
所以
，
所以
．
当直线
的斜率不存在时，
，解得
，
此时直线
的方程为
．
当直线
的斜率存在时，
的方程为
，
由抛物线的对称性，可知定点在
轴上，
令
，则
，
所以
，所以直线
过定点
．
综上，直线
过定点
．
【变式训练1-1-1】已知抛物线
的焦点为F，抛物线上的点P 的横坐标为2，且
．
(1)求抛物线的标准方程；
(2)过点F 的直线l 交抛物线于A，B 两点，设点
，设直线EA，EB 分别与抛物线交于另一点C，D，求证：直
线CD 过定点，并求出定点坐标．
【变式训练1-1-2】直线过抛物线
的焦点
，且与抛物线交于
两点，若线段
的长是
的中点到
轴的距离是2.
(1)求抛物线
的方程；
(2)过点
作两条互相垂直的直线
和
，分别交曲线
于点
和
.设线段
的中点分别为
，
求证：直线
过定点；
【变式训练1-1-3】已知抛物线
的焦点为F，直线
与W 相切．
(1)求W 的方程．
(2)过点F 且与
平行的直线
与W 相交于M、N 两点，求
．
(3)已知点
，不垂直于x 轴的直线l 与抛物线W 交于A、B 两点，若直线AQ、BQ 关于x 轴对称，求证：直
线l 过定点并写出定点坐标．
【变式训练1-1-4】已知抛物线
的焦点为
，过点
且与
轴不垂直的直线与
交于
两点，且点
与点
关于
轴对称.
(1)若
，点
的坐标为
，求
的值；
(2)若
，求
的值；
(3)证明：直线
恒过定点.
【变式训练1-1-5】已知抛物线C：
经过点
，C 的焦点F 在x 轴的正半轴上，点A，B 在C 上
运动．
(1)求C 的方程．
(2)若直线AB 的方程为
，求
内切圆的半径r．
(3)设点
，且EF 平分
，试问直线AB：
是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，
请说明理由．
【变式训练1-1-6】已知抛物线
与双曲线
的渐近线在第一､四象限的交点分别为P，
，且
.
(1)求抛物线
的方程；
(2)过点
的直线与抛物线
相交于
两点，
关于
轴的对称点为
.
（i）若
，求直线的方程.
（ii）证明：直线
必过定点.
【变式训练1-1-7】已知抛物线
的焦点为
为坐标原点，抛物线上存在点
到
和
的距离都等于
．
(1)求抛物线的方程；
(2)过点
的直线交抛物线于
两点，直线
与抛物线相交于另一点
，直线
与抛物线相交于另一点
．
（Ⅰ）求证：
；
（Ⅱ）求证：直线
经过定点．
【变式训练1-1-8】已知M，m 分别为五个实数
的最大值和最小值.若从这五个数中去掉
后，求得
它们的平均数为90.5.若从这五个数中去掉
后，求得它们的平均数为91.记
(1)求焦点为
，准线方程为
的抛物线
的标准方程；
(2)在（1）的条件下，若点
为
上一点，A，B 为
上异于点
的两个动点，且
，求证：直线
恒
过定点.
【变式训练1-1-9】已知F 为抛物线C : y
2=2 px( p>0)的焦点，点M 在抛物线C 上，O 为坐标原点，△OFM的外
接圆与抛物线C 的准线相切，且该圆周长为3 π．
(1)求抛物线C 的方程；
(2)设A(1,2)，B 是抛物线C 上一点，且xB≠1，直线AB与直线y = x−1交于点Q，过点Q 作y轴的垂线交抛物线
C 于点N，证明：直线BN恒过一定点，并求出该定点的坐标．
（二）满足斜率，向量，长度关系定值过定点
【典型例题1】已知抛物线
的焦点为
，点
在直线
上，
是抛物线
上两个不同的
点.
(1)求抛物线
的方程；
(2)设直线
的斜率为
，若
，证明：直线
过定点，并求定点坐标.
【答案】(1)
(2)证明见解析，
【分析】（1）根据抛物线焦点坐标求解即可；
（2）法一：设
所在直线方程为
，联立
，根据韦达定理代入
求
解即可；
法二：先讨论当直线
的斜率不存在时，直线
过点，再分析当直线
的斜率存在时，设
所在直线方程为
，联立
，再根据
求解即可.
【详解】（1）
的焦点在
轴上，为
，
直线
与
轴的交点坐标为
，
则
，即
所以抛物线为
（2）法一：由题意可知
所在直线斜率不为0，
设
所在直线方程为
，联立
，化简可得：
，
则
，
又
则
，满足（*）式
即直线
恒过点
法二：当直线
的斜率不存在时，设
，
所以
，所以
，所以直线
的方程为
；
当直线
的斜率存在时，设
所在直线方程为
，联立
，化简可得：
，
由题意可知
即
（*）；
由韦达定理知
，
所以
，
所以
，满足（*）式；
所以
所在直线方程为
综上，直线
恒过点
【变式训练1-2-1】已知抛物线
的焦点为
，点
在抛物线上，点
的横坐标为1，且
是抛物线上异于坐标原点
的两点．
(1)求抛物线的标准方程；
(2)若直线
、
的斜率之积为－4，求证：直线
恒过定点，并求出该定点坐标．
【变式训练1-2-2】已知动圆过定点
，且与直线
相切，其中
.
(1)求动圆圆心
的轨迹方程；
(2)设
，
是轨迹
上异于原点
的两个不同点，若以
为直径的圆恰好过
点，证明直线
恒过定点，并求
出该定点坐标；
(3)设
，
是轨迹
上异于原点
的两个不同点，直线
和
的倾斜角分别为
和
，当
时，证明
直线
恒过定点，并求出该定点坐标.
【变式训练1-2-3】已知点
到点
的距离比它到直线
的距离小．
(1)求点
的轨迹方程；
(2)
为坐标原点，点
，
在曲线
上，设直线
且
.
（i）证明：直线
过定点；
（ii）若直线
的斜率大于
，且
的面积为
，求直线
的方程.
【变式训练1-2-4】已知定点F (1,0)，定直线l: x =−1，动圆M过点F，且与直线l相切．
(1)求动圆的圆心M所在轨迹C的方程；
(2)已知点P(t ,−1)是轨迹C上一点，点A ,B是轨迹C上不同的两点（点A ,B均不与点P重合），设直线AP ,BP的
斜率分别为k1、k2，且满足k1+k2=−8
5 ，证明：直线AB过定点，并求出定点的坐标．
【变式训练1-2-5】已知F 是抛物线C：y
2=2 px ( p>0)的焦点，M (3,t )是抛物线上一点，且|MF|= 4.
(1)求抛物线C 的方程；
(2)直线l 与抛物线C 交于A，B 两点，若⃗OA ⋅⃗OB =−4（O 为坐标原点），则直线l 否会过某个定点？若是，求出
该定点坐标.
【变式训练1-2-6】已知抛物线
：
（
）的焦点
到直线
的距离为
，不过原点的直线与
交于
，
两点.
(1)求
的标准方程；
(2)若直线的方程为
，求
；
(3)若
垂直于
，求证：直线过定点；
【变式训练1-2-7】已知抛物线
的焦点为
，
的准线与
轴交于点
，
.
(1)求
的方程.
(2)已知
为坐标原点，直线
交
于
，
两点.
（ⅰ）证明：
.
（ⅱ）若
，证明：过定点
.
【变式训练1-2-8】已知抛物线
，斜率为
的直线交
于
两点，且线段
中点纵坐标为
4．
(1)求抛物线
的方程；
(2)若直线不过点
，且直线
交
于另一点
，记直线
的斜率为
，
（i）求证：
；
（ii）求证：直线
过定点．
【变式训练1-2-9】已知点
，点P 在y 轴上，点Q 在x 轴上，且满足
．
(1)当点P 在y 轴上移动时，求点M 的轨迹
的方程；
(2)设点
为轨迹
内一定点，过E 作斜率分别为
的两条直线交轨迹
于点A，B 和C，D，且S，T 分别是
线段AB，CD 的中点．
（i）当
且
时，求
面积的最小值；
（ⅱ）若
（
为常数），证明：直线ST 过定点．
（三）圆过定点
【典型例题】已知抛物线
的焦点为F，准线为l.
(1)写出以坐标轴为对称轴、F 为焦点、离心率为
的椭圆的标准方程；
(2)设l 与x 轴的交点为E，点P 在第一象限，且在
上，若
，求直线EP 的方程；
(3)经过点F 且斜率为
的直线
与
相交于A、B 两点，O 为坐标原点，直线OA、OB 分别与l 相交于点M、
N.试探究：以线段MN 为直径的圆C 是否过定点，若是，求出定点的坐标；若不是，说明理由.
【答案】(1)
(2)
(3)是，
和
【分析】（1）先求抛物线的焦点坐标，再根据题意求椭圆的
，即可得解；
（2）解法一：设点
，根据题意可得点P 的轨迹方程为
，从而求出点P 的坐标，可得解直
线方程；
解法二：根据抛物线的定义进行转化分析可得
，进而可得直线EP 的倾斜角与斜率，利用点斜式求直线
方程；
（3）设直线
的方程及A，B 两点的坐标，进而可求M，N 两点的坐标，结合韦达定理求圆C 的圆心及半径，根据
圆C 的方程分析判断定点.
【详解】（1）
，设椭圆的长半轴长为a，短半轴长为b，
因为离心率为
，所以
，得
，
.
所以椭圆的标准方程为
.
（2）解法一：
的准线方程为
，
设点
，因为
，
所以
，得
，
因为
，所以
，所以
，
因为P 在第一象限，所以点P 的坐标为
.
所以直线EP 的斜率为
，直线EP 的方程为
.
解法二：
的准线方程为
，
过点P 作
的准线的垂线，垂足为M,
，
因为
，所以
，
因为P 在第一象限，所以直线EP 的倾斜角为
.
所以直线EP 的方程为
.
（3）设点
.
由已知直线
的方程为
.
将
代入抛物线方程得
.
所以
.
因为直线OA 的方程为
，直线OB 的方程为
，
令
，得M，N 的纵坐标分别为
.
得到圆C 方程为
.
因为
，所以整理得
.
令
，得
或
.
所以圆C 过定点
和
.
【变式训练1-3-1】已知过点P(2,0)的直线l与抛物线E: y
2=2 p x
❑( p>0)交于A ,B两点，过线段AB的中点M
作直线MN ⊥y轴，垂足为N，且PM ⊥PN.
(1)求抛物线E的方程；
(2)若C为E上异于点A ,B的任意一点，且直线AC ,BC与直线x =−2交于点D , R，证明：以DR为直径的圆过定点.
【典型例题】已知椭圆
的离心率为
，长轴长为4，抛物线
的焦点F
与椭圆C 的上顶点重合．
(1)求椭圆C 和抛物线E 的方程；
(2)设点M 是抛物线E 准线上一个动点，过点M 作抛物线E 的两条切线，切点分别为A，B．求证：
（i）直线AB 过定点，并求该定点的坐标；
（ii）以线段AB 为直径的圆与抛物线E 的准线相切于点M．
【答案】(1)
，
(2)（i）证明见解析，
；（ii）证明见解析
【分析】（1）由题意列方程求得
可得椭圆方程，进一步求得
可得抛物线方程；
（2）（i）由题意可设可设
，分析得知直线
的方程为
，令
即可得证；
（ii）联立
得
，结合韦达定理，焦点弦公式表示出
以及
中点
的坐标，只需
证明
即可.
【详解】（1）由题
，解得
，
∴椭圆
的方程为
，其上顶点坐标为
，
∴
，即
．
∴抛物线
的方程为
．
（2）
由（1）知，抛物线
的准线方程为
，
∴可设
，
（i）由
得
，且
．
又
，
∴抛物线
在
处的切线方程为
，即
．
在切线
上，
①，
同理可得
②，
由①②得直线
的方程为
，
令
，则
，
所以直线
恒过抛物线
的焦点
．
（ii）联立
得
，
∴
，
则线段AB 的中点为
，
，
又
，
∴MN 与抛物线E 的准线垂直，且
，
故以线段AB 为直径的圆与抛物线E 的准线相切于点M．
【变式训练1-4-1】已知抛物线
的焦点F 关于直线
的对称点为
，在抛物线E 上有三
点A，B，C，点A 在y 轴左侧，点B，C 在y 轴右侧且点B 在曲线段AC 上，过三点A，B，C 作E 的切线
，
与
分别交于点P 和Q，直线
与
交于点M．
(1)求E 的方程；
(2)若直线AC 过点F，证明：点Q 在定直线上；
(3)若
是以MQ 为底的等腰三角形，证明：直线PC 过定点，
【变式训练1-4-2】已知抛物线
的焦点F 关于直线
的对称点为
，在抛物线E 上有三
点A，B，C，点A 在y 轴左侧，点B，C 在y 轴右侧且点B 在曲线段AC 上，过三点A，B，C 作E 的切线
，
与
分别交于点P 和Q，直线
与
交于点M．
(1)求E 的方程；
(2)若直线AC 过点F，证明：点Q 在定直线上；
(3)若
是以MQ 为底的等腰三角形，证明：直线PC 过定点，
（五）参数，坐标变换类过定点
【典型例题】已知动圆过定点
(0,2)
P
，且在x 轴上截得的弦长为4，记动圆圆心的轨迹为曲线E.
(1)求曲线E 的方程；
(2)若直线l 与曲线E 相交于M，N 两点，且线段MN 的中点横坐标为1，求直线l 的斜率；
(3)将曲线E 绕原点顺时针旋转90
得到曲线
1
E
，定点
(1,0)
K
，
1
E
上有四点A，B，C，D，满足AC
BD
，AKC，
BKD 均三点共线.设线段AC 和BD 的中点分别为T，S，试判断：直线TS 是否会经过一个定点？若会，请求出这个定
点的坐标；若不会，请说明理由.
【答案】(1)
2
4
x
y
；
(2)
1
2 ；
(3)会，直线过点
3,0 .
【难度】0.4
【知识点】求抛物线的轨迹方程、抛物线中的直线过定点问题、抛物线的中点弦
【分析】（1）设动圆圆心为( , )
x y ，利用圆的弦长与半径关系列方程整理，即可得轨迹方程；
（2）设
1
1
2
2
(
,
),
(
,
)
M x
y
N x
y
，应用点差法得
1
2
1
2
1
2
4
l
x
x
y
y
k
x
x
，结合已知即可得；
（3）将曲线E 绕原点顺时针旋转90得到曲线
2
1 :
4
E
y
x
，设
并联立
1
E ，应用韦达定理及中点坐标
求出T 坐标，同理求S 坐标，分类讨论参数m 判断直线是否过定点即可.
【详解】（1）设动圆圆心为( , )
x y ，则有
2
2
2
2
2
2
(
(
2) )
y
x
y
，整理得
2
4
x
y
，故曲线E 的方程
2
4
x
y
；
（2）设
1
1
2
2
(
,
),
(
,
)
M x
y
N x
y
，则
2
1
1
2
2
2
4
4
x
y
x
y
，可得
1
2
1
2
1
2
(
)(
)
4(
)
x
x
x
x
y
y
，
所以
1
2
1
2
1
2
4
l
x
x
y
y
k
x
x
，即
1
2
lk
，故直线l 斜率为
1
2 ；
（3）将曲线E 绕原点顺时针旋转90得到曲线
2
1 :
4
E
y
x
，则
(1,0)
K
为
1
E 的焦点，
由题意，直线
,
AC BD
的斜率都存在且不为0，设
1
:
A
x
C
my
，联立
2
4
y
x
，
所以
2
4
4
0
y
my
，设
3
3
4
4
(
,
),
(
,
)
A x
y
C x
y
，且
2
16
16
0
m
，
所以
3
4
4
y
y
m
，
3
4
4
y y ，则
3
4
2
2
T
y
y
y
m
，
2
1
2
1
T
T
x
my
m
，
所以
2
(2
1,2 )
T
m
m
，同理得
2
2
2
(
1,
)
S m
m
，
当
1
m
，则
2
2
2
2
2
2
1
2
ST
m
m
m
k
m
m
m
，则
2
2
2
:
(
2
1)
2
(
3)
1
1
m
m
ST
y
x
m
m
x
m
m
，即恒过定点
3,0
；
当
1
m ，则(3,2)
T
，(3, 2)
S
，显然直线ST 过点
3,0 ；
当
1
m ，则(3, 2)
T
，(3,2)
S
，显然直线ST 过点
3,0 ；
综上，直线ST 过定点
.
【变式训练1-5-1】如图，已知抛物线
，过点
作斜率为
，
的直线，
，分别交抛物线于点
，
与
，
．
(1)若点
是抛物线
上位于第一象限内一点，且其到焦点
的距离为2，求点
的坐标；
(2)若
，证明：
；
(3)若直线
过点
，请判断直线
是否过定点，若是，请求出此定点坐标；若不是，请说明理由．
【变式训练1-5-2】已知抛物线
，且过抛物线焦点
作直线交抛物线于
，
两点，弦长
最小值为4
(1)求抛物线
的方程；
(2)过点
作直线
交抛物线于点
，且直线
过定点
，连接直线
并交抛物线于点
，请问直线
是否经过定点，若是请求出定点坐标，若不是请说明理由.
题型02：抛物线定直线问题
【典型例题1】已知抛物线C : y
2=2 px ( p>0)的焦点为F，准线为l，记准线l 与x 轴的交点为A，过A 作直线交抛
物线C 于M (x1, y1)，N (x2, y2)(x2> x1)两点．
(1)若x1+ x2=2 p，求|MF|+|NF|的值；
(2)若M 是线段AN 的中点，求直线MN的方程；
(3)若P，Q 是准线l 上关于x 轴对称的两点，问直线PM 与QN 的交点是否在一条定直线上？请说明理由．
【答案】(1)|MF|+|NF|=3 p
(2)4 x−3 ❑√2 y +2 p=0
(3)在定直线上，理由见解析
【分析】（1）根据焦半径公式即可求出；
（2）设直线MN 的方程x =my −p
2 ，与抛物线联立即可利用M 是线段AN 的中点求出m，从而求出直线MN的方
程；
（3）设P(−p
2 , y0),Q(−p
2 ,−y0)，即可求出直线PM 与QN 的方程，联立即可解出交点，从而可以判断交点在
定直线上．
【详解】（1）根据题意，得
因为抛物线C : y
2=2 px ( p>0)，所以准线为l: x =−p
2 ，
所以|MF|+|NF|= x1+ p
2 + x2+ p
2 =3 p；
（2）由题意可知，直线MN的斜率不为0，故设直线MN的方程x =my −p
2 ，
联立y
2=2 px ( p>0)，消去x，可得y
2−2mpy + p
2=0，
所以Δ= 4 m
2 p
2−4 p
2>0，即m
2−1>0，y1+ y2=2mp，y1 y2= p
2，
而M 是线段AN 的中点，所以y1= y2
2
，故y2
2 ⋅y2= p
2，
解得y1=
❑√2
2 p, y2= ❑√2 p，故
❑√2
2 p+ ❑√2 p=2mp，解得m= 3 ❑√2
4
，
所以直线MN 的方程为x = 3 ❑√2
4
y −p
2
，即4 x−3 ❑√2 y +2 p=0；
（3）直线MN 的方程x =my −p
2 ，设P(−p
2 , y0),Q(−p
2 ,−y0)( y0≠0)，
则PM : y = y1−y0
x1+ p
2
(x + p
2)+ y0= y1−y0
m y1 (x + p
2)+ y0，QN : y = y2+ y0
x2+ p
2
(x + p
2)−y0= y2+ y0
m y2 (x + p
2)−y0，
联立消去y可得：y1−y0
m y1 (x + p
2)+ y0= y2+ y0
m y2 (x + p
2)−y0，即
y2( y1−y0)(x + p
2)+m y1 y2 y0= y1( y2+ y0)(x + p
2)−m y1 y2 y0，整理得：( y1+ y2)(x + p
2)=2m y1 y2，
将y1+ y2=2mp，y1 y2= p
2代入得2mp(x + p
2)=2m p
2，故x = p
2 ，，
所以直线PM 与QN 的交点在定直线x = p
2 上．
【典型例题2】如图，已知抛物线C : y
2=2 px ( p>0)的焦点为F，过点F 的直线l 交抛物线C 于A，B 两点，动点P
满足△PAB 的垂心为原点O.当直线l 的倾斜角为30°时，|AB|=16.
(1)求抛物线C 的标准方程；
(2)求证：点P 在定直线上.
【答案】(1)y
2= 4 x
(2)证明见解析
【分析】（1）根据抛物线的定义及韦达定理可求解；
（2）根据垂心建立斜率之间的关系，从而得到直线PA , PB，两直线联立得到点P的坐标，结合韦达定理，从而可
得点P 在定直线上.
【详解】（1）设直线l 的方程为x =my + p
2 ，A(x1, y1)，B(x2, y2).
由¿得y
2−2 pmy −p
2=0.
所以y1+ y2=2 pm，y1⋅y2=−p
2.由抛物线定义，得
|AB|= x1+ x2+ p=m( y1+ y2)+2 p=2 p(m
2+1).
当直线l 的倾斜角为30°时，m=
1
tan30° = ❑√3，
|AB|=2 p(m
2+1)=8 p=16.
所以2 p= 4，即抛物线C 的标准方程为y
2= 4 x.
（2）由（1），得y1+ y2= 4 m，y1⋅y2=−4.
因为△PAB的垂心为原点O，所以OA ⊥PB，OB⊥PA.
因为k BO= y2
x2
，所以k AP=−x2
y2
.
所以直线AP 的方程为y −y1=−x2
y2
(x−x1)，即y =−y2
4 x + 3
4 y1.
同理可得，直线BP 的方程为y =−y1
4 x + 3
4 y2.
联立方程¿解得¿
即P(−3,3m).所以点P 在定直线x =−3上.
【变式训练2-1】如图，过点
作两条直线
和：
（
）分别交抛物线
于
，
和
，
（其中
，
位于
轴上方），直线
，
交于点
．则下列说法正确的（ ）
A．
，
两点的纵坐标之积为
B．点
在定直线
上
C．点
与抛物线上各点的连线中，
最短
D．无论
旋转到什么位置，始终有
【变式训练2-2】经过抛物线
的焦点
的直线交此抛物线于
，
两点，抛物线在
，
两点处的切线
相交于点
，则点
必定在直线 上．（写出此直线的方程）
【变式训练2-3】已知顶点在坐标原点
，焦点在
轴上的抛物线
过点
.
(1)求抛物线
的标准方程；
(2)过抛物线
的焦点
作直线交抛物线
于
、
两点，
（i）若点
在第一象限且
，求直线的方程；
（ii）若抛物线
在
、
两点处的切线交于点
，证明点
在某定直线上，并求出该定直线的方程.
【变式训练2-4】已知点F 为抛物线C : x
2=2 py( p>0)的焦点，点E(x0,2)在抛物线C 上，且| EF |= 4，直线
l: y = 1
2 x +1交抛物线C 于A，B 两点，O 为坐标原点．
(1)求抛物线C 的方程；
(2)若直线l
': y = 1
2 x +m(m≠1)交抛物线C 于M，N 两点，直线AM 与BN 交于点T，求证：点T 在定直线上．
【变式训练2-5】已知椭圆C : x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>0,b>0)过点(2,−1)，离心率为
❑√3
2
，抛物线y
2=−16 x的准线l交x
轴于点A，过点A作直线交椭圆C于M，N．
（1）求椭圆C的标准方程和点A的坐标；
（2）设P，Q是直线l上关于x轴对称的两点，问：直线PM与QN的交点是否在一条定直线上？请说明你的理由．
【变式训练2-6 】已知F 为抛物线C : x
2=2 py( p>0)的焦点，直线l: y =2 x +1与C 交于A ，B 两点且
| AF |+|BF |=20.
（1）求C 的方程.
（2）若直线m: y =2 x +t(t ≠1)与C 交于M，N 两点，且AM与BN相交于点T，证明：点T 在定直线上.
【变式训练2-7】已知抛物线
的顶点在坐标原点
处，对称轴为
轴，且过点
，
，
是
上两个动点．
(1)求抛物线
的标准方程；
(2)已知
是
焦点，若点
，
在以
（异于点
）为直径的圆上，求直线
的方程；
(3)已知
为直线
在第二象限内一点，直线
，
与抛物线
分别相切于
，
两点，设
，
与
轴分别
交于
，
两点，证明：直线
与直线
的交点在定直线上．
【变式训练2-8】在直角坐标系
中，点
到直线
的距离与点
到点
的距离相等，记动点
的
轨迹为曲线
．
(1)求曲线
的方程；
(2)已知经过点
的直线
与
交于
，
两点，且
．
（ⅰ）求直线
的方程；
（ⅱ）若经过点
的直线
（与
不重合）与
交于
，
两点，且
，
位于
轴同一侧，直线
与直线
相交于点
，证明：点
在定直线上．
【变式训练2-9】已知曲线
上的点到
的距离比它到
轴的距离大1.
（1）求曲线
的方程；
（2）过
作斜率为
的直线交曲线
于
､
两点；
①若
，求直线的方程；
②过
､
两点分别作曲线
的切线
､
，求证：
､
的交点恒在一条定直线上.
【变式训练2-10】已知抛物线
，直线
与
相交于
、
两个不同点，
在
轴左侧，且
．
(1)求抛物线
的方程；
(2)过抛物线
焦点
的直线与
相交于
、
两个不同点（异于
、
两点），
在
轴左侧．
①若直线的斜率为，求
的值；
②设直线
与
相交于点
，证明：点
在定直线上．
【变式训练2-11】已知抛物线
：
的准线方程为
.
(1)求
的方程.
(2)过点
且斜率为
的直线与
交于
，
两个不同的点，
为坐标原点.
（ⅰ）求
的取值范围；
（ⅱ）若
，求
的取值范围；
（ⅲ）过点
作
轴的垂线，交直线
于点
，证明：线段
的中点在一条定直线上.
【变式训练2-12】已知抛物线
的焦点为
，过点
且与
轴垂直的直线交
于
两点，且
.
(1)求抛物线
的方程；
(2)过焦点
的直线与抛物线
交于
两点（异于
两点），且
，
位于
轴同一侧，直线
与直线
相交于点
，证明：点
在定直线上.
【变式训练2-13】已知抛物线
，过抛物线上一点
作两条直线
分别交抛物线
于
两点，直线
的斜率分别为
，且
.
(1)求抛物线
的方程.
(2)证明：直线
过定点.
(3)记直线
经过的定点为
为直线
上一点（异于点
），且满足
，证明点
在某定直线上，
并求出该定直线的方程.
【变式训练2-14】设抛物线
的焦点为
，过点
的动直线与抛物线
交于
，
两点，
当
在上时，直线的斜率为
.
（1）求抛物线的方程；
（2）在线段
上取点
，满足
，
，证明：点
总在定直线上.
题型03：抛物线定值问题
（一）斜率定值
【典型例题】已知抛物线C：
，P 是C 上纵坐标为2 的点，以点P 为圆心，PO 为半径的圆（O 为原
点）交C 的准线l 于A，B 两点，且
.
(1)求抛物线C 的方程.
(2)过点P 作直线PM，PN 分别交C 于M，N 两点，且使∠MPN 的平分线与y 轴垂直，问：直线MN 的斜率是否为定
值？若为定值，求出该定值；若不为定值，试说明理由.
【解析】（1）将点
的纵坐标
代入
中，
解得
，
所以
，则点
到准线的距离为
，
所以
，
所以
，解得
，
所以抛物线
的方程为
；
（2）由题意可知直线
的斜率存在且不为0，倾斜角互补，则斜率互为相反数，
易知
，
设
，直线
，
则直线
，
由
整理得
，
其中
，解得
，
已知此方程一个根为1，
所以
，即
，
同理
，
所以
，
，
所以
，
所以
，所以直线
的斜率为定值
.
【变式训练3-1-1】已知
为抛物线
的焦点，
为坐标原点，
为
的准线上的一点，直线
的斜率为
，
的面积为4.
（1）求
的方程；
（2）抛物线
在
轴上方一点
的横坐标为
，过点
作两条倾斜角互补的直线，与曲线
的另一个交点分别为
、
，求证：直线
的斜率为定值.
（二）斜率和，积定值
【典型例题1】已知点
，过点
作直线l 与抛物线
相交于A，B 两点，设直线PA，PB 的斜率
分别为
，
，则
（ ）
A．
B．
C．2
D．无法确定
【解析】设直线方程为
，联立抛物线方程可得
，
设
，
，可得
，
则
故选：A
【典型例题2】已知抛物线C：y
2=2 px ( p>0)的焦点F 与椭圆x
2
4 + y
2
3 =1的右焦点重合，点M 是抛物线C 的准线
上任意一点，直线MA，MB 分别与抛物线C 相切于点A，B．
(1)求抛物线C 的标准方程及其准线方程；
(2)设直线MA，MB 的斜率分别为k1，k2，证明：k1⋅k2为定值．
【答案】(1)抛物线C 的标准方程为y
2= 4 x，准线方程为x =−1
(2)证明见解析
【分析】（1）求出椭圆的右焦点坐标可得p，从而求出抛物线C 的标准方程，准线方程；
（2）设过点M (−1,t )的直线方程为y =k (x +1)+t，与抛物线方程联立，利用相切得出Δ=0，可得k
2+tk −1=0，
再利用韦达定理可得答案.
【详解】（1）因为a
2= 4 ,b
2=3，所以c
2=a
2−b
2= 4−3=1，
所以c =1，可得椭圆x
2
4 + y
2
3 =1的右焦点为(1,0)，
可得抛物线C 的焦点为F (1,0)，∴p=2，
所以抛物线C 的标准方程为y
2= 4 x，准线方程为x =−1；
（2）由于点M 是抛物线C 的准线上任意一点，故可设M (−1,t )，
因为直线MA，MB 的分别与抛物线C 相切于点A，B 点可知直线MA，MB 的斜率存在，
且不为0，
设过点M (−1,t )的直线方程为y =k (x +1)+t，
联立¿，消去x得：k y
2−4 y + 4 k + 4 t =0，
其判别式Δ=16−16k (k +t )，令Δ=0，得k
2+tk −1=0，
由韦达定理知k1+ k2=−t，k1k2=−1，故k1⋅k2为定值－1．
【点睛】研究直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法分为两类：一、联立直线与圆锥曲线方程，运用判别式判断交
点个数从而得到两者的位置关系，这一方法基本固定，在范围问题中，判别式是提供参数范围的一个最常用的不等
式，十分重要；二、针对中点弦这一特殊问题的专用方法——点差法.
【变式训练3-2-1】已知抛物线
和直线
，点
为直线上的动点（不在
轴上），
以点
为圆心且过原点
的圆与直线交于
，
两点，若直线
，
与
的另一个交点分别为
，
，记直
线
，
的斜率分别为
，
，则
．
【变式训练3-2-2】已知
、
、
是抛物线
上三个不同的点，且抛物线的焦点
是
的重心，
若直线
、
、
的斜率存在且分别为
、
、
，则
（ ）
A．3
B．
C．1
D．0
【变式训练3-2-3】已知F 为抛物线
的焦点，
为C 上的一点，且
，斜率为
的直
线l 与C 交于A，B 两点，设直线
，
的斜率分别为
，
．
(1)求抛物线C 的方程；
(2)求证
为定值．
【变式训练3-2-4】已知抛物线
的焦点为
，点
在抛物线
上，且
．
(1)求抛物线
的方程；
(2)给出如下的定义：若直线与抛物线
有且仅有一个公共点
，且与抛物线
的对称轴不平行，则称直线为抛
物线
上点
的切线，公共点
称为切点．请你运用上述定义解决以下问题：
（i）证明：抛物线
上
点处的切线方程为
；
（ii）若过点
可作抛物线
的2 条切线，切点分别为
.证明：直线
的斜率之积为常数．
【变式训练3-2-5】已知抛物线
：
（
）的焦点为
，点
（
）在
上，
，斜
率为
的直线与
交于
，
两点．
(1)求
的方程；
(2)若
，求直线的方程；
(3)设直线
与
的斜率分别为
，
，证明：
为定值．
【变式训练3-2-6】已知抛物线
：
的焦点为
，过点
且与
轴垂直的直线交
于
两点，
且
.
(1)求抛物线
的方程，并写出
的焦点坐标和准线方程；
(2)过焦点
的直线与抛物线
交于
两点（异于
两点），且
位于
轴同一侧，直线
与
相交
于点
.
①证明：点
在定直线上，记该直线为
，求出
的方程；
②
，设直线
的斜率分别为
，证明：
.
（三）距离及距离关系定值
【典型例题1】已知抛物线
的焦点为
，点
在抛物线上（异于顶点），
（点
为坐标原点），
过点
作直线
的垂线与
轴交于点
，则
（ ）
A．6
B．
C．4
D．
【解析】法一：依题意，设
，由
，得
为
的中点且
，
则
，易得直线
的垂线
的方程为
.
令
，得
，故
，由抛物线的定义易知
，
故
，故选:A.
法二：特殊值法.不妨设
，则
，则
，易得直线
的垂线
的方程为
.令
，得
，故
，又
，故
.故选:A.
【典型例题2】已知抛物线C : y
2=2 px ( p>0)的焦点为F，点A (2,m)在抛物线上，且满足|AF|
|AO|=
❑√3
2 ，其中O为
坐标原点．
(1)求抛物线C的标准方程；
(2)直线l与抛物线C相交于M、N两点，以MN为直径的圆过点P(1,2)，作PD⊥MN，D为垂足．是否存在定点
Q，使得|DQ|为定值？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)y
2= 4 x
(2)存在，且点Q的坐标为(3,0)
【分析】（1）利用抛物线的定义结合两点间的距离公式可得出关于p的方程，解出p的值，即可得出抛物线C的标
准方程；
（2）分析可知，直线MN不与y轴垂直，设直线MN的方程为x =ty +n，设点M (x1, y1)、N (x2, y2)，将直线
MN的方程与抛物线C的方程联立，列出韦达定理，根据已知条件得出⃗PM ⋅⃗PN =0，利用平面向量数量积的坐标
运算可得出n、t所满足的关系式，求出直线MN所过定点E的坐标，利用直角三角形的几何性质可得出定点Q的坐
标.
【详解】（1）解：抛物线C的准线方程为x =−p
2 ，由抛物线的定义可得|AF|=2+ p
2 ，
将点A的坐标代入抛物线方程可得m
2= 4 p，
所以，|AO|=
❑√4+m
2= ❑√4 + 4 p=2❑√1+ p，
所以，|AF|
|AO|=
2+ p
2
2❑√1+ p =
❑√3
2
，因为p>0，解得p=2，
因此，抛物线C的标准方程为y
2= 4 x.
（2）解：若直线MN ⊥y轴，则直线MN与抛物线C只有一个公共点，不合乎题意，
设直线MN的方程为x =ty +n，设点M (x1, y1)、N (x2, y2)，
联立¿可得y
2−4 ty −4 n=0，Δ=16t
2+16n>0，则n>−t
2，
由韦达定理可得y1+ y2= 4 t，y1 y2=−4 n，⃗
PM =(x1−1, y1−2)=(
y1
2−4
4
, y1−2)，⃗PN =(x2−1, y2−2)=(
y2
2−4
4
, y2−2)，
因为以MN为直径的圆过点P(1,2)，则⃗PM ⋅⃗PN =0，
所以，1
16 ( y1
2−4)( y2
2−4)+( y1−2)( y2−2)=0，
显然y1≠2且y2≠2，所以，( y1+2)( y2+2)+16=0，
即y1 y2+2( y1+ y2)+20=0，即−4 n+8t +20=0，可得n=2t +5，
所以，直线MN的方程为x =ty +2t +5=t ( y +2)+5，
由y +2=0可得y =−2，x =5，所以，直线MN过定点E (5,−2)，
所以，|PQ|=
❑√(1−5)
2+(2+2)
2= 4 ❑√2，
因为PD⊥MN，当点Q为线段PE的中点时，即当点Q的坐标为(3,0)时，
|DQ|= 1
2|PE|=2❑√2为定值.
因此，存在定点Q，且当点Q的坐标为(3,0)时，|DQ|为定值.
【变式训练3-3-1】已知抛物线
的焦点为
，过
且不与
轴垂直的直线与抛物线相交于
、
两点，
为
轴上一点，满足
，则
（ ）
A．为定值
B．为定值
C．不是定值，最大值为
D．不是定值，最小值为
【变式训练3-3-2】过抛物线
的焦点
的直线l 交抛物线
于
两点，若点P 关于x 轴对称的点为
M，则直线QM 的方程可能为
A．
B．
C．
D．
【变式训练3-3-3】已知抛物线
，
为
轴正半轴上一点，则（ ）
A．存在点
，使得过点
任意作弦
，总有
为定值
B．不存在点
，使得过点
任意作弦
，有
为定值
C．存在点
，使得过点
任意作弦
，总有
为定值
D．不存在点
，使得过点
任意作弦
，有
为定值
【变式训练3-3-4】已知AB，CD 是过抛物线
焦点F 且互相垂直的两弦，则
的值为
.
【变式训练3-3-5】已知抛物线C：
的焦点F 关于直线l：
对称的点
为
．
(1)求C 的方程；
(2)设原点为O，点P，Q 均在C 上若直线PQ 经过点
，直线OP 与直线
：
相交于点M，点Q 在
上的
投影为R，设
与x 轴的交点为S，问：
是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
【变式训练3-3-6】在平面直角坐标系
中，动点
到点
的距离比到直线
的距离小2．
(1)求
的轨迹的方程；
(2)设动点
的轨迹为曲线
，过点
作斜率为
，
的两条直线分别交
于M，N 两点和P，Q 两点，其中
．设线段
和
的中点分别为A，B，过点
作
，垂足为
．试问：是否存在定点
，使得
线段
的长度为定值．若存在，求出点
的坐标及定值；若不存在，说明理由．
【变式训练3-3-7】已知曲线
，点
为曲线
的焦点，点
为曲线
上一点，且
．
(1)求曲线
的方程；
(2)设曲线
，若过点
的直线与曲线
，
从左到右依次相交于点
，
，
，
．
（i）证明：
为定值；
（ii）若直线
，
（
为坐标原点）分别交直线
于点
，
，求
的最小值．
【变式训练3-3-8】已知抛物线C : x
2=2 py( p>0)的焦点为F，准线为l，过点F且倾斜角为π
6 的直线交抛物线于
点M（M 在第一象限），MN ⊥l，垂足为N，直线NF交x轴于点D，|MD|= 4 ❑√3.
(1)求p的值.
(2)若斜率不为0 的直线l1与抛物线C相切，切点为G，平行于l1的直线交抛物线C于P ,Q两点，且∠PGQ =π
2 ，
点F到直线PQ与到直线l1的距离之比是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由.
【变式训练3-3-9】已知双曲线
分别是
的左、右焦点．
在直线
上，且
到其中一条渐近线的距离为
.抛物线
：
上的一个动点
到
的距离与点
到
的准线的距离之和的最小值为
.
(1)求
的方程和
的方程；
(2)若过
的直线与
的左、右两支分别交于
两点，与
交于
两点.问是否存在常数
，使得
为定值？若存在，求出
的值；若不存在，说明理由．
（四）面积定值
【典型例题】已知抛物线C：
的焦点
，点O 为坐标原点，过点
作直线
，
分别交
抛物线C 于A，B 两点和C，D 两点，直线
与直线
交于点E.
(1)求抛物线C 的方程；
(2)若
的角平分线所在的直线方程为
，求直线
的方程；
(3)抛物线C 在第一象限的图象上是否存在定点M，使得
的面积为定值，若存在，求出该定值；若不存在，说
明理由.
【答案】(1)
(2)
(3)存在，
.
【详解】（1）由题意得
，则
.
∴
.
（2）设
，
，显然
，
则直线
：
，整理得
.
∵直线
过点
，∴
.①
∵
的角平分线方程为
，
设
上一点
，直线
：
，直线
：
，
∴
.
整理得
，
令
，
即
，
是方程
的两根.
∴
，
.
∵
，∴
，
，
.
∴直线
的方程为
.
（3）
，
，
同理可得
.②
又∵直线
：
，
直线
：
，
∴
，
，
将①②代入上式化简得
.
∴点E 在
直线上，
∴使得
的面积为定值的点一定在过点F 且与
平行的直线上，
由
解得
或
（舍），
此时
，
.
∴点F 到直线
的距离
.
∴
.
【变式训练3-4-1】中点．设C
在点
,
A B
处的切线交于点
P ，D 为曲线段AB （不含端点）上一点，C
在点D 处的
切线与直线
,
PA PB
分别交于点
,
M N
．
(1)证明：
①直线
PQ
x
轴；
②四边形
MPNQ
的面积为定值；
(2)设PMN
的外接圆为圆E ，问：圆E 是否过定点（点P 除外）？若过定点，求出定点坐标；不过定点，请说明
理由．
（五）参数定值
【典型例题1】已知抛物线的方程为
，过其焦点F 的直线交此抛物线于M．N 两点，交y 轴于点E，若
，
，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．
【解析】根据条件可得F（1，0），
则设直线MN 的方程为y＝k（x﹣1），M（x1，y1），N（x2，y2），
所以E（0，﹣k），联立
，整理可得k2x2﹣（2k2+4）x+k2＝0，
则x1+x2＝
，x1x2＝1，因为
，
，
所以λ1（1﹣x1）＝x1，λ2（1﹣x2）＝x2，即有λ1＝
，λ2＝
，
所以
.故选：D.
【典型例题2】已知抛物线
的焦点为
是抛物线
上的一点，且
．
(1)求抛物线
的方程．
(2)直线与抛物线
交于
两点，
轴上是否存在定点
，使得直线经过点
，且
为定值？若存
在，求出
的值及点
的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)定点
的坐标为
，
的定值为
【分析】（1）由题意可得
，
，计算可求得
，可求得抛物线方程；
（2）假设
轴上存在定点
，设直线的方程为
，
，联立方程组，利用根与系数
的关系可求得
，可求定点坐标与定值.
【详解】（1）抛物线
的准线方程为
，
又
是抛物线
上的一点，且
，所以
，
，
所以
，所以
，所以
，解得
．
所以抛物线
的方程为
．
（2）假设
轴上存在定点
，使得直线经过点
，且
为定值，
显然直线的斜率不为
，设直线的方程为
，
联立
，消去
，可得
，
所以
，
，
，
所以
，
当
时，
为定值，
此时定点
的坐标为
，
的定值为
.
【变式训练3-5-1】如图，O 为坐标原点，过点
且斜率为k 的直线l 与抛物线
分别交于
，
两点．
(1)求证：
为定值；
(2)求证：
．
【变式训练3-5-2】已知抛物线
经过点
，过点
的直线与抛物线
有两个不同的交点
，且直线
交
轴于
，直线
交
轴于
．
(1)求抛物线
的方程；
(2)①求直线的斜率的取值范围；
②若
为原点，将上述
两点坐标改为
，且满足
，其他条件不变，试
探究
是否为定值，并说明理由．
【变式训练3-5-3】过抛物线
上的点
的直线，
分别交抛物线T 于点B，C．设直线，
的斜率分别为
，
，
，当
且点B，C 关于x 轴对称时，△ABC 的面积为2．
(1)求抛物线T 的方程；
(2)当
时，证明：直线BC 过定点．
(3)设△ABC 的外心E 的坐标为
，BC 的中点M 的坐标为
，证明：
为定值．
【变式训练3-5-4】已知M (4 ,m)是抛物线C : y
2=2 px ( p>0)上一点，且M 到C 的焦点的距离为5.
(1)求抛物线C 的方程及点M 的坐标；
(2)如图所示，过点P(2,0)的直线l 与C 交于A，B 两点，与y 轴交于点Q，设⃗QA = λ⃗PA，⃗QB = μ⃗PB，求证：
λ+ μ是定值.
（六）向量定值
【典型例题】在平面直角坐标系
中，已知抛物线
的焦点为
，直线
与
交于
两点.
(1)若
过
，另一条过
的直线
与
交于
两点（
在
轴上方），直线
分别交直线
于
两点，证明：
为
的中点；
(2)若
上存在点
，使得
，证明：
为定值.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【详解】（1）设
.
设
，与抛物线联立，得
，
则
，即
，同理可得
.
又因为
，令
，得
，同理
，
将
代入得
，所以
为
的中点.
（2）方法1：设
，因为
，得
①，
由
，得
，
①
②
，
得
，
即
，
即
.
因为
，所以
，
则
，即
为定值-4.
方法2：设
，因为
，所以
，
即
，同理得
，
所以
，
由
，得
①，
同理
②，
③，
由①-②，得
④，
由①+②+③，得
，
即
，
而
故结合④可得
，
则
，
所以
为定值-4.
【变式训练3-6-1】如图1，已知抛物线
的焦点为
，准线交
轴于点
，过点
作倾斜角为
的直线交抛物线于
两点（点
在第一象限）．当
时，
．
(1)求抛物线
的方程；
(2)如图2，把
沿
翻折为
，使得二面角
的大小为
．
①若
，求直线
与平面
所成角的正弦值；
②证明：三棱锥
的体积为定值．
