第15 讲 单调性问题 · 综合测试（解析卷）
答案速查表
1
2
3
4
5
D
A
A
D
A
6
7
8
9
10
C
D
B
BD
BCD
11
12
13
14
15
AB
(- ❑√
b
a ,0)与(0,❑√
b
a )
1
3
(0,+∞)
见解
析
16
17
18
19
（1）
2 x + y -3=0
（2）
(1,+ ∞)
（1）单调递增区间为
(0,2)，单调递减区间
为(2,+ ∞) （2）（i）
(0,2❑√2) （ii）证明见
解析
（1）单调递减区间为
(-∞,0)，单调递增区间
为(0,+∞) （2）
(-∞,1] （3）证明见解
析
（1）见解析
（2）(-e ,-2)
（3）不存在，
理由见解析
1.已知函数y = x ln x，则（ ）
A. 严格增函数
B. 在(0, 1
e )上是严格增函数，在( 1
e ,+∞)上是严格减函数
C. 严格减函数
D. 在(0, 1
e )上是严格减函数，在( 1
e ,+ ∞)上是严格增函数
【答案】D
【解析】已知y = x ln x , x>0，则y
' = ln x + x⋅1
x = ln x +1，
令y
' =0，即ln x +1=0，解得x = 1
e ，
当0< x< 1
e 时，y
'<0，所以在(0, 1
e )上是严格减函数，
当x> 1
e 时，y
'>0，所以在( 1
e ,+∞)上是严格增函数，对应选项D.
【点拨】判断对数型函数的单调性，求导后通过分析导函数的正负区间即可得出结论.
2.函数f ( x)= ln(4 x
2-1)的单调递增区间是（ ）
A. ( 1
2 ,+∞)
B. (-∞,- 1
2 )
C. (- 1
2 , 1
2 )
D. (0,+∞)
【答案】A
【解析】由4 x
2-1>0，可得x<- 1
2或x> 1
2，
∴函数f ( x)= ln(4 x
2-1)的定义域为(-∞,- 1
2 )∪( 1
2 ,+∞).
求导可得f
'( x)=
8 x
4 x
2-1，
当f
'( x)>0时，x>0，由函数定义域可知，x> 1
2，
∴函数f ( x)= ln(4 x
2-1)的单调递增区间是( 1
2 ,+∞).
【点拨】求复合对数函数的单调区间，必须先求出函数的定义域，再在定义域内研究单调性.
3.（2025·江西·5 月联考）已知函数f ( x)的定义域为(0,+∞)，对于任意的y > x>0，都有
xf ( y)- yf ( x)+ x
2 y - x y
2>0.若f （4 ）= 4，且f ( x +a)< x
2+(2a-3)x +a
2-3a在x∈[1,4 ]时
恒成立，则a的取值范围为（ ）
A. (-1,0)
B. (-1,4)
C. (0,+∞)
D. (4 ,+ ∞)
【答案】A
【解析】∵y > x>0，∴由xf ( y)- yf ( x)+ x
2 y - x y
2>0，可得f ( y)
y
- f ( x)
x
+ x - y >0，
即f ( y)
y
- y > f ( x)
x
- x.
令g( x)= f ( x)
x
- x，则可知g( x)在(0,+ ∞)上单调递增.
g( x +a)- g（4 ）= f ( x +a)
x +a
-( x +a)- f （4 ）
4
+ 4 = f ( x +a)-( x +a)
2
x +a
+3= f ( x +a)- x
2-(2a-3)x -a
2+3a
x +a
.
由f ( x +a)< x
2+(2a-3)x +a
2-3a可得g( x +a)- g（4 ）<0，即g( x +a)< g（4 ），
则0< x +a<4在x∈[1,4 ]时恒成立，解得-1<a<0.
【点拨】将不等式两边同除以xy，构造新函数g( x)= f ( x)
x
- x，利用其单调性将函数不等式转化
为自变量的不等式是解题关键.
4.（2026·泉州·一模）已知定义在R上的函数f ( x)的图象是一条连续不断的曲线，且
f (- x)+ f ( x)=0，若当x>0时，[ f ( x)+ f
'( x)]e
x>[ f ( x)- f
'( x)]e
- x，则（ ）
A. f (e)<f (-e)
B. xf ( x)≤0
C. f ( x)存在极值点
D. f ( x)有且只有一个零点
【答案】D
【解析】∵f (- x)+ f ( x)=0，即f (- x)=- f ( x)，故函数f ( x)为奇函数，
设g( x)= f ( x)e
x+ f ( x)e
- x = f ( x)(e
x+e
- x)，
则g
'( x)=[ f
'( x)+ f ( x)]e
x+[ f
'( x)- f ( x)]e
- x，
由题意，当x>0时，g
'( x)=[ f
'( x)+ f ( x)]e
x -[ f ( x)- f
'( x)]e
- x>0，
∴g( x)= f ( x)(e
x+e
- x)在(0,+ ∞)上单调递增，
又∵e
x+e
- x为偶函数，故g( x)为奇函数，
∴g( x)= f ( x)(e
x+e
- x)在(-∞,0)上单调递增，
g( x)图象连续不断且g（0）=0，
∴g( x)= f ( x)(e
x+e
- x)在R上单调递增，
∴当x>0时，e
x+e
- x>0, g( x)>0，∴f ( x)>0；
同理当x<0时，∴f ( x)<0，
对于A，g(e)= f (e)(e
e+e
-e), g(-e)= f (-e)(e
-e+e
e)，∵g(e)>g(-e)，∴f (e)>f (-e)，故A
错误.
对于B，当x>0时，f ( x)>0，则xf ( x)>0，故B 错误.
对于C，由于函数f ( x)的单调性未知，故该选项不确定，故C 错误.
对于D，当x>0时，f ( x)>0，当x<0时，f ( x)<0，且f （0）=0，∴f ( x)有且只有一个零点，
故D 正确.
【点拨】根据已知不等式构造函数g( x)= f ( x)(e
x+e
- x)，利用导数判断其单调性，结合奇偶性得
出f ( x)的符号分布.
5.已知函数f ( x)=
a
x +1 + ln x. 若对任意x1, x2∈(0,2]，且x1≠x2，都有
f ( x2)- f ( x1)
x2- x1
>-1，则
实数a的取值范围是（ ）
A. (-∞, 27
4 ]
B. (-∞,2]
C. (-∞, 27
2 )
D. (-∞,8]
【答案】A
【解析】根据题意，不妨取x1< x2，则
f ( x2)- f ( x1)
x2- x1
>-1可转化为f ( x2)- f ( x1)> x1- x2，
即ln x1+
a
x1+1 + x1<ln x2+
a
x2+1 + x2.
令F( x)= ln x +
a
x +1 + x，则对任意x1, x2∈(0,2]，且x1< x2，都有F( x1)< F( x2)，
∴F( x)在(0,2]上单调递增，即F
'( x)= 1
x -
a
( x +1)
2 +1≥0在(0,2]上恒成立，
即a≤( x +1)
3
x
在(0,2]上恒成立.
令h( x)= ( x +1)
3
x
,0< x ≤2，则h
'( x)= ( x +1)
2(2 x -1)
x
2
,0< x ≤2，
令h
'( x)<0，得0< x< 1
2，令h
'( x)>0，得1
2 < x ≤2，
∴h( x)在(0, 1
2 )上单调递减，在[ 1
2 ,2]上单调递增，
∴h( x)min=h( 1
2 )= 27
4 ，
∴a≤27
4 ，即实数a的取值范围是(-∞, 27
4 ].
【点拨】将两点连线斜率的不等式转化为构造新函数F( x)的单调性问题，再通过分离参数法求最
值.
6.（2025·广东·5 月测评）已知函数y = ln( x
2-2ax -3a
2)在区间[1,+∞)上单调递增，则实数
a的取值范围是（ ）
A. (-∞, 1
3 ]
B. (-∞,1)
C. (-1, 1
3 )
D.
(-1,0)∪(0, 1
3 )
【答案】C
【解析】令f ( x)= x
2-2ax -3a
2=( x -3a)( x +a)，对称轴为x =a，
∵函数y = ln x在(0,+∞)上是增函数，
∴要想函数y = ln( x
2-2ax -3a
2)在区间[1,+∞)上单调递增，
只需函数f ( x)= x
2-2ax -3a
2在[1,+ ∞)上为增函数，且f ( x)>0在区间[1,+∞)上恒成立.
当a>0时，满足3a<1，解得0<a< 1
3；
当a=0时，f ( x)在区间[1,+ ∞)上单调递增恒成立；
当a<0时，满足-a<1，解得-1<a<0.
综上得实数a的取值范围是(-1, 1
3 ).
【点拨】复合函数的单调性遵循“同增异减”原则，同时必须保证内层函数在给定区间上恒大于
0.注意对参数a的符号进行讨论.
7.若函数f ( x)= x
2+ x - ln x -2在其定义域的一个子区间(2k -1,2k +1)内不是单调函数，则实
数k的取值范围是（ ）
A. [- 3
2 , 3
4 )
B. [ 1
2 ,3)
C. (- 3
2 ,3)
D. [ 1
2 , 3
4 )
【答案】D
【解析】∵函数f ( x)的定义域为(0,+∞)，
∴2k -1≥0，即k ≥1
2，
f
'( x)=2 x +1- 1
x = 2 x
2+ x -1
x
= ( x +1)(2 x -1)
x
，
令f
'( x)=0，得x = 1
2或x =-1（舍去），
∵f ( x)在定义域的一个子区间(2k -1,2k +1)内不是单调函数，
∴2k -1< 1
2 <2k +1，得- 1
4 <k < 3
4 ，
综上，1
2 ≤k < 3
4 .
【点拨】函数在某区间内不单调，等价于导函数的变号零点在该区间内部.注意定义域的限制条件.
8.已知函数f ( x)= ln x +( x -b)
2(b∈R)在区间[ 1
2 ,2]上存在单调递增区间，则实数b的取值范
围是（ ）
A. (-∞, 3
2 )
B. (-∞, 9
4 )
C. (-∞,3)
D. (-∞,❑√2)
【答案】B
【解析】∵函数f ( x)在区间[ 1
2 ,2]上存在单调增区间，
∴函数f ( x)在区间[ 1
2 ,2]上存在子区间使得不等式f
'( x)>0成立.
f
'( x)= 1
x +2( x -b)= 2 x
2-2bx +1
x
，
设h( x)=2 x
2-2bx +1，则h（2）>0或h( 1
2 )>0，
即8- 4 b+1>0或1
2 -b+1>0，得b< 9
4 .
【点拨】存在单调递增区间，即导数大于0 在给定区间上有解.转化为二次函数在闭区间上的最值
问题或端点值问题.
9.（2026·宜春·一模）已知函数f ( x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，
f ( x)= x
2+2 x + ln( x +1)，则（ ）
A. 当x<0时，f ( x)=- x
2-2 x - ln(- x +1)
B. 曲线y = f ( x)在x =-1处的切线斜率为9
2
C. 方程f
'( x)=0在区间(-1,1)内恰有两个实根
D. 当x>0时，f ( x)> 1
2 x
2+3 x
【答案】BD
【解析】对于A 选项，当x<0时，- x>0，
f (- x)=(- x)
2+2(- x)+ ln(- x +1)= x
2-2 x + ln(- x +1)，因为f ( x)是奇函数，所以
f ( x)=- f (- x)=- x
2+2 x - ln(- x +1)，故A 错误；
对于B 选项，当x<0时，f
'( x)=-2 x +2--1
- x +1 =-2 x +2+
1
1- x ，f
'(-1)=2+2+ 1
2 = 9
2，故B 正
确；
对于C 选项，当x>0时，f
'( x)=2 x +2+
1
x +1 >0，当x<0时，f
'( x)=-2 x +2+
1
1- x >0，所以
f ( x)在R上单调递增，方程f
'( x)=0在区间(-1,1)内没有实根，故C 错误；
对于D 选项，当x>0时，设g( x)= f ( x)-( 1
2 x
2+3 x)= 1
2 x
2- x + ln( x +1)，
g
'( x)= x -1+
1
x +1 = x
2
x +1 >0，所以g( x)在(0,+∞)上单调递增，g( x)> g（0）=0，即
f ( x)> 1
2 x
2+3 x，故D 正确.
【点拨】利用奇函数的性质求出x<0时的解析式，再分别求导判断单调性和切线斜率，构造新函
数证明不等式.
10.（2025·沧州运东五校·二模）已知函数f ( x)=( x
2-2 x)e
x，则下列结论正确的是
（ ）
A. 若f ( x)在(-a,a)上单调递减，则a的最大值为1
B. 当x>0时，f ( x)+3 x>0
C. 当x<0时，f ( x)+3 x<0
D. 存在直线l，使得l与y = f ( x)的图象有4个交点
【答案】BCD
【解析】f
'( x)=( x
2-2)e
x，由f
'( x)<0，解得- ❑√2< x<❑√2，∴a的最大值为❑√2，故A 不正确；
当x>0时，f ( x)+3 x>0，即( x -2)e
x+3>0.设g( x)=( x -2)e
x+3，则g
'( x)=( x -1)e
x，∴g( x)
在x =1处取得最小值g（1）=3-e>0，故B 正确；
当x<0时，f ( x)+3 x<0，即( x -2)e
x+3>0.由B 选项的过程知，在x∈(-∞,0)时，g
'( x)<0，∴
g( x)在(-∞,0)上单调递减，g( x)> g（0）=1>0，故C 正确；
画出f ( x)的图象，可知存在直线l，使得l与y = f ( x)的图象有4个交点，故D 正确.
【点拨】求导得到单调区间，构造函数g( x)=( x -2)e
x+3研究其最小值，结合函数图象特征判断
交点个数.
11.（2026·肇庆·二模）若存在m<n，使得函数f ( x)=2
a x
3-3ax +1在区间(-∞,m)和(n,+ ∞)上单
调递减，则下列说法正确的是（ ）
A. a>0
B. a<0
C. f ( x)在(-1,1)上单调递增
D. f ( x)在(-1,1)上单调递减
【答案】AB
【解析】∵函数y =2
x在R上单调递增，∴原命题等价于“存在m<n，使得函数
g( x)=a x
3-3ax +1在区间(-∞,m)和(n,+∞)上单调递减”.
又∵g
'( x)=3a x
2-3a=3a( x
2-1)，
∴a<0，故A 错误、B 正确；
此时g( x)在(-1,1)上单调递增，在(-∞,-1)和(1,+∞)上单调递减，
∴f ( x)在(-1,1)上单调递增，在(-∞,-1)和(1,+∞)上单调递减，故C 正确、D 错误.
【点拨】复合函数的单调性由内层函数决定，三次函数的单调性由导数决定，结合二次函数的开
口方向即可判断参数符号.
12.函数f ( x)=ax + b
x (a、b为正数)的严格减区间是＿＿＿＿＿＿.
【答案】(- ❑√
b
a ,0)与(0,❑√
b
a )
【解析】由题得x≠0.由f
'( x)=a- b
x
2，令f
'( x)=a- b
x
2 <0解得- ❑√
b
a < x<0或0< x<❑√
b
a.
∴函数f ( x)=ax + b
x 的严格减区间是(- ❑√
b
a ,0)与(0,❑√
b
a ).
【点拨】求导后解不等式，注意定义域x≠0，单调区间不能用并集符号连接.
13.已知函数f ( x)=m x
3+3(m-1)x
2-m
2+1(m>0)的单调递减区间是(0,4)，则m=＿＿＿＿
＿＿.
【答案】1
3
【解析】函数f ( x)=m x
3+3(m-1)x
2-m
2+1(m>0)，则导数f
'( x)=3m x
2+6(m-1)x，
令f
'( x)<0，即3m x
2+6(m-1)x<0，
∵m>0，f ( x)的单调递减区间是(0,4)，
∴0,4是方程3m x
2+6(m-1)x =0的两根，
∴0+ 4 =- 2(m-1)
m
,0×4 =0，
∴m= 1
3.
【点拨】单调递减区间即为导数小于0 的解集，转化为一元二次方程的根，利用韦达定理求解.
14.（2026·肇庆·二模）已知函数f ( x)的定义域为R，且f
'( x)- f ( x)>0，若f （0）=1，则
不等式f ( x)-e
x>0的解集为＿＿＿＿＿＿.（结果用区间表示）
【答案】(0,+∞)
【解析】∵f
'( x)- f ( x)>0，构造函数g( x)= f ( x)
e
x ，
∵g
'( x)= f
'( x)- f ( x)
e
x
>0，∴函数g( x)是增函数，
∵f ( x)-e
x>0，∴f ( x)
e
x >1，
∵f （0）=1，∴g（0）= f （0）
e
0
=1，
∴原不等式即g( x)>g（0），解得x>0，
∴不等式f ( x)-e
x>0的解集为(0,+∞).
【点拨】遇到f
'( x)- f ( x)>0，常构造函数g( x)= f ( x)
e
x ，利用其单调性解不等式.
15.（13 分）已知函数f ( x)= ln x +(1-a)x +1(a∈R). 讨论函数f ( x)的单调性.
【答案】见解析
【解析】∵f ( x)= ln x +(1-a)x +1，其定义域为(0,+ ∞)，
∴f
'( x)= 1
x +(1-a)..................................................................................................................................2 分
∵x>0，若1-a≥0，即a≤1时，f
'( x)>0恒成立，
f ( x)在(0,+∞)上单调递增；................................................................................................................6 分
若1-a<0，即a>1时，令f
'( x)= 1
x +(1-a)>0，得0< x<
1
a-1；
令f
'( x)= 1
x +(1-a)<0，得x>
1
a-1，
∴f ( x)在(0,
1
a-1 )上单调递增，在(
1
a-1 ,+∞)上单调递减...........................................................11 分
综上，当a≤1时，f ( x)在(0,+ ∞)上单调递增；
当a>1时，f ( x)在(0,
1
a-1 )上单调递增，在(
1
a-1 ,+∞)上单调递减...........................................13 分
【点拨】求导后，根据参数a的取值范围分类讨论导函数的符号，从而确定函数的单调区间.
16.（15 分）（2026·滨州·二模）已知函数f ( x)= x
2-2a ln x ,a>0.
（1） 若a=2，求曲线y = f ( x)在点A(1,f （1）)处的切线方程；
（2） 若存在x0∈(0,+ ∞)，使f ( x0)<a
2+ ln a，求a的取值范围.
【答案】（1）2 x + y -3=0 （2）(1,+ ∞)
【解析】（1）当a=2时，f ( x)= x
2- 4 ln x，则f
'( x)=2 x - 4
x ，....................................................2 分
∴f
'（1）=2- 4 =-2，又f （1）=1，
∴曲线y = f ( x)在点A(1,f （1）)处的切线方程为y -1=-2( x -1)，即2 x + y -3=0..............5 分
（2）易知f ( x)= x
2-2aln x的定义域为(0,+∞)，且f
'( x)=2 x - 2a
x = 2( x
2-a)
x
，
∵a>0，令f
'( x)=0，得到x = ❑√a或x =- ❑√a(舍去)，
当0< x<❑√a时，f
'( x)<0，当x>❑√a时，f
'( x)>0，
∴f ( x)在区间(0,❑√a)上单调递减，在区间(❑√a,+∞)上单调递增，...............................................8 分
∴f ( x)≥f (❑√a)=a-2a ln ❑√a=a-a ln a.
又由题意知，存在x0∈(0,+ ∞)，使f ( x0)<a
2+ ln a，∴a
2+(a+1)ln a-a>0...........................10 分
令h(a)=a
2+(a+1)ln a-a(a>0)，则h
'(a)=2a+ ln a+ 1
a，
令φ(a)=h
'(a)=2a+ ln a+ 1
a (a>0)，则φ
'(a)=2+ 1
a - 1
a
2 = (a+1)(2a-1)
a
2
，
∴当a∈(0, 1
2 )时，φ
'(a)<0，当a∈( 1
2 ,+∞)时，φ
'(a)>0，
∴φ(a)在区间(0, 1
2 )上单调递减，在区间( 1
2 ,+ ∞)上单调递增，.................................................13 分
∴φ(a)≥φ( 1
2 )=1- ln2+2=3- ln2>0，
∴h
'(a)=φ(a)>0，∴h(a)在(0,+∞)上单调递增，
又h（1）=0，∴当a>1时，h(a)>0，
故a的取值范围为(1,+ ∞)....................................................................................................................15 分
【点拨】存在性问题通常转化为最值问题，即求出函数的最小值，令最小值小于给定表达式，再
构造新函数利用导数求出参数范围.
17.（15 分）（2026·深圳·一模）已知函数f ( x)= ln x -a ❑√x +1+ 4.
（1） 当a= ❑√3时，求f ( x)的单调区间；
（2） 若f ( x)有两个零点.
（i） 求a的取值范围；
（ii） 证明：f ( x)<
2
❑√a
2+1-1.
【答案】（1）单调递增区间为(0,2)，单调递减区间为(2,+∞) （2）（i）(0,2❑√2) （ii）证明
见解析
【解析】（1）当a= ❑√3时，f ( x)= ln x - ❑√3 ❑√x +1+ 4，定义域为(0,+∞)，
f
'( x)= 1
x -
❑√3
2❑√x +1 = 2❑√x +1- ❑√3 x
2 x ❑√x +1
.
令f
'( x)=0，即2❑√x +1= ❑√3 x，解得x =2.
当x∈(0,2)时，f
'( x)>0，f ( x)单调递增；
当x∈(2,+ ∞)时，f
'( x)<0，f ( x)单调递减.
∴f ( x)的单调递增区间为(0,2)，单调递减区间为(2,+ ∞).............................................................4 分
（2）（i）f
'( x)= 1
x -
a
2❑√x +1 = 2❑√x +1-ax
2 x ❑√x +1 .
若a≤0，f
'( x)>0，f ( x)单调递增，至多一个零点，不合题意.
若a>0，令f
'( x)=0，即a
2 x
2- 4 x - 4 =0，解得x0= 2(1+
❑√1+a
2)
a
2
.................................................7 分
f ( x)在(0, x0)单调递增，在( x0,+∞)单调递减.
f ( x)max= f ( x0)= ln x0-a ❑√x0+1+ 4.
∵a
2 x0
2- 4 x0- 4 =0，即a
2= 4( x0+1)
x0
2
，a= 2❑√x0+1
x0
，
∴f ( x)max = ln x0- 2
x0
+2.
令h( x0)= ln x0- 2
x0
+2>0，解得x0>1，............................................................................................10 分
此时a∈(0,2❑√2).
（ii）证明：由（2）（i）知，f ( x)≤f ( x0)= ln x0- 2
x0
+2，其中
x0= 2(1+
❑√a
2+1)
a
2
= 2(1+
❑√a
2+1)
(
❑√a
2+1)
2-1
=
2
❑√a
2+1-1
.
下证：ln x0- 2
x0
+2< x0 (x0>1)，即证ln x0- 2
x0
- x0+2<0.............................................................12 分
设m( x)= ln x - 2
x - x +2 (x>1)，m
'( x)= 1
x + 2
x
2 -1=- x
2+ x +2
x
2
=-( x -2)( x +1)
x
2
.
令m
'( x)=0，得x =2.
于是m( x)在(1,2)上单调递增，在(2,+∞)上单调递减，
则m( x)≤m（2）= ln 2-1<0，即证.
∴f ( x)≤f ( x0)< x0=
2
❑√a
2+1-1
............................................................................................................15 分
【点拨】利用导数求出函数的极值点，将极值表达式中的参数替换，转化为关于极值点的新函数，
再通过构造函数证明不等式.
18.（17 分）（2026·合肥·一模）已知函数f ( x)= x e
x -e
ax.
（1） 当a=1时，讨论f ( x)的单调性；
（2） 当x>0时，f ( x)>-1，求a的取值范围；
（3） 设n∈N
*，证明：1
e
3 + 2
e
3
2 +⋯+ n
e
3
n <n+2.
【答案】（1）单调递减区间为(-∞,0)，单调递增区间为(0,+ ∞) （2）(-∞,1] （3）证明见解
析
【解析】（1）当a=1时，f ( x)= x e
x -e
x，f
'( x)= x e
x，
∴当x∈(-∞,0)时，f
'( x)<0；当x∈(0,+∞)时，f
'( x)>0.
∴函数f ( x)在区间(-∞,0)单调递减，在区间(0,+∞)单调递增.....................................................4 分
（2）∵x>0，∴当a≤1时，f ( x)≥x e
x -e
x，由（1）知f ( x)>f （0）=-1..............................7 分
当a>1时，f
'( x)=( x +1)e
x -ae
ax =e
x( x +1-ae
(a-1)x).
又当x∈(0,a-1)时，x +1<a-1+1=a，ae
(a-1)x>a，
∴x +1<ae
(a-1)x，即f
'( x)<0.
∴f ( x)在区间(0,a-1)单调递减，∴f (a-1)<f （0）=-1，不符合题意.
综上，a的取值范围是(-∞,1]............................................................................................................10 分
（3）证明：原不等式应为e
1
3 +e
2
3
2 +⋯+e
n
3
n <n+2.
由（1）知，当a=1时，函数f ( x)在区间(0,+∞)单调递增，
∴当x∈(0,+∞)时，f ( x)>f （0）=-1，即x e
x-e
x>-1，
∴当x∈(0,1)时，e
x<
1
1- x ...............................................................................................................13 分
当n∈N
*时，0< n
3
n <1，则有e
n
3
n <
1
1- n
3
n
=
3
n
3
n-n
= 3
n-n+n
3
n-n
=1+
n
3
n-n.
易证e
x -1≥x，∴3
n-1≥n≥1.
∴
n
3
n-n
=
n
2⋅3
n-1+3
n-1-n
≤
n
2⋅3
n-1.
∴e
n
3
n <1+
n
3
n-n
≤1+
n
2⋅3
n-1.
记an=
n
2⋅3
n-1，∴a1+a2+⋯+an= 9
8 - 3
4 (
1
2⋅3
n-1 + n
3
n )< 9
8 <2.
∴e
1
3 +e
2
3
2 +⋯+e
n
3
n <n+2........................................................................................................................17 分
【点拨】利用前面得出的函数不等式进行放缩，结合裂项相消法求和是证明数列不等式的常用技
巧.
19.（17 分）（2025·高邮·一模）已知函数f ( x)=e
x+ax，x>0.
（1） 讨论f ( x)的单调性；
（2） 若过点(1,0)恰有2条与f ( x)的图象相切的直线，求a的取值范围；
（3） 若a=1，问函数f ( x)的图象上是否存在三个不同的点A，B，C，使得它们的横坐标
成等差数列，且直线AC的斜率等于函数f ( x)的图象在点B处的切线的斜率？若存在，求出
所有满足条件的点B的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）见解析 （2）(-e ,-2) （3）不存在，理由见解析
【解析】（1）f
'( x)=e
x+a，x>0.
若a≥-1，则f
'( x)>0在(0,+∞)上恒成立，f ( x)在(0,+∞)为增函数；
若a<-1，由f
'( x)>0⇒e
x>-a⇒x>ln(-a)；由f
'( x)<0⇒e
x<-a⇒0< x<ln(-a).
∴函数f ( x)在(0,ln(-a))上递减，在(ln(-a),+∞)上递增............................................................4 分
（2）设切点( x0,e
x0+a x0)，切线斜率：e
x0+a，
所以切线方程为：y -(e
x0+a x0)=(e
x0+a)( x - x0).
∵切线过点(1,0)，∴0-(e
x0+a x0)=(e
x0+a)(1- x0).
整理得：a= x0e
x0-2e
x0 (x0>0)............................................................................................................7 分
设g( x)= x e
x -2e
x (x>0)，则g
'( x)=(e
x+ x e
x)-2e
x =e
x( x -1) (x>0).
由g
'( x)>0⇒x>1，由g
'( x)<0⇒0< x<1.
∴g( x)在(0,1)上递减，在(1,+∞)上递增.
又过点(1,0)恰有2 条与f ( x)的图象相切的直线，∴直线y =a与g( x)的图象有两个不同交点.
∵g（0）=-2，g（1）=-e，g（2）=0，∴-e<a<-2.
即所求a的取值范围为(-e ,-2).......................................................................................................... 11 分
（3）当a=1时，f ( x)=e
x+ x，f
'( x)=e
x+1，x>0.
设B( x0,f ( x0))，则f
'( x0)=e
x0+1.
假设存在A( x0-d ,f ( x0-d))，C( x0+d ,f ( x0+d)) (d ≠0)，使得直线AC的斜率等于函数f ( x)的
图象在点B处的切线的斜率，
即e
x0+d+( x0+d)-e
x0-d -( x0-d )
2d
=e
x0+1⇒e
x0+d -e
x0-d =2d e
x0，
∵e
x0>0，∴e
d -e
-d =2d...................................................................................................................... 14 分
设h( x)=e
x -e
- x -2 x (x>0)，则h
'( x)=e
x+e
- x -2≥2
❑√e
x⋅e
- x -2=0 (当且仅当x =0时取“=”).
但x>0，∴h
'( x)>0在(0,+∞)恒成立.
∴h( x)在(0,+∞)上单调递增，又h（0）=0.
∴h( x)>0在(0,+∞)上恒成立.
即方程e
d -e
-d =2d在(0,+ ∞)上无解.
即满足条件的点B不存在......................................................................................................................17 分
【点拨】处理切线问题时，通常先设出切点坐标，利用导数求出切线方程，再将已知点代入转化
为方程根的个数问题.
