文档文本内容
2026 年高考考前平稳发挥练手卷
数学（全国Ⅰ卷）
（考试时间：120分钟，分值：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干
净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为 ，
所以 或 ，
所以 .
2．若 ，则在复平面内 对应的点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由 得 ，
所以 ，所以在复平面内 对应的点的坐标为 .
3．若命题“ , ”为真命题，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．【答案】C
【分析】由命题“ ”为真命题，利用判别式，即可确定实数 的取值范围．
【详解】由命题“ ”为真命题，
，
解得： ，
4．已知函数 的最小正周期是 ， 则下列区间中，函数f(x)单调递
增的区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先由最小正周期求 ，根据 求 ，再结合余弦函数的单调递增区间推导 的增区间，结合选项得
出结果.
【详解】由于函数最小正周期 ，得 ，
由 ，且 ，得 ，因此 ，
令 ，解得： ，
当 时，一个递增区间为 ，而 ，
所以函数在 上单调递增.
5．已知 ，数列 的前 项和为 ，若 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先根据数列等式进行变形化简确定数列 从第二项起为公比为3的等比数列，从而利用等比数列通项
公式求解即可.【详解】由题意，当 时， ，
当 时， ，化简得 ，
又 不满足 ，
所以数列 从第二项起为公比为3的等比数列，所以 .
6．已知单位向量 ， ， 满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．2
【答案】B
【分析】由题意可得 ，根据模长结合数量积运算律可得 ，进而可得 ，即可得
模长.
【详解】由题意可知： ，
因为 ，即 ，
则 ，
即 ，可得 ，
则 ，所以 .
7．已知圆 ，直线 与圆 相交于 ， 两点，当 取最小值时，
的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据给定的直线方程求出定点坐标，再确定定点与圆 的位置关系，求出过定点的圆的直径斜率即可得
解.
【详解】直线 ，由 ，得 ，显然无论 取什么实数，直线 都过点 ，
将 化为标准形式 ，
因为 ，所以点 在圆内，
而圆 的圆心 ，由圆的性质知，当 时，弦AB的长取最小值，
又直线 的斜率 ，所以 .
8．已知实数x，y满足 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】先构造函数 ，判断其奇偶性并利用导数研究其单调性，然后利用反例法判断ABD，利用
对数函数的单调性判断C.
【详解】因为 ，所以 ，
对于函数 ，定义域为R，且 ，
所以函数 为偶函数，
，令 ，则 ，
所以 单调递减，又
所以当 时， ，故 在 上递减；
当 时， ，故 在 上递增.由 即 得， ，所以 ，即 ，
对于A，当 时，满足 ，此时 ，故 不成立，错误；
对于B，当 时，满足 ，此时 ，故 不成立，错误；
对于C，因为 ，所以 ，根据 在定义域上单调递增，
所以 ，正确；
对于D，当 时，满足 ，此时 ，
故 不成立，错误.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的
得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．记 为等差数列 的前 项和，若 ，则（ ）
A．
B．
C．数列 为等比数列
D．数列 的前 项和为
【答案】BCD
【分析】根据条件求出数列的通项公式，验证即可判断AB，再由等比数列的定义判断C，利用分组求和判断D.
【详解】设等差数列 的公差为 .
由题意可得， ，解得 ，所以 .
对于A； ，故A错误；
对于B；因为 ，所以 ，故B正确；对于C；因为 ，所以 .因为 ，所以数列 为等比数列，故
C正确；
对于D；因为 ，所以 ，所以数列 的前 项和为
，故D正确.
10．在正方体 中，下列结论正确的是（ ）
A． 与 所成的角为
B． 与 所成的角为
C． 与平面 所成的角为
D． 与平面 所成的角为
【答案】BCD
【分析】结合正方体性质，根据异面直线夹角，线面角的定义求解判断即可.
【详解】如下图， 且 为等边三角形，则 与 所成的角为 ，A错误；
由 ，且 ，则 ，故 与 所成的角为 正确；
由 平面 ，则 与平面 所成的角为 ，C正确；
由 平面 平面 ，则 ，又 ，
且都在平面 内，则 平面 ，
所以 与平面 所成的角为 ，且 ，故 ，D正确.
11．已知双曲线 的右焦点为F，左、右顶点分别为 ， ，双曲线C上的点B满足
且BF与x轴垂直．直线 的斜率是直线 的斜率的3倍，点 ，点Q在C的左支上，则（ ）
A．双曲线C的方程为 B．双曲线C的渐近线方程为
C． 的最小值为 D． 的最小值为
【答案】ABC
【分析】根据给定条件，结合斜率坐标公式列式求出双曲线方程，再借助双曲线定义逐项求解判断.
【详解】令双曲线 的半焦距为 ，则 ，
由点B在双曲线C上，且 轴， ，不妨设 ，则 ， ，
则 ，解得 ，于是 ，双曲线 的方程为 ，
而点 ，则 ，解得 ，双曲线C的方程为 ， A正确；
双曲线C的渐近线方程为 ，B正确；
，设双曲线的左焦点为 ，由双曲线的定义得 ，
即 ，因此 ，
当且仅当 是线段 与双曲线 的左支交点时取等号，C正确；设点 ， ，则 ，
，当且仅当 时取等号，D错误.
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．二项式 的展开式中， 的系数为________.
【答案】
【分析】借助二项式的展开式的通项公式计算即可得.
【详解】 ， ，
则 ，
即 的系数为 .
13．已知 ，则 ______．
【答案】
【分析】对函数求导，再将自变量代入导函数整理求值即可.
【详解】对 求导，
可得 ，
所以 ，解得 .
14．如图，在直三棱柱 中， 分别是棱 的中点，三棱柱的外接球为球 ，则过 的平面截球 所得截面面积的最小值为___________．
【答案】 /
【分析】将三棱柱补成正方体 ，建立空间直角坐标系，可求出外接球的半径为 ，利用空间
向量求出点 到直线 的距离 ，进而求解截面面积的最小值.
【详解】根据题意，将该三棱柱补成正方体 ，以 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ，所以 ，
由正方体的性质可得该正方体的外接球球心为 ，即为点 ，
则 ，外接球半径为 ，
点 到直线 的距离 ，
该截面面积最小时，点 到该截面的距离为 ，则截面面积的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且满足 ．
(1)求角 的大小；
(2)若 ，求 面积的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据正弦定理角化边，再根据余弦定理求角 ；
（2）根据（1）和余弦定理可得 ，再利用三角形的面积公式和基本不等式求解.
【详解】（1）在 中，由正弦定理，得
，整理得 ，
由余弦定理，得 ，
又 ，所以 ．
（2）由（1）及余弦定理知， ，
故 ，当且仅当 时等号成立，
即 面积的最大值为 ．
16．如图，在三棱台 中， 为等边三角形， ， ，且 ．(1)证明： 平面 ；
(2)求平面 与平面 夹角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）结合棱台的性质及勾股定理逆定理，根据线面垂直的判定定理证明即可.
（2）建立空间直角坐标系，求出平面 与平面 的法向量，根据面面角的向量求法求解即可.
【详解】（1）取 的中点为 ，则 ，连接 ， ，
三棱台 中， ， ，
所以 ，且 ，所以四边形 为平行四边形，
所以 ， ，
由 ， 为 的中点，所以 ，
又 ，所以 ，所以 ，即 ，
又 ， ， ， 平面 ，所以 平面 ；
（2）由（1）可知， ， ， 两两垂直，
如图，以 为坐标原点， ， ， 的方向分别为 轴、 轴、 轴的正方向，建立空间直角坐标系，
则 ， ， ， ，
所以 ， ， ， ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，即 ，令 ，则 ， ，所以 ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，即 ，
令 ，则 ， ，所以 ，
设平面 与平面 夹角为 ，
则 ，
所以平面 与平面 夹角的余弦值为 ．
17．随着人工智能技术的迅猛发展，大型语言模型正以前所未有的速度渗透至人们的生活场景. 作为其中
的代表性模型之一，凭借其强大的推理性能赢得了广泛关注.为全面了解人们对 的真实使用情况，某新闻
媒体机构随机挑选男、女志愿者各100名进行问卷调查，得到如下列联表：
性别
男 女 合计
使用情况
喜爱 60 40 100
不喜爱 40 60 100
合计 100 100 200
(1)根据小概率值 的独立性检验，分析喜爱 的程度是否与性别有关；
(2)现使用 解答代数问题和几何问题，规则如下：每次解答一类问题中的一个不同题目，且相互独立.若答案正确，则继续解答同类中问题；若答案错误，则解答另一类中的问题.每次解答代数问题的正确率为 ，每次解
答几何问题的正确率为 .已知第1次解答问题是代数问题和几何问题的概率均为 .
（ⅰ）求第2次解题时解答代数问题的概率；
（ⅱ）记前 次（即从第1次到第 次）解答中，解答代数问题的次数为 ，求 .
附： ，其中 .
0.1 0.01 0.001
2.706 6.635 10.828
【答案】(1)在小概率值 的独立性检验下，没有充分证据推断喜爱DeepSeek的程度与性别有关，即认为二
者无关.
(2)（i） ；（ii）
【分析】（1）根据列联表数据代入卡方公式计算观测值，与临界值比较，得出独立性检验结论.
（2）（i）分第一次解答代数题正确、第一次解答几何题错误两类互斥情况，由互斥事件概率加法公式计算第二次
解代数题的概率.
（ii）构造第 次解答代数题的概率序列，推导递推关系，构造等比数列求通项，再利用期望的线性性质求和得到
.
【详解】（1）零假设为 ：喜爱 的程度与性别无关.
由列联表得 ，
∵ ，
∴ 代入数据得 .
∵ 小概率值 对应的临界值为 ， ，
∴ 没有充分证据拒绝 ，即在 的检验水平下，认为喜爱 的程度与性别无关.（2）记“第 次解答代数问题”为事件 ， ， .
（i）第2次解答代数问题包含两类互斥情况：
① 第1次解答代数问题且答案正确，概率为 ；
② 第1次解答几何问题且答案错误，概率为 .
∵ 两类事件互斥，
∴ .
（ii）由题意得，第 次解答代数问题的递推关系为：
，
化简得 ， .
构造等比数列，令 ，展开得 ，
对比递推式得 ，解得 .
∴ 数列 是首项为 ，公比为 的等比数列.
∴ ，即 .
由期望的可加性，前 次解答代数问题的总期望等于每次解答代数问题的概率之和，即.
【点睛】方法点睛：本题为概率与数列结合的典型综合题，通用解题路径为：① 分析事件转移逻辑，建立单次事
件发生概率的递推关系；② 构造等比数列求解概率通项；③ 结合期望的累加性质求和得到结果.
18．已知函数 ．
(1)判断函数 的单调性，并求出 的极值；
(2)若 ，不等式 有唯一的负整数解，求实数 的取值范围．
【答案】(1) 在 上单调递减，在 上单调递增， ， 无极大值；
(2)
【分析】（1）利用导数即可求解；
（2）由不等式 有唯一的整数解，得到 有唯一解，利用函数的单调性讨论函数 与直线
有且仅有一个负整数交点即可.
【详解】（1）由 ，
∴ ，且 时， ； 时， ，
∴ 在 上单调递减，在 上单调递增，
∴ ， 无极大值.
（2）由 ，即 ，令 ，原不等式等价于 只有唯一负整数解，结合 与
的图象可知，
是过定点 的一条直线，当 时，存在无数个负整数解满足该不等式，不满足题意，
当 时，需 且 ，得 ，解得 ，
即实数 的取值范围是 .
19．已知椭圆 ，左、右焦点分别为 ， ，离心率为 ，过 的直线 交椭圆 于 ，
两点，且 的周长为8， 为坐标原点.
(1)求椭圆 的方程；
(2)按如下方式依次生成直线 ：过 作直线 交椭圆 于 ， ，其中 在 轴上方， 为弦 的中点.对任
意正整数 ，过 作直线 ，使 .记直线 的斜率为 ，且 .
（ⅰ）证明数列 是等比数列；
（ⅱ）已知从椭圆 外一点 向该椭圆引两条切线，切点分别为 ， ，则直线
的方程为 .过 ， 分别作椭圆 的切线，两切线交于点 ，设 为 的重心，记
，求数列 的通项公式.
【答案】(1)(2)（i）证明见解析；（ii）
【分析】（1）由焦点三角形的周长、椭圆的定义得 ，再由离心率、椭圆参数的关系求参数值，即可得；
（2）（i）设直线 ， ，弦中点 ，联立椭圆并应用韦达定理、中点公式
得 ， ，进而求 ，利用垂直关系得 ，根据等比数列的定义即可证；
（ii）由 ，设 并求得 为 、 ，进而得 、
，根据已知及点线距离公式得 化简即可得.
【详解】（1）由 的周长为 ，则 ，
又 ，故 ，则椭圆方程为 ；
（2）（i）由（1） ，设直线 ，联立椭圆得 ，
所以 ，若 ，弦中点 ，
所以 ， ，
所以 ， ，则 ，
因为 ，所以 ，而 ，
所以数列 是首项为 ，公比为 的等比数列；（ii）由（i） ，
设 为过 的椭圆的切线的交点，则切点弦 方程为 ，
直线 为 ，即 ，
综上， ，则 ，即 ，
为 的重心，则 ，即 ，
由两个三角形同底 ，面积比等于底边上的高之比，
即点 到直线 的距离之比 ，
而 ， ，
所以 ，而 ，则 .
