文档文本内容
第02 讲 函数的性质：单调性、奇偶性、周期性、
对称性、最值
目录
考情探究.........................................................................................................................2
知识梳理.........................................................................................................................3
探究核心考点.................................................................................................................6
考点一 根据函数解析式判断函数单调性..................................................................................6
考点二 根据函数的单调性（含分段函数）求参数值............................................................8
考点三 根据函数单调性解不等式..............................................................................................9
考点四 根据函数单调性比较函数值大小关系........................................................................13
考点五 最值问题........................................................................................................................17
考点六 根据函数的奇偶性求参数值........................................................................................19
考点七 抽象函数奇偶性的综合应用........................................................................................21
考点八 函数周期性的综合应用................................................................................................24
考点九 函数对称性的综合应用................................................................................................26
考点十 周期性对称性的综合应用............................................................................................30
考点十一 周期性奇偶性的综合应用........................................................................................32
考点十二 奇偶性对称性的综合应用........................................................................................34
考点十三 函数性质的全部综合应用........................................................................................36
三阶突破训练...............................................................................................................43
基础过关......................................................................................................................................43
能力提升......................................................................................................................................47
真题感知......................................................................................................................................56
一、5 年真题考点分布
5 年考情
考题示例
考点分析
关联考点
2025 年全国一卷，第5 题,5 分
函数的周期性求函数值
函数奇偶性的应用
无
2025 年全国二卷，第10 题,6 分
由奇偶性求函数解析式
函数奇偶性的应用
求已知函数的极值点
2024 年新I 卷，第6 题,5 分
判断指数函数的单调性
判断对数函数的单调性
根据分段函数的单调性求参数
2024 年新I 卷，第8 题,5 分
求函数值
抽象函数的关系
比较函数值的大小关系
2024 年新Ⅱ卷，第6 题,5 分
函数奇偶性的定义与判断
函数奇偶性的应用
根据函数零点的个数求参数范围
求余弦(型)函数的奇偶性
2024 年新Ⅱ卷，第11 题,6 分
函数对称性的应用
函数单调性、极值与最值的综合应用
利用导数研究函数的零点
判断零点所在的区间
2023 年新I 卷，第4 题,5 分
复合函数的单调性
函数的单调性求参数值
2023 年新I 卷，第11 题,6 分
函数奇偶性的定义与判断
函数极值点的辨析
2023 年新Ⅱ卷，第4 题,5 分
函数奇偶性的应用
奇偶性求参数
2022 年新I 卷，第12 题,5 分
抽象函数的奇偶性
函数对称性的应用
函数与导函数图象之间的关系
2022 年新Ⅱ卷，第8 题,5 分
函数奇偶性的应用
抽象函数的周期性求函数值
2021 年新I 卷，第13 题,5 分
由奇偶性求参数
无
2021 年新Ⅱ卷，第8 题,5 分
函数奇偶性的应用
函数的周期性的定义与求解
2021 年新Ⅱ卷，第14 题,5 分
函数奇偶性的定义与判断
基本初等函数的导数公式
二、命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度中等偏难，分值为5-6 分
【备考策略】1.会用符号语言表达函数的单调性,掌握求函数单调区间的基本方法
2.理解函数最大值、最小值的概念、作用和实际意义，会求简单函数的最值
3.能够利用函数的单调性解决有关问题
4.了解奇偶性的概念和意义，会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性
5.了解周期性的概念和意义.会判断、应用简单函数的周期性解决问题
6.能综合运用函数的奇偶性、单调性、周期性、对称性等解决相关问题.
【命题预测】本节内容是新高考卷的必考内容，一般会以抽象函数作为载体，考查函数的单调性、奇偶性、
周期性及对称性，是新高考一轮复习的重点内容.
知识点1 函数的单调性与单调区间
设函数y = f (x)的定义域是D，区间I ⊆D，如果对于任意的x1，x2∈I，当x1< x2时，都有
f (x1)<f (x2)
，则称y = f (x)在区间I 上是
增函数
，（也称在区间I 上单调递增），如图所
示.
当x1< x2时，都有
f (x1)>f (x2) ，则称y = f (x)在区间I 上是
减函数
，（也称在区间I 上
单调递减）如图所示.
两种情况下，都称函数在区间I 上具有
单调性
（区间I 称为函数的
单调区间
，也可分
别称为
单调递增区间
和
单调递减区间
）
知识点2 函数的最值
最
最大值
最小值
值
条
件
函数y = f (x)的定义域为I，存在实数M满足：
（1）对于任意的x∈I，都有
f (x)≤M
（2）存在x0∈I，使 f (x0)= M
（1）对任意x∈I，都有 f (x)≥M
（2）存在x0∈I，使 f (x0)= M
结
论
M是函数y = f (x)的最大值
M是函数y = f (x)的最小值
知识点3 单调性的常见运算
（1）单调性的运算
①增函数（↗）
增函数（↗）
增函数↗
②减函数（↘）
减函数（↘）
减函数↘
③
为↗，则
为↘，
为↘
④增函数（↗）
减函数（↘）
增函数↗
⑤减函数（↘）
增函数（↗）
减函数↘
⑥增函数（↗）
减函数（↘）
未知（导数）
（2）复合函数的单调性
知识点4 函数的奇偶性
奇偶性
定义
图象特点
偶函数
一般地，设函数y = f ( x)的定义域为D，如果对D内任意
一个x，都有 −x∈D ，且
f (−x)= f ( x) ，则称函数y = f ( x)是偶函数
关于 y轴 对称
奇函数
一般地，设函数y = f ( x)的定义域为D，如果对D内任意
一个x，都有 −x∈D ，且
f (−x)=−f ( x) ，则称函数y = f ( x)是奇函数
关于 原点 对称
知识点5 函数的周期性
①周期函数：一般地，设函数f (x)的定义域为D，如果存在一个 非零常数T ，使得对每一个
x∈D都有x +T ∈D，且 f (x +T )= f (x) ，那么函数f (x)就叫做周期函数． 非零常数T
叫做这个函数的周期．
②最小正周期：如果在周期函数f (x)的所有周期中存在一个最小的 正数 ，那么这个最小 正
数 就叫做f (x)的 最小正周期 ．
若
，则
的周期为：
若
，则
的周期为：
若
，则
的周期为：
（周期扩倍问题）
若
，则
的周期为：
（周期扩倍问题）
知识点6 函数的对称性
轴对称
①若
，则
的对称轴为
②若
，则
的对称轴为
点对称
①若
，则
的对称中心为
②若
，则
的对称中心为
知识点7 周期性对称性综合问题
①若
，
，其中
，则
的周期为：
②若
，
，其中
，则
的周期为：
③若
，
，其中
，则
的周期为：
知识点8 奇偶性对称性综合问题
①已知
为偶函数，
为奇函数，则
的周期为：
②已知
为奇函数，
为偶函数，则
的周期为：
考点一 根据函数解析式判断函数单调性
典例1．（2025·北京平谷·一模）下列函数中，在区间
上单调递增的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据常见函数的单调性即可逐一求解.
【详解】对于A，
，由于
，故
在区间
上不是单调递
增的，A 错误，
对于B,
在区间
上单调递减，B 错误，
对于C,当
时，
单调递增，且值恒为正，故
为单调递减，所以
为单调
递增，C 正确，
对于D，
在区间
上单调递增，故
在区间
上单调递减，D 错误，
故选：C
典例2．（2025·北京·模拟预测）下列函数中，既是奇函数，又在区间
上单调递增的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用奇偶性的定义和函数的单调性可逐一判断各选项即得.
【详解】对于A，若
，函数定义域为
，
，即函数
不是奇函数，故
A 错误；
对于B，
的定义域为
，关于原点对称，但
，
故函数
不是奇函数，即B 错误；
对于C，函数
的定义域为
，但
，
故函数
不是奇函数，即C 错误；
对于D，
的定义域为
，且
，即函数
是奇函数，
且因
，函数
在
上单调递增，故D 正确.
故选：D.
跟踪训练1．（2025·广东·三模）下列函数中，既是奇函数又在
单调递增的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用奇偶性及单调性逐项判断即可.
【详解】对于A，函数
是奇函数，在
上单调递增，A 是；
对于B，函数
是偶函数，不是奇函数，B 不是；
对于C，函数
是偶函数，不是奇函数，C 不是；
对于D，函数
是偶函数，不是奇函数，D 不是.
故选：A
跟踪训练2．（2025·山东枣庄·二模）下列函数中，是偶函数且在
上单调递增的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】确定各选项中函数的奇偶性或单调性即可.
【详解】对于A，函数
在
上单调递减，A 不是；
对于B，函数
的定义域为
，不具奇偶性，B 不是；
对于C，函数
定义域为R，
，不是偶函数，C 不是；
对于D，函数
定义域为
，
，是偶函数；
当
时，
，函数
在
上单调递增，
则
在
上单调递增，D 是.
故选：D
考点二 根据函数的单调性（含分段函数）求参数值
典例1．（2025·陕西西安·模拟预测）若函数
在
上单调，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据指数函数、二次函数以及复合函数的单调性求解即可.
【详解】因为函数
在
上为增函数，
在
上为减函数，在
上为增函
数，
且函数
在
上单调，
根据复合函数的单调性，可得
，即
，
所以
的取值范围是
.
故选：A.
典例2．若函数
，在
上是增函数，则实数
的取值范围是 .
【答案】
【分析】利用分段函数的单调性，结合指数函数单调性列出不等式求解即得.
【详解】由函数
在R 上是增函数，得
，解得
，
所以实数
的取值范围为
.
故答案为：
跟踪训练1．（2025·江西·二模）若函数
在区间
上单调递增，则a 的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据指数复合函数单调性计算求参即可.
【详解】根据函数
在区间
上单调递增，且
单调递增，
可得
在区间
上单调递增，所以
.
故选:D.
跟踪训练2．已知函数
满足对任意的
，都有
成立，
则实数
的取值范围为 .
【答案】
【分析】运用分段函数单调性知识，结合一次函数和指数型函数单调性知识可解.
【详解】由题意，
为定义在
上的减函数，则各段为减函数，还要区间端点附近递减，
所以
，解得
，则
.
故答案为：
.
考点三 根据函数单调性解不等式
典例1．（2025·四川·三模）已知函数
，则满足
的实数
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据指数函数性质即可得到其单调性，则得到不等式，解出即可.
【详解】因为
均为
上的增函数，则
为
上的增函数，
所以若
，则
，解得
.
故选：D.
典例2．（2025·湖北荆门·模拟预测）已知函数
，则不等式
的解集
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由题意可得
，且
在R 上为减函数，将不等式化简为
，再
由
的单调性可得
，解不等式即可得出答案.
【详解】
,
设
，
的定义域为R，
，所以
为奇函数，
则
，
又因为
在R 上均为减函数，
所以
在R 上为减函数，
由
可得
，
即
，所以
，
解得：
或
.
故选：D.
典例3．（2025·全国·模拟预测）设函数
，则不等式
的解集为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】分析函数奇偶性，得到函数为偶函数，再分析单调性，根据偶函数单调性相反即可把不等式转化
为
，解不等式即可.
【详解】函数
的定义域为
，且
，即
为偶函数．
当
时，
和
，
和
均在
上单调递增，所以
和
均在
上单调递增，则
在
上单调递增，所以不等式
等价
于
，即
，解得
或
．
所以不等式
的解集为
．
故选:D
跟踪训练1．已知
，则
的解集为（ ）
A．
B．
C．
或
D．
或
【答案】D
【分析】根据定义判断奇偶性，由解析式判断对数复合函数的单调性，综合运用奇函数、单调性解不等式
即可.
【详解】由
，且定义域为R，
根据
在
上递增，则
在
上递增，
又
在
上递增，则
在
上递增，
结合奇函数性质且函数在R 上连续，则
在R 上递增，
由
，
所以
，解集为
或
.
故选：D
跟踪训练2．（2025·江苏泰州·模拟预测）已知函数
．若
，则实数a 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】先通过对变量替换，即令
，将原函数变为
，通过求导判断
的单调性，利
用其严格递增性将原不等式转化为
，最终求解一元二次不等式.
【详解】令
，则原函数可改写为：
，
定义辅助函数
，则
，
由
，故
是奇函数，
，又
（当且仅当
时取等号），且
,
,
因此，
在
上严格递增，
原不等式
转化为：
，即
，
因为
为奇函数，即
，所以
，
又
在
上严格递增，故
，所以
，得
，
故选：A
跟踪训练3．（2025·河北石家庄·三模）已知
是定义在
上的奇函数，当
、
且
时，
都有
成立，
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】对
进行变形，得出函数
的单调性，再利用函数的单调性和奇偶
性解不等式.
【详解】由
可得
，设函数
，
，
则
在
上单调递增，
又因为
为定义在
上的奇函数，
，所以
为偶函数，
在
上单调
递减，
而不等式
，
又因为
，所以
，
所以不等式的解集为
.
故选：B
考点四 根据函数单调性比较函数值大小关系
典例1．（2025·陕西商洛·三模）已知
是偶函数，且
在
上单调递增，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】分析函数
在
上的单调性，比较
、
、
的大小关系，结合函数
的单调
性可得出结果.
【详解】因为函数
是偶函数，且
在
上单调递增，则该函数在
上为减函数，
因为
，
所以，
，且函数
在
上为增函数，
所以，
，
因为函数
在
上为减函数，则
，
故
，且
，
所以，
，
故选：D.
典例2．（2025·湖北黄冈·模拟预测）已知函数
，若
，
则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】对函数
求导，根据导函数
可得
为R 上的增函数，利用单调性比较大小即可.
【详解】由
，得
，
，当且仅当
，即
时等号成立，
而
，
，即
在R 上单调递增，
，
，即
.
故选：A.
典例3．（2025·天津武清·模拟预测）已知定义在R 上的函数
，
，
，
，则a，b，c 的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据函数的解析式，求得函数为奇函数，化简
，再结合函数的单调性，即可求解.
【详解】
，定义域为
，关于原点对称，
且
，所以函数
为奇函数，
所以
，
又
，
任取
，且
，则
，则
，
故
在
上单调递增，
又由对数函数的单调性可得
，
所以
，即
.
故选：D
典例4．（2025·全国·模拟预测）已知
，则下列关系式正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】构造函数
，
，
，利
用导数求解函数的单调性，即可由单调性求解.
【详解】设函数
，则
．
当
时，
，所以
在
上单调递增，故
，
即
，所以
．
设函数
，则
，所以
在
上单调递减，当
0
时，
，
故当
时，
，即
，所以
．
设
，则
，当
时，
，所以
在
上单调递增．故当
时，
，即
，所以
，则
，即
．
故选：D．
跟踪训练1．（2025·山东菏泽·一模）已知
，则下列不等关系正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】首先根据函数解析式判断出函数
的对称性与单调性，再利用函数
的对称性得到
，进而利用函数单调性即可比较大小.
【详解】由题知
，
，
即函数
图象的对称轴为
，且
在
上单调递增，在
上单调递减.
.
，
.
故选：A.
跟踪训练2．（2025·辽宁本溪·模拟预测）已知定义在
上的函数
的图象关于直线
对称，且
在
上单调递减.设
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】通过函数的奇偶性和单调性即可判断.
【详解】因为
的图象关于直线
对称，所以
的图象关于
轴对称，所以
为偶函数，
又
在
上单调递减，所以
在
上单调递增.
由题得
，
又
，因
，则
所以
，
即
.
故选：D.
跟踪训练3．（2025·重庆·二模）已知函数
是定义在
上的偶函数，且
在
上为增函数，
设
，
，则
的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】易得函数
在
上为减函数，再利用指数函数和幂函数的单调性得到
求
解.
【详解】因为函数
是定义在
上的偶函数，且
在
上为增函数，
所以函数
在
上为减函数，
又
，
，
所以
，则
，
故选：B
跟踪训练4．（2025·安徽合肥·模拟预测）已知
，则
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】构造函数
，由导数得出单调性即可得出
，构造
，由导数得出单调性，即可得出
．
【详解】构造函数
，
当
时，
，故
在
上单调递增，
所以
，
构造函数
，
则
，
当
在
单调递增，
所以
，即
，
所以
.
故选：B．
考点五 最值问题
典例1．（2025·北京顺义·一模）下列函数中，单调递增且值域为
的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】逐项分析函数的单调性和值域，可得正确答案.
【详解】对A：函数在
上单调递减，在
上单调递增，故A 不满足函数的单调性；
对B：函数在
上单调递增，且函数值域为
，故B 满足题意；
对C：函数在
上单调递增，且函数值域为
，故C 函数的值域不满足条件；
对D：函数在
上单调递增，值域为
，故D 函数的值域不满足条件.
故选：B
典例2．（2025·宁夏陕西·模拟预测）已知函数
，则
在
上的最大值为（ ）
A．
B．
C．0
D．1
【答案】C
【分析】先利用换元法求出
的解析式，再利用定义法求证
在
上的单调性即可求出.
【详解】
，令
，则
，
则
，
且
，则
因
，则
，则
，
又
，则
，即
，
则
在
上单调递增，
则
的最大值为
.
故选：C
跟踪训练1．（2025·湖南·模拟预测）已知函数
，则“
，
”是“
在
上的最小值为2”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
【答案】B
【分析】根据充分、必要条件的判断方法，结合函数最小值的概念进行判断.
【详解】先判断充分性：若函数
在
的最小值为3，
则“
，
”成立，但“
在
上的最小值为2”不成立，
所以“
，
”不是“
在
上的最小值为2”的充分条件.
再判断必要性：“
在
上的最小值为2”时，可得“
，
”成立，
所以“
，
”是“
在
上的最小值为2”的必要条件.
综上：“
，
”是“
在
上的最小值为2”的必要不充分条件.
故选：B
跟踪训练2．已知函数
，
，若
，
，使得
，则实
数
的取值范围是( ).
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由
，
，使得
，只需
，分别研究两个函数的单
调性，求两个函数的最大值，然后解不等式即可.
【详解】由题意知，当
时函数
单调递增，所以
，
当
时，
为单调递增函数，所以
，
又因为
，
，使得
，
即
在
的最大值不小于
在
上的最大值，
即
，解得
，即
.
故选：A.
考点六 根据函数的奇偶性求参数值
典例1．（2025·江西·模拟预测）已知函数
为奇函数，则m＝（ ）
A．5
B．4
C．
D．1
【答案】C
【分析】利用奇函数定义，结合余弦函数奇偶性列式求出
值.
【详解】函数
的定义域为
，且
是奇函数，
则
，而
不恒为0，
因此
，所以
．
故选：C
典例2．（2025·北京海淀·三模）已知
，
，则“
”是“
是奇函数”的
（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合奇函数的定义推理判断.
【详解】当
时，
，定义域为
关于原点对称，
且
，因此
是奇函数；
如果
是奇函数，则
定义域必须关于原点对称，因此
，
所以“
”是“
是奇函数”的充分必要条件．
故选：C
跟踪训练1．（2025·河南·模拟预测）已知
为偶函数，则实数
（ ）
A．0
B．1
C．
D．
【答案】C
【分析】根据
恒成立求参数
的值.
【详解】易得函数
的定义域为
，由
是偶函数，得
恒成立，
可得
，故
.
故选：C
跟踪训练2．（2025·广东广州·模拟预测）已知定义域为
的函数
满足
，则
（ ）
A．3
B．2
C．1
D．0
【答案】A
【分析】由题意可得函数
为奇函数，由
代入计算可得
，由
代
入计算可得
，计算即可求解.
【详解】因为函数
定义域为
且
，
所以函数
是奇函数且
，
即
，所以
，
又
，所以
，所以
，即
.
故选：A．
考点七 抽象函数奇偶性的综合应用
典例1．（2025·河南·模拟预测）已知
是定义在
上的奇函数，且对任意
，都有
，则
（ ）
A．2
B．1
C．0
D．
【答案】C
【分析】通过赋值法结合奇函数的性质即可求解.
【详解】令
，则
，
因为
是定义在
上的奇函数，
所以
，则
.
故选：C.
典例2．（2025·山东菏泽·一模）（多选）已知函数
的定义域为
，且
，若
，
则（ ）
A．
B．
是奇函数
C．
是增函数
D．
【答案】ABD
【分析】对于选项A 和选项B：利用奇函数的定义以及奇函数在原点有定义就有
即可判断；
对于C：举反例即可判断；对于D：分别令
和
即可判断.
【详解】对于B：令
，由题设可知
，故
是奇函数.故B 正确；
对于A：又
的定义域为R，所以
，故A 正确.
对于C：不妨取
，则满足
，且
，故C 错误.
对于D：令
，则
；令
，则
，
故
，故D 正确.
故选:ABD
典例3．（2025·山西·二模）已知函数
的定义域为
，函数
是奇函数，函数
的图象关于直线
对称，则（ ）
A．
是偶函数
B．
是奇函数
C．
D．
【答案】B
【分析】由题设奇偶性和对称性条件结合奇偶性定义公式和对称性公式进行分析函数的性质即可得解.
【详解】因为
是奇函数，所以
为偶函数，
所以
，即
，故
的图象关于直线
对称，
由
的图象关于直线
对称得
，
即
，
即
，所以
关于
对称，
所以
，所以
，
故
是奇函数，所以B 选项正确；
因为
，又
，所以
，
即
，所以
，故C 选项错误；
不能得到
的奇偶性与
的值，故A，D 选项错误.
故选：B
跟踪训练1．（2025·江西南昌·模拟预测）（多选）已知定义在R 上的单调函数
，满足
，
，
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
可能是单调递减函数
C．
为奇函数
D．若
，则
【答案】ACD
【分析】由单调函数性质，奇函数定义结合赋值法可判断各选项正误.
【详解】因
为定义在R 上的单调函数，则
，
.
对于A，令
，则
或
，
若
，则对
，取
，都有
，不满足单调函数性质，
故
，故A 正确；
对于B，令
，则
或
（舍），则
，
因
，结合
为定义在R 上的单调函数，则
只能是单调递增函数；
对于C，令
，则
（舍），
则
，取
，取
，
则
，又
定义为R，则
为奇函数，故C 正确；
对于D，令
，则
，令
，
则
，
则
，故D 正确.
故选：ACD
跟踪训练2．（多选）已知定义在
上的函数
，且
，若
，则
（ ）
A．
B．
是偶函数
C．
是奇函数
D．
【答案】ABD
【分析】通过赋值令
得到
或，若
，再令
，
，得出
与
矛盾，从而确定A 正确；令
，结合选项A 的结论
得到
，即可判断B 正确；令
，得
，进而得
，得
，由此判断C 不正确；由
得
，由此
，由此判断D 正确.
【详解】令
，得
，所以
或
，
若
，令
，
，得
，即
，与
矛盾，所
以
，所以A 正确；
令
，得
即
，所以
，所
以B 正确；
令
，得
，所以
，所以
，当
时，
，所以C
错误；
因为
，所以6 是
的一个周期，所以
，
所以D 正确．
故选：ABD．
考点八 函数周期性的综合应用
典例1．（2025·云南曲靖·二模）已知函数
满足
，且当
时，
，
则
的值为 ．
【答案】
【分析】根据已知得出函数的周期为4，进而得出
，然后根据解析式求出
即可得出答
案.
【详解】由已知
可知，函数
为周期函数，且周期为4.
所以，
.
又当
时，
，
所以，
，
.
故答案为：
.
典例2．（2025·湖南岳阳·三模）已知函数
满足
，
，则
（ ）
A．3
B．
C．5
D．
【答案】B
【分析】构造函数
，通过其周期性，确定
的周期性，即可求解.
【详解】
可得：
，
即
，
令
，
则
，
可得
，
所以
是以4 为周期的函数，
所以
也是以4 为周期的函数，
所以
，
令
可得：
，
结合
，可得
，
所以
.
故选：B
跟踪训练1．（2025·江西新余·模拟预测）已知函数
的定义域为
，且
，
，
，则
（ ）
A．5
B．
C．2
D．
【答案】D
【分析】利用赋值法，整理等式可得函数周期性，利用周期性，可得答案.
【详解】由题意得
，用
代替x，得
.
两式相加，得
，所以
，所以函数
是以6 为周期的周期函数.
因为
，所以
，又因为
，所以
.
又因为
，即
，解得
，
所以
.
故选：D.
跟踪训练2．2025·浙江嘉兴·三模）已知函数
的定义域为
，且
，
，
，则
（ ）
A．
B．0
C．1
D．2
【答案】D
【分析】根据
和
推出函数
的周期，求出一个周期的函数值，
即可求解.
【详解】由
，所以
，所以
，
所以
，由
有
，
所以
，即
，所以函数
的周期为6，
所以
，
由
，
，
，
令
有
，
，
所以
，所以
，
令
有
，
，即
，
令
有
，即
，
，
所以
，
所以
，
故选：D.
考点九 函数对称性的综合应用
典例1．（2025·安徽马鞍山·模拟预测）若函数
的图象关于
对称，且
，则实数
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用函数的定义域，结合对称性特点求出
，再验证得解.
【详解】函数
有意义，则
，由
的图象关于点
对称，
得
的定义域关于数2 对称，由
不在
的定义域内，得不在
的定义域内，
则
，即
，此时
，
，
，
因此函数
的图象关于点
对称，符合题意，
所以
.
故选：A
典例2．（2025·广东·一模）若函数
关于直线
对称，则
（ ）
A．1
B．3
C．5
D．7
【答案】B
【分析】由题意可得
，代入
展开后，结合等式恒成立，即可求得
答案.
【详解】由题意函数
关于直线
对称，
故
，即
，
即
，
即
,
故需满足
且
，即
，
则
，
故选：B
典例3．（2025·江苏苏州·三模）已知函数
，定义域为R 的函数
满足
，若函数
与
的图象有四个交点，分别为
，
，
，
，则
（ ）
A．0
B．4
C．8
D．12
【答案】D
【分析】根据题意得到
，
的图象关于
对称，设关于点
对称的坐标为
，
，则
，
，同理可得：
，
，即可得到答案.
【详解】由
，得
的图象关于
对称，
函数
，则
，即
的图象也关于
对称，
因此函数
与
图象的交点关于
对称，
不妨设关于点
对称的坐标为
，
，则
，
，
则
，
，同理得：
，
，
即
.
故选：D
跟踪训练1．（2025·河南·一模）已知曲线
关于点
中心对称，则
（ ）
A．2
B．1
C．
D．
【答案】C
【分析】由题意可知
，计算即可得出结果.
【详解】因为
关于点
中心对称，
所以
，
所以
，可得
，
故选：C．
跟踪训练2．（2025·湖北黄冈·模拟预测）设函数
，
，曲线
与
恰有一个交点，则
（ ）
A．0
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】构造函数
，再求证
，即可结合对称性得出
求出
值.
【详解】令函数
，
可得
，
即
，所以函数
的图象关于直线
对称，
因为函数
与
恰有一个交点，所以
，
可得
，解得
.
故选：C.
跟踪训练3．（2025·陕西咸阳·二模）已知
是定义在
上的函数，且
为奇函数，若函数
的图象与函数
的图象有
个交点
，…，
，
且
，则
的值为（ ）
A．1010
B．1012
C．1014
D．1016
【答案】B
【分析】由
为奇函数，得到
，求得
的图象关于点
对称，再由
，根据
奇偶性，得到
为奇函数，
且
的关于
对称，求得
的值，得到答案.
【详解】因为
为奇函数，所以
，
所以
的图象关于点
对称，
函数
，
对于函数
，
可得
，
所以函数
为奇函数，其图象关于原点对称，
所以
的图象关于
对称，
所以
为偶数，这些根成对出现，每对和为
，
所以设
，则
，所以
，解得
.
故选：B.
跟踪训练4．（2025·广东珠海·模拟预测）已知函数
定义域为
，且满足
，
，若
的图象与
的图象的交点分别为
，
，……，
，
则
（ ）
A．0
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】判断
与
图象的对称性，从而求得
．
【详解】对于
，
，
，
所以
的图象关于点
对称．因为
所以
是奇函数，
是奇函数，图象关于原点对称，
所以
的图象关于点
对称，
所以
，
的图象的交点关于
对称，
所以
．
故选：D
考点十 周期性对称性的综合应用
典例1．（2025·宁夏吴忠·二模）定义在
上的函数
满足
，且
，当
时，
，当
时，
，则
的最小值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由题，可得
的周期为4，由
求得
，
，结合对称性求得
在一
个周期内的值域，得解.
【详解】由
，即
，可得
的图象关于点
对称；
由
，即
，可得
的图象关于点
对称，
，所以
的周期为4．
易知
，所以
，所以
，
，
所以
在
上的值域为
．
又
的图象关于点
对称，所以当
时，
，
即
在一个周期内的值域为
，所以
的最小值为
.
故选：D．
典例2．（2025·辽宁盘锦·三模）已知定义域均为
的函数
，
满足
，
，
，若
，则下列说法错误的是（ ）
A．
的图象关于y 轴对称
B．
为
的一个周期
C．
D．
【答案】C
【分析】根据抽象函数的奇偶性和对称性，求出周期，确定对称轴，求函数值的和分别判断各个选项.
【详解】因为
，所以
，又因为
，所以
，所以
，所以
的图象关于y 轴对称，故A 正确；
又因为
，所以
，所以
，即
，
所以
，所以
，故B 正确；
在
中，令
，得
，所以
，故C 错误；
因为
，所以
，所以
，所以
，
，
故
，故D 正确．
故选：C
跟踪训练1．（2025·山东泰安·模拟预测）已知函数
是定义在
上的可导函数，且
满足
，
，当
时，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先判断函数的周期性，从而得到导数的周期性，再根据导函数的对称性和周期性可求
.
【详解】由
可得
，
所以函数
周期是
，且
的周期也是
.
因为
，故
，
故
的图象关于直线
对称.
对
求导得
，
.
则
故选：B.
跟踪训练2．（2025·宁夏银川·一模）定义在
上的函数
满足
，且当
时，
，则方程
所有的根之和为（ ）
A．14
B．
C．12
D．
【答案】B
【分析】由关系式得出
的对称性和周期性，再画出其函数图象，判断
以及
的图象
交点对数，再根据对称性即可求.
【详解】由
，
则
关于
中心对称，关于直线
轴对称，且
，
将
替换为
，则
，则
，即
的周期为4.
画出
以及
的函数图象，如图所示，
两个函数图象均关于
对称，则所有的根之和为
.
故选：B
考点十一 周期性奇偶性的综合应用
典例1．（2025·山西朔州·模拟预测）已知函数
是定义在
上周期为4 的奇函数，若
，则
．
【答案】
【分析】根据给定条件，利用函数的奇偶性和周期性求出函数值.
【详解】函数
是定义在
上周期为4 的奇函数，故
且
，
故
，解得
，
，
又
，所以
.
故答案为：
典例2．（2025·重庆·模拟预测）已知函数
的定义域为
，若
为偶函数，
为奇
函数，则下列式子中一定是定值的为 （ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】通过已知
为偶函数和
为奇函数得出相应等式，再经过等式推导得出函数的周期，
最后利用周期计算
的值.
【详解】因为
为偶函数，可得
，也就是
.
因为
为奇函数，可得
，也就是
.
令
代入
，可得
，所以
.
由
和
，可得
.
则
，即
.
则
.
又因为
，所以
，所以函数
的周期是.
因为
，可得
，
又因为前面已求得
，所以
.
故选：D.
跟踪训练1．已知定义在
上的函数
，满足
是偶函数，
是奇函数，则
.
【答案】1
【分析】由条件结合偶函数的性质和奇函数性质，求函数
的周期，结合周期性性质求结论.
【详解】因为函数
是偶函数，
所以
，
因为函数
是奇函数，
所以
，即
，
取
可得
，
令
可得
，
令
可得，
，
所以
，
，
所以
，
所以函数
为周期函数，
是该函数的一个周期，
所以
.
故答案为：.
跟踪训练2．（2025·青海海南·模拟预测）已知定义在
上的函数
满足
，且
，
，则
．
【答案】1
【分析】根据条件，通过赋值法，得到
，
，再利用函数的性质，得到
函数周期为
，即可求解．
【详解】令
，得
，
令
，得
，所以
．
将
代入，可得
．
令
，得
，
又因为
恒成立，且不恒为
，
所以
，从而
为奇函数，
又由
，可得
，
所以
，所以
为
的周期，
于是
，
故答案为：.
【点睛】关键点点晴，本题的关键在于通过赋值，结合函数的性质得到
是
的一个周期.
考点十二 奇偶性对称性的综合应用
典例1．（2025·河南郑州·三模）已知函数
是定义在
上的奇函数，函数
的图象关
于
对称，若
，则
（ ）
A．
B．
C．0
D．1
【答案】D
【分析】由函数的对称性和奇偶性，通过赋值
即可得到答案.
【详解】因为
，所以
，
因为
是奇函数，
，所以
，
因为函数
的图象关于
对称，所以
，
即
.
故选：D.
典例2．（2025·四川成都·模拟预测）已知
是定义在
上的函数，则“其图象关于点
成中心
对称图形”是“函数
为奇函数”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】利用函数对称性的定义、奇偶性的定义结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.
【详解】若函数
的图象关于点
成中心对称图形，且函数
的定义域为
，
则
，即
，
设
，则函数
的定义域为
，
则
，即函数
为奇函数，
因此，“
的图象关于点
成中心对称图形”是“函数
为奇函数”的充要条件.
故选：C.
跟踪训练1．（2025·重庆·三模）设函数
的定义域为
，
是
的导函数.若
是奇函数，
则
的图象（ ）
A．关于
对称
B．关于
对称
C．关于
对称
D．关于
对称
【答案】B
【分析】由题意得
，求导得
，即可求解.
【详解】因为
是奇函数，所以
，即
，
对其求导，则有
，所以
关于直线
对称.
故选：B
【点睛】结论点睛：本题考查对称性，一般根据以下结论进行判断：
（1）对于
，若
，则函数
周期为
；
（2）对于
，若
，则函数
关于直线
对称；
（3）对于
，若
，则函数
关于点
对称.
跟踪训练2．（2025·河北沧州·模拟预测）已知函数
的定义域为
，满足
为奇函数，
为偶函数，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用函数
为奇函数，
为偶函数的条件，建立关于
的方程，通过带入特定值
推导各选项的函数值即可.
【详解】根据题意，因为函数
为奇函数，所以
，
即
， 所以
的图象关于点
成中心对称，所以
.
又因为
为偶函数，所以
，
即
，所以
的图象关于直线
对称，所以
.
故选：D.
跟踪训练3．（2025·重庆·二模）已知
是定义在
的奇函数，且
．若
，则
（ ）
A．
B．0
C．2
D．4
【答案】C
【分析】分析可知函数
的一个周期为4，结合奇函数可得
，
，进而可得
，
，再根据周期性即可得结果.
【详解】因为
，可得
，
可知函数
的一个周期为4，
又因为
是定义在
的奇函数，则
，
则
，即
，
令
，可得
；
令
，可得
，即
，
则
，
所以
.
故选：C.
考点十三 函数性质的全部综合应用
典例1．（2025·浙江宁波·模拟预测）已知定义域为
的函数
的图象经过坐标原点，若
，
，且
为偶函数，则
（ ）
A．190
B．210
C．230
D．400
【答案】D
【分析】利用
的关系式，借助于
为偶函数，通过先后赋值代入可推得
的周期，分
别计算出一个周期内
的函数值，代入所求式，利用函数周期及求和计算即得．
【详解】由
，得
（*）．
在
中，用
替换
，可得
，
则
，即
①，
在①式中，用
替换
，则得
②．
又因
为偶函数，所以
③，
故由②③，可得
，用
替换
，可得
，
比较两式，可得
，即
是以4 为一个周期的函数．
因为
的图象经过原点，所以
，由（*）可得
．
在
中，令
，得
，所以
，
在
中，令
，可得
，
在
中，令
，可得
，
则
，
则
．
故选：D
典例2．（2025·全国·模拟预测）设
为定义在整数集上的函数，
，
，
，对任
意的整数
均有
，则
=（ ）
A．0
B．1013
C．2025
D．4050
【答案】B
【分析】通过代入特定值分析函数的周期性，确定取值规律，进而求解
的值.
【详解】令
，则
，所以
．
令
，则
，又
，所以
．
令
，则
，所以函数
的图像关于直线
对称．
令
，则
，所以
，
的图像关于点
对称．
故
，则
,
是周期
的函数．
又
，当
为偶数时，
．当
为偶数时，
也为偶数，此时
；当
为奇数时，令
，则
.
所以
1013．
故选：B．
典例3．（2025·海南·模拟预测）已知函数
的定义域为
，函数
为奇函数，函数
为偶函数，则（ ）
A．函数
的一个对称中心为
B．
C．函数
为周期函数，且一个周期为4
D．
【答案】AD
【分析】利用奇函数的性质将得到
即可得出对称中心；通过赋值法令
，得出
，再利用
为偶函数，得出
，再令
即可求解；利用函数
的
一个对称中心为
即可求解；利用
，令
得
即可求解．
【详解】对于A，由函数
为奇函数，故
，
即
，即
，故函数
的一个对称中心为
，故A 正确；
对于B，由
，令
，则
，即
，
由函数
为偶函数，故
，即
，
令
，则
，故B 错误；
对于C，由函数
的一个对称中心为
，则
，即
，故函数
不以4
为周期，故C 错误；
对于D，由
，令
，有
，
由
，故
，故D 正确．
故选：AD．
典例4．（2025·山东泰安·模拟预测）函数
对于任意的
，满足
，且
，则（ ）
A．
为偶函数
B．
是函数
的一个周期
C．点
是
图象的对称中心
D．
【答案】BCD
【分析】根据给定条件，利用赋值法，结合函数奇偶性、周期性及对称性的意义逐项判断即得.
【详解】由题知，
对于选项A：令
，得
，所以
，
令
，得
，即
，所以
为偶函数，
所以函数
为奇函数，故选项A 不正确；
对于选项B：令
，
，即
，
，所以
周期为
，故选项B 正确；
对于选项C： 由B 中
，即
，所以
关于
对称，且
，
又
周期为
，所以
，故选项C 正确；
对于选项D：令
，得
，即
，
令
，得
，所以
，
所以
，
故
，故选项D 正确. 故选：BCD..
跟踪训练1．（2025·甘肃白银·三模）已知对于
，
，
，
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．0
【答案】D
【分析】根据函数对称性结合计算得出函数周期性计算函数值和即可.
【详解】因为
，所以
，所以
.
由
，得
，两式相加得
，所以
，
所以
，所以
是以6 为周期的周期函数.
当
时，
，又
，所以
，所以
，所以
；
当
时，
，所以
，因为
，
所以
，
所以
.
故选：D.
跟踪训练2．（2025·河南信阳·模拟预测）已知函数
的定义域为
，其导函数为
，若函数
与
都是奇函数，且
，则
（ ）
A．-3
B．3
C．-6
D．6
【答案】A
【分析】根据函数是奇函数求导得出
，再结合导函数是奇函数，进而得出周期计
算求值.
【详解】由
为奇函数，可得
，
两边分别求导，可得
，
即
关于直线
对称，
且
为奇函数，
所以
，
且
关于
对称，
故4 是
的一个周期.
又由
关于
对称，
所以
，
又
关于直线
对称，
所以
，
即
.
由
为奇函数，可得
，
故
，
所以
.
故选：A.
跟踪训练3．（2025·山东·一模）已知定义在R 上且不恒为0 的函数
，对任意的
，都有
，则（ ）
A．
B．
为周期函数
C．
是奇函数
D．若
，则
【答案】AC
【分析】令
得
，由
即可判断A；令
，得
，再求得
，根据奇偶性定义判断B；由递推式得
，进而有
，应用错位相减法求
判断D；由
，假设
为
的最小正周期，而
不能恒成立判断B.
【详解】令
，则
，而
，
所以
，A 对；
令
，则
，令
，则
，
令
，则
，故
，故
是奇函数，C 对；
由
，
由
，则
，故
，
所以
，
所以
，
所以
，D 错.
假设
为
的最小正周期，
由
，则
，故
，
显然，对于
，
，
，
不能恒成立，
即
不能恒成立，与前提矛盾，B 错.
故选：AC
跟踪训练4．（2025·江西宜春·二模）已知函数
，对任意
，均有
，且
，
为
的导函数，则（ ）
A．
B．
为偶函数
C．
D．
【答案】ACD
【分析】由题意，合理赋值判断函数
和
的奇偶性和周期性，结合选项计算即可求解.
【详解】
，
令
，得
，解得
；
令
，则
，又
，
所以
，得
，
对于任意的
都成立，所以
为奇函数，故B 错误；
令
，得
①，
把
换成
，得
②，
又
为奇函数，所以
，又
，
所以①
②得
，故D 正确；
令
，得
，
所以
，又
，
所以
，则
，
所以函数
的周期为4，得
，故A 正确；
，等式两边同时对
求导，
得
，
令
，得
，即
③，
由
，得
，所以
为偶函数，
由
，得
，
所以
，所以函数
的周期为4.
令
，由③得
，
同理可得
，
所以
，故C 正确.
故选：ACD
一、单选题
1．（2025·四川泸州·模拟预测）已知
是奇函数，则
（ ）
A．2
B．
C．1
D．
【答案】D
【分析】由奇函数性质可得
，列方程求
，再检验所得结果即可.
【详解】由
，可得
，所以
，
所以
的定义域为
，
因为
是奇函数，所以
，
又
，
，
所以
，解得
.
当
时，
，
函数
的定义域为
，定义域关于原点对称，
，所以此时
是奇函数
故选：D.
2．（2025·江西·模拟预测）已知函数
为偶函数，当
时，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据偶函数的定义得到
，代入计算即可．
【详解】因为函数
为偶函数，所以
，当
时，
，
则
.
故选：D.
3．（2025·吉林长春·模拟预测）函数
的对称中心为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】首先观察函数函数的定义域，得到对称中心的横坐标，再代入
求对称中心的纵坐
标.
【详解】因为
的定义域为
，根据定义域对称且有对称中心，所以
对称中心横坐标为1，
由
，得对称中心纵坐标为0，
所以对称中心为
.
故选：A
4．（2025·北京·三模）下列函数中，既是奇函数，又在区间
上单调递增的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据奇函数的定义，和函数单调性与导函数的关系，求出函数在区间
上的单调性，分别判
断各选项正误.
【详解】已知
的定义域是
，不是奇函数，所以A 错误.
已知
，定义域为
，且
，是奇函数，
，所以
在区间
上单调递增，所以B 正确.
已知
，则
，在区间
上单调递减，所以C 错误.
已知
，则
，令
，即
，解得
，
所以
在
上单调递减，所以D 错误.
故选：B.
5．（2025·广东·模拟预测）设
是定义在实数集上的周期函数，则“
的最小周期为1”是“
”的（ ）
A．既不充分也不必要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．充分必要条件
【答案】B
【分析】利用周期的定义即可得充分性，当
时，即可验证必要性.
【详解】由
的最小周期为1 可得
，即
，
所以“
的最小周期为1”
，
当
时，
，但
的最小正周期是2，
所以
推不出“
的最小周期为1”，所以“
的最小周期为1”是“
”的充分
不必要条件，
故选：B.
6．（2025·全国·模拟预测）已知定义在
上的函数
，则“
”是“函数
是偶函数”
的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】由偶函数定义可判断“
”与“函数
是偶函数”的关系.
【详解】由“
”，不能得到“函数
是偶函数”，
由“函数
是偶函数”可得“
”，
则“
”是“函数
是偶函数”的必要不充分条件.
故选：B
7．（2025·河南·三模）若
是定义在
上的奇函数，当
时，
，则不等式
的解集
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据奇函数的特点及题设函数画出函数的图象，进而结合图象求解即可.
【详解】因为
是定义在
上的奇函数，所以
，
结合题意作出
的大致图象，如图所示，
由图可知，不等式
的解集为
.
故选：B.
8．（2025·四川绵阳·模拟预测）已知
是定义在R 上的偶函数，且在区间
上单调递减，若实数a
满足
，则a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由题意得
在区间
上单调递增，所以可将不等式转换为
即可求解.
【详解】因为
是定义在R 上的偶函数，且在区间
上单调递减，
所以
在区间
上单调递增，因为
，
，
所以
，所以
，
即
或
，解得
或
，
所以a 的取值范围是
.
故选：D.
二、多选题
9．（2025·青海海东·三模）定义在
上的函数
满足
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．2 为
的一个周期
【答案】ACD
【分析】根据给定条件求得函数
的周期，再逐项分析判断.
【详解】对于D，由
，得
，则2 为
的一个周期，D 正确；
对于A，
，A 正确；
对于B，
，B 错误；
对于C，
，C 正确.
故选：ACD
10．（2025·湖南·模拟预测）若函数
的定义域都为
，且
为奇函数，
为偶函数，
则（ ）
A．
是偶函数
B．
是偶函数
C．
是奇函数
D．
是奇函数
【答案】ABD
【分析】根据偶函数定义判断A，B，奇函数定义判断C，D.
【详解】函数
的定义域都为
，
对于A，因为
，所以
是偶函数，故A 正确；
对于B，因为
为奇函数，所以
，则
是偶函数，故B 正确；
对于C，因
为偶函数，则
，即
是偶函数，故C 错误；
对于D，因
，则
为偶函数，又因为
为奇函数，则
是奇函数，故D 正确.
故选：ABD.
一、单选题
11．（2025·江西新余·模拟预测）已知函数
，则不等式
的解集为
（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】先判断
的图象关于直线
对称，再利用导数判断当
时的单调性，根据定义域和单
调性列不等式组求解可得.
【详解】由
得函数
的定义域为
，
由于
，
所以
的图象关于直线
对称，
，
当
时，
单调递增，所以
，
又
，所以
，
单调递增，
所以
，解得
.
故选：D．
12．（2025·湖北·模拟预测）已知函数
和它的导函数
的定义域均为
，且
，
为奇函数．若
，则
（ ）
A．1
B．2
C．2025
D．2026
【答案】C
【分析】根据虚拟函数的对称性，可知函数
关于
中心对称，
，得出函数的规律，分别
求出
为整数是函数的值，求出前2025 项的和即可.
【详解】
，
，即
关于
中心对称，
为奇函数，且定义域为
,
关于
所中心对称，根据换元法则有
关于
中心对称，
则
关于直线
轴对称，则有
，
可知
,作差得
，换元得
再作差
，化简得
，
即
，函数
周期为4.
当
时，
，解得
，
当
时，
，解得
，
由
，可知
，结合
可知
，又
，
故
，
故选：C.
13．（2025·安徽合肥·模拟预测）定义域为R 的函数
，其图象关于直线
对称，已知
为
奇函数，且
，则
（ ）
A．2023
B．2024
C．2025
D．2026
【答案】B
【分析】根据题意有
，
，从而得
，即可求出周期，
进而求出一个周期的和，利用周期即可求解.
【详解】由
关于
对称，有
，
又
为奇函数，则
即
，且
即
，
所以
关于点
对称，且
，
则
，作差有
，
为周期函数，且周期为4，因为
，
，则
，
因为
，
，则
，
，
则
，
．
故选：B．
14．（2025·江苏宿迁·模拟预测）已知
的定义域为
，将
的图象绕原点旋转
后所得图象与原
图象关于
轴对称，且
，
，
，则
（ ）
A．2024
B．
C．2025
D．
【答案】D
【分析】由题意可得函数
为偶函数，利用赋值法可得
，可求得
，进而可得
，可得
符号相反，
，可求
.
【详解】因为将
的图象绕原点旋转
后所得图象与原图象关于
轴对称，
所以函数
为偶函数，即
，
由
，令
，可得
，
所以
，令
，可得
，
又
，可得
，所以
，
所以
，所以
，所以
是周期为4 的周期函数，
所以
，所以
，
因为
，
，所以
，
，
因为函数的周期为4，所以
符号相反，用
，
所以
，所以
.
故选：D.
15．（2025·全国·模拟预测）已知函数
及其导函数
的定义域均为
，记
是定义在
上的奇函数，且
的一个周期为2，则（ ）
A．2 为
的周期
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据函数奇偶性，得到对称性和周期性，逐个计算判断即可.
【详解】因为
是定义在
上的奇函数，
所以
,
所以
，
所以
关于
对称，且
，
又
的一个周期为 2 ，
所以
，即
，
所以
，所以
的周期为 4 ，所以 A 选项错误；
因为
，
所以
，
又
的周期为 4 ，即
，
所以
，
所以
，所以 B 选项错误；
因为
，
，
所以
，
,
即
，
，
所以
，
，
所以
，
，
所以 C 选项错误，D 选项正确．
故选：D．
二、多选题
16．（2025·福建福州·模拟预测）已知定义
在上的函数
满足
,且当x>1 时，
， 则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AD
【分析】应用赋值法得到
时，
；构造出
的等量关系，再结合不等式性质
判断即可.
【详解】由题意，
，
.
赋值
，得
；
赋值
，得
，即
，
当
时，
，
当
时，则
，所以
，即
；
所以
，A 正确，
取
，则
，
，显然
不成立，B 错，
赋值
，得
，解得
，
即
；
由
，
，
得
，
其中由
，可知
，
当
时，
，即
；
当
时，
，即
；故C 错误；
，得
；
又
，所以
，
则
，
故
，且
不恒为
，故D 正确.
故选：AD.
17．（2025·福建泉州·模拟预测）已知定义在
上的函数
满足
，且
，则（ ）
A．
B．方程
无解
C．
D．
【答案】ABC
【分析】对于A，由题设条件赋值
即可计算求解；对于B，先假设存在
使得
，接着
由题设条件赋值
得到
，令
等于0 求解即可判断；对于CD，分别赋值
、
和
依次求得
、
和
，接着依次赋值
和
得到
递推式
再结合累加法求出函数解析式即可求解判断CD.
【详解】对于A，由题意可得
，故A 正确；
对于B，假设存在
使得
，即方程
有解，
则由题意可得
，
则
，令
，
所以方程
无解，故B 正确；
对于CD，由题意可得
，
所以
，
，
所以
，
所以
，
所以当
时，
，
时，
，
满足
，所以对任意
有
，
所以
，
，故C 正确，D 错误.
故选：ABC
18．（2025·河北·模拟预测）若函数
满足下列条件：
①
；
②
；
③在区间
上，
；
则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
为偶函数
D．
的周期为4
【答案】ACD
【分析】通过赋值法
及
可判断A；通过赋值法及
可以判断B；令
，得出
即可判断C；先算出
，
，找出
，再令
，得出
即可判断D．
【详解】令
得
．
又
，故
，故A 正确；
令
，则
，而
，故B 错误；
令
，则
，故C 正确；
由B 知：
，故
，
，令
得
，
，即
，故D 正确．
故选：ACD．
19．（2025·云南昭通·模拟预测）已知函数
及其导函数
的定义域均为
，记
，若
，
均为偶函数，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【分析】由
为偶函数，可得
，计算可判断C；根据原函数与导函数的图像的关系
确定
为奇函数,再根据函数
为偶函数,得到
,两者结合即可得
出
，
判断BD，利用赋值法判断A.
【详解】对于
，因为
为偶函数，所以
，
即
①，所以
，所以
关于
对称，
则
，故C 正确；
对于
，因为
为偶函数，
，
，
所以
关于
对称，由①求导，和
，
得
，
所以
，所以
关于
对称，
因为其定义域为
，所以
，结合
关于
对称，
从而周期
，所以
，
，故B 正确，D 正确；
若函数
满足题设条件，则函数
（
为常数）也满足题设条件，所以无法确定
的函数值，
故A 错误，
故选：BCD．
20．（2025·广东佛山·三模）已知函数
及其导函数
的定义域为
，若
为奇函数，
，且对任意
，
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【分析】方法一：根据赋值法，结合原函数与导函数的对称性，奇、偶函数的定义、函数周期性进行求解
即可.方法二：构造满足题意的函数，进一步逐一验证各个选项即可.
【详解】解法1：由
，令
，则
，因为
，所以
，故A 错误；
令
，则
，①
所以
，
因为
为奇函数，所以
为偶函数，
，
所以
，②
由①－②并整理得
，
即
，
所以
，
所以
是周期为3 的周期函数，故
，故B 正确；
因为
，所以
，故C 正确；
由上知
，
在①中，令
，得
，所以
，
所以
，所以
，故D 正确．
解法2：令
，此函数满足题意．
对于A，
，A 错误．
对于B，
，B 正确．
对于C，
因此
，C 正确．
对于D，
，
，D 正确．
故选：BCD.
一、单选题
21．（2025·全国一卷·高考真题）已知
是定义在
上且周期为2 的偶函数，当
时，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据周期性和奇偶性把待求自变量转化为
的范围中求解.
【详解】由题知
对一切
成立，
于是
.
故选：A
22．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数
的定义域为R，
，且当
时
，则下列结论中一定正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】代入得到
，再利用函数性质和不等式的性质，逐渐递推即可判断.
【详解】因为当
时
，所以
，
又因为
，
则
，
，
，
，
，则依次下去可知
，则B 正确；
且无证据表明ACD 一定正确.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用
，再利用题目所给的函数性质
，代入函数值再结合不等式同向可加性，不断递推即可.
23．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数
在R 上单调递增，则a 的取值范围
是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组，解出即可.
【详解】因为
在
上单调递增，且
时，
单调递增，
则需满足
，解得
，
即a 的范围是
.
故选：B.
24．（2024·天津·高考真题）下列函数是偶函数的为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据偶函数的判定方法一一判断即可.
【详解】对A，设
，函数定义域为
，但
，
，则
，故A 错误；
对B，设
，函数定义域为
，
且
，则
为偶函数，故B 正确；
对C，设
，
，
，则
不是偶函数，故C 错误；
对D，设
，函数定义域为
，
因为
，且
不恒为0，
则
不是偶函数，故D 错误.
故选：B.
25．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数
，若
，则
的最小值为
（ ）
A．
B．
C．
D．1
【答案】C
【分析】解法一：由题意可知：
的定义域为
，分类讨论
与
的大小关系，结合符号
分析判断，即可得
，代入可得最值；解法二：根据对数函数的性质分析
的符号，进而可得
的符号，即可得
，代入可得最值.
【详解】解法一：由题意可知：
的定义域为
，
令
解得
；令
解得
；
若
，当
时，可知
，
此时
，不合题意；
若
，当
时，可知
，
此时
，不合题意；
若
，当
时，可知
，此时
；
当
时，可知
，此时
；
可知若
，符合题意；
若
，当
时，可知
，
此时
，不合题意；
综上所述：
，即
，
则
，当且仅当
时，等号成立，
所以
的最小值为
；
解法二：由题意可知：
的定义域为
，
令
解得
；令
解得
；
则当
时，
，故
，所以
；
时，
，故
，所以
；
故
， 则
，
当且仅当
时，等号成立，
所以
的最小值为
.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：分别求
、
的根，以根和函数定义域为临界，比较大小分类讨论，
结合符号性分析判断.
26．（2023·北京·高考真题）下列函数中，在区间
上单调递增的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用基本初等函数的单调性，结合复合函数的单调性判断ABC，举反例排除D 即可.
【详解】对于A，因为
在
上单调递增，
在
上单调递减，
所以
在
上单调递减，故A 错误；
对于B，因为
在
上单调递增，
在
上单调递减，
所以
在
上单调递减，故B 错误；
对于C，因为
在
上单调递减，
在
上单调递减，
所以
在
上单调递增，故C 正确；
对于D，因为
，
，
显然
在
上不单调，D 错误.
故选：C.
27．（2023·全国甲卷·高考真题）已知函数
．记
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用作差法比较自变量的大小，再根据指数函数的单调性及二次函数的性质判断即可.
【详解】令
，则
开口向下，对称轴为
，
因为
，而
，
所以
，即
由二次函数性质知
，
因为
，而
，
即
，所以
，
综上，
，
又
为增函数，故
，即
.
故选：A.
28．（2023·全国乙卷·高考真题）已知
是偶函数，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．2
【答案】D
【分析】根据偶函数的定义运算求解.
【详解】因为
为偶函数，则
，
又因为
不恒为0，可得
，即
，
则
，即
，解得
.
故选：D.
29．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）若
为偶函数，则
（ ）．
A．
B．0
C．
D．1
【答案】B
【分析】根据偶函数性质，利用特殊值法求出
值，再检验即可.
【详解】因为
为偶函数，则
，解得
，
当
时，
，
，解得
或
，
则其定义域为
或
，关于原点对称.
，
故此时
为偶函数.
故选：B.
30．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）设函数
在区间
上单调递减，则
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答.
【详解】函数
在R 上单调递增，而函数
在区间
上单调递减，
则有函数
在区间
上单调递减，因此
，解得
，
所以
的取值范围是
.
故选：D
二、多选题
31．（2025·全国二卷·高考真题）已知
是定义在R 上的奇函数，且当
时，
，
则（ ）
A．
B．当
时，
C．
当且仅当
D．
是
的极大值点
【答案】ABD
【分析】对A，根据奇函数特点即可判断；对B，利用
代入求解即可；对C，举反例
即可；对D，直接求导，根据极大值点判定方法即可判断.
【详解】对A，因为
定义在
上奇函数，则
，故A 正确；
对B，当
时，
，则
，故B 正确；
对C，
， 故C 错误；
对D，当
时，
，则
，
令
，解得
或（舍去），
当
时，
，此时
单调递增，
当
时，
，此时
单调递减，
则
是
极大值点，故D 正确；
故选：ABD.
32．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数
，则（ ）
A．当
时，
有三个零点
B．当
时，
是
的极大值点
C．存在a，b，使得
为曲线
的对称轴
D．存在a，使得点
为曲线
的对称中心
【答案】AD
【分析】A 选项，先分析出函数的极值点为
，根据零点存在定理和极值的符号判断出
在
上各有一个零点；B 选项，根据极值和导函数符号的关系进行分析；C 选项，假设存在
这样的
，使得
为
的对称轴，则
为恒等式，据此计算判断；D 选项，若存在这
样的
，使得
为
的对称中心，则
，据此进行计算判断，亦可利用拐点
结论直接求解.
【详解】A 选项，
，由于
，
故
时
，故
在
上单调递增，
时，
，
单调递减，
则
在
处取到极大值，在
处取到极小值，
由
，
，则
，
根据零点存在定理
在
上有一个零点，
又
，
，则
，
则
在
上各有一个零点，于是
时，
有三个零点，A 选项正确；
B 选项，
，
时，
，
单调递减，
时
，
单调递增，
此时
在
处取到极小值，B 选项错误；
C 选项，假设存在这样的
，使得
为
的对称轴，
即存在这样的
使得
，
即
，
根据二项式定理，等式右边
展开式含有
的项为
，
于是等式左右两边
的系数都不相等，原等式不可能恒成立，
于是不存在这样的
，使得
为
的对称轴，C 选项错误；
D 选项，
方法一：利用对称中心的表达式化简
，若存在这样的
，使得
为
的对称中心，
则
，事实上，
，
于是
即
，解得
，即存在
使得
是
的对称中心，D 选项正确.
方法二：直接利用拐点结论
任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点，
，
，
，
由
，于是该三次函数的对称中心为
，
由题意
也是对称中心，故
，
即存在
使得
是
的对称中心，D 选项正确.
故选：AD
【点睛】结论点睛：（1）
的对称轴为
；（2）
关于
对称
；（3）任何三次函数
都有对称中心，对称中心是三次函数
的拐点，对称中心的横坐标是
的解，即
是三次函数的对称中心
33．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数
的定义域为
，
，则（ ）．
A．
B．
C．
是偶函数
D．
为
的极小值点
【答案】ABC
【分析】方法一：利用赋值法，结合函数奇偶性的判断方法可判断选项ABC，举反例
即可排除选
项D.
方法二：选项ABC 的判断与方法一同，对于D，可构造特殊函数
进行判断即可.
【详解】方法一：
因为
，
对于A，令
，
，故
正确.
对于B，令
，
，则
，故B 正确.
对于C，令
，
，则
，
令
，
又函数
的定义域为
，所以
为偶函数，故
正确，
对于D，不妨令
，显然符合题设条件，此时
无极值，故
错误.
方法二：
因为
，
对于A，令
，
，故
正确.
对于B，令
，
，则
，故B 正确.
对于C，令
，
，则
，
令
，
又函数
的定义域为
，所以
为偶函数，故
正确，
对于D，当
时，对
两边同时除以
，得到
，
故可以设
，则
，
当
肘，
，则
，
令
，得
；令
，得
；
故
在
上单调递减，在
上单调递增，
因为
为偶函数，所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
显然，此时
是
的极大值点，故D 错误.
故选：
.
三、填空题
34．（2025·北京·高考真题）关于定义域为
的函数
，给出下列四个结论：
①存在在
上单调递增的函数
使得
恒成立；
②存在在
上单调递减的函数
使得
恒成立；
③使得
恒成立的函数
存在且有无穷多个；
④使得
恒成立的函数
存在且有无穷多个．
其中正确结论的序号是 ．
【答案】②③
【分析】利用反证法可判断①④的正误，构造函数并验证后可判断②③的正误.
【详解】对于①，若存在在
上的增函数
，满足
，
则
，即
，
故
时，
，故
，
故
即
，矛盾，故①错误；
对于②，取
，该函数为
上的减函数且
，
故该函数符合，故②正确；
对于③，取
，
此时
，由
可得
有无穷多个，
故③正确；
对于④，若存在
，使得
，
令
，则
，但
，矛盾，
故满足
的函数不存在，故④错误.
故答案为：②③
35．（2025·天津·高考真题）若
，对
，均有
恒成立，则
的
最小值为
【答案】
【分析】先设
，根据不等式的形式，为了消
可以取
，得到
，验证
时，
是
否可以取到，进而判断该最小值是否可取即可得到答案.
【详解】设
，原题转化为求的最小值，
原不等式可化为对任意的
，
，
不妨代入
，得
，得
，
当
时，原不等式可化为
，
即
，
观察可知，当
时，
对
一定成立，当且仅当
取等号，
此时，
，说明
时，
均可取到，满足题意，
故
的最小值为
.
故答案为：
36．（2024·上海·高考真题）若函数
是奇函数，则实数
.
【答案】0
【分析】根据奇函数的定义求解．
【详解】
是奇函数，则
恒成立，
所以
，解得
故答案为：0．
37．（2023·上海·高考真题）已知
，则
的值域是 ；
【答案】
【分析】分段讨论
的范围即可.
【详解】当
时, 根据指数函数的图象与性质知
，
当
时,
.
综上:
的值域为
.
故答案为：
.
38．（2023·全国甲卷·高考真题）若
为偶函数，则
．
【答案】2
【分析】利用偶函数的性质得到
，从而求得
，再检验即可得解.
【详解】因为
为偶函数，定义域为
，
所以
，即
，
则
，故
，
此时
，
所以
，
又定义域为
，故
为偶函数，
所以
.
故答案为：2.
