文档文本内容
1 / 18
学科网（北京）股份有限公司
第02 讲 导数与函数的单调性
内容导航
命题透视·考情前瞻
01
命题透视·考情前瞻
对标素养，研判高考命题趋势
02
思维建模·脉络梳理
搭建知识框架，构建系统思维
03
知识精讲·靶向突破
拆解核心知识，归纳题型技巧
知识解构
知识点1 函数的单调性 知识点2 求可导函数单调区间的一般步骤
知识点3 已知函数的单调性求参数 知识点4 含参函数的单调性讨论
题型破译 (含超链接）
题型
1
求不含参函数的单调区间
【方法技巧】求不含参数函数单调区间的步骤
题型
2
函数图象与导函数图象的关系
【方法技巧】函数的图象与导函数图象之间的关系
题型
3
已知函数在区间上单调求参数
题型
4
已知函数在区间上存在单调或不单调求参数
题型
5
利用单调性比较大小
【方法技巧】构造函数比较大小
题型
6
利用单调性解不等式
【方法技巧】判断函数性质解不等式
题型
7
含参单调性讨论（一次型）
题型
8
含参单调性讨论（二次型可因式分解）
题型
9
含参单调性讨论（二次型不可因式分解）
04
真题溯源·考向感知
溯源真题逻辑，感知高考考向
05
课本典例·高考素材
立足课本典例，挖掘高考素材
2 / 18
学科网（北京）股份有限公司
——对标素养，研判高考命题趋势
考
核心
点
2026 年
2025 年
2024 年
单调性与导数的
关系
——
全国二卷T18（2）（i）
（5 分）
全国I 卷T10（6 分）
全国甲卷（文）T16（5
分）
北京卷T20（1）（5 分）
含参函数讨论单
调性
——
——
全国甲卷（文）T20（1）
（5 分）
全国II 卷T16（2）（7
分）
考情分析
近三年考情显示，高考对导数与函数单调性的考查较为稳定，考查内容、频率、题
型、难度均变化不大。本节侧重以导数为工具判断单调区间、已知单调性求参数。常
以选择、填空或解答题第一问出现，难度以基础、中档为主。只要掌握导数符号与单
调性的对应关系，能规范求解单调区间、处理含参问题，结合转化与化归思想，即可
顺利解决相关试题。
复习目标
1.结合具体函数与图像，直观理解函数单调性与导数符号的对应关系。
2.熟练运用导数判断并求解函数的单调区间。
3.掌握含参函数单调性的分类讨论方法，做到分类标准清晰、讨论不重复、不遗漏。
4.能根据函数单调性逆向求解参数范围，提升逻辑推理与规范表达能力。
思维建模·脉络梳理
——搭建知识框架，构建系统思维
3 / 18
学科网（北京）股份有限公司
知识精讲·靶向突破
知●识●解●构
知识点1 函数的单调性
函数单调性的判定方法：
设函数
在某个区间内可导，如果
（不恒等于0），则
为________函数；如
果
（不恒等于0）nn，则
为________函数．
注意：
①利用导数研究函数的单调性，要在函数的________内讨论导数的符号；
②在某个区间内，
(
)是函数
在此区间内单调递增(减)的________条件，而不
是________条件.
③可导函数
在
上单调递增的充要条件是对
，都有
（
）且
在
上的任何子区间内都不恒为________．
自主检测1．已知函数
，定义域为
.任取
，导函数
始终存在.那么
是
4 / 18
学科网（北京）股份有限公司
在
上是严格增函数的（ ）条件.
A．充分不必要
B．必要不充分
C．充要
D．既不充分也不必要
知识点2 求可导函数单调区间的一般步骤
①确定函数
的________；
②求
，令________，解此方程，求出它在________内的一切实数；
③把函数
的间断点的横坐标和
的各实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把
函数
的定义域分成若干个小区间；
④确定
在各小区间内的________，根据
的符号判断函数
在每个相应小区间内的
________性.
自主检测2．求函数
的单调区间．
知识点3
知
已
函数的单调性求参数
1．函数
在区间D 上单调递增⇒________在区间D 上恒成立；
函数
在区间D 上单调递减⇒________在区间D 上恒成立；
2．函数
在区间D 上存在单调递增区间⇒________在区间D 上能成立；
函数
在区间D 上存在单调递减区间⇒________在区间D 上能成立；
3．已知函数
在区间D 内单调⇒f '( x )在区间D 上不存在________；
4．已知函数
在区间D 内不单调⇒f '( x )在区间D 上存在________
自主检测3．函数
在区间
上单调递减，则实数
的取值范围为___________．
知识点4 含参函数的单调性讨论
1．讨论的分类标准：
①最高次的系数是否为________;②导数等于________时有根还是无根;③多根情况要________;④根是
5 / 18
学科网（北京）股份有限公司
否在________或指定的区间内
2．讨论单调性的步骤：
第一步：求函数的________；
第二步：求导函数，导函数是分式一般先通分，并且考虑能不能________。若导函数带分母，通分因
式分解彻底后，判断导数的分子部分的________是否含有参数，若有，则可以讨论该参数为________和不
为________;
第三步:令
，确定分类点:①是否存在________;②根比较大小；
第四步：利用数轴穿根法判断每个根分定义域的每个区间的导数的________情况；
第五步：进行综上所述，________的要合在一起
自主检测4．已知函数
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)求函数
的单调区间．
题●型●破●译
题型1 求不含参函数的单调区间
例1-1（2024·河北衡水·模拟预测）（多选）下列函数在定义域上为增函数的有（ ）
A．
B．
C．
D．
例1-2（2026·河南许昌·三模）已知函数
．
(1)求
的单调区间；
方法技巧 求不含参数函数单调区间的步骤
6 / 18
学科网（北京）股份有限公司
①确定函数
的定义域；②求导数
.
③由
(或
)，解出相应的x 的范围，
当
时，
在相应的区间上是增函数;当
时，
在相应区间上是减函数；
④结合定义域写出单调区间.
注意:当单调区间有多个时，不要写成并集，用“，隔开即可
”
.
【变式1-1】（2026·浙江宁波·三模）某函数的图像如图所示，则该函数解析式可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-2】（2026·辽宁大连·三模）函数
，
，为自然对数的底数．
(1)当
时，求函数
的单调区间；
题型2 函数图象与导函数图象的关系
例2-1（2026·广东广州·三模）已知函数
的导函数
的图象如图所示，则下列选项中最有
可能为
图象的是（ ）
A．
B．
7 / 18
学科网（北京）股份有限公司
C．
D．
例2-2（2025·山东济南·模拟预测）已知在同一平面直角坐标系中，函数
及其导函数
的部
分图象如图所示，则（ ）
A．函数
在区间
上单调递增
B．函数
在区间
上单调递减
C．函数
在区间
上单调递增
D．函数
在区间
上单调递减
方法技巧 函数的图象与导函数图象之间的关系
注意抓住各自的关键要素，对于原函数，要注意其图象在哪个区间内单调递增，在哪个区间内单调递减;
而对于导函数，则应注意其函数值在哪个区间内大于零，在哪个区间内小于零，并分析这些区间与原函
数的单调区间是否一致.
【变式2-1】（2026·广东东莞·二模）已知函数
的图象如图所示，则其导函数
图象可以是
（ ）
A．
B．
8 / 18
学科网（北京）股份有限公司
C．
D．
【变式2-2·变考法】（2026·上海杨浦·模拟预测）函数
的图像如图所示，设
的导函数为
，
则
的解集为__________．
【变式2-3】（2024·黑龙江哈尔滨·一模）在同一平面直角坐标系内，函数
及其导函数
的图象如图所示，已知两图象有且仅有一个公共点，其坐标为
，则（ ）
A．函数
的最大值为1
B．函数
的最小值为1
C．函数
的最大值为1
D．函数
的最小值为1
题型3
知
已
函数在区间上单调求参数
例3-1（2026·四川雅安·二模）若函数
在区间
上单调递增，则实数
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
例3-2（2026·河北保定·一模）已知函数
在区间
上单调递增，则a 的取值范围为
______．
9 / 18
学科网（北京）股份有限公司
【变式3-1】（2026·河北保定·二模）若函数
在区间
上单调递增，则实数a 的取
值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3-2·变载体】（2026·山西吕梁·三模）已知函数
在
上单调递增，则
的取
值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3-3·变题型】（2025·26 高三上·安徽·期末）已知函数
，在区间
内
任取两个实数
，不等式
恒成立，则实数
的最大值为________．
题型4
知
已
函数在区间上存在单调或不单调求参数
例4-1（2024·25 高三上·北京顺义·阶段检测）已知函数
在区间
上存在增区间，则
的取值范围是______.
例4-2（2025·陕西西安·一模）若函数
在
上不单调，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4-1】若函数
存在增区间，则实数
的取值范围为_____________.
【变式4-2·变考法】（2025·河北·模拟预测）已知
，
，两个函数图象至少有
一个在区间
上不单调，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4-3】（2025·福建三明·模拟预测）已知函数
．
(1)当
时，求证：
单调递增；
(2)若
在
上不单调，求
的取值范围；
10 / 18
学科网（北京）股份有限公司
题型5 利用单调性比较大小
例5-1（2025·河北保定·模拟预测）已知函数
，则下列比较大小正确的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
例5-2（2026·陕西榆林·三模）已知
的大小顺序为（ ）
A．
B．
C．
D．
方法技巧 构造函数比较大小
据题目结构构造合适函数，求导确定函数在指定区间的单调性。把待比较数值转化为同一单调区间上的
函数值，再由单调性直接判断大小关系。
【变式5-1】（2024·内蒙古呼和浩特·二模）已知函数
，则
，
，
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式5-2】（2024·25 高三上·天津·期中）已知函数
，且
、
、
，则
、
、的大小关系（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式5-3·变考法】已知
，
，
，则它们的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
11 / 18
学科网（北京）股份有限公司
题型6 利用单调性解不等式
例6-1（2024·四川绵阳·模拟预测）已知函数
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
例6-2（2026·江苏·模拟预测）已知函数
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
方法技巧 判断函数性质解不等式
先将不等式化为
形式，确定
的单调性与定义域。利用单调性脱去
对应法则，转化为自变量不等式，同时必须满足定义域限制。
【变式6-1】（2024·重庆·模拟预测）已知函数
，则
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式6-2】（2024·全国·模拟预测）已知函数
，则不等式
的解集为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式6-3】（2024·黑龙江哈尔滨·三模）已知函数
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式6-4】（2025·江西·模拟预测）已知函数
，则不等式
的解集是
______.
题型7 含参单调性讨论（一次型）
例7-1（2026·福建泉州·模拟预测）已知函数
.
12 / 18
学科网（北京）股份有限公司
(1)讨论
的单调性；
例7-2（2026·福建厦门·二模）设函数
．
(1)讨论
的单调性；
【变式7-1】（2026·江苏·二模）已知函数
．
(1)讨论
的单调性；
【变式7-2】（2026·陕西西安·模拟预测）已知函数
，其中
，为自然对数的底数．
(1)求函数
的单调区间；
【变式7-3】（2025·浙江绍兴·三模）已知函数
，
．
(1)若
在
处的切线方程为
，求实数m 的值；
13 / 18
学科网（北京）股份有限公司
(2)讨论
的单调性.
题型8 含参单调性讨论（二次型可因式分解）
例8-1（2026·海南海口·模拟预测）已知函数
（
且
）.
(1)当
时，求
的极小值点与极小值；
(2)讨论函数
的单调性；
例8-2（2024·25 高二下·江苏南通·期末）已知函数
，
．
(1)若
，求曲线
在
处的切线方程；
(2)求函数
的单调增区间；
【变式8-1】（2025·江西南昌·模拟预测）已知函数
.
(1)已知
在
取得极值，求a 的值，
(2)当
时，讨论
的单调性；
14 / 18
学科网（北京）股份有限公司
【变式8-2】（2025·湖北·模拟预测）已知函数
.
(1)当
时，讨论
的单调性；
【变式8-3】（2025·江苏盐城·三模）已知函数
，
．
(1)求函数
在
处的切线方程；
(2)讨论函数
单调性；
题型9 含参单调性讨论（二次型不可因式分解）
例9-1（2026·山东青岛·一模）已知函数
.
(1)讨论
的单调性；
例9-2（2025·重庆·三模）已知函数
．
(1)讨论函数
的单调性；
15 / 18
学科网（北京）股份有限公司
【变式9-1】（2025·吉林·模拟预测）已知函数
，其中
为常数．
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)讨论函数
的单调性；
【变式9-2】（2025·吉林·模拟预测）设函数
．
(1)讨论
的单调性并求其极值；
真题溯源·考向感知
——溯源真题逻辑，感知高考考向
1．（2022·全国甲卷·高考真题）已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2023·新课标
卷
Ⅱ
·高考真题）已知函数
在区间
上单调递增，则a 的最小值为
（ ）．
A．
B．e
C．
D．
3．（2024·新课标
卷
Ⅰ
·高考真题）（多选）设函数
，则（ ）
A．
是
的极小值点
B．当
时，
16 / 18
学科网（北京）股份有限公司
C．当
时，
D．当
时，
4．（2023·全国乙卷·高考真题）设
，若函数
在
上单调递增，则a 的取值
范围是______.
5．（2024·全国甲卷·高考真题）已知函数
．
(1)求
的单调区间；
6．（2023·北京·高考真题）设函数
，曲线
在点
处的切线方程为
．
(1)求
的值；
(2)设函数
，求
的单调区间；
7．（2023·新课标
卷
Ⅰ
·高考真题）已知函数
．
(1)讨论
的单调性；
8．（2022·新高考全国
卷
Ⅱ
·高考真题）已知函数
．
(1)当
时，讨论
的单调性；
17 / 18
学科网（北京）股份有限公司
课本典例·高考素材
——立足课本典例，挖掘高考素材
1．判断下列函数的单调性，并求出单调区间：
（1）
（2）
，
（3）
（4）
2．函数
的图象如图所示，试画出函数
图象的大致形状．
3．证明函数
在区间
上单调递减．
18 / 18
学科网（北京）股份有限公司
4．求函数
的单调增区间．
5．求函数
的单调区间，其中a 是常数．
