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第02 讲 三角恒等变换
目 录
模拟·基础演练......................................................................................................................................2
题型01 给角求值.................................................................................................................2
题型02 给值求值...................................................................................................................8
题型03 给值求角.................................................................................................................13
题型04 三角函数化简与证明...........................................................................................19
题型05 辅助角公式综合
..............................................................................................25
题型06 恒等变换与解三角形综合
..............................................................................32
重难·创新演练....................................................................................................................................42
真题·实战演练....................................................................................................................................53
模拟·基础演练
考查重点：恒等变换与解三角形综合
题型01 给角求值
一、单选题
1．已知
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．
（ ）．
A．
B．
C．
D．
3．如果将函数
的图象向右平移
个单位得到函数
的图象，则
的值为（ ）
A．2
B．
C．
D．3
4．（2025·湖南永州·模拟预测）
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
5．下列代数式的值为
的是（ ）
A．
B．
C．
D．
三、填空题
6．（2026·四川绵阳·模拟预测）在平面直角坐标系
中，角
与角
均以
为始边，它们的终边关于
轴对称，若
，则
的最大值为______.
7.计算：
______.
8.
______．
故答案为：
.
9.
_________．
10.【变载体】（2026·江西上饶·二模）（1）证明：
，
；
（2）实数
，若不等式
在
恒成立，求实数a 的取值范围；
（3）证明：
．
题型02 给值求值
一、单选题
1．（2026·山西忻州·模拟预测）已知
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2026·湖南湘西·三模）已知
，则
（ ）
A．-4
B．
C．
D．
3．（2026·陕西咸阳·二模）已知
，若
，则
=（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2026·河南·三模）已知
，且
在第二象限，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
5．设
，
，
，
，若满足条件的
与
存在且唯一，则
（ ）
A．
B．1
C．2
D．4
二、多选题
6．（2026·福建福州·三模）已知
，则（ ）
A．当
时，
B．当
时，
C．当
时，
D．当
时，
三、填空题
7．（2026·陕西西安·模拟预测）若
，
，则
____.
8．（2026·河南濮阳·模拟预测）已知
，
，则
________．
9．（2026·江苏南京·模拟预测）已知
，
，则
＝_________.
四、解答题
10.（2026·广东广州·三模）已知函数
，满足对于任意实数
，都有
恒成立，且函数
相邻两个零点的距离是
.
(1)求
的解析式和单调递增区间；
(2)若
，且满足
，求
.
题型03 给值求角
一、单选题
1．设
且
则（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025·广东珠海·模拟预测）设
，
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
3. （2015·四川成都·一模）若
，且
，
，则
的值是
（ ）
A．
B．
C．
或
D．
或
4．已知
，
，且
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．已知
，
，且
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
或
D．
或
6．已知函数
的零点从小到大分别为
.若
，
则
（ ）
A．
B．
C．
D．3
二、填空题
7．（2026·陕西西安·模拟预测）已知
，
，
，
，则
______．
8．（2026·河北沧州·二模）已知
，
，若
，
，则
______.
9.若
，且
，则
的值为______．
故答案为：
或
.
三、解答题
10．【变载体】（2026·浙江金华·二模）已知函数
，
．
(1)求
；
(2)
中，若
构成等差数列，且
，求
．
题型04 三角函数化简与证明
一、单选题
1．若对任意的
，
恒成立，则实数
的取值范
围为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．【变载体】（2026·安徽芜湖·模拟预测）设数列
满足
，则
的值为
（ ）
A．6
B．
C．9
D．
3．（2025·四川成都·模拟预测）已知
，
是第三象限角，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2026·山东济南·三模）已知
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．2
5．已知圆的内接四边形
中，
，
，
，则
（ ）
A．-3
B．
C．
D．3
二、多选题
6．已知实数x，θ 满足
则下列结论中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
7.下面结论正确的有（ ）
A．若角
为锐角，则角
为钝角
B．
C．在
中，“
”是“
为钝角三角形”的充要条件
D．
三、填空题
8．【新思维】（2026·江西·模拟预测）设正数
满足
，若关于
的方程
的所有正实数解从小到大依次为
，则
的取值范围为
__________.
9．（2025·浙江金华·二模）已知
，则
________.
10．【新题型】已知函数
在
内恰有两个不同的零点
，则
__________，
__________.
题型05 辅助角公式综合
一、单选题
1．（2026·安徽·三模）已知
是函数
的对称轴，则
的值可以是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
2．（2026·北京·三模）已知函数
．若
在区间
上既不是增函数也
不是减函数，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2026·江西南昌·模拟预测）已知两个电流（单位：安）瞬时值与线圈旋转的时间(单位：秒)的函数解
析式分别是
，记它们合成后的电流
，则函数
的周期
是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
4．（2026·山东济南·模拟预测）已知函数
，则下列结论正确的是
（ ）
A．直线
是函数
的图象的一条对称轴
B．将函数
的图象向左平移
个单位长度后所得图象对应的函数为奇函数，则
的最小值为
C．函数
在区间
上有3 个零点
D．函数
在区间
上单调递增
5.（2026·山东·模拟预测）已知函数
，满足
，
，且
的最小值为
，下列说法正确的是（ ）
A．
的最小正周期为
B．
在区间
单调递减
C．
在区间
有两个极值点
D．使得
为偶函数的最小正实数
为
6．（2026·陕西安康·模拟预测）定义关于
的函数
，
，其中
，则
（ ）
A．
B．
C．对于任意
，
D．对于任意
，
7．（2026·福建泉州·三模）已知函数
，则（）
A．
图象关于
轴对称
B．
的最小正周期为
C．
的值域为
D．
在
单调递增
三、填空题
8．【变载体】（2026·山东济南·模拟预测）在平面直角坐标系
中，
，
，
，点
在线段
上运动（包括端点），点
满足
，若点
满足
，则直线
的斜率的取
值范围为___________.
9．（2026·山西忻州·模拟预测）已知函数
的最大值为2，且其图象的一条对称轴为
，则
__________.
10．（2026·山东聊城·模拟预测）已知函数
在区间
上有且
仅有两个零点，则实数
的取值范围为___________．
题型06 恒等变换与解三角形综合
一、单选题
1．函数
在区间
内所有零点的和为（ ）
A．0
B．
C．
D．
2.在
中，
，则这个三角形一定是（ ）
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰或直角三角形
故这个三角形一定是等腰或直角三角形
二、多选题
3．（2026·浙江·模拟预测）在
中，角
，
，
所对的边分别为
，
，，下列说法正确的有
（ ）
A．若
为锐角三角形，则
B．若
为钝角三角形，则
C．存在
，满足
且
D．若
，则
，
，成等差数列
4．（2026·海南·模拟预测）已知
的内角
，
，
的对边分别为
，
，，则下列说法正确的是
（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
一定是直角三角形
D．若
，则
是等腰三角形或直角三角形
5．（2026·江苏无锡·模拟预测）在
中，角
所对的边分别为
，则下列说法正确的是
（ ）
A．若
，则
B．若
是锐角三角形，则
C．存在钝角三角形
，满足
D．若
，则
成等差数列
6．在
中，角A，B，C 所对边分别为a，b，c，AC 的中点为M，
，且
，延长AC
到点D，使点C 为线段AD 的中点，下列说法正确的是（ ）
A．
B．△ABD 的面积的最大值为
C．若△ABC 为锐角三角形，BM 的取值范围为
D．BD 的最小值为
三、填空题
7．【新题型】在
中，
，点D，E 分别在线段
上，
，
°，则
_________，
的面积等于_________．
8．【新题型】在
中，已知
，则
________，
________．
四、解答题
9．（2026·湖南衡阳·模拟预测）在
中，角
，
，
所对的边分别为
，
，，
.
(1)求
的值；
(2)若
是边
上一点，
，
，求
的周长.
10．在
中，
，
，分别为内角
，
，
的对边，已知
．
（1）求角
；
（2）若
，
，求
的面积．
重难·创新演练
设题创新:综合考察
一、单选题
1．（2026·湖北武汉·模拟预测）已知
中，角
所对的边分别为
，若
，
，
，则
（ ）
A．3
B．5
C．
D．
2．（2026·陕西西安·模拟预测）已知
为函数
的最小正周期，则
（ ）
A．
B．
C．
D．0
3．（2026·河南开封·模拟预测）已知
的外接圆半径为
，若
，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
4．（2026·海南三亚·一模）已知
中，
与
均为锐角，
的面积为
，
且
，则（）
A．
B．
C．
周长为
D．
5．（2026·安徽合肥·二模）已知
是定义域为
，最小正周期为
的函数，我们把
称为
的叠加函数，则（ ）
A．
的叠加函数是最小正周期为
的周期函数
B．当
时，
的值域为
C．当
时方程
在
上有25 个实根
D．当
，
，
时方程
在
有实根的充要条件为
6．（2026·湖北·模拟预测）已知
分别为双曲线
的左、右顶点，
为双曲
线上位于第一象限内任意一点，记
（其中
均不为
），
的面
积为，则（ ）
A．
的值随着
的增大而减小
B．
C．
为定值
D．
为定值
三、填空题
7．（2026·四川绵阳·模拟预测）在△ABC 中，已知M、N 分别是AC、BC 的中点，且
，则
______；若△ABC 的面积为3，则AB 的最小值为______.
8．（2026·江苏徐州·三模）已知三角形
的内角
的对边分别为
，
，
，则
的最大值为_______．
9．（2025·山东青岛·二模）已知
，曲线
与
相邻的三个交点构成一个直角三
角形，则
______．
10．（2026·安徽芜湖·模拟预测）在
中，内角
的对边分别是
，若
，
，则
的面积最大值为___________．
四、解答题
11．（2026·广东肇庆·模拟预测）已知
分别为
三个内角
的对边，且
(1)求角
；
(2)已知
，
为锐角三角形，求
的取值范围．
真题·实战演练
高频考点：三角恒等变换的应用
一、单选题
1．（2025·全国二卷·高考真题）已知
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2023·全国乙卷·高考真题）在
中，内角
的对边分别是
，若
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
3．（2025·全国一卷·高考真题）已知
的面积为
，若
，
则（ ）
A．
B．
C．
D．
三、填空题
4．（2025·上海·高考真题）已知
，
是平面内三个不同的单位向量．若
，则
的取值范围是_______．
5．（2024·上海·高考真题）三角形
中，
，则
______
6．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知
为第一象限角，
为第三象限角，
，
，则
_______.
7．（2023·上海·高考真题）公园修建斜坡，假设斜坡起点在水平面上，斜坡与水平面的夹角为θ，斜坡终
点距离水平面的垂直高度为4 米，游客每走一米消耗的体能为
，要使游客从斜坡底走到斜坡
顶端所消耗的总体能最少，则
______．
四、解答题
8．（2026·全国二卷·高考真题）在
中，已知
，
．
(1)证明：
为钝角三角形；
(2)若
的面积为
，求
的周长．
9．（2026·天津·高考真题）已知
．
(1)求最小正周期；
(2)若
，求
的最大值和最小值；
(3)若
，
，求
．
10．（2025·天津·高考真题）在
中，角
的对边分别为
．已知
，
，
．
(1)求A 的值；
(2)求c 的值；
(3)求
的值．
11．（2023·全国甲卷·高考真题）记
的内角
的对边分别为
，已知
．
(1)求
；
(2)若
，求
面积．
