文档文本内容
第02
平面向量的基本定理
坐标表示
讲
及
目录
01 常考题型过关练
题型01 对基向量概念的理解
题型02 用基底表示向量
题型03 利用平面向量基本定理求参数
题型04 平面向量的坐标运算
题型05 向量共线的坐标表示
02 核心突破提升练
03 真题溯源通关练
01 对基向量概念的理解
1．若
，
是平面内一组不共线的向量，则下列各组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是
（ ）
A．
与
B．
与
C．
与
D．
与
【答案】D
【分析】分别验证四个选项中的两向量是否共线即可选出正确答案.
【详解】因为
，
是平面内一组不共线的向量，
设
，无解，，能作为平面内所有向量的一组基底，所以A 选项错误；
设
，则
，无解，不平行，能作为平面内所有向量的一组基底，所以B 选项错误；
设
，则
，无解，能作为平面内所有向量的一组基底，所以C 选项错误；
，
，不能作为平面内所有向量的一组基底，D 选项正确；
故选：D.
2．（多选）设
是平面内一个基底，则下列四组基底中，能作为基底的有（ ）
A．
与
B．
与
C．
与
D．
与
【答案】ACD
【分析】根据向量共线分别判断各个选项即可得出基底.
【详解】选项A，假设
与
共线，则存在实数
，使得
，即
，
因为
，
是基底，所以
无解，所以
与
不共线，可以作为基底.
选项B，因为
，所以
与
共线，不能作为基底.
选项C，假设
与
共线，则存在实数
，使得
，即
，
因为
，
是基底，所以
无解，所以
与
不共线，可以作为基底.
选项D，假设
与
共线，则存在实数
，使得
，即
，
因为
，
是基底，所以
无解，所以
与
不共线，可以作为基底.
故选：ACD.
3．（多选）已知向量
，
不共线，则下列能作为平面向量的一个基底的有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【分析】通过判断向量是否共线即可得解.
【详解】对于A，令
，即
，
所以
无解，
故向量
与
不共线，能作为平面向量的一个基底，A 正确；
对于B，因为
，即向量
与
共线，故不能作为平面向量的一个基底；B 错误；
对于C，令
，即
，
所以
无解，
故向量
与
不共线，能作为平面向量的一个基底，C 正确；
对于D，令
，即
，
所以
无解，
故向量
与
不共线，能作为平面向量的一个基底，D 正确
故选：ACD.
4．下列各组向量中，可以作为基底的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据基底需为不共线的非零向量，由此依次判断各个选项即可.
【详解】对于A，因为
不共线， 且都是非零向量，所以A 符合题意；
对于B，因为
，所以
与
共线，故B 不符合题意；
对于C，因为
为零向量，所以C 不符合题意；
对于D，因为
，所以
与
共线，所以D 不符合题意；
故选：A
02 用基底表示向量
5．如图，
中，
，
，设
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用平面向量的线性运算化简可得出
关于
、
的表达式.
【详解】在
中，
，
，故
，
，
因此
.
故选：A.
6．如图，已知在
中，
，
，
和
交于点E，若
，则以
为
基底表示
正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由已知可得
，进而可得
，利用三点共线可求得
，进
而利用向量的线性运算可求得
.
【详解】因为
，所以
，又因为
三点共线，
所以设
，又
，所以
，
所以
，又
三点共线，所以
，解得
，
所以
，
所以
.
故选：C.
7．在平行四边形ABCD 中，
，
，记
，
，则
（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据已知及向量加减、数乘的几何意义用
，
表示出
.
【详解】由题设
，其中
，
故
．
故选：B
8．如图，平行四边形
中，点
是
的中点，
，
，设
，
．
(1)用
，
表示
，
；
(2)若
，
，求
的余弦值．
【答案】(1)
，
(2)
【分析】（1）结合图形，利用平面向量的线性运算即可求解；
（2）先根据平面向量模的求法及向量数量积的运算法则求出
，
；再根据向量夹角的求法即可
求解.
【详解】（1）由平行四边形性质可得：
.
因为点
是
的中点，
所以
.
又因为
，
，
所以
，
.
（2）因为
，
，
所以
，
.
又因为
，
，
所以
.
03 利用平面向量基本定理求参数
9．在
中，
是
边上靠近点
的三等分点，
是
的中点，若
，则
（ ）
A．0
B．
C．
D．1
【答案】C
【分析】选一组基底
，利用平面向量基本定理即可求解.
【详解】
因为
是
边上靠近点
的三等分点，
是
的中点，
所以
，
所以
，
因为
，
不共线，所以
.
故选：C.
10．在
中，
，点
为
与
的交点，
，则
（
）
A．0
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用平面向量基本定理得到
，
，从而列出方程组，
求出
，得到
，求出答案.
【详解】因为
，所以
为
中点，
三点共线，故可设
，即
，
整理得
，
因为
，所以
，即
，
又
三点共线，
则
，
所以
，解得
，
可得
，则
，
.
故选：D.
11．如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点
为
的重心，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据已知条件得出向量之间的关系，再通过向量的运算法则逐步推导出
关于
和
的表达
式，从而确定
和
的值，最后计算
.
【详解】如图，延长AG 与BO 相交于点
，可得
为OB 的中点，可得
，
由
，有
，有
，
又由
，
有
，可得
.
故选：A.
12．平行四边形
中，E 为
中点，
与
交于O，记
，
，
，则
（ ）
A．2
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】本题根据平面向量加减与数乘运算结合平面向量基本定理即可得解.
【详解】由题意得
，
所以
，
，
．
故选：B．
13．在
中，点
、
满足
，
，点
满足
，
为
的
中点，且
、
、
三点共线，则
【答案】8
【分析】根据平面向量的线性运算和平面向量基本定理，使用基地表示出各向量，根据向量关系列出参数
的方程，求出参数关系.
【详解】因为
，所以
，则
，
所以，
，
因为
为
的中点，故
．
又因为
、
、
三点共线，则
，
所以，存在
，使得
，即
，
所以
，
又因为
，且
、
不共线，所以
，
所以，
，故
．
故答案为：8.
04 平面向量的坐标运算
14．已知点
，点
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用向量的坐标表示求解.
【详解】点
，点
，则
.
故选：B
15．如果用，
分别表示x 轴和y 轴正方向上的单位向量，且
，
，若
，则
（ ）
A．
B．1
C．5
D．
【答案】B
【分析】利用向量的坐标表示求解即得.
【详解】由
，
，得
，由
，得
，
因此
，所以
.
故选：B
16．已知
，若
，则等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据向量线性运算的坐标表示求解即可.
【详解】由题意得
，
因为
，
所以
⇒
故
.
故选：A.
17．已知
，且
，则
的坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据题意，利用共线向量的坐标表示，求得
，结合向量的坐标运算，即可求解.
【详解】由向量
，因为
，可得
，解得
，
即
，所以
.
故选：A.
18．如图，扇形的半径为，圆心角
，点
在弧
上运动，且
，则
的最大值是（ ）
A．2
B．
C．0
D．
【答案】A
【分析】以
所在直线为
轴建立坐标系，根据三角函数定义，写出
的坐标
，用三角函数
表示出参数
，进而将问题转化为求三角函数的值域，即可求得结果.
【详解】以
所在直线为
轴，
为坐标原点，建立如图所示直角坐标系：
设
，则根据三角函数定义，
，且
，
同时
，由
可得：
，也即
，
，
则
，
，
则
，
，
则
，
，故
，
也即
的最大值为
.
故选：A.
19．已知平面向量
，则
．
【答案】
【分析】根据向量加法的坐标运算计算即可得解.
【详解】
.
故答案为：
20．已知
，
，点
在线段
的延长线上，且
，则点
的坐标为 ．
【答案】
【分析】设点
的坐标为
，依题意可得
，即可得到方程组，解得即可；
【详解】点
，
，点
在线段
的延长线上，且
，
设点
的坐标为
，则
，
，且
，
即
，解得
，
所以点
为
．
故答案为：
．
21．已知
，
，
三点的坐标分别为
，
，
，且点
满足
.
(1)求点
的坐标；
(2)若点
满足
，判断向量
与向量
是否共线，并证明你的结论.
【答案】(1)
(2)共线，证明见解析
【分析】（1）设出点
的坐标，再利用向量的坐标运算即可求解；
（2）利用向量共线定理即可证明.
【详解】（1）设
，因为
，
，则
，
，
因为
，所以
，即
，
解得
，所以
；
（2）向量
与向量
共线，证明如下：
设
，因为
，
，
所以
，
，因为
，
则
，
即
，解得
，所以
，
所以
，
，所以
，故
与
共线.
05 向量共线的坐标表示
22．已知向量
不共线，
，其中
，若
三点共线，则
的最小值为（ ）
A．5
B．4
C．3
D．2
【答案】B
【分析】由平面向量的共线定理可得
，再结合基本不等式即可求得答案.
【详解】因为
三点共线，所以存在实数
，使
，即
，
又向量
不共线，所以
，整理，得
，
由
，所以
，
当且仅当
时，取等号，即
的最小值为4.
故选：B．
23．（多选）延长正方形
的边
至点
，使
，动点
从点
出发沿正方形的边按逆时针
方向运动一周后回到点
，若
，则下列正确的是（ ）
A．若
，则点
与点
重合
B．若点
与点
重合，则
，
C．满足
的点
有2 个
D．满足
的点
有且只有1 个
【答案】AC
【分析】对于选项A 和选项B，直接将选项中的条件代入
，结合向量的加法法则判断，对
于选项C 和选项D，建立平面直角坐标系，再根据点的坐标和选项中的条件表示出点
，依次分析点
在
四条边上的情况即可判断.
【详解】选项A：已知
，
，即
，
若
，则
，
故点
与点
重合，选项A 正确；
选项B：若点
与点
重合，则
，
故
，
，选项B 错误；
选项C：以
为原点，
为
轴建立平面直角坐标系，
，
，
，若
，则
，
，
，当
在
上时，
，解得
，
为
点，
当
在
上时，
，解得
，
，为
点，
当
在
上时，
，解得
，
，不符合题意，
当
在
上时，
，解得
，
，
综上，满足
的点
有2 个，一个是
点，一个是
，选项C 正确；
选项D：若
，则
，
，
，当
在
上时，
，解得
，
，不符合题意，
当
在
上时，
，解得
，
，
当
在
上时，
，解得
，
，不符合题意，
当
在
上时，
，解得
，
，综
上，满足
的点
有2 个，一个是
，一个是
，选项D 错误.
故选：AC.
24．已知向量
，若
，则
【答案】
/0.28
【分析】由向量共线关系得出方程，求解
，再由余弦二倍角求得结果.
【详解】由
，可得
，即
，
，解得：
或
（舍），
．
故答案为：
.
1．
已知
、
分别为等差数列
、
的前
项和，
，设点
是直线
外一点，
点
是直线
上一点，且
，则实数
的值为 ．
【答案】
/
【分析】设
，则
，求出
、
的值，可得出
的值，设
，利用平面向量的线性运算、平面向量的基本定理以及
，可得出关于
、
的方程组，即可解得实数
的值.
【详解】因为
、
分别为等差数列
、
的前
项和，
，
设
，则
，
所以
，
，
所以
，所以
，
因为点
是直线
上一点，点
是直线
外一点，
设
，即
，所以
，
由题意可知
、
不共线，由平面向量基本定理可得
，解得
.
故答案为：
.
2．
已知O 为
的外心，满足
，若
的最大值为
，则
．
【答案】
【分析】设
，得
，得
的最大值为
，要使
取最大值，得
是等腰三角形后可
求解问题.
【详解】如图，延长
交
于
，设
，则
，
因为
在
上，所以
，即
，
所以
的最大值为
，
设
外接圆的半径为
，所以
，
当
最大时，即
最小时，即
时，
取最大值，
所以
，解得
，
此时
是等腰三角形，
，
.
故答案为：
.
3．
已知向量
满足
，且
，则
的值为
.
【答案】
【分析】根据题意，设
，根据向量的模可得
，且
，从而可解.
【详解】根据题意，设
，则
，
，
由于
，所以
，
则
，得
，
所以
，即
，所以
.
故答案为：
4．如图，菱形
中，
，
，
，点
在线段
上，且
，则
．
【答案】
【分析】由题意得出
，
分别是
，
的一个三等分点，设
，然后把
用
，
表
示可得，和已知等式相比，即可求得答案.
【详解】由题意得
，
，
所以
，
分别是
，
的一个三等分点，
，
，
设
，
则
，
又
，
所以
，解得
，
所以
.
故答案为：
．
5．
在平面直角坐标系
中，
，
，点
满足
，
，则
的取值范围为 ．
【答案】
【分析】法一：点
在以
为圆心，半径为
的圆B 上，利用三角代换可得
，结合已知可得
，进而计算可求得
的取值
范围.法二：
点
在以
为圆心，半径为
的圆B 上．过
作直线
的平行线，求得
的坐
标，进而可求得
的最值可得取值范围.
【详解】法一：
，
点
在以
为圆心，半径为
的圆B 上．
设
，由已知
，得
，
，
，
当
时，
；当
时，
，
的取值范围为
．
法二：
，
点
在以
为圆心，半径为
的圆B 上．
过
作直线
的平行线，设此平行线方程为
，
则
，解得
，所以直线方程为
，令
，则
，
则
，且
，所以
在圆
上，
直线
与圆的另一交点为
，与
轴的交点为
，过
作
轴于
，
则
，所以可得
，又
，
所以
，解得
，所以
，所以
，
设
，由
，所以
，
所以
，所以当
取得最值时，
取得最值，
设
，当
与圆
相切时，取得最值，此时即为
与圆
的交点，
当
与
重合时，由
，得
，，
，
此时
．
当
与
重合时，
，又
，
，此时
，
的取值范围为
．
1．（新高考全国
卷
Ⅰ
·高考真题）在
中，点D 在边AB 上，
．记
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出．
【详解】因为点D 在边AB 上，
，所以
，即
，
所以
．
故选：B．
2．（2004·安徽·高考真题）已知向量
,且
,则
的值分别为( )
A．－2，1
B．1，－2
C．2，－1
D．－1，2
【答案】D
【分析】根据向量的坐标运算列出关于
的方程组求解即可.
【详解】因为
,所以
.
所以
解得
.
故选：D．
3．（福建·高考真题）已知
，点C 在
内，且
.设
，则
等于（ ）
A．
B．3
C．
D．
【答案】B
【分析】由题意可得
,建立坐标系，由已知条件可得
，进而可得
，
即可得答案.
【详解】解：因为
，
所以
,
又因为点C 在
内，且
，
建立如图所示的坐标系：
则
,
,
又因为
，
所以
，
所以
，
所以
.
故选：B.
4．（2024·上海·高考真题）已知
，且
，则
的值为 ．
【答案】15
【分析】根据向量平行的坐标表示得到方程，解出即可.
【详解】
，
，解得
．
故答案为：15．
5．（2024·天津·高考真题）已知正方形
的边长为1，
若
，其中
为实
数，则
；设
是线段
上的动点，
为线段
的中点，则
的最小值为 ．
【答案】
【分析】解法一：以
为基底向量，根据向量的线性运算求
，即可得
，设
，求
，结合数量积的运算律求
的最小值；解法二：建系标点，根据向量的坐标运算求
，即
可得
，设
，求
，结合数量积的坐标运算求
的最小值.
【详解】解法一：因为
，即
，则
，
可得
，所以
；
由题意可知：
，
因为
为线段
上的动点，设
，
则
，
又因为
为
中点，则
，
可得
，
又因为
，可知：当
时，
取到最小值
；
解法二：以B 为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示，
则
，
可得
，
因为
，则
，所以
；
因为点
在线段
上，设
，
且
为
中点，则
，
可得
，
则
，
且
，所以当
时，
取到最小值为
；
故答案为：
；
.
