文档文本内容
第18 讲 平面向量的数量积及其应用
易错分析
易错点一 混淆向量数量积运算与数乘运算
题型方法
题型一 求平面向量的数量积
题型二 求平面向量的投影向量
题型三 平面向量的垂直问题
题型四 平面向量的模的问题
题型五 平面向量的夹角问题
知识点01 向量的夹角
已知两个非零向量a，b，O 是平面上的任意一点，作OA＝a，OB＝b，则∠
AOB
＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a 与b 的夹角．
知识点02 平面向量的数量积
已知两个非零向量a 与b，它们的夹角为θ，我们把数量| a || b |cos
θ 叫做向量a 与b 的数量积，记作a · b .
知识点03 平面向量数量积的几何意义
题型梳理
知识清单
设a，b 是两个非零向量，它们的夹角是θ，e 是与b 方向相同的单位向量，AB＝a，CD＝b，过AB的起点A 和终点B，
分别作CD所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到A1B1，我们称上述变换为向量a 向向量b 投影，A1B1叫做向量
a 在向量b 上的投影向量．记为| a |cos
θ e .
知识点04 向量数量积的运算律
(1)a·b＝b · a .
(2)(λa)·b＝λ ( a · b ) ＝a ·( λ b ) ．
(3)(a＋b)·c＝a · c ＋
b · c .
知识点05 平面向量数量积的有关结论
已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a 与b 的夹角为θ.
几何表示
坐标表示
数量积
a·b＝|a||b|cos θ
a·b＝x1x2＋
y 1y2
模
|a|＝
|a|＝
夹角
cos θ＝
cos θ＝
a⊥b 的充要条件
a·b＝0
x1x2＋
y 1y2＝
0
|a·b|与|a||b|的关系
|a·b|≤|a||b|
|x1x2＋y1y2|≤
常用结论
1．平面向量数量积运算的常用公式
(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；
(2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.
2．有关向量夹角的两个结论
(1)若a 与b 的夹角为锐角，则a·b>0；若a·b>0，则a 与b 的夹角为锐角或0.
(2)若a 与b 的夹角为钝角，则a·b<0；若a·b<0，则a 与b 的夹角为钝角或π.
【易错点一】混淆向量数量积运算与数乘运算
【例1】（2025·云南玉溪·模拟预测）已知向量
满足
，
，则
（ ）
A．4
B．2
C．1
D．
【答案】D
【分析】对
两边平方求出
，再对
平方运算可得答案.
【详解】因为
，
，
所以
，
可得
，
则
.
故选：D.
【举一反三】【变式1】（2025·湖南邵阳·模拟预测）已知向量
，
满足
，且
，若
，
则
（ ）
A．
B．
C．2
D．
【答案】B
【分析】由
，利用向量数量积的运算即可求解.
【详解】由题意有
，解得
，
易错分析
故选：B.
【变式2】（2025·广西柳州·模拟预测）已知
与
的夹角
，则
.
【答案】6
【分析】根据平面向量数量积的定义及运算律求解即可.
【详解】由
与
的夹角
，
则
.
故答案为：6.
【变式3】（2023·四川成都·模拟预测）已知
的内角
，
，
所对的边分别为
，
，，且
.
(1)求角
；
(2)若
，
，
，求
的长.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用余弦定理计算可得；
（2）根据向量的线性运算得到
，设
，根据数量积的运算律及定义得到关于
的方程，解得
，
最后由余弦定理计算可得.
【详解】（1）由
得
，
由余弦定理
，又
，
所以
；
（2）因为
，所以
，
设
，
则
，整理得
，解得
或
（舍去），
所以
，
则
.
【题型一】求平面向量的数量积
【例1】（2022·全国乙卷·高考真题）已知向量
满足
，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．2
【答案】C
【分析】根据给定模长，利用向量的数量积运算求解即可.
【详解】解：∵
，
又∵
9
∴
，
∴
题型方法
故选：C.
解题技巧
计算平面向量数量积的主要方法
(1)利用定义：a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．
(2)利用坐标运算，若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.
(3)利用基底法求数量积．
(4)灵活运用平面向量数量积的几何意义
【举一反三】【变式1】（2025·江苏泰州·模拟预测）已知
，则
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】将题干条件平方处理，得出
，然后对待求表达式也平方处理即可得解.
【详解】由
，则
，
解得
，于是
，
故
.
故选：B
【变式2】（2025·湖南岳阳·模拟预测）已知菱形
中，点
，则
．
【答案】50
【分析】连接
，
交于点
，由菱形的特点可得
为
，
的中点，且
，进而根据平面向量的模的
坐标表示及数量积的运算律求解即可.
【详解】连接
，
交于点
，则
为
，
的中点，且
，
由
，则
，即
，
所以
.
故答案为：50.
【变式3】（2025 高三·全国·专题练习）已知
，
，对任意的单位向量
恒成立，求
的
最大值．
【答案】
【知识点】平面向量数量积的几何意义、数量积的运算律、已知模求数量积
【分析】根据
，当且仅当
在单位向量上的投影向量方向相同时等号成立，及题意得出
恒成立，再根据数量积的运算律，转化为
成立，进而得出
，平方后即可
求解.
【详解】因为
，当且仅当
在单位向量上的投影向量方向相同时等号成立，
所以由题意知
，即
恒成立，
即
恒成立，从而
成立．
因为
恒成立，
所以
，即
，
所以
，
即
的最大值为
．
【题型二】求平面向量的投影向量
【例2】（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）向量
，
，则向量
在
方向上的投影向量为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用投影向量的定义求解.
【详解】向量
，
，则
，
，
所以向量
在
方向上的投影向量为
.
故选：D
【举一反三】【变式1】（2025·贵州贵阳·模拟预测）已知向量
和
满足
，则向量
在向量
上的投影向量为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【知识点】数量积的坐标表示、求投影向量
【分析】先计算向量
，再应用投影向量公式计算求解.
【详解】
，则向量
，
则
在
的投影向量为
，
故选:A．
【变式2】（2025·河北·模拟预测）设非零向量
、
的夹角为
，
，
在
方向上的投影向量为
，则
．
【答案】
/
【分析】由投影向量的定义可求得
的值.
【详解】由题意可知，
在
方向上的投影向量为
，
故
.
故答案为：
.
【变式3】（2022·河南·模拟预测）已知向量
，
满足
，
，
.
(1)求
与
的夹角
；
(2)求
在
上的投影向量的模.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据向量的数量积公式，结合
化简
可得
，再用向量的夹角公式计算
可得
从而求得
；
（2）根据
，结合投影向量模的公式计算即可
【详解】（1）因为
，即
，
又
，
，所以
，即
，解得
.
所以
.因为
，所以
.
（2）因为
，所以
，
所以
在
上的投影向量的模为
.
【题型三】平面向量的垂直问题
【例3】（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知向量
，若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据向量的坐标运算求出
，
，再根据向量垂直的坐标表示即可求出．
【详解】因为
，所以
，
，
由
可得，
，
即
，整理得：
．
故选：D．
【举一反三】【变式1】（2025·北京大兴·三模）已知平面向量
，
，若
，则实数
（ ）
A．
B．1
C．
或1
D．4
【答案】C
【分析】根据向量垂直的坐标表示即可求出
的值.
【详解】因为
，
所以
.
因为
，所以
所以
.
解得
.
故选：C.
【变式2】（2023·海南海口·模拟预测）已知向量
，
不共线，
，
，写出一个符合条件的向量
的
坐标： .
【答案】
（答案不唯一）
【分析】设
，由平行的坐标表示可得
，再由数量积的定义可得
，即可得出答案.
【详解】由题意得
，
，则
，设
，
得
，且
，满足条件的向量
的坐标可以为
（答案不唯一或者
）.
故答案为：
（答案不唯一）
【变式3】（2020·江苏苏州·模拟预测）已知平面向量
，
.
（1）若
，求
的值；
（2）若
，求
的值.
【答案】（1）
；（2）
.
【分析】（1）由
，得
，由此能求出
．
（2）由
，得
，推导出
，
，由此能求出
．
【详解】解：（1）
平面向量
，
，
，
，
解得
，
．
（2）
，
，
，
若
，则
，不满足上式，舍，
，
，
．
【点睛】本题考查三角函数值的求法，考查向量平行、向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．
【题型四】平面向量的模的问题
【例4】（2025·北京·高考真题）在平面直角坐标系
中，
，
.设
，则
的取
值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】先根据
，求出
，进而可以用向量
表示出
，即可解出．
【详解】因为
，
，
由
平方可得，
，所以
．
，
，
所以，
，
又
，即
，
所以
，即
，
故选：D.
解题技巧
求平面向量的模的方法
①公式法：利用|a|＝及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2；
②几何法：利用向量的几何意义．
【举一反三】【变式1】（2025·海南·模拟预测）已知平面向量
满足
，若
，则
（ ）
A．2
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】将
两边平方，可得
，继而根据
，即可求得答案.
【详解】由于
，
，
故
，即
，则
，
故
，
故选：D
【变式2】（2023·全国·模拟预测）已知平面向量
满足
，则实数
的值为 ．
【答案】1 或
【分析】结合平面向量的相关知识，将
两边平方，计算即可.
【详解】将
两边平方，得
，
得
，即
，解得
或
．
故答案为：或
.
【变式3】（2023·全国·模拟预测）
中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，
，
，
．
(1)
，
时，求CD 的长度；
(2)若CD 为角C 的平分线，且
，求
的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，可得
，然后根据向量的模长计算公式，即可得到结果；
（2）根据题意，可得
，然后结合三角形的面积公式即可得到
，从而得到
的面积.
【详解】（1）当
时，
则
所以
，
∴
．
（2）因为
，
即
，∴
，又
，
∴
，则
，
∴
．
【题型五】平面向量的夹角问题
【例5】（2023·全国甲卷·高考真题）已知向量
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用平面向量模与数量积的坐标表示分别求得
，从而利用平面向量余弦的运算公
式即可得解.
【详解】因为
，所以
，
则
，
，
所以
.
故选：B.
解题技巧
求平面向量的夹角的方法
①定义法：cos θ＝；
②坐标法．
(3)两个向量垂直的充要条件
a⊥b⇔a·b＝0⇔|a－b|＝|a＋b|(其中a≠0，b≠0)
【举一反三】【变式1】（2025·全国·模拟预测）已知向量
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据已知向量
，
，利用向量减法求出
和
，再通过点积计算求出
，
通过模长计算求出
和
，利用向量夹角的余弦公式
求解.
【详解】
，
.
.
.
.
.
.
故选：C.
【变式2】（2025·上海徐汇·二模）已知
是正方形，点
是
的中点，点
在对角线
上，且
则
的大小为 .
【答案】
/
【分析】建立平面直角坐标系，求出点的坐标，利用数量积即可求解.
【详解】以点
为坐标原点，
为
轴，
为
轴建立平面直角坐标系，设
，
则有
，由
有
，所以
，
所以
，所以
，
即
，所以
，
故答案为：
.
【变式3】（2024·河南郑州·模拟预测）如图，在
中，已知
，
，
，
，
点
为
边的中点，
，
相交于点
．
(1)求
；
(2)求
．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由
为
中点得
，在
中，通过余弦定理即可求
；
（2）建立平面直角坐标系，求
，
，由数量积夹角公式得
，并计算即可.
【详解】（1）因为
，且
为
中点，
所以
.
由余弦定理得：
，
即
，
所以
，
即
．
（2）如图，以
为原点，直线
为
轴，过
点作
的垂线为
轴，建立平面直角坐标系，
则
，
，
，
，
设点
，
由
可得：
，
即
解得：
，
所以
，
，
则
，
所以
．
一、单选题
1．（2025·江西·模拟预测）若向量
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用平面向量垂直的坐标运算，化简即可得到答案.
好题必刷
【详解】由
，得
，因为
，所以
，所以
.
故选：A.
2．（2025·陕西延安·模拟预测）已知向量
，
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据向量线性运算和向量数量积运算的坐标表示，求出参数，再求出结果.
【详解】由
，
可得
，
因为
，所以
，即
，解得
，
则
，则
.
故选：A.
3．（2025·江苏连云港·模拟预测）已知
为
的高，且
，则
（ ）
A．
B．2
C．
D．
【答案】A
【分析】
，根据垂直
计算即可.
【详解】
因为
为
的高，所以
,
故选：A.
4．（2025·湖南永州·模拟预测）已知
，求
与
在上的投影长度的比值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【分析】首先根据向量数量积公式求出
，再根据向量投影公式求出
在上的投影长度，最后求它们的比值．
【详解】因为
．
所以
．
所以向量
在上的投影长度为
，
故
与
在上的投影长度的比值为
．
故选：B
5．（2025·湖南娄底·模拟预测）已知向量
，
，若
，则实数
（ ）
A．
B．
或
C．
或1
D．
【答案】B
【分析】应用向量数量积的运算律将条件化为
，再由向量模长的坐标运算列方程求参数值.
【详解】由
两边平方化简得
，
所以
，即
，
化简得
，解得
或
.
故选：B
二、多选题
6．（2025·河北·模拟预测）已知平面向量
，
，若
，
则下列说法正确的是（ ）
A．
与
的夹角
B．
C．
D．
在
方向上的投影向量为
【答案】AD
【分析】根据数量积公式及题中条件即可判断选项A，B；根据数量积的运算律及垂直的向量表示即可判断选项C；
根据
在
方向上的投影向量的计算公式即可判断选项D.
【详解】∵
，∴
，∴
.又
，∴
，故选项A 正确；
∵
，∴
，
当且仅当
时，
，故选项B 错误；
∵
，∴
，即
，∴
或
，故选项C 错误；
在
方向上的投影向量
，故选项D 正确.
故选：AD.
7．（2025·贵州黔南·模拟预测）已知向量
，且
在
方向的投影向量为，则（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
【答案】BD
【分析】对于A，由向量共线的坐标形式求解
后可判断正误；对于B， 由向量垂直的坐标形式求解
后可
判断正误，对于CD，利用投影向量公式计算后可判断正误.
【详解】对于A，因为
，故
，故
，故A 错误；
对于B，因为
，故
，整理得
，
故
，故
，故B 正确；
对于C，由题设有
在
方向的投影向量为
，故
，
故
即
，故C 错误，
对于D，由C 的分析可得
，故
，故D 成立.
故选：BD.
8．（2025·陕西汉中·一模）已知向量
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
在
方向上的投影向量坐标是
【答案】BD
【分析】应用向量的坐标运算求模长、夹角，结合投影向量的定义求投影向量，即可判断各项正误.
【详解】对于A：
，错误；
对于B：
，正确；
对于C：
，错误；
对于D：
在
方向上的投影向量坐标是
，正确.
故选：BD.
三、填空题
9．（2025·浙江嘉兴·二模）已知向量
，若
，则
．
【答案】
【分析】根据向量垂直的坐标形式可求
的值.
【详解】因为
，故
，即
，
故答案为：
10．（2025·辽宁·模拟预测）已知向量
，
，则
在
上的投影向量的坐标为 .
【答案】
【分析】根据平面向量的坐标运算求
，
，再结合投影向量的定义求解即可.
【详解】由
，
，
得
，
，
则向量
在
上的投影向量的坐标为
.
故答案为：
.
11．（2025·湖北武汉·模拟预测）在
中，
，
，
为
所在平面内的动点，且
，则
的最小值为 ．
【答案】
【分析】可证
，延长
至
，使得
，连接
，则
为
的垂直平分线，根据对称可求得
的最小值.
【详解】
因为
，故
，故
，
故
，所以
，
延长
至
，使得
，连接
，则
为
的垂直平分线，
故
，故
，当且仅当
共线时等号成立，
而
，
故
的最小值为
.
故答案为：
.
四、解答题
12．（2025·天津河北·模拟预测）已知向量
，
，
．
(1)求
的坐标，
的值；
(2)若
，求实数k 的值；
(3)若
，求实数k 的值．
【答案】(1)
，
；
(2)
；
(3)
.
【分析】（1）由向量线性关系和模长的坐标运算求
坐标和
；
（2）由向量平行的坐标表示列方程求参数；
（3）由向量垂直的坐标表示列方程求参数.
【详解】（1）由题设
，
；
（2）由题设
，又
，
所以
，则
，可得
；
（3）由（2）及
，则
，可得
.
13．（2025·安徽·三模）在
中，角
，
，
的对边分别为
，
，，且
.
(1)求角
的大小；
(2)设
的垂心为
，若
.
①求
的值；
②求
的值.
【答案】(1)
(2)①
；②
【分析】(1)根据正弦定理,由边化角,再根据两角和的正弦公式变换化简,求出结果.
(2)根据垂心的向量性质,写出数量积的表达式,求出比值.再根据余弦定理求出结果.
【详解】（1）因为
，
所以由正弦定理得
，
即
，
因为
，则
，故
，
因为
，所以
.
（2）①因为点
为
的垂心，所以
，
则
，
得
.
②因为
，所以由余弦定理得，
，
将
代入上式，得
，
所以
.
14．（2023·河南洛阳·模拟预测）已知a，b，c 为
的内角A，B，C 所对的边，向量
，且
(1)求C；
(2)若
，
的面积为
，且
，求线段
的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由
可得
，再利用正弦定理统一成边的形式化简后，利用余
弦定理可求得角
，
（2）由
的面积为
，可求得
，由
，得
，平方化简可得结果.
【详解】（1）因为
，向量
，
所以
，
由正弦定理，得
，即
，
由余弦定理，得
，
因为
，所以
．
（2）由
，解得
，
因为
，所以
，
所以
，
所以
所以
．
15．（2024·天津河北·模拟预测）已知向量
，
，
．
(1)若
，求
的值；
(2)若
，求向量
与
的夹角的余弦值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据向量垂直的坐标表示求
，再代入模的公式，即可求解；
（2）首先根据两向量平行求
，再代入向量夹角的余弦公式，即可求解.
【详解】（1）由
，得
，解得
，
，则
．
（2）由题意
，
又
，
，解得
，
则
，
，
，
，
即向量
与
的夹角的余弦值为
．
16．（2025·河北张家口·三模）在
中，内角
，
，
的对边分别为
，
，，已知
.
(1)求
；
(2)若
的外接圆面积为
，且
，
，求
的长.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由三角形的性质及同角三角函数基本关系将条件化为
，然后利用正弦
定理进行边角互化，结合余弦定理可得解；
（2）由正弦定理可得
，由余弦定理及
得
，利用
及向量的线性运算
得
，结合数量积的运算律，利用向量模的运算公式求解即可.
【详解】（1）因为
，
所以
，所以
，
所以
，
由正弦定理可知
，即
，
又由余弦定理可知
，
又
，则
；
（2）由
的外接圆面积为
，得外接圆半径为1，由正弦定理得
，
由余弦定理及
得，
，
化简得
，解得
（负根舍去），从而
，
因为
，所以
，
，所以
，
故
的长是
.
