文档文本内容
第02 讲 三角恒等变换
目录
01 常考题型过关练
题型01 和、差、倍角公式的直接应用
题型02 和、差、倍角公式的逆用及变形
题型03 正余弦的对偶式
题型04 辅助角公式的基本应用
题型05 给角求值
题型06 利用拼凑角思想给值求值
题型07 利用拼凑角思想给值求角
题型08 非特殊角的辅助角的应用
题型09 积化和差、和差化积公式
题型10 万能公式
题型11 三角恒等变换的综合应用
题型12 三角恒等变换的实际应用
02 核心突破提升练
03 真题溯源通关练
01 和、差、倍角公式的直接应用
1．已知
，则
（ ）
A．
B．
C．3
D．2
【答案】D
【详解】
．
故选：D．
2．（ 2025·北京海淀·三模）在平面直角坐标系
中，已知点
，若点
绕原点顺时针旋转
到
点
，则点
的横坐标为 ．
【答案】
【详解】设坐标原点为
，设角
终边为射线
，则角
的终边即为射线
．
由题意可知，
，
，
．
故
．
所以点
的横坐标为
．
故答案为：
3．已知
，则
．
【答案】
【详解】
，
，
故答案为：
．
4．设
的化简结果为 ．
【答案】
【详解】因为
，所以
，所以
．
02 和、差、倍角公式的的逆用及变形
5．在
中，“
”是“
为锐角三角形”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】在
中，
，
因此
是钝角，
是锐角，没有条件判断
都是锐角，则不能确定
为锐角三角形；
反之，
为锐角三角形，则
是锐角，
是钝角，
成立，
所以“
”是“
为锐角三角形”的必要不充分条件.
故选：B
6．（多选）下列式子正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【详解】对于A，易知
，即A 正确；
对于B，显然
，可得B 错误；
对于C，易知
，所以C 正
确；
对于D，易知
，
整理可得
，即
，即D 正确.
故选：ACD
7．（多选）下列等式正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．若
，则
【答案】ACD
【详解】
，故A 正确；
，故B 错误；
，故C 正确；
，故
，故D 正确.
故选：ACD.
8．（ 2025·湖南长沙·三模）已知
，
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】因为
，所以
，
所以
，即
，
所以
，
因为
，
，所以
，
，
因为正弦函数
在
上单调递增，所以
，即
.
故选：D.
03 正余弦的对偶式
9．已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】由
有，
，即
，
由
有，
，即
②，
①+②得，
，
即
，则
，解得
.
故选：B.
10．在
中，
，
，则
.
【答案】9
【详解】由题设
，
所以
，即
.
故答案为：9
11．已知
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】由题得
，（1）
，（2）
（1）+（2）得
，（3）
（2）-（1）得
，（4）
（3）÷（4）得
9.
故选：D
12．已知
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】由题意知，
，
，
将两式分别平方相加，得
，
，故选项AB 错误；
，
，
，
又
，
，
，故选项D 正确，C 错误．
故选：D
04 辅助角公式的基本应用
13．函数
的最小值为（ ）
A．0
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】当
即
时，
，
因为
，所以
，
所以
，
；
当
即
时，
，
因为
，所以
，
所以
，
；
综上所述，
.
故选：B.
14．（ 2025·吉林·模拟预测）函数
的最小正周期为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】
，
，
，
故选：C．
15．已知
，则
．
【答案】
/
【详解】因为
，故
.
故答案为：
.
16．设函数
，
，若
是奇函数，则
．
【答案】
/
【详解】函数
，
由
是奇函数，得
，则
，
所以
.
故答案为：
.
17．已知函数
，则其最大值与最小值之差为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】因为
，
当
时，即当
时，
，即
，
此时，
；
当
时，即当
时，
，则
，
此时，
，
所以，函数
的值域为
，即
，
，
因此，函数
最大值与最小值之差为
.
故选：C.
05 给角求值
18．1551 年奥地利数学家、天文学家雷蒂库斯在《三角学准则》中首次用直角三角形的边长之比定义正割，
余割和余切.在某直角三角形中，一个锐角
的斜边与邻边的比，叫做
的正割，用
表示；其斜边与对
边的比，叫做
的余割，用
表示；其邻边与对边的比，叫做
的余切，用
表示，则
（ ）
A．1
B．
C．2
D．
【答案】B
【详解】依题意可得
，
，
，
所以
.
故选：B
19．
．
【答案】
【解析】由正切的和角公式得若
，则
，再根据此结论求解即可得答案.
【详解】解：∵
，
，
∴
，
∴
．
∴
故答案为：
【点睛】本题考查正切的和角公式化简求值，解题的关键在于从题中发现若
，则
，是中档题.
20．化简并求值.
（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
.
【答案】（1）
；（2）
；（3）
；（4）32.
【详解】（1）原式
.
（2）原式
.
（3）原式
.
（4）原式
.
06 利用拼凑角思想给值求值
21．已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】由
得
，即
，
所以
，
故选：D
22．已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】依题意，
，
则
，所以
.
故选：A
23．已知
为锐角，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】因为
，所以
，
所以
，又因为
，
所以
，
所以
，则
，
因为
，所以
，所以
，
又因为
，所以
，
所以
，所以
，故C 正确.
故选：C.
24．已知
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】由于
，则
，
而
，故
，
由
，可得
，
则
，
故
，
故选：D
25．已知
，
，其中
，
，则
.
【答案】
【详解】因为
，
，得
，
所以
，
所以
，
所以
，所以
，
因为
，
，得
，
所以
，
所以
，
所以
，所以
，
所以
.
故答案为：
.
07 利用拼凑角思想给值求角
26．已知
，
为锐角，
，
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】因为
，
为锐角，
，
，
所以
，
，
所以
，
则
，
所以
，
故选：A．
27．已知
，
，
，
，则
（ ）
A．
或
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】
，
，
，故
，故
；
，
，
，
，
故
，
；
，
，故
.
故选：C
28．已知
为锐角，且
，则角
等于 .
【答案】
/
【详解】
，
．
又因为
是锐角，所以
．
故答案为：
．
29．若实数
，
满足方程组
，则
的一个值是 .
【答案】
（满足
或
的
值均可）
【详解】解：实数
，
满足方程组
，
则
，
由于
，
所以
，则
；
所以
，整理得
，
所以
或
，
即得
或
.
故可以取
时，
．
故答案为：
（满足
或
的
值均可）
30．已知
．
(1)若
，求
的值．
(2)若
，且
、
，求
的值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）
.
，则
.
所以
.
所以
.
（2）由（1）知：
.
，
，
.
则
.
，
.
又
、
，
，
，
，
.
.
又
.
，
.
08 非特殊角的辅助角的应用
31．已知
对于
恒成立，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】
，其中
，
，
.
故选：B.
32．已知
则
.
【答案】
/
【详解】由辅助角公式得
，
令
，
则由同角三角函数的基本关系得
.
故答案为：
.
33．已知函数
在
时取得最大值，则
.
【答案】
【详解】
，其中
，
当
时，即
时，函数取得最大值，
即
，
则
.
故答案为：
34．已知角
，
的终边不重合，且
，则
.
【答案】
【详解】由题知
，则
，
即
，其中
，
.
因为角
，
的终边不重合，所以
，
，
则
，
，
所以
.
故答案为：
.
35．已知函数
，若
，
，则
；若
，
，
，则
．
【答案】
/
/
【详解】（1）由
，得
，
即
，即
0，
因为
，所以
，所以
，即
，
所以
.
（2）若
，则
，
即
，其中
，
，
，
所以
或
，
，
则
或
，
，
因
，
，故
，
，
所以
．
故答案为：
；
.
09 积化和差、和差化积公式
36．在
中，若
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】由和差化积公式：
，又注意到
，
则
.
故选：A
37．已知
，则
（ ）
A．
B．
C．3
D．
【答案】A
【详解】因为
，
又因为
，且
，
,
所以
，故
，
又由于
，
所以
，
由于
，
故选：A．
38．
，则的值为（ ）
A．
B．1
C．
D．以上都不对
【答案】A
【详解】
.
故选：A.
10 万能公式
39．（ 2023·湖北·二模）已知
，则
（ ）
A．
B．－1
C．
D．
【答案】C
【详解】由
，
所以
，则
，
所以
，则
，故
，
由
.
故选：C
40．在平面直角坐标系
中，角
与角
均以
为始边，它们的终边关于直线
对称，若
，
则
.
【答案】
/
【详解】因为角
的终边关于直线
对称，
由已知得
，即
，
所以
，
所以
．
故答案为：
.
41．已知
，则
．
【答案】
【详解】设
，于是
，
整理可得
，根据万能公式，
，
整理可得
，
由
可得，
，
故
，
根据诱导公式，
，
根据两角和的正切公式，
，
故
.
故答案为：
42．已知
为锐角且
，则
的值是 ．
【答案】
/-0.6
【详解】由
，
得
，
解得
，或
.
因为
为锐角，故
.
故答案为:
.
11 三角恒等变换的综合应用
43．（ 2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】由题意有
，
所以
，
故选：D.
44．已知锐角
满足
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】由
得
，
由于
为锐角，所以
，故
，
故
，
又
所以
，
故选：D
45．已知
中，内角
是关于x 的方程
的两个根，其中
，则
.
【答案】
/
【详解】因为
，所以方程可化为：
，
所以
，
，
则
，整理可得
，
又根据
，
又因为
，所以
，
所以在
中，
.
故答案为：
.
46．已知
，
，
，
(1)求
和
的值；
(2)求
的值．
【答案】(1)
，
(2)
【详解】（1）由
，可得
，即
，
所以
，又
，所以
，所以
，
所以
.
（2）因为
，所以
，又
，
所以
，所以
，
又
，所以
，
，
所以
，
又
，又
，所以
，所以
，
所以
.
47．某数学学习小组研究得到了以下的三倍角公式：①
； ②
．根据以上研究结论，研究以下问题．
(1)在①和②中任选一个进行证明；
(2)当
时，尝试用
表示
；
(3)求值：
．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【详解】（1）若选①，证明如下：
.
若选②，证明如下：
.
（2）当
时，
.
（3）由题，
，因为
，则
，
所以由公式②及正弦的二倍角公式得
，
又因为
，所以
，所以
，
整理得
解得
或
，
又
，所以
.
12 三角恒等变换的实际应用
48．如图，四边形
中，
，
，
，
，则
的长度的取值范围是 ．
【答案】
【详解】设
，
显然
，
，
（其中
，
，
，
综上
的长度的取值范围是
.
故答案为：
49．如图，风景区的形状是如图所示的扇形ABC 区域，其半径为2 千米，圆心角为
，点P 在弧BC 上.
现欲在风景区中规划三条商业街道
，要求街道PQ 与AB 垂直(垂足Q 在AB 上)，街道PR 与AB
平行，交AC 于点R.
（1）如果P 为弧BC 的中点，求三条商业街道围成的△PQR 的面积；
（2）试求街道RQ 长度的最小值.
【答案】（1）
；（2）最小值为
千米.
【详解】连接AP，过R 作
，垂足为D.
（1）当P 为弧BC 的中点时，
，
在△APQ 中，
，
，故
，
在△ARD 中，
，
，所以
，则
，
所以
，
在直角三角形PRQ 中，△PQR 的面积
.
（2）设
，则
，
又
，则
，所以
，
在直角三角形PRQ 中，
，其中
因为
，所以
，又
，
所以当
时，
有最小值为
，即
.
综上，街道RQ 长度的最小值为
千米.
50．如图，扇形ABC 是一块半径为2 千米，圆心角为
的风景区，P 点在弧BC 上，现欲在风景区中规划
三条商业街道，要求街道PQ 与AB 垂直，街道PR 与AC 垂直，线段RQ 表示第三条街道．
（1）如果P 位于弧BC 的中点，求三条街道的总长度；
（2）由于环境的原因，三条街道PQ、PR、RQ 每年能产生的经济效益分别为每千米300 万元、200 万元及
400 万元，问：这三条街道每年能产生的经济总效益最高为多少？
【答案】（1）
（千米）；（2）
（万元）.
【解析】（1）根据P 位于弧
的中点，则P 位于
的角平分线上，然后分别在
正
中求解.
（2）设
，
，然后分别在
表示
，
，在
中由余弦定理表
，再由
求解.
【详解】（1）由P 位于弧
的中点，在P 位于
的角平分线上，
则
，
，
由
，且
，
∴
为等边三角形，则
，
三条街道的总长
（千米） ；
（2）设
，
，
则
，
，
，
，
由余弦定理可知：
，
，
则|
，
设三条街道每年能产生的经济总效益W，
，
，
，
，
，
，
当
时，W 取最大值，最大值为
（万元）．
【点睛】方法点睛：解三角形应用题的两种情形：
（1）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解；
（2）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，
先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解
方程(组)得出所要求的解．
1．设
，
，
，则有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】
，
，
，
由于
在
上单调递增，所以
，
即
，
故选：D
2．（ 2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知
，
，
，则
的最小值
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】根据题意，
，
即
，
即
，则
，
又
，
当且仅当
时，等号成立，
因为
，
，所以
，
，
由于
在
上单调递增，在
上恒为负，
所以
的最小值为
.
胡选：C
3．若
，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】若
，则
，
所以
，
所以
，即
，
所以
，
若
，则
，
若使得
取得最大值，由于
与
同号，
故需
，此时
，
则
，
当且仅当
，即
时，等号成立．
故选：D
4．已知
的两个内角
都是关于x 的方程
的解，其中
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】因为
，所以方程可化为：
，
又根据题意由韦达定理有
，
，
则
，整理可得
，
又根据
，
又因为
，所以
，
所以在
中，
，
则
.
故选：B.
5．已知
，
均为锐角，
为钝角，若
，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】由
可得
，
由于
，
均为锐角，故
，
同除
得
，
故
，
即
，故
，
当且仅当
时取到等号，
因此
，
故选：B
6．（ 2025·吉林长春·模拟预测）已知
为锐角，若存在
，使得
，则
的取
值范围是 .
【答案】
【详解】由
知
，故
，
于是
，由
，知
.
存在
使
等价于关于
的方程
在
有解，
由
，当且仅当
时取等号，所以
的取值范围是
.
故答案为：
7．（ 2025·江苏苏州·模拟预测）
记
，若
，则
实数
.
【答案】
/
【详解】先证明
，
因为
，
所以
成立，
因为
，
所以
，
即
，
解得
，
故答案为：
.
1．（2023·上海·高考真题）已知
，则
= .
【答案】
/
【详解】已知
，则
.
故答案为：
2．（2021·全国乙卷·高考真题）
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】由题意，
.
故选：D.
3．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知
，则
（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】因为
，而
，因此
，
则
，
所以
.
故选：B
【点睛】方法点睛：三角函数求值的类型及方法
（1）“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看较难，但非特殊角与特殊角总有一定关
系．解题时，要利用观察得到的关系，结合三角函数公式转化为特殊角的三角函数．
（2）“给值求值”：给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，
使其角相同或具有某种关系．
（3）“给值求角”：实质上也转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，
由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角，有时要压缩角的取值范围．
4．（2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】将式子进行齐次化处理得：
．
故选：C．
【点睛】易错点睛：本题如果利用
，求出
的值，可能还需要分象限讨论其正负，通过
齐次化处理，可以避开了这一讨论．
5．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知
为锐角，
，则
（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】因为
，而
为锐角，
解得：
．
故选：D．
6．（2021·全国甲卷·高考真题）若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】
，
，
，
，解得
，
，
.
故选：A.
【点睛】关键点睛：本题考查三角函数的化简问题，解题的关键是利用二倍角公式化简求出
.
