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第02 讲 三角恒等变换
目录
01 常考题型过关练
题型01 和、差、倍角公式的直接应用
题型02 和、差、倍角公式的逆用及变形
题型03 正余弦的对偶式
题型04 辅助角公式的基本应用
题型05 给角求值
题型06 利用拼凑角思想给值求值
题型07 利用拼凑角思想给值求角
题型08 非特殊角的辅助角的应用
题型09 积化和差、和差化积公式
题型】 万能公式
题型11 三角恒等变换的综合应用
题型12 三角恒等变换的实际应用
02 核心突破提升练
03 真题溯源通关练
01 和、差、倍角公式的直接应用
1．已知
，则
（ ）
A．
B．
C．3
D．2
2．（ 2025·北京海淀·三模）在平面直角坐标系
中，已知点
，若点
绕原点顺时针旋转
到
点
，则点
的横坐标为 ．
3．已知
，则
．
4．设
的化简结果为 ．
02 和、差、倍角公式的的逆用及变形
5．在
中，“
”是“
为锐角三角形”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
6．（多选）下列式子正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（多选）下列等式正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．若
，则
8．（ 2025·湖南长沙·三模）已知
，
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
03 正余弦的对偶式
9．已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
】．在
中，
，
，则
.
11．已知
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
12．已知
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
04 辅助角公式的基本应用
13．函数
的最小值为（ ）
A．0
B．
C．
D．
14．（ 2025·吉林·模拟预测）函数
的最小正周期为（ ）
A．
B．
C．
D．
15．已知
，则
．
16．设函数
，
，若
是奇函数，则
．
17．已知函数
，则其最大值与最小值之差为（ ）
A．
B．
C．
D．
05 给角求值
18．1551 年奥地利数学家、天文学家雷蒂库斯在《三角学准则》中首次用直角三角形的边长之比定义正割，
余割和余切.在某直角三角形中，一个锐角
的斜边与邻边的比，叫做
的正割，用
表示；其斜边与对
边的比，叫做
的余割，用
表示；其邻边与对边的比，叫做
的余切，用
表示，则
（ ）
A．1
B．
C．2
D．
19．
．
20．化简并求值.
（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
.
06 利用拼凑角思想给值求值
21．已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
22．已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
23．已知
为锐角，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
24．已知
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
25．已知
，
，其中
，
，则
.
07 利用拼凑角思想给值求角
26．已知
，
为锐角，
，
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
27．已知
，
，
，
，则
（ ）
A．
或
B．
C．
D．
28．已知
为锐角，且
，则角
等于 .
29．若实数
，
满足方程组
，则
的一个值是 .
30．已知
．
(1)若
，求
的值．
(2)若
，且
、
，求
的值．
08 非特殊角的辅助角的应用
31．已知
对于
恒成立，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
32．已知
则
.
33．已知函数
在
时取得最大值，则
.
34．已知角
，
的终边不重合，且
，则
.
35．已知函数
，若
，
，则
；若
，
，
，则
．
09 积化和差、和差化积公式
36．在
中，若
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
37．已知
，则
（ ）
A．
B．
C．3
D．
38．
，则的值为（ ）
A．
B．1
C．
D．以上都不对
】 万能公式
39．（ 2023·湖北·二模）已知
，则
（ ）
A．
B．－1
C．
D．
40．在平面直角坐标系
中，角
与角
均以
为始边，它们的终边关于直线
对称，若
，
则
.
41．已知
，则
．
42．已知
为锐角且
，则
的值是 ．
11 三角恒等变换的综合应用
43．（ 2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
44．已知锐角
满足
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
45．已知
中，内角
是关于x 的方程
的两个根，其中
，则
.
46．已知
，
，
，
(1)求
和
的值；
(2)求
的值．
47．某数学学习小组研究得到了以下的三倍角公式：①
； ②
．根据以上研究结论，研究以下问题．
(1)在①和②中任选一个进行证明；
(2)当
时，尝试用
表示
；
(3)求值：
．
12 三角恒等变换的实际应用
48．如图，四边形
中，
，
，
，
，则
的长度的取值范围是 ．
49．如图，风景区的形状是如图所示的扇形ABC 区域，其半径为2 千米，圆心角为
，点P 在弧BC 上.
现欲在风景区中规划三条商业街道
，要求街道PQ 与AB 垂直(垂足Q 在AB 上)，街道PR 与AB
平行，交AC 于点R.
（1）如果P 为弧BC 的中点，求三条商业街道围成的△PQR 的面积；
（2）试求街道RQ 长度的最小值.
50．如图，扇形ABC 是一块半径为2 千米，圆心角为
的风景区，P 点在弧BC 上，现欲在风景区中规划
三条商业街道，要求街道PQ 与AB 垂直，街道PR 与AC 垂直，线段RQ 表示第三条街道．
（1）如果P 位于弧BC 的中点，求三条街道的总长度；
（2）由于环境的原因，三条街道PQ、PR、RQ 每年能产生的经济效益分别为每千米300 万元、200 万元及
400 万元，问：这三条街道每年能产生的经济总效益最高为多少？
1．设
，
，
，则有（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（ 2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知
，
，
，则
的最小值
为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．若
，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．已知
的两个内角
都是关于x 的方程
的解，其中
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
5．已知
，
均为锐角，
为钝角，若
，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（ 2025·吉林长春·模拟预测）已知
为锐角，若存在
，使得
，则
的取
值范围是 .
7．（ 2025·江苏苏州·模拟预测）
记
，若
，则
实数
.
1．（2023·上海·高考真题）已知
，则
= .
2．（2021·全国乙卷·高考真题）
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知
，则
（ ）．
A．
B．
C．
D．
4．（2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知
为锐角，
，则
（ ）．
A．
B．
C．
D．
6．（2021·全国甲卷·高考真题）若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
