文档文本内容
第02 讲 常用逻辑用语
目录
01 常考题型过关练
题型01 充分必要条件的判断
题型02 充分必要条件的探求
题型03 根据充分必要条件求参数
题型04 全称量词命题、存在量词命题的真假判断
题型05 全称量词命题、存在量词命题的否定
题型06 根据全称量词命题、存在量词命题的真假求参数
02 核心突破提升练
03 真题溯源通关练
01 充分必要条件的判断
1．已知向量
，
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】因为向量
，
，则
，
若
，则
，解得
或
，
所以“
”是“
”的必要不充分条件.
故选：B.
2．（2025·广东茂名·二模）设集合
，则
是
的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】∵集合
，
，
∴
是
的真子集，
是
的充分不必要条件．
故选：A．
3．已知
，
为实数，
，
，则
是
的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】因为
，
为实数，当
，
时，满足
，但是
，
所以若
则
是假命题；
而由
，当
时，得
；
当
时，得
，所以由
得
，
所以若
则
是真命题；
所以
是
的必要不充分条件.
故选：B.
4．定义二阶行列式
，则“
”是“
”的（ ）
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【详解】由
，得
，
当
时，
，解得
；当
时，
，解得
．
所以
的解集为
．
由
，解得
或
，
即不等式
的解集为
．
因集合
是集合
的真子集，
故“
”是“
”的必要不充分条件．
故选C．
5． “
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】由
，根据对数函数的性质，可得
，所以必要性成立；
若
时，此时
不成立，所以充分不成立，
所以
”是“
”的必要不充分条件.
故选：B.
02 充分必要条件的探求
6．使
成立的一个充分条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】对于选项A，
是
成立的一个既不充分也不必要条件，故A 错误；对于选项B，
是
成立的一个充分条件，故B 正确；对于选项C，
是
成立的一个
必要条件，故C 错误；对于选项D，
是
成立的一个既不充分也不必要条件，故D 错误．
7．函数
在区间
上单调递增的一个必要不充分条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】二次函数
的对称轴为
，
函数在区间
上单调递增，所以
，解得
，
选项为函数
在区间
上单调递增的一个必要不充分条件，
则
是选项的真子集，所以
符合题意.
故选：C
8．（多选）若
，则“
”的一个充分不必要条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【详解】
，故“
”是“
”的充要条件，故A 错误；
由
得
能推出
，
反之不成立，所以“
”是“
”的充分不必要条件，故B 正确；
由
可得
，
故
，反之不成立，
故“
”是“
”的充分不必要条件，故C 正确；
易知“
”是“
”的充分不必要条件，故D 正确.
故选：BCD.
9．（多选）能使得“
”成立的一个充分不必要条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【详解】由
，可得
，
由
，可得
，
所以
是“
”成立的一个充分不必要条件，故A 正确；
当
，满足
，但
无意义，
所以
是“
”成立的一个不充分条件，故B 错误；
由
，可得
，
所以
是“
”成立的一个充分不必要条件，故C 正确；
当
，但
无意义，
所以
是“
”成立的一个必要不充分条件，故D 不正确.
故选：AC.
10．线段
在x 轴下方的一个充分条件但不是必要条件是 .
【答案】
(答案不唯一)
【详解】结合一次函数图象知，要使线段在x 轴下方，需
,
．
就是一个使命题成立的充分条件但不是必要条件．
故答案为:
.
03 根据充分必要条件求参数
11．（2025·河北秦皇岛·一模）已知
，集合
，若
是
的必要不充分条件，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】
，
，
因为
是
的必要不充分条件，
所以
是
的真子集,
可得
，等号不同时成立，结合
，解得
，
所以
的取值范围为
，
故选：B
12．设
：
，
：
，若
是
的充分条件，则实数
的取值范围是 ．
【答案】
【详解】不等式
可化为
，
所以
，
所以
：
，
因为
是
的充分条件，
：
，
所以
，
所以
，
所以
，
所以
的取值范围是
故答案为：
.
13．已知集合
，
.
(1)若
，求
；
(2)若“
”是“
”的充分不必要条件，求实数
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）当
时，集合
，可得
或
，
因为
，所以
.
（2）若“
”是“
”的充分不必要条件，所以
是
的真子集，
当
时，即
时，此时
，满足
是
的真子集；
当
时，则满足
，解得
，
当
时，
，此时
是
的真子集，合乎题意；
当
时，
，此时
是
的真子集，合乎题意.
综上，实数
的取值范围为
.
14．已知集合
，
．
(1)若
，求
；
(2)若“
”是“
”的必要条件，求实数
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）当
时，
，
或
，
则
.
（2）因为“
”是“
”的必要条件，则
，
当
时，则
，即
；
当
时，
，解得
，
综上所述，m 的取值范围为
.
15．已知集合
，集合
．
(1)若
，且
，求实数a 的取值范围；
(2)是否存在实数m，使“
”是“
”的必要不充分条件?若存在，求出m 的取值范围；若不
存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，
【详解】（1）对于
，等价于
或
，解得
或
，
所以
或
，
且
，可得
，
若
，则有：
①当
时，
，即
，满足
②当
时，
，解得
，
综上所述：a 的范围是
.
（2）由（1）得
，
若“
”是“
”的必要不充分条件，可知
是
真子集，
因为
，即集合
，
可得
，且等号不同时成立，解得
．
故存在实数m 满足条件，且 m 的范围是：
.
16．已知条件p：
，条件q：
．
(1)若
，求实数
的值；
(2)若q 是
的充分条件，求实数
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
或
【详解】（1）由已知得：
，
因为
，
，
，
（2）
是
的充分条件，
，而
或
，
或
，
或
实数
的取值范围为
或
．
04 全称量词命题、存在量词命题的真假判断
17．已知
为全集
的两个不相等的非空子集，若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】由
，可得
，
所以
错误，
错误，
错误，
，即
，正确.
故选：D.
18．已知命题
是无理数
是无理数；命题
，使得
是奇数，则（ ）
A．
和
都是真命题
B．
和
都是真命题
C．
和
都是真命题
D．
和
都是真命题
【答案】D
【详解】对于命题
，若
是无理数，但是
是有理数，所以命题
是假命题，则
是
真命题；
对于命题
由
，因为
和
是两个连续的整数，则
必是偶数，故命题
是假命题，
则
为真命题.
故选：D.
19．已知命题
，
，命题
，
，则（ ）
A．p 和q 都是真命题
B．
和q 都是真命题
C．p 和
都是真命题
D．
和
都是真命题
【答案】B
【详解】命题
，当
得，
，故
为假命题，
为真命题，
命题
，
时，
，故满足
，
为真命题.
故选：B
20．已知
，
；
，
，则（ ）
A．
假
假
B．
假
真
C．
真
真
D．
真
假
【答案】B
【详解】由
，解集为
.所以
为假命题；
由
，所以
，使
.所以
为真命题.
故选：B
05 全称量词命题、存在量词命题的否定
21．命题“
，
”的否定是（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】B
【详解】因为存在量词命题的否定是全称量词命题，
所以命题的否定为“
，
”．
故选：B．
22．命题“
”的否定是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】由全称量词命题的否定可知，
命题
的否定是
，
故选：D
23．命题“
，
”的否定是（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】C
【详解】易得全称量词命题“
，
”的否定是存在量词命题“
，
”.
故选:C.
24．命题“
，
”的否定为 .
【答案】
，
【详解】命题“
，
”的否定为“
，
”.
故答案为：
，
．
06 根据全称量词命题、存在量词命题的真假求参数
25．已知
，若“
，
”为假命题，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】命题“
，
”是存在量词命题，其否定为全称量词命题，
其否定为：
，
，而函数
的值域为
，
由“
，
”为假命题，得“
，
”为真命题，则
，
所以
的取值范围是
.
故选：C
26．已知集合
，且
，若命题
“
”是真命题，
则m 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】若命题p 为真，则集合B 中所有的元素都在集合A 中，即
.又
，所以
解
得
，故
.
27．已知“
”为真命题，“
”为真命题，那么p，q 的取值
范围分别是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】“
”为真命题，则
，“
”为真命题，则
．
28．若命题“
，
”是真命题，则实数m 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】由题意可知方程
有实数解，即
，解得
．
29．在①
；②
，
，使得
，这2 个条件中
任选一个，补充在下面问题中，并求解.问题：已知命题
，命题
.若
都是真命
题，求实数
的取值范围.注：如果选择两个条件分别解答，则按第一个解答计分.
【答案】选条件①，
;选条件②,
【详解】由命题p 为真，可得不等式
对于
恒成立.
因为
，所以
，所以
.
选条件①.
若命题q 为真，则关于
的方程
有解，
所以
，解得
.
又
都是真命题，所以
，
所以实数a 的取值范围是
.
选条件②.
对于命题q，
当
，即
时，
，命题q 为真命题；
当
时，由
得
或
，所以
或
.
综上，
或
.
又p，q 都是真命题，所以
，
所以实数a 的取值范围是
.
30．已知命题
.
(1)若命题p 为真命题，求m 的取值范围；
(2)若命题p 为假命题和命题q 为真命题.求m 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）命题
为真命题，即
，
因为
在
上单调递增，所以当
时
取得最小值
，
所以
，即m 的取值范围
.
（2）若命题
为真命题，则
，
解得
或
，
若命题p 为假命题，则
，
因为命题p 为假命题且命题q 为真命题，所以
，
即m 的取值范围为
.
1．设a，b 为实数，则“
”的一个充分不必要条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】由
，知
可得
，可推出
，反向推不出，故A 满足题意；
由
，得
，推不出
，反向可推出，故B 不满足题意；由
，得
或
或
，推不出
，反向可推出，故C 不满足题意；由
，得
，推不出
，
反向可推出，故D 不满足题意.
2．设
，
，分别是
的三条边，且
，则
为锐角三角形的充要条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】记边a，b，c 所对的角分别为A，B，C．根据题意
，则
，故证明如下：必要性，
在
中，假设
是锐角，作
，
为垂足，如图1．显然
，即
．充分性，在
中，因为
，所以
不是直角．假设
为钝角，如图2，作
，交BC 的延长线于点
．则
，即
，与
矛盾．
故
为锐角，则
，
都为锐角，即
为锐角三角形．
3．“
”是“函数
为偶函数”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】因为
，
由于函数
为偶函数，则
，
且
，
所以
，
所以
对任意的
恒成立，所以，
，
由
，可得
，
所以，“
”
“
”，但“
”
“
”.
因此，“
”是“函数
为偶函数”的充分不必要条件.
故选：A.
4．若命题“
，
”是真命题，则a 的最大值为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】C
【详解】由
，可得
，即
．
5．在下列条件中，能成为“使二次方程
的两根为正数”的必要不充分条件是（ ）
A．
B．
C．
且
D．
，
，
【答案】ABC
【详解】若二次方程
的两根为正数，则
，
，
，故满足其中一个或两
个不能推出二次方程
的两根为正数，所以选项A，B，C 能成为使二次方程
的
两根为正数的必要不充分条件.
6．（多选）下列说法正确的有 （ ）
A．“
，使得
”的否定是“
，都有
”
B．命题“
”是真命题
C．若命题
为假命题，则实数
的取值范围是
D．若命题
为真命题，则实数
的取值范围是
【答案】ABC
【详解】对于A，“
，使得
”的否定是“
，都有
”，故A 正确；
对于B，由
恒成立，则命题“
”是真命题，故B 正确；
对于C，若命题“
”为假命题，则
无实根，
则
，得
，则实数
的取值范围是
，故C 正确；
对于D，命题
为真命题，又函数
开口向上，
则
无实根，则
，解得
，
则实数
的取值范围是
，故D 错误.
故选：ABC.
7．已知
．
（1）若p 是q 的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是 ；
（2）若仅有一个整数使得“p 不成立，且q 成立”，则实数m 的取值范围是 ．
【答案】
【详解】设条件p 对应集合A，条件q 对应集合B，则
．（1）由题得集
合B 是集合A 的真子集，当
时，有
，此时
；当
时，有
此时
，
所以实数m 的取值范围是
．（2）
或
．由题意知
，所以
．若
中只有一个整数，则
，得
．
8．已知集合
，集合
，命题
“
，使得
”，则
命题p 的否定为 ；若p 为假命题，则实数a 的取值范围是 .
【答案】
【详解】若p 为假命题，则其否定命题“
”为真命题.当
时，集合
，符合
；当
时，因为
，所以由
，得
对于任意
恒成立，所以
，则
.综上，当p 为假命题时，
.
1．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知命题p：
，
；命题q：
，
，则（ ）
A．p 和q 都是真命题
B．
和q 都是真命题
C．p 和
都是真命题
D．
和
都是真命题
【答案】B
【详解】对于
而言，取
，则有
，故
是假命题，
是真命题，
对于
而言，取
，则有
，故
是真命题，
是假命题，
综上，
和
都是真命题.
故选：B.
2．（2023·天津·高考真题）已知
，“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分又不必要条件
【答案】B
【详解】由
，则
，当
时
不成立，充分性不成立；
由
，则
，即
，显然
成立，必要性成立；
所以
是
的必要不充分条件.
故选：B
3．（2022·天津·高考真题） “
为整数”是“
为整数”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】当
为整数时，
必为整数；
当
为整数时，
不一定为整数，
例如当
时，
.
所以“
为整数”是“
为整数”的充分不必要条件.
故选：A.
4．（2021·天津·高考真题）已知
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】由题意，若
，则
，故充分性成立；
若
，则
或
，推不出
，故必要性不成立；
所以“
”是“
”的充分不必要条件.
故选：A.
5．（2022·浙江·高考真题）设
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不
必要条件
【答案】A
【详解】因为
可得：
当
时，
，充分性成立；
当
时，
，必要性不成立；
所以当
，
是
的充分不必要条件.
故选：A.
6．（2021·北京·高考真题）已知
是定义在上
的函数，那么“函数
在
上单调递增”是“函
数
在
上的最大值为
”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不
必要条件
【答案】A
【详解】若函数
在
上单调递增，则
在
上的最大值为
，
若
在
上的最大值为
，
比如
，
但
在
为减函数，在
为增函数，
故
在
上的最大值为
推不出
在
上单调递增，
故“函数
在
上单调递增”是“
在
上的最大值为
”的充分不必要条件，
故选：A.
7．（2021·全国甲卷·高考真题）等比数列
的公比为q，前n 项和为
，设甲：
，乙：
是递增
数列，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】B
【详解】由题，当数列为
时，满足
，
但是
不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件．
若
是递增数列，则必有
成立，若
不成立，则会出现一正一负的情况，是矛盾的，则
成
立，所以甲是乙的必要条件．
故选：B．
【点睛】在不成立的情况下，我们可以通过举反例说明，但是在成立的情况下，我们必须要给予其证明过
程．
8．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）记
为数列
的前
项和，设甲：
为等差数列；乙：
为等差
数列，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】C
【详解】方法1，甲：
为等差数列，设其首项为
，公差为
，
则
，
因此
为等差数列，则甲是乙的充分条件；
反之，乙：
为等差数列，即
为常数，设为，
即
，则
，有
，
两式相减得：
，即
，对
也成立，
因此
为等差数列，则甲是乙的必要条件，
所以甲是乙的充要条件，C 正确.
方法2，甲：
为等差数列，设数列
的首项
，公差为
，即
，
则
，因此
为等差数列，即甲是乙的充分条件；
反之，乙：
为等差数列，即
，
即
，
，
当
时，上两式相减得：
，当
时，上式成立，
于是
，又
为常数，
因此
为等差数列，则甲是乙的必要条件，
所以甲是乙的充要条件.
故选：C
