文档文本内容
第02 讲 三角恒等变换
目录
01
考情解码・命题预警
2
02 体系构建·思维可视..........................................................................................................................................3
03 核心突破·靶向攻坚..........................................................................................................................................3
知能解码.............................................................................................................................................................3
知识点1 两角和与差的正弦、余弦、正切公式........................................................................3
知识点2 二倍角公式...........................................................................................................................4
知识点3 降幂公式和升幂公式........................................................................................................4
知识点4 辅助角公式：......................................................................................................................5
题型破译.............................................................................................................................................................5
题型1 和、差、倍角公式的直接应用..........................................................................................5
题型2 和、差、倍角公式的的逆用及变形.................................................................................7
题型3 正余弦的对偶式......................................................................................................................9
题型4 辅助角公式的基本应用.....................................................................................................11
题型5 给角求值.................................................................................................................................13
题型6 利用拼凑角思想给值求值
.........................................................................................14
【方法技巧】拼凑角思想
题型7 利用拼凑角思想给值求角
.........................................................................................17
【易错分析】求解时忽略角的范围
题型8 非特殊角的辅助角的应用.................................................................................................20
题型9 积化和差、和差化积公式.................................................................................................23
【方法技巧】公式及口诀
题型10 万能公式.............................................................................................................................. 25
【方法技巧】万能公式
题型11 三角恒等变换的综合应用..............................................................................................27
题型12 三角恒等变换的实际应用..............................................................................................31
04 真题溯源·考向感知...........................................................................................................36
05 课本典例·高考素材...........................................................................................................40
考点要求
考察形式
2025 年
2024 年
2023 年
（1）两角和差公式及
二倍角公式
（2）三角恒等变换求
值或求角
（3）辅助角公式的应
用
单选题
多选题
填空题
解答题
全国一卷T11 （6
分）
全国二卷T8（5 分）
全国Ⅰ卷T4（5 分）
全国II 卷T13（5 分）
全国甲卷（理）T8 （5
分）
全国甲卷（文）T9 （5
分），T13（5 分）
全国I 卷T8（5 分）
全国II 卷T7（5 分）
考情分析：
新高考卷中三角恒等变换专题为必考内容，主要考查两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式变形应
用和半角公式变形应用。它不仅是独立的考点，更是解决复杂三角函数问题（如求值、化简、证明、图像与性质
分析等）不可或缺的基本工具。掌握它，能有效简化问题，为后续求解铺平道路.
需要深刻理解和运用三角恒等变换，要求学生自觉运用联系与转化的观点（如化未知为已知、化繁为简），
并体会其中蕴含的一般与特殊（如特殊角公式到一般公式）、换元（简化表达式）、方程（通过等式关系求解未
知量）等核心数学思想。这些思想是灵活运用公式、提升解题能力的深层支撑.
复习目标：
1.能够熟练记忆两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式；
2.能够掌握公式的逆用、变形与组合；
3.针对复杂表达式，通过角度统一、函数名统一、辅助角公式进行化简，结合角的变换简化计算；
4.熟练处理角的和差、倍半、互补关系，通过拼凑特殊角或引入中间角简化问题.
知识点1 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
（1）
________；（2）
________
（3）________
；（4）________
（5）
________
（6）
________
自主检测已知
，
都是锐角，
，
，则
.
知识点2 二倍角公式
（1）
________
（2）
________
________
（3）
________
自主检测已知角
的终边不在坐标轴上，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
知识点3 降幂公式和升幂公式
（1）降幂公式：
________；________
；
（2）升幂公式：
；
；
________；
自主检测已知
，则
的值是 .
知识点4 辅助角公式：
，其中
________
________，
________
自主检测（多选）已知函数
，则（ ）
A．
的周期是
B．
是
的对称轴
C．
的最大值为2
D．
是
的对称中心
题型1 和、差、倍角公式的直接应用
例1-1 已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
例1-2 已知
，
为第三象限角．
(1)求
的值；
(2)求
的值．
【变式1-1】
的值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-2】已知角
的终边经过点
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-3】已知角
的终边上有一点
，则
．
题型2 和、差、倍角公式的的逆用及变形
例2-1 下列选项中，值为
的是（ ）
A．
B．
C．
D．
例2-2（ 2025·湖北·模拟预测）已知
，且
，则
．
【变式2-1】已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2-2】已知
满足
，则
．
【变式2-3】已知
，则
.
题型3 正余弦的对偶式
例3-1 已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
例3-2 已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3-1】已知α，β 均为锐角，且满足
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3-2】（多选）已知
，
，
，则下列说法正确的
是（ ）
A．
B．
C．
D．
题型4 辅助角公式的基本应用
例4-1 函数
的单调减区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
例4-2（多选）若
，则
的一个可能的值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4-1】已知函数
的最大值为3，则实数
的值为 .
【变式4-2】已知
为锐角且
，则
.
【变式4-3·变载体】函数
的最大值 .
题型5 给角求值
例5-1 求值：
．
例5-2 式子
化简的结果为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式5-1】求值：
．
【变式5-2】
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型6 利用拼凑角思想给值求值
例6-1 已知
，
均为锐角，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
例6-2 已知
，
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
方法技巧
拼凑角思想
①当“已知角”有两个时,“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式;
②当“已知角”有一个时,此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系,一般会用到几个特殊角
等，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”,或者将“所求角”转化为与“已知角”及
特殊角之间的关系.
【变式6-1】已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式6-2】已知
，
，
，
均为锐角，则
=（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式6-3】若
，则
.
【变式6-4】（ 2024·安徽·二模）已知
，则
.
题型7 利用拼凑角思想给值求角
例7-1 若
，
，且
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
例7-2 已知角
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
易错分析
求解时忽略角的范围
根据已知角的范围和三角函数的取值，需要精确确定未知角的范围，并进行定号
【变式7-1】已知
，
，
，
，则
的值为 .
【变式7-2】已知
，
为锐角，
，且
．
(1)求
的值；
(2)求角
的值．
【变式7-3】若
，
，且
，
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型8 非特殊角的辅助角的应用
例8-1 已知函数
的最大值为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
例8-2 设当
时，函数
取得最大值，则
.
【变式8-1】已知函数
在
处取得最小值，则
.
【变式8-2】设
，若
恒成立，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式8-3·变载体】已知
，函数
的最大值与最小值之差为2，则
的取值范围
是（ ）
A．
B．
C．
D．
题型9 积化和差、和差化积公式
例9-1
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
例9-2（ 2024·广东·一模）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
方法技巧
公式及口诀
（1）积化和差
，
，
口诀：积化和差得和差，余弦在后要相加；异名函数取正弦，正弦相乘取负号
（2）和差化积
，
，
口诀：正弦加正弦，正弦在前；正弦减正弦，余弦在前；余弦加余弦，余弦并肩；余弦减余弦，余弦不见
负号显
【变式9-1】函数
在区间
的零点个数为（ ）
A．6
B．7
C．8
D．9
【变式9-2】若
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式9-3】已知
，则
.
题型10 万能公式
例10-1 已知
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
方法技巧
万能公式
通过万能公式将三角函数全部转化为
，可减少变量的存在，大大简化计算过程
【变式10-1】若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．1
【变式10-2】已知
且
，则
（ ）
A．2
B．1
C．0
D．
【变式10-3】已知
，且
，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型11 三角恒等变换的综合应用
例11-1 已知函数
的图象关于直线
对称，则
（ ）
A．
B．
或
C．
或
D．
例11-2 已知
，
．
(1)求
、
的值；
(2)求
的值；
(3)若
、
均为锐角，且
，求
的值．
【变式11-1】若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式11-2】已知函数
，
，则
的最大值为 ．
【变式11-3】已知函数
.
(1)求函数
的最小正周期；
(2)若锐角
满足
，求
.
题型12 三角恒等变换的实际应用
例12-1 筒车是一种水利灌溉工具（如图所示），筒车上的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动，筒车
转轮的中心为
，筒车的半径为，筒车转动的周期为
，如图
所示，盛水桶
在
处距水面的距离
为
.
后盛水桶
在
处距水面的距离为
，若
，则直线
与水面的夹角为（ ）
A．
B．
C．
D．
例12-2 如图，在直径为1 的圆
中，作一关于圆心对称、邻边互相垂直的十字形，其中
.
(1)将十字形的面积表示成
的函数；
(2)求十字形面积的最大值，并求出此时
的值.
【变式12-1】某工厂制作如图所示的一种标识，在半径为的圆内做一个关于圆心对称的“
”型图形，
“
”型图形由两竖一横三个等宽的矩形组成，两个竖起来的矩形全等且它们的长边是横向矩形长边的
倍，设
为圆心，
，记矩形
的面积为，则的最大值为 .
【变式12-2】某大学为了制作“迎新杯”篮球赛创意冠军奖杯，在全校学生中开展“迎新杯”篮球赛奖杯
的创意设计征集活动.同学甲设计的创意奖杯如图1 所示，从其轴截面中抽象出来的平面图形如图2 所示，
若圆O 的半径为10cm，
，
，
甲在奖杯的设计与制作的过程
中发现，当OB 越长时，该奖杯越美观，则当该奖杯最美观时，
（ ）
A．10cm
B．
C．
D．
【变式12-3】已知某标准足球场长105 米，宽68 米，球门宽7.32 米，某球员沿边线带球进攻，他距离底
线多远处射门，命中率最高？（注：对球门所张的角最大时命中率最高）
1．（2024·上海·高考真题）下列函数的最小正周期是
的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025·全国二卷·高考真题）已知
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2022·新高考全国
卷
Ⅱ
·高考真题）若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2024·全国甲卷·高考真题）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2024·新课标
卷
Ⅱ
·高考真题）已知
为第一象限角，
为第三象限角，
，
，则
.
7．（2025·全国一卷·高考真题）（多选）已知
的面积为
，若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（2022·浙江·高考真题）若
，则
，
．
1．以
表示
的结果为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．1
3．（多选）已知函数
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．已知
，则
．
5．若
，则
．
6．已知
，且
，则
．
7．已知
，求
的值．
8．已知锐角
满足
．
(1)求
；
(2)若
，求
．
9．已知
，且
．
(1)求
的值；
(2)若角
为第一象限角，且
是方程
的两个实根，则
是否有可能成为三角
形的两个内角（给出证明过程）．
