文档文本内容
第02 讲 常用逻辑用语
目录
01
考情解码・命题预警
2
02 体系构建·思维可视.......................................................................................................3
03 核心突破·靶向攻坚.......................................................................................................3
知能解码........................................................................................................................3
知识点1 充分条件与必要条件...............................................................................................3
知识点2 全称量词命题与存在量词命题..............................................................................4
知识点3 含有一个量词的命题的否定..................................................................................5
题型破译........................................................................................................................5
题型1 充分必要条件的判断...................................................................................................5
【方法技巧】充分、必要条件的判断方法
题型2 充分必要条件的探求...................................................................................................7
题型3 根据充分必要条件求参数
....................................................................................8
【方法技巧】根据充分必要条件求解参数的步骤
【易错分析】混淆充分条件和充分不必要条件
题型4 全称量词命题、存在量词命题的真假判断...........................................................10
【方法技巧】判断全称量词命题、存在量词命题的真假方法
题型5 全称量词命题、存在量词命题的否定...................................................................12
题型6 根据全称量词命题、存在量词命题的真假求参数
.......................................13
【方法技巧】含量词命题求参数范围的方法
04 真题溯源.考向感知.....................................................................................................15
05 课本典例·高考素材.....................................................................................................18
考点要求
考察形式
2025 年
2024 年
2023 年
（1）充分条件、必要
条件
（2）全称量词命题与
存在量词命题
（3）全称量词命题与
存在量词命题的否定
单选题
多选题
填空题
解答题
北京卷T7 （5
分）
天津卷T2 （5
分）
全国II 卷T2（5 分）
全国甲卷（理）T9（5
分）
北京卷T5（5 分）
天津卷T2（5 分）
全国甲卷（理）T7 （5
分）
全国 I 卷T7（5 分）
北京卷T8（5 分）
天津卷T2（5 分）
考情分析：
新高考卷中常用逻辑用语专题为热点内容，主要考查充分必要条件、全称量词与存在量词，题型以单选题为
主，分值5 分。
近三年考情显示，该专题可直接考察，也可作为知识点载体的形式考察，常与数列，函数等知识点结合，难
度随载体的知识点而定。备考需强化反例法和集合思想的运用，注重逻辑链的完整性训练。
复习目标：
1.理解、掌握充分条件、必要条件、充要条件的含义.
2.理解判定定理与充分条件的关系、性质定理与必要条件的关系.
3.能理解全称量词命题与存在量词命题的含义，并能正确对两种命题进行否定.
知识点1 充分条件与必要条件
1．充分条件与必要条件的概念
若
，则
是
的充分条件，q 是p 的必要条件；
且
是
的充分不必要条件
且
是
的必要不充分条件
是
的充要条件
且
是
的既不充分也不必要条件
2．集合判断法判断充分条件、必要条件
若p 以集合A 的形式出现，q 以集合B 的形式出现，即
，
是
的充分条件
是
的必要条件
是
的充分不必要条件
是
的必要不充分条件
是
的充要条件
且
是
的既不充分也不必要条件
自主检测已知
、
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】由
可得
且
，
因为“
”
“
且
”，“
”
“
且
”，
因此，“
”是“
”的必要不充分条件.
故选：B.
知识点2 全称量词命题与存在量词命题
1．全称量词和存在量词
量词名称
符号表
示
常见量词
全称量词
所有、一切、任意、全部、每一个等
存在量词
存在一个、至少一个、有些、某些等
（2）全称量词命题和存在量词命题
表示
全称量词命题
存在量词命题
语言表示
对
中任意一个
，有p(x)成立
中存在
，使
成立
符号表示
自主检测已知命题
，
，命题
，
，则（ ）
A．
和
都是真命题
B．
和
都是真命题
C．
和
都是真命题
D．
和
都是真命题
【答案】B
【详解】对于命题
，不妨取
，则
，则命题
为假命题，
对于命题
，由
可得
或
，则命题
为真命题，
因此，
和
都是真命题.
故选：B.
知识点3 含有一个量词的命题的否定
全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题，如下所示：
命题
命题的否定
常用的正面叙述词语和它的否定词语
正面词语
等于（
）
大于（
）
小于（
）
是
否定词语
不等于（
）
不大于（
）
不小于（
）
不是
正面词语
都是
任意的
所有的
至多一个
至少一个
否定词语
不都是
某个
某些
至少两个
一个也没有
自主检测命题“
”的否定是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】由存在量词命题的否定是全称量词命题，
则“
”的否定为
.
故选：D
题型1 充分必要条件的判断
例1-1 已知集合
，
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】若
，则
，则
，
，此时
，
当
时，也能得到
，
所以“
”是“
”的充分不必要条件.
故选：A.
例1-2 已知a，b 均为正数，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】由
，可得
，所以
，即
，
所以
，所以
，所以“
”是“
”的充分条件；
取
，可得
，故“
”是“
”的不必要条件；
所以“
”是“
”的充分不必要条件.
故选：A.
方法技巧 充分、必要条件的判断方法
（1）命题判断法：
①如果命题：“若
，则
”为真命题，那么
是
的充分条件，同时
是
的必要条件；
②如果命题：“若
，则
”为假命题，那么
不是
的充分条件，同时
也不是
的必要条件．
（2）集合法：（小集合可以推出大集合）若
对应的集合为
，
对应的集合为
，
若
，则
是
的充分条件；若
，则
是
的必要条件．
【变式训练1-1】“
”是“
”的 条件（选择用“充分不必要”、“必要不充
分”、“充要”、“既不充分也不必要”填空）
【答案】必要不充分
【详解】解：因为由
可得
或
，
所以
即
且
.
因为由“
”不能推出“
且
”；
由“
且
”可推出“
”，
所以“
”是“
”的必要不充分条件.
故答案为：必要不充分.
【变式训练1-2】已知a，
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【详解】由
推不出
，例如
，
；由
可得
，
或
，
，当
，
时不能推出
，例如
，
，所以“
”是 “
”的
既不充分也不必要条件.
【变式训练1-3·变载体】已知α，β 是两个不同的平面，直线l⊥β，则“
”是“l⊥α”的（ ）
A．充分必要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】若
，因为l⊥β，所以l⊥α 成立；
若l⊥α，因为l⊥β，根据与同一条直线垂直的两个平面平行，所以
成立，
所以“
”是“l⊥α”的充分必要条件.
故选：A．
题型2 充分必要条件的探求
例2-1（多选）若
，则
成立的一个充分不必要条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【详解】解：设
对应的集合为
，使
成立的一个充分不必要条件对应的集合为
，
由
解得，
，故
，
因为要求使
成立的一个充分不必要条件，
所以
且
，
满足上述条件的选项有BC.
故选：BC.
例2-2 设
，则“
”的充要条件是（ ）
A．a，b 中至少有一个为1
B．a，b 都不为0
C．a，b 都为1
D．
不都为1
【答案】A
【详解】由题意
，
则
和
中至少有一个为0，即
，
中至少有一个为1，
所以“
”的充要条件是“a，b 中至少有一个为1”.
故选：A.
【变式训练2-1】已知
，若
的一个必要不充分条件是
，则
的取值范围是
．
【答案】
【详解】
或
，
则
命题对应集合为
.
，则
命题对应集合为
.
因
的一个必要不充分条件是
，则
命题对应集合为
命题对应集合的真子集，
则
.
故答案为：
【变式训练2-2】不等式
成立的一个必要不充分条件是 .（写出一个符合条件的答案即
可）
【答案】
（满足
是其真子集即可，答案不唯一）.
【详解】因为
，
设
：
，
的一个必要不充分条件是
，
成立的集合记为B，
所以
，
，
所以集合A 是集合B 的真子集，
故
（满足集合A 是集合B 的真子集即可）.
故答案为：
（满足
是其真子集即可，答案不唯一）.
【变式训练2-3】已知集合
，则使得“
且
”成立的一个充分不必要条件是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】由题可知
且
，解得
，
所以使得“
且
”成立的一个充分不必要条件是集合
的一个真子集，
因为只有选项A 中的
是
的真子集，
故选：A
题型3 根据充分必要条件求参数
例3-1 已知
，若p 是q 的充分条件，则实数a 的取值范围是 ；若p 是q 的必要
条件，则实数a 的取值范围是 ．
【答案】
【详解】由p 是q 的充分条件，知p 可推出q，所以
；由p 是q 的必要条件，知q 可推出p，所以
．
例3-2 已知集合
．
(1)当
时，求
；
(2)若
，且“
”是“
”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）当
时，
或
，
则
，故
；
（2）
，且“
”是“
”的充分不必要条件，
故A 为
的真子集，
，
故
，结合
，解得
，
即实数a 的取值范围
.
方法技巧 根据充分必要条件求解参数的步骤
①把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不
等式(或不等式组)求解；
②要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取
等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象．
易错分析 混淆充分条件和充分不必要条件
要注意：充分条件包含充分必要条件和充分不必要条件，故在用集合法判断解决题目时，注意两集合之间
的关系
【变式训练3-1】已知
或
，
或
，若
是
的必要条件，则实数
的取值范
围是 ．
【答案】
【详解】设集合
或
，
或
，
若
是
的必要条件，则
，
当
时，即
时，此时
，
成立；
当
时，即
时，若
，此时
，该不等式组无解.
综上所述，实数
的取值范围是
.
故答案为：
.
【变式训练3-2】已知
．
（1）若p 是q 的必要且不充分条件，则实数m 的取值范围是 ；
（2）若p 是q 的充要条件，则实数m 的取值范围是 ．
【答案】
【详解】设集合
，集合
．（1）若p 是q 的必要且不充分条件，则
．①当
时，
，此时
；②当
时，
且
和
不
能同时成立，解得
．故
．（2）因为p 是q 的充要条件，所以
，所以
解得
．
【变式训练3-3】已知集合
．
(1)若“
”是“
”的充分条件，求实数a 的取值范围．
(2)是否存在实数a，使得“
”是“
”的充要条件？若存在，求出a 的值；若不存在，请说
明理由．
【答案】(1)
(2)不存在，理由见解析
【详解】解：（1）因为
，所以
．因为“
”是“
”的充分条件，
所以
解得
，所以实数a 的取值范围是
．
（2）因为
，若“
”是“
”的充要条件，则
解得
故a
不存在．
题型4 全称量词命题、存在量词命题的真假判断
例4-1（2025·河北唐山·一模）已知命题
；命题
．则（ ）
A．
和
都是真命题
B．
是假命题，
是真命题
C．
是真命题，
是假命题
D．
和
都是假命题
【答案】B
【详解】对于命题
，因为当
时，
，故命题
是假命题；
对于命题
，当
时，
，故命题
是真命题.
故选：B.
例4-2 下列存在量词命题为假命题的是（ ）
A．存在
，使
B．存在
，使
C．有的素数是偶数
D．有的实数为正数
【答案】B
【详解】A，C，D 均正确；B 中，对于任意的
恒成立．
方法技巧 判断全称量词命题和存在量词命题的真假方法
（1）要判定一个全称量词命题为真命题，需要进行推理证明，或用前面已经学过的定义、定理作证明，
而要判断其为假命题，只需举出一个反例即可．
（2）判断存在量词命题“
”的真假性的关键是探究集合
中
的存在性．若找到一个元
素
，使
成立，则该命题是真命题；若不存在
，使
成立，则该命题是假命题
【变式训练4-1】下列命题既是存在量词命题，又是真命题的是（ ）
A．
B．任意两个无理数之和仍是无理数
C．
D．至少存在两个质数的平方是偶数
【答案】C
【详解】AB 是全称量词命题，排除，CD 是存在量词命题，
C，存在
使得
，故C 正确；
对于D，质数中，只有2 的平方是偶数，故D 错误.
故选：C.
【变式训练4-2】（多选）下列命题是真命题的是（ ）
A．
，
B．
，
C．
，使得
D．
，且
，使得
【答案】AC
【详解】
，
恒成立，故A 正确；
当
时，
，故B 显然错误；
当
时，
，故C 正确；
因为
在
上单调递增，由
可得
，故D 错误．
故选：AC
题型5 全称量词命题、存在量词命题的否定
例5-1 命题“
”的否定是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】由全称量词命题的否定是存在量词命题，故原命题的否定为
.
故选：D
例5-2（2025·云南·三模）已知命题p：“
是
的充分不必要条件”；命题q：“
，
”．则下列正确的是（ ）
A．p 和q 都是假命题
B．
和q 都是假命题
C．p 和
都是假命题
D．
和
都是假命题
【答案】D
【详解】由
，可得
或
，则
可以推出
，充分性成立；
当
时，
或
，故必要性不成立，
所以可得
是
的充分不必要条件，故p 是真命题，则
是假命题；
令
，得到
，化简得
，解得
或
，
则“
，
”，故q 是真命题，则
是假命题，即
和
都是假命题，故D 正确，
故选：D．
【变式训练5-1】命题“
”的否定是 .
【答案】
【详解】命题“
”的否定是“
”.
故答案为：
.
【变式训练5-2· 变考法】定义新运算：
，设
，命题
，则（ ）
A．
，且
为假
B．
，且
为假
C．
，且
为真
D．
，且
为真
【答案】D
【详解】因为
，且
，
则
，
，
可得
，即命题
为假命题，
所以
，且
为真命题.
故选：D.
题型6 根据全称量词命题、存在量词命题的真假求参数
例6-1（2024·四川攀枝花·一模）命题“
”为假命题，则实数a 的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】由已知可得，命题“
”的否定，
即命题“
”真命题，
根据二次函数的性质可得，应有
，
解得
.
故选：C.
例6-2 若命题“
，
”是真命题，则实数a 的取值范围是 ．
【答案】
【详解】因为
，所以
，当且仅当
，即
时等号成立．
又命题“
，
”是真命题，所以
，
即实数a 的取值范围为
．
故答案为：
方法技巧 含量词命题求参数范围的方法
全称量词命题的常见题型是“恒成立”问题，存在量词命题的常见题型是“能成立”问题，故可用参变量
分离法，然后转化成函数的最值问题，如下：
①
，
；②
，
；
③
，
；④
，
.
【变式训练6-1】命题“
，使
”是假命题，则实数
的取值范围是 .
【答案】
【详解】若命题“
，使
”是真命题，
当
时，
，解得
，舍去；
当
时，则
，解得
，
即当
时命题“
，使
”是真命题；
因为命题“
，使
”是假命题，
所以
，即实数
的取值范围是
.
故答案为：
【变式训练6-2】已知命题
“
，
”的否定为真命题，则
的取值范围为 ．
【答案】
【详解】由题意得
“
，
”为真命题，
所以
在区间
内有解，
又知
在区间
内单调递增，所以
，
故
的取值范围为
．
故答案为：
【变式训练6-3】命题“
”为假命题的一个必要不充分条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】命题的否定为：“
”
若该命题为真命题得
，所以
，
所以
为该命题的一个必要不充分条件，
故选：C.
【变式训练6-4】已知
，命题
，
；命题
，
．
(1)若p 是真命题，求a 的最大值；
(2)若p、q 中有且只有一个是真命题，求a 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
或
【详解】（1）若p 是真命题，即
恒成立，
时，
的最小值为，所以
，
即a 的最大值为.
（2）若q 是真命题，
，解得
或
，
若q 是假命题，
，解得
，
由已知p、q 一真一假，
若p 真q 假，则
，
若q 真p 假，则
，
综上：
或
1．（2025·北京·高考真题）已知函数
的定义域为D，则“函数
的值域为
”是“对任意
，
存在
，使得
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】若函数
的值域为
，则对任意
，一定存在
，使得
，
取
，则
，充分性成立；
取
，
，则对任意
，一定存在
，使得
，
取
，则
，但此时函数
的值域为
，必要性不成立；
所以“函数
的值域为
”是“对任意
，存在
，使得
”的充分不必要条件.
故选：A.
2．（2025·天津·高考真题）设
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】由
，则“
”是“
”的充分条件；
又当
时，
，可知
，
故“
”不是“
”的必要条件，
综上可知，“
”是“
”的充分不必要条件.
故选：A.
3．（2024·天津·高考真题）已知
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【详解】根据立方的性质和指数函数的性质，
和
都当且仅当
，所以二者互为充要条件.
故选：C.
4．（2024·北京·高考真题）设
，
是向量，则“
”是“
或
”的（ ）．
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】因为
，可得
，即
，
可知
等价于
，
若
或
，可得
，即
，可知必要性成立；
若
，即
，无法得出
或
，
例如
，满足
，但
且
，可知充分性不成立；
综上所述，“
”是“
或
”的必要不充分条件.
故选：B.
5．（2023·北京·高考真题）若
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【详解】解法一：
因为
，且
，
所以
，即
，即
，所以
.
所以“
”是“
”的充要条件.
解法二：
充分性：因为
，且
，所以
，
所以
，
所以充分性成立；
必要性：因为
，且
，
所以
，即
，即
，所以
.
所以必要性成立.
所以“
”是“
”的充要条件.
解法三：
充分性：因为
，且
，
所以
，
所以充分性成立；
必要性：因为
，且
，
所以
，
所以
，所以
，所以
，
所以必要性成立.
所以“
”是“
”的充要条件.
故选：C
6．（2021·全国乙卷·高考真题）已知命题
﹔命题
﹐
，则下列命题中为真
命题的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】由于
，所以命题
为真命题；
由于
在
上为增函数，
，所以
，所以命题
为真命题；
所以
为真命题，
、
、
为假命题.
故选：A．
7．（2022·北京·高考真题）设
是公差不为0 的无穷等差数列，则“
为递增数列”是“存在正整数
，当
时，
”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【详解】设等差数列
的公差为
，则
，记
为不超过
的最大整数.
若
为单调递增数列，则
，
若
，则当
时，
；若
，则
，
由
可得
，取
，则当
时，
，
所以，“
是递增数列”
“存在正整数
，当
时，
”；
若存在正整数
，当
时，
，取
且
，
，
假设
，令
可得
，且
，
当
时，
，与题设矛盾，假设不成立，则
，即数列
是递增数列.
所以，“
是递增数列”
“存在正整数
，当
时，
”.
所以，“
是递增数列”是“存在正整数
，当
时，
”的充分必要条件.
故选：C.
8．（2023·全国甲卷·高考真题）设甲：
，乙：
，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】B
【详解】当
时，例如
但
，
即
推不出
；
当
时，
，
即
能推出
.
综上可知，甲是乙的必要不充分条件.
故选：B
9．（2024·全国甲卷·高考真题）设向量
，则（ ）
A．“
”是“
”的必要条件
B．“
”是“
”的必要条件
C．“
”是“
”的充分条件
D．“
”是“
”的充分条件
【答案】C
【详解】对A，当
时，则
，
所以
，解得
或
，即必要性不成立，故A 错误；
对C，当
时，
，故
，
所以
，即充分性成立，故C 正确；
对B，当
时，则
，解得
，即必要性不成立，故B 错误；
对D，当
时，不满足
，所以
不成立，即充分性不立，故D 错误.
故选：C.
1．写出下列命题的否定:
(1)
;
(2)所有可以被5 整除的整数,末位数字都是0;
(3)
;
(4)存在一个四边形,它的对角线互相垂直.
【答案】(1)
;
(2)存在一个可以被5 整除的整数,末位数字不是0;
(3)
;
(4)任意一个四边形,它的对角线都不互相垂直.
【解析】(1)根据全称量词命题的否定写出即可.
(2)根据全称量词命题的否定写出即可.
(3)根据存在量词命题的否定写出即可.
(4) 根据存在量词命题的否定写出即可.
【详解】(1)“
”为全称量词命题,故否定为：“
”;
(2)“所有可以被5 整除的整数,末位数字都是0”为全称量词命题,
故否定为：“存在一个可以被5 整除的整数,末位数字不是0”
(3)“
”为存在量词命题,故否定为：“
”;
(4) “存在一个四边形,它的对角线互相垂直”为存在量词命题,
故否定为：“任意一个四边形,它的对角线都不互相垂直.”
【点睛】本题主要考查了全称量词命题与存在量词命题的否定,属于基础题型.
2．判断下列命题的真假:
(1)点P 到圆心O 的距离大于圆的半径是点P 在
外的充要条件;
(2)两个三角形的面积相等是这两个三角形全等的充分不必要条件;
(3)
是
的必要不充分条件;
(4)x 或y 为有理数是xy 为有理数的既不充分又不必要条件.
【答案】(1)真命题;(2)假命题;(3)假命题;(4)真命题.
【解析】(1)根据点与圆的位置关系判断.
(2)举例说明即可.
(3)根据集合的关系直接判断
(4)举例说明即可.
【详解】(1)根据点与圆的位置关系知点P 到圆心O 的距离大于圆的半径是点P 在
外的充要条件.
故(1)为真命题.
(2)两个三角形面积相等也可能同底等高,全等三角形面积一定相等.故两个三角形的面积相等是这两个三角
形全等的必要不充分条件.
故(2)为假命题.
(3)
是
的充要条件.
故(3)为假命题.
(4)当
时,满足“x 或y 为有理数”但“xy 为有理数”不成立.
当
时满足“xy 为有理数”但“x 或y 为有理数”不成立.
故(4)为真命题.
【点睛】本题主要考查了充分与必要条件的辨析,属于基础题型.
3．在下列各题中,判断p 是q 的什么条件(请用“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既
不充分又不必要条件”回答):
(1)p:三角形是等腰三角形,q:三角形是等边三角形;
(2)在一元二次方程中，
有实数根，
;
(3)
;
(4)
;
(5)
.
【答案】(1)必要不充分条件;(2)充要条件;(3)充分不必要条件;(4)必要不充分条件;(5)既不充分又不必要条件.
【解析】(1)根据等腰三角形与等边三角形的关系分析.
(2)根据二次方程的根分析
(3)根据集合的基本关系分析
(4)根据集合的基本关系分析
(5)举例说明分析
【详解】(1)因为等腰三角形是特殊的等边三角形,
故p 是q 的必要不充分条件.
(2) 一元二次方程
有实数根则判别式
.
故p 是q 的充要条件.
(3)因为
,故
且
；当
时
不一定成立.
故p 是q 的充分不必要条件.
(4) 因为
,故
或
,所以
不一定成立；
当
时
一定成立.
故p 是q 的必要不充分条件.
(5) 当
时,满足
但
不成立.
当
时,满足
但
不成立.
故p 是q 的既不充分又不必要条件.
【点睛】本题主要考查了充分条件与必要条件的判定,属于基础题型.
4．设集合
满足条件p ，
满足条件q .
（1）如果
，那么p 是q 的什么条件？
（2）如果
，那么p 是q 的什么条件？
（3）如果
，那么p 是q 的什么条件？
试举例说明.
【答案】（1）充分条件；（2）必要条件；（3）充要条件.
【详解】（1）若
，则有
，即每个使p 成立的元素也使q 成立，
即
，所以p 是q 的充分条件.如
，
，
，
是
的充分条件.
（2）若
，则有
，即每个使q 成立的元素也使p 成立，
即
，所以p 是q 的必要条件.如
，
，则
，
是
的必要条件.
（3）若
，则
，
，所以p 是q 的充要条件.如
，
是
的充要条件.
5．设
证明:
的充要条件是
.
【答案】见解析
【解析】分别证明充分性与必要性即可.
【详解】证明:(1)充分性:如果
,
那么
,
.
(2)必要性:如果
,
那么
,
,
.
由(1)(2)知,
的充要条件是
.
【点睛】本题主要考查了充分必要条件的证明,需要分别证明充分性与必要性,属于中等题型.
