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第02 讲 同角三角函数的基本关系及诱导公式
A 夯实基础 B 相遇高考 C 素养提升
A 夯实基础
1．若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据
，平方即可得出
的值.
【详解】由题意，
，
∴
，
解得：
．
故选：C.
2．若
，则
（ ）
A．1
B．
C．9
D．
【答案】D
【分析】切弦转化，将分子分母同时除以
，从而将原式化为仅含有
的表达式，
再代入已知值计算.
【详解】
．
故选：D.
3．若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由诱导公式和二倍角的余弦公式计算可得.
【详解】
.
故选：C.
4．已知角
终边上一点
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由三角函数的定义可得出
的值，再利用诱导公式结合弦化切可得出所求代数
式的值.
【详解】由题意，点
为角
终边上一点，由三角函数定义可得
，
所以
．
故选：B．
5．已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用诱导公式可得出
的值，再利用弦化切可得出所求代数式的值.
【详解】由
得
，则
．
故选：B．
6．若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据同角三角函数的除法公式化简齐次式，结合诱导公式可得解.
【详解】因为
，所以
，解得
，
于是
，
故选：A．
7．对于角θ，当分式
有意义时，该分式一定等于下列选项中的哪一个式子
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】将
直接切化弦化简可得
，选项中的分式利用同角间的关系切
化弦化简，即可判断.
【详解】由题意知
，
∵
，∴A 不符合题意；
∵
，∴B 不符合题意；
∵
，∴C 不符合题意；
∵
，∴D 符合题
意．
故选：D．
8．（多选）已知
，则下列选项中正确的有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】CD
【分析】根据同角三角函数的平方式，结合题意可得角的取值范围，建立方程组可得正弦
值与余弦值，由同角三角函数的商式关系，逐项检验，可得答案.
【详解】将
两边同时平方，整理得
，
所以
．故D 正确．
又
，所以
，
所以由
解得
故C 正确，
所以
，故A，B 错误．
故选：CD.
9．已知角
终边上一点
，则
．
【答案】
【分析】由三角函数的定义得
，再应用诱导公式、齐次式法求值即可.
【详解】由题设
，
，则
，
.
故答案为：
10．设
为第二象限角，且
，则
.
【答案】
【详解】由
，即
，解得
或
.又
为
第二象限角，故
且
，所以
.
11．平面直角坐标系中，若角α 的始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点
(1)求
和
的值
(2)若
，化简并求值
【答案】(1)
，
；
(2)
，4.
【分析】（1）根据三角函数的定义及已知终边上的点求对应三角函数值；
（2）应用诱导公式化简函数式，由弦化切及（1）中结果求值即可.
【详解】（1）由题设
，
，
所以
；
（2）由题设
.
12．已知
.
(1)求
的值；
(2)求
的值；
(3)求
的值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用诱导公式化简即可求出；
（2）分子分母同时除以
即可构造出关于
的式子，即可求解；
（3）变形得出
，再利用齐次式构造得出
，即
可求出.
【详解】（1）由题意得，
，
即
，
若
，则
，不符合
，
故
，则
.
（2）
.
（3）
.
B 相遇高考
1．（2023·全国乙卷·高考真题）若
，则
．
【答案】
【分析】根据同角三角关系求
，进而可得结果.
【详解】因为
，则
，
又因为
，则
，
且
，解得
或
（舍去），
所以
.
故答案为：
.
C 素养提升
1．（24-25 高一下·湖北恩施·期中）公元前4 世纪，古希腊数学家欧多克索斯第一个系统研
究了黄金分割问题，并建立起相关理论．黄金分割率的值也可以用
表示，即
，设
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用同角三角函数的基本关系、二倍角公式、诱导公式将所求式化简，结合条件
代入计算可得结果.
【详解】由题意得，
，
∵
，∴
，
∴
.
故选：C．
2．（2025·湖北黄冈·模拟预测）古希腊数学家毕达哥拉斯通过研究正五边形和正十边形的
作图，发现了黄金分割率，黄金分割率的值也可以用
表示，即
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用二倍角公式与诱导公式即可求解.
【详解】因为
，所以
，
所以
.
故选：D.
3．（24-25 高三上·广东汕尾·阶段练习）把一个三阶魔方看成是棱长为1 的正方体（图
1），若中间层旋转角
（
为锐角，如图2 所示），记表面积增加量为
，则
，S 的最大值是 ．
【答案】
【分析】设三角形的斜边长为
，则
，表示出
，代入
求出
，
；由基本不等式得到
，结合
，求
出
，
，即
．
【详解】显然这些个三角形全等，且增加的三角形个数为16 个，
设三角形的斜边长为
，则
①，
所以
，
当
时，由①式得，
，
所以
；
，
因为
，当且仅当
时，等号成立，
又由①可得，
，
所以
，
因为
为锐角，所以
，所以
，
所以
，所以
，
所以
，所以
，
即
．
故答案为：
，
【点睛】关键点点睛：设三角形的斜边长为
，则
，
，在
此基础上，进行求解，特别是求解面积的最大值，需用到基本不等式
.
4．（22-23 高一下·江苏连云港·阶段练习）如图，某污水处理厂要在一个矩形污水处理池（
）的池底水平铺设污水净化管道（Rt
，
是直角顶点）来处理污水，管道越
长，污水净化效果越好．设计要求管道的接口
是
的中点，
分别落在线段
上．已知
米，
米，记
．
(1)试将污水净化管道的长度
表示为
的函数，并写出定义域；
(2)若
，求此时管道的长度
；
(3)当
取何值时，污水净化效果最好？并求出此时管道的长度．
【答案】(1)
，
．
(2)
（米）．
(3)
或
，污水净化效果最好，此时管道的长度为
米．
【分析】（1）首先用
将线段
表示出来，进而可得到长度
的表达式，然后
根据线段的长度求出
的范围.
（2）根据已知条件先求出
的值，进而可求出管道的长度.
（3）首先设
，化简
的表达式，然后求出的范围，根据函数的单调性即可
求出
的最大值.
【详解】（1）
根据题意，
，
，
．
由于
，
，
所以
，
所以
．
所以
，
．
（2）
当
时，等式两边平方得
.
所以
.
所以
（米）．
（3）
因为
，设
，
等式两边平方得
，
则
，所以
．
由于
，所以
，
．
由于
在
上单调递减，
所以当
即
或
时，
取得最大值
米．
答：当
或
时，污水净化效果最好，此时管道的长度为
米．
