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第02 讲 导数与函数的单调性
内容导航
命题透视·考情前瞻
01
命题透视·考情前瞻
素养，研判高考命
对标
题趋势
02
思维建模·脉络梳理
搭建知
框架，构建系
思
识
统
维
03
知识精讲·靶向突破
拆解核心知识，归纳
型技巧
题
知识解构
知识点1 函数的单调性 知识点2 求可导函数单调区间的一般步骤
知识点3 已知函数的单调性求参数 知识点4 含参函数的单调性讨论
题型破译 (含超链接）
题型
1
求不含参函数的单调区间
【方法技巧】求不含参数函数单调区间的步骤
题型
2
函数图象与导函数图象的关系
【方法技巧】函数的图象与导函数图象之间的关系
题型
3
已知函数在区间上单调求参数
题型
4
已知函数在区间上存在单调或不单调求参数
题型
5
利用单调性比较大小
【方法技巧】构造函数比较大小
题型
6
利用单调性解不等式
【方法技巧】判断函数性质解不等式
题型
7
含参单调性讨论（一次型）
题型
8
含参单调性讨论（二次型可因式分解）
题型
9
含参单调性讨论（二次型不可因式分解）
04
真题溯源·考向感知
溯源真
，感知高考考向
题逻辑
05
课本典例·高考素材
立足
本典例，挖掘高考素材
课
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——
素养，研判高考命
对标
题趋势
核心考点
2026 年
2025 年
2024 年
单调性与导数的
关系
——
全国二卷T18（2）（i）
（5 分）
全国I 卷T10（6 分）
全国甲卷（文）T16（5
分）
北京卷T20（1）（5 分）
含参函数讨论单
调性
——
——
全国甲卷（文）T20（1）
（5 分）
全国II 卷T16（2）（7
分）
考情分析
近三年考情显示，高考对导数与函数单调性的考查较为稳定，考查内容、频率、题
型、难度均变化不大。本节侧重以导数为工具判断单调区间、已知单调性求参数。常
以选择、填空或解答题第一问出现，难度以基础、中档为主。只要掌握导数符号与单
调性的对应关系，能规范求解单调区间、处理含参问题，结合转化与化归思想，即可
顺利解决相关试题。
复习目标
1.结合具体函数与图像，直观理解函数单调性与导数符号的对应关系。
2.熟练运用导数判断并求解函数的单调区间。
3.掌握含参函数单调性的分类讨论方法，做到分类标准清晰、讨论不重复、不遗漏。
4.能根据函数单调性逆向求解参数范围，提升逻辑推理与规范表达能力。
思维建模·脉络梳理
——搭建知
框架，构建系
思
识
统
维
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知识精讲·靶向突破
知●识●解●构
知识点1 函数的单调性
函数单调性的判定方法：
设函数
在某个区间内可导，如果
（不恒等于0），则
为增函数；如果
（不恒等于0）nn，则
为减函数．
注意：
①利用导数研究函数的单调性，要在函数的定义域内讨论导数的符号；
②在某个区间内，
(
)是函数
在此区间内单调递增(减)的充分条件，而不是必
要条件.
③可导函数
在
上单调递增的充要条件是对
，都有
（
）且
在
上的任何子区间内都不恒为0．
自主检测1．已知函数
，定义域为
.任取
，导函数
始终存在.那么
是
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在
上是严格增函数的（ ）条件.
A．充分不必要
B．必要不充分
C．充要
D．既不充分也不必要
【答案】B
【详解】若
，则
，满足
，但
不是严格增函数.
所以
，推不出
是严格增函数.
若
是严格增函数，则
恒成立.
所以
是严格增函数，能推出
恒成立.
所以
是
是严格增函数的必要不充分条件.
故选:B.
知识点2 求可导函数单调区间的一般步骤
①确定函数
的定义域；
②求
，令
，解此方程，求出它在定义域内的一切实数；
③把函数
的间断点的横坐标和
的各实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把
函数
的定义域分成若干个小区间；
④确定
在各小区间内的符号，根据
的符号判断函数
在每个相应小区间内的增减性.
自主检测2．求函数
的单调区间．
【答案】
的单调减区间为
，单调增区间为
.
【详解】函数
的定义域为
，
,
当
时，
，
在
上单调递减，
当
时，
，
在
上单调递增，
综上：
的单调减区间为
，单调增区间为
知识点3 已知函数的单调性求参数
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1．函数
在区间D 上单调递增⇒
在区间D 上恒成立；
函数
在区间D 上单调递减⇒
在区间D 上恒成立；
2．函数
在区间D 上存在单调递增区间⇒
在区间D 上能成立；
函数
在区间D 上存在单调递减区间⇒
在区间D 上能成立；
3．已知函数
在区间D 内单调⇒f '( x )在区间D 上不存在变号零点；
4．已知函数
在区间D 内不单调⇒f '( x )在区间D 上存在变号零点
自主检测3．函数
在区间
上单调递减，则实数
的取值范围为___________．
【答案】
【详解】
，
因为
在
上单调递减，所以
在
上恒成立，
即：
，得
，
设
，
当
时，函数
单调递增，
所以
，所以有
，
因此实数
的取值范围为
.
知识点4 含参函数的单调性讨论
1．讨论的分类标准：
①最高次的系数是否为0;②导数等于0 时有根还是无根;③多根情况要比较两根大小;④根是否在定义
域或指定的区间内
2．讨论单调性的步骤：
第一步：求函数的定义域；
第二步：求导函数，导函数是分式一般先通分，并且考虑能不能因式分解。若导函数带分母，通分因
式分解彻底后，判断导数的分子部分的最高次项系数是否含有参数，若有，则可以讨论该参数为0 和不为
0;
第三步:令
，确定分类点:①是否存在根;②根比较大小；
第四步：利用数轴穿根法判断每个根分定义域的每个区间的导数的正负情况；
第五步：进行综上所述，情况相同的要合在一起
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自主检测4．已知函数
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)求函数
的单调区间．
【答案】(1)
(2)单调递增区间为
，单调递减区间为
【分析】
【详解】（1）当
时，
，
，则
，
又
，∴曲线
在点
处的切线方程为
．
（2）
，
，
，
，由
，得
，由
，得
．
的单调递增区间为
，单调递减区间为
．
题●型●破●译
题型1 求不含参函数的单调区间
例1-1（2024·河北衡水·模拟预测）（多选）下列函数在定义域上为增函数的有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【详解】由
，得
所以
在
上是增函数，故A 正确.
由
，则
，当
时，
，当
时，
，所以
在定义域
上不是增函数，故B 错误.
由
，
，
在定义域
上是增函数，故C 正确.
由
，得
，定义域为
，当
时，
，当
时，
，
在定义域内不是增函数，故D 错误．
例1-2（2026·河南许昌·三模）已知函数
．
(1)求
的单调区间；
(2)证明：
（e 为自然对数的底数）；
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(3)已知
，数列
的前
项和为
，试比较
与
的大小关系，并说明理由．
【答案】(1)
的递增区间是
，
；递减区间是：
，
．
(2)证明见解析
(3)
，理由见解析
【分析】
【详解】（1）
，
显然，
，当
时，
，
．
当
时，
，
．
所以，
的递增区间是
，
；递减区间是：
，
．
（2）设
．
当
时，
，
，
所以
，满足题目条件．
当
时，又
，
所以，
单调递增，而
，所以，
．
当
时，设
，
为偶函数；当
时，
，
在
上单调递增，即
，又因为
为偶函数，易知
，所
.
又设
，
在
单调递减，在
单调递增，即
，
所以
，所以
即
．
综上可得，
（当且仅当
时取等号）．
所以，
．
（3）
．理由如下：
由（2）知
，用
代替x，得
．
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两式相加得：
，取
，
则
．
又因为
，
所以
，所以
．
所以，
，即
成立
方法技巧 求不含参数函数单调区间的步骤
①确定函数
的定义域；②求导数
.
③由
(或
)，解出相应的x 的范围，
当
时，
在相应的区间上是增函数;当
时，
在相应区间上是减函数；
④结合定义域写出单调区间.
注意:当单调区间有多个时，不要写成并集，用“，”隔开即可.
【变式1-1】（2026·浙江宁波·三模）某函数的图像如图所示，则该函数解析式可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】图像中函数与
轴有两个交点（即两个零点），
选项A ，
只有1 个零点
，选项C，
没有零点，因此排除A、C.
图像中
时，函数值趋近于0，选项D
，当
时，
，不符合趋势，排除
D.
选项B：
，零点为
（两个零点，一负一正，符合图像）；
时，
，
，且
时，
，符合图像左半部分趋势；
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时，
，
，
时
，符合；
时，
，求导得
，可得
时函数先增后减，且
时，指数函数增长快于多
项式，
，完全符合图像特征.
【变式1-2】（2026·辽宁大连·三模）函数
，
，为自然对数的底数．
(1)当
时，求函数
的单调区间；
(2)若存在实数x，满足
，求实数a 的取值范围；
【答案】(1)单调递减区间为
，单调递增区间为
.
(2)
【分析】
【详解】（1）当
时，
，
则
，
令
，则
，令
得
，
当
时，
，
单调递减，
当
时，
，
单调递增，
又
，因此：
时，
，
时，
.
所以
的单调递减区间为
，单调递增区间为
.
（2）由
可知，
①当
时 若
，由于
，
当
时，
，而
. 故存在
使得
.
若
，
，取
，
，满足题意.
②：当
时，令
，则
，
时，
，
故
在
递增，且
最小值为
，
由
，方程
在
上有唯一实根
，
使得
，则
为
的最小值点.
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根据题意需满足
：
，
代入
：
，
则
，整理得
，
解得：
或
.
由
，得：当
时，
.
当
时，
.
综上所述，
的取值范围是
.
题型2 函数图象与导函数图象的关系
例2-1（2026·广东广州·三模）已知函数
的导函数
的图象如图所示，则下列选项中最有
可能为
图象的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】当
时，
且
递减，则函数
在
上单调递减，
且函数
图象下降的速度越来越快，则图象越来越“陡”，
当
时，
且
递增，则函数
在
上单调递减，
且函数
图象下降的速度越来越慢，则图象越来越“平缓”，D 选项符合题意.
例2-2（2025·山东济南·模拟预测）已知在同一平面直角坐标系中，函数
及其导函数
的部
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分图象如图所示，则（ ）
A．函数
在区间
上单调递增
B．函数
在区间
上单调递减
C．函数
在区间
上单调递增
D．函数
在区间
上单调递减
【答案】C
【详解】如图，不妨令上面的曲线为
，
与
的轴交点横坐标分别为，
，
下面的曲线为
，
与
的轴交点横坐标为，
由
的图象可知，当
时函数值小于
，当
时函数值大于
，且
的图象从左至右呈上升趋势；
由
的图象可知，当
时函数值小于
，当
或
时函数值大于
，且
的图象从左至右
呈先下降，后上升趋势；
又这两个函数图象为函数
及其导函数
的图象，
所以
对应的是
，
对应的是
；
所以当
时
，
单调递减，且
，
当
时
，
单调递增，且当
时
，当
时
；
对于A、B：由
，所以
，
显然
，当
时
，所以
，则
在
上单调递减，
当
时
，所以
，则
在
上单调递增，故A、B 错误；
对于C、D：
，则
，
显然
，且当
时
，即
，
所以
，所以
在区间
上单调递增，故C 正确，D 错误.
故选：C
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方法技巧 函数的图象与导函数图象之间的关系
注意抓住各自的关键要素，对于原函数，要注意其图象在哪个区间内单调递增，在哪个区间内单调递减;
而对于导函数，则应注意其函数值在哪个区间内大于零，在哪个区间内小于零，并分析这些区间与原函
数的单调区间是否一致.
【变式2-1】（2026·广东东莞·二模）已知函数
的图象如图所示，则其导函数
图象可以是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】由图象可知，在整个定义域内，
始终单调递减，
，
在
从
到
的变化过程中，切线斜率（导数）在递增且为负数；
在
从
到
的变化过程中，切线斜率（导数）在递减且为负数.
故只有C 选项，导函数图象满足题意.
【变式2-2·变考法】（2026·上海杨浦·模拟预测）函数
的图像如图所示，设
的导函数为
，
则
的解集为__________．
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【答案】
【详解】不等式
，由图象可知
，所以
单调递增，
，所以
；
单调递增，
，所以
；
因为
，
，所以
；
单调递减，
，所以
；
单调递减，
，所以
；
所以
的解集为
.
【变式2-3】（2024·黑龙江哈尔滨·一模）在同一平面直角坐标系内，函数
及其导函数
的图象如图所示，已知两图象有且仅有一个公共点，其坐标为
，则（ ）
A．函数
的最大值为1
B．函数
的最小值为1
C．函数
的最大值为1
D．函数
的最小值为1
【答案】C
【详解】分析函数
及其导函数
的图象，可知虚线表示的是
的图象，实线表示
的是
的图象.
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并且当
时，
；当
时，
.
对函数
，
，
因为
，
在
上恒成立，所以
在
上恒成立.
即函数
在
上单调递增，无最值；
对函数
，
，
当
时，
；当
时，
.
所以函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以函数在
处取得最大值，为
.
故选：C
题型3 已知函数在区间上单调求参数
例3-1（2026·四川雅安·二模）若函数
在区间
上单调递增，则实数
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】因为函数
在区间
上单调递增，
所以
在
恒成立，即
，
令
，所以只需
即可.
因为
，
所以当
时，
，
单调递减；
当
时，
，
单调递增，
所以当
时，
取到最小值为
，即
，
所以实数
的取值范围是
.
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例3-2（2026·河北保定·一模）已知函数
在区间
上单调递增，则a 的取值范围为
______．
【答案】
【详解】函数
的定义域为
，
，
因为函数
在
上单调递增，
所以
在
上恒成立，即
在
上恒成立，
所以
，令
，则
，
因为
，所以
，则
，
故
在
上单调递减，
故
，故
的取值范围为
.
【变式3-1】（2026·河北保定·二模）若函数
在区间
上单调递增，则实数a 的取
值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】
，
，
在区间
上单调递增，
在区间
上恒成立，
，
在区间
上恒成立，
，
，
设
，
，
，
，
，
在
上单调递增，
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当
时，
，
则
在
内，有
，
故
，故
的取值范围为
.
【变式3-2·变载体】（2026·山西吕梁·三模）已知函数
在
上单调递增，则
的取
值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】当
时，
，开口向下，对称轴为
，
在
上单调递增，最大值为
；
当
时，
，求导得
，
要使
在
上单调递增，需
对所有
恒成立，
即
，则
，
令
，求导得
，
当
时，
，
单调递增；
当
时，
，
单调递减；
在
处取得最大值，
，
，
在
上单调递增，
，解得
，
综上可得，
．
【变式3-3·变题型】（2025·26 高三上·安徽·期末）已知函数
，在区间
内
任取两个实数
，不等式
恒成立，则实数
的最大值为________．
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【答案】1
【详解】
.
不妨取
，则
，
所以
，即
，
亦即
.
令
，
则问题等价转化为
是增函数.
所以
在
上恒成立，
即
在
上恒成立，
所以
在
上恒成立，
所以
在
上恒成立.
令
，
则
，
因为二次函数
在
上单调递增，
所以当
时，
，
即
，所以
是增函数，
所以
，即
，所以实数
的最大值为1.
故答案为：1.
题型4 已知函数在区间上存在单调或不单调求参数
例4-1（2024·25 高三上·北京顺义·阶段检测）已知函数
在区间
上存在增区间，则
的取值范围是______.
【答案】
【详解】因为函数
在区间
上存在增区间，
所以
在
上有解，
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即不等式
在
上有解，
当
，时，由
可得
，不满足要求，
所以
，解得
，
所以
的取值范围是
.
故答案为：
.
例4-2（2025·陕西西安·一模）若函数
在
上不单调，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】
，
，
在
上不单调，
在
上有变号零点，
即存在
， 使得
，
在
上有解，
在
上有解，
，
，
，
，即
，解得
，
在
上是增函数；
，即
，解得
，
在
上是减函数.
又
，
，
，
，
在
上有解，
，
当
时，
，设
，
，
当
，解得
，得
在
上是增函数；
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当
，解得
，得
在
上是减函数.
则
在
处取最小值为
，
在
上恒成立，即
在
上恒成立，得到
在
是增函数，不满足题意，说明
不满足题意，同理
也不满足题意，综上可得
.
故选：B
【变式4-1】若函数
存在增区间，则实数
的取值范围为_____________.
【答案】
【详解】
，定义域为
，
，
由题意可知，存在
使得
，即
.
当
时，
，
所以，
，因此，实数
的取值范围是
.
故答案为：
.
【变式4-2·变考法】（2025·河北·模拟预测）已知
，
，两个函数图象至少有
一个在区间
上不单调，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】由函数
的对称轴为
，
若
在
上不单调，则满足
，解得
；
又由函数
，可得
，
若
在
上不单调，则满足
，解得
，
所以两个函数图象至少有一个在区间
上不单调，则有
或
，
可得
，所以实数
的取值范围为
.
故选：D.
【变式4-3】（2025·福建三明·模拟预测）已知函数
．
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(1)当
时，求证：
单调递增；
(2)若
在
上不单调，求
的取值范围；
(3)当
时，证明：
在
上的最小值为1．（参考数据：
）
【答案】(1)证明见详解
(2)
(3)证明见详解
【分析】
【详解】（1）当
时，
，
，
令
，
，
所以
时，
，
单调递减，
时，
，
单调递增，
则
，即
恒成立，
故
单调递增.
（2）
，因为
，所以
，
若
在
上单调，则
有解，即
在
恒成立，
即
，令
，
，
所以
时，
，
单调递增，
时，
，
单调递减，
，则
时，
在
上单调，
所以若
在
上不单调，则
.
（3）由（2）知，当
时，
在
单调递增，所以
；
当
时，由（2）知，
在
单调递增，在
单调递减，如图，
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则
时，
有两个根
，
又
，
，所以不妨取
，
当
，
，即
，
同理可得
或
，
，所以
时，
，
单调递增，
时，
，
单调递减，
时，
，
单调递增，
所以
，
令
，
，
所以
时，
，
单调递减，又
，
所以
在
上恒成立，即
，又
，
故此时
的最小值为1，
综上
时，
在
上的最小值为1.
题型5 利用单调性比较大小
例5-1（2025·河北保定·模拟预测）已知函数
，则下列比较大小正确的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】由
可得函数
的定义域为
，
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由题意知
，
令函数
，且
，
则
，即
在
单调递增，所以
，
故
在区间
上恒成立，则
在
上单调递减，
所以
，由函数的单调性可知
.
故选：B
例5-2（2026·陕西榆林·三模）已知
的大小顺序为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】设
，则
.
当
时，则
，可得
，所以
在
上单调递减.
因为
，且
，
所以
，即
．
方法技巧 构造函数比较大小
据题目结构构造合适函数，求导确定函数在指定区间的单调性。把待比较数值转化为同一单调区间上的
函数值，再由单调性直接判断大小关系。
【变式5-1】（2024·内蒙古呼和浩特·二模）已知函数
，则
，
，
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
【详解】∵
，
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∴
，∴
是偶函数，
，
当
时，
，故函数
在
上单调递增，
令
，则
，
即函数
在
上单调递减，故
，
即
，而
，
所以
，
∴
．
故选：C．
【变式5-2】（2024·25 高三上·天津·期中）已知函数
，且
、
、
，则
、
、的大小关系（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】由
可得
，
当
时，
，
所以
在
上单调递增，
又
，所以
，
即
，则
，
所以
.
故选：D
【变式5-3·变考法】已知
，
，
，则它们的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】由幂函数的性质可知
在区间上
单调递增，
由于
，故
，即
，
设
，可得
，
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令
，解得
，
当
时，
单调递增，可得
，
即
，即
，
两边取为底的指数，可
得，即
，所以
.
故选：A.
题型6 利用单调性解不等式
例6-1（2024·四川绵阳·模拟预测）已知函数
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】函数
的定义域为
，
，所以
为偶函数，
由
得
，
当
时，
，
，
，
有
，
，
，
，
有
，故
，
所以
在
上单调递减，又
，
所以
等价于
，由偶函数性质得
，所以
，
所以
，故不等式
的解集为
.
故选：D
例6-2（2026·江苏·模拟预测）已知函数
，则不等式
的解集为（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】由题意可得：
，
，
则
关于
对称，
，
所以
在
上单调递增，
等价于
，
所以
，即
，所以
．
方法技巧 判断函数性质解不等式
先将不等式化为
形式，确定
的单调性与定义域。利用单调性脱去
对应法则，转化为自变量不等式，同时必须满足定义域限制。
【变式6-1】（2024·重庆·模拟预测）已知函数
，则
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】
定义域为
，
，故
为
上偶函数，
当
时，
，
因为
，所以
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以
，
整理得，
，解得
，
故选：C．
【变式6-2】（2024·全国·模拟预测）已知函数
，则不等式
的解集为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】当
时，
，求导得
，令
，
求导得
，则函数
，即
在
上单调递增，
，
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函数
在
上单调递减，而
，当
时，不等式
，因此
；
当
时，
，由
，得
，因此
，
所以不等式
的解集为
.
故选：D
【变式6-3】（2024·黑龙江哈尔滨·三模）已知函数
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】由题可得
，
所以
，
即有
，即
，
故不等式
等价于
，
又
，
当
时，
，故
，
当
时，
，
，故
，
即
恒成立，故
在
上单调递增，
故由
可得
，即
.
故选：A.
【变式6-4】（2025·江西·模拟预测）已知函数
，则不等式
的解集是
______.
【答案】
【详解】因为函数
，所以
，即函数
为奇函数，
且
，则函数
为增函数，
则不等式
等价于
，
即
，解得
，
所以不等式的解集为
.
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故答案为：
题型7 含参单调性讨论（一次型）
例7-1（2026·福建泉州·模拟预测）已知函数
.
(1)讨论
的单调性；
(2)若
在
上的最小值为
，求
.
【答案】(1)当
时，
在
上单调递增；当
时，
在
上单调递减，在
上
单调递增
(2)
【分析】
【详解】（1）函数
的定义域为
，
当
时，
在
恒成立，
在
上单调递增；
当
时，由
得
，由
，得
，
所以
在
上单调递减；在
上单调递增
综上所述，当
时，
在
上单调递增；
当
时，
在
上单调递减，在
上单调递增.
（2）由（1）可知，当
时，
在
上单调递增，则
，由题意得
，
解得
，与
矛盾，舍去；
当
时，
在
上单调递增，则
，由题意得
，
解得
，与
矛盾，舍去；
当
时，
在
上单调递减，在
上单调递增，则
，
由题意得
，解得
，符合
，所以
.
当
时，
在
上单调递减，则
，由题意得
，
解得
，与
矛盾，舍去.
综上可得，实数
的值为
.
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例7-2（2026·福建厦门·二模）设函数
．
(1)讨论
的单调性；
(2)证明：当
时，
．
【答案】(1)当
时，
在
上单调递增；当
时，
在
单调递减，在
单调递增；
(2)证明见解析.
【分析】
【详解】（1）函数
的导数为
，
当
时，
恒成立，故
，所以
在
上单调递增；
当
时，令
，得
.
当
时，
，
单调递减；
当
时，
，
单调递增.
综上所述：当
时，
在
上单调递增；当
时，
在
单调递减，在
单调递增.
（2）由（1）知，当
时，
在
处取得最小值，
因此，对任意
，有
.
只需证明
，即
令
，
.
求导得
，
，故
在
上单调递增.
由
知，当
时，
，当
时，
，
所以
在
单调递减，在
单调递增.
所以
在
处取得最小值
.
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因此
，即
成立，等号当
且
时取得.
【变式7-1】（2026·江苏·二模）已知函数
．
(1)讨论
的单调性；
(2)若曲线
经过点
，且在
处的切线为．证明：除切点
外，曲线
在直线的下
方．
【答案】(1)①当
时，
，则
在
上单调递增;
②当
时，
在
上单调递增，在
上单调递减.
(2)证明见解析
【详解】（1）（1）因为
的定义域为
，
的导函数
.
①当
时，
，则
在
上单调递增.
②当
时，令
，得
；
令
，得
；
所以，
在
上单调递增，在
上单调递减.
（2）（2）因为曲线
经过点
所以
，解得
．
所以
．
因为
，所以的方程为
.
要证除切点
外，曲线
在直线的下方，
即证：
，
只需证：
.
设
，则
，
令
，得
；令
，得
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以
.
所以当
时，
，
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所以原命题得证.
【变式7-2】（2026·陕西西安·模拟预测）已知函数
，其中
，为自然对数的底数．
(1)求函数
的单调区间；
(2)讨论函数
的零点个数．
【答案】(1)单调递减区间为
，单调递增区间为
.
(2)
时,
没有零点；
时，
有一个零点；
时，
有两个零点.
【分析】
【详解】（1）
，令
，解得
，
当
时，
，
单调递减；
当
时，
，
单调递增.
综上，
的单调递减区间为
，单调递增区间为
.
（2）由（1）可知，
的最小值为
，计算得：
根据最小值与0 的大小关系分三种情况讨论：
当
时，即
时，
恒成立，
没有零点；
当
时，即
时，
恒成立，此时
有唯一零点
；
当
时，即
时， 存在
，而
时，
，
时，
，
根据零点存在定理可知，
有两个零点.
综上，
时，
没有零点；
时，
有一个零点；
时，
有两个零点.
【变式7-3】（2025·浙江绍兴·三模）已知函数
，
．
(1)若
在
处的切线方程为
，求实数m 的值；
(2)讨论
的单调性.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】
【详解】（1）由
，
．
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依题意，
，
解得
.
（2）
的定义域为
，
，
当
时，恒有
，故
在
上单调递减，
②当
时，令
，得
，
由
，得
；由
，得
，
故
在
上单调递减，在
上单调递增.
综上所述，当
时，
在
上单调递减，
当
时，
在
上单调递减，在
上单调递增.
题型8 含参单调性讨论（二次型可因式分解）
例8-1（2026·海南海口·模拟预测）已知函数
（
且
）.
(1)当
时，求
的极小值点与极小值；
(2)讨论函数
的单调性；
【答案】(1)
是
的极小值点，极小值为
(2)当
时，
在
上单调递减；
当
时，
在
上单调递减，在
上单调递增.
【分析】
【详解】（1）当
时，
，其定义域为
，
求导，得
，
令
，即
，
因为
，所以
，解得
，
当
时，
，
在
上单调递减；
当
时，
，
在
上单调递增，
所以
是
的极小值点，极小值为
.
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（2）
的定义域为
，
当
时，
恒成立，所以
在
上单调递减，
当
时，
，
在
上，
，所以
在
上单调递减，
在
上，
，所以
在
上单调递增，
综上所述，
当
时，
在
上单调递减；
当
时，
在
上单调递减，在
上单调递增.
例8-2（2024·25 高二下·江苏南通·期末）已知函数
，
．
(1)若
，求曲线
在
处的切线方程；
(2)求函数
的单调增区间；
(3)若
存在极大值点
，求证：
．
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)证明见解析
【分析】
【详解】（1）若
，则
，
，
，
曲线在
处切线的斜率
，
曲线
在
处的切线方程为
；
（2）
，定义域为
，
，
当
时，令
，得
或
，
函数
的单调增区间为
和
；
当
时，
，
函数
的单调增区间为
；
当
时，令
，得
或
，
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函数
的单调增区间为
和
．
综上，当
时，函数
的单调增区间为
和
；
当
时，函数
的单调增区间为
；
当
时，函数
的单调增区间为
和
；
（3）当
时，函数
在
和
上单调递增，在
上单调递减，
的极大值为
；
当
时，函数
在
和
上单调递增，在
上单调递减，
的极大值为
，
，
，
，
；
当
时，
在
单调递增，此时
无极值，不合题意；
综上，若
存在极大值点
，则
．
【变式8-1】（2025·江西南昌·模拟预测）已知函数
.
(1)已知
在
取得极值，求a 的值，
(2)当
时，讨论
的单调性；
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】
【详解】（1）因为
，
所以
，
因为
在
取得极值，
所以
，
经检验符合题意；
（2）由题意可知
的定义域为
，
.
由
可得
或
，
当
时，
,故
在
上单调递减.
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当
时，
，故令
，解集为
，
令
，解集为
，
因此
的递增区间为
，递减区间为
，
.
当
时，
，令
，解集为
，
令
，解集为
，
因此
的递增区间为
，递减区间为
，
.
综上所述，当
时，
在
上单调递减；
当
时，
的递增区间为
，递减区间为
，
；
当
时，
的递增区间为
，递减区间为
，
.
【变式8-2】（2025·湖北·模拟预测）已知函数
.
(1)当
时，讨论
的单调性；
(2)当
时，
在
恒成立，求
的取值范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】
【详解】（1）由
，
，
，
求导得
.
当
，由
，解得
或
；由
，解得
.
当
时，
恒成立.
当
时，由
，解得
或
；由
，解得
.
综上，当
时，
在
，
上单调递增，在
上单调递减；
当
时，
的
在单调递增；
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当
时，
在
，
上单调递增，在
上单调递减.
（2）由（1）知，当
时，函数
在
单调递减，在
单调递增，
所以
.
令
，
，得
.
令
，
，得
，
所以
在
单调递减，得
，
所以
.所以
在
上单调递减.
因为
且
，所以
，
则
，所以a 的取值范围为
.
【变式8-3】（2025·江苏盐城·三模）已知函数
，
．
(1)求函数
在
处的切线方程；
(2)讨论函数
单调性；
(3)当
时，若对于任意
，总存在
，使得
，求
的取值范围．
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)
【分析】
【详解】（1）因为
，所以
，
所以所求切线的斜率为
，又
，
所以切线方程为
，即
；
（2）
，则函数
定义域为
，
所以
，所以当
时，有
恒成立，
在
单调递减，
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当
时，由
解得：
，
在
上单调递减；
由
解得：
，
在
上单调递增；
综上，
时，
在
单调递减；
时，
在
上单调递减，在
上单调递增.
（3）由（2）知，当
时，
，
根据题意，不等式等价于
，
，
对于
，
，则
所以
在
上单调递减，所以
，
则有
，即
，
设
，
，则
，
所以
在定义域内为减函数，又
，
所以
，所以
，即
的取值范围是
.
题型9 含参单调性讨论（二次型不可因式分解）
例9-1（2026·山东青岛·一模）已知函数
.
(1)讨论
的单调性；
(2)若存在
，
，
，使得
，求
的最大值.
【答案】(1)当
时，
在
上单调递减；当
时，
在
上单调递减，在
上单调递增.
(2)
【分析】
【详解】（1）由题得
，
.
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若
，则
在
上恒成立，所以
在
上单调递减；
若
，当
时，
；当
时，
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增.
综上，当
时，
在
上单调递减；
当
时，
在
上单调递减，在
上单调递增.
（2）由（1）得，若存在
，
，使得
，
则必有
，由
.
所以
等价于
，
即
，化简得：
.
设
，
，则
，
所以
在
上单调递减，所以
，
此时
，
.
所以当
，
时等号成立，所以
的最大值为
.
例9-2（2025·重庆·三模）已知函数
．
(1)讨论函数
的单调性；
(2)已知函数
．
①若
，求证： 当
时，
；
②若
，函数
在区间
上存在唯一零点，求
的取值范围．
【答案】(1)答案见解析；
(2)①证明见解析；②
.
【分析】
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【详解】（1）
，
①当
，即
时，
恒成立，
在
上单调递增．
②当
，即
或
时，令
，解得
，
当
时，
单调递增；
当
时，
单调递减；
当
时，
单调递增．
即
在
上单调递增，在
上单调递减，在
上单调递增．
（2）(i)
，
，
当
时，
函数
在
上单调递增，
在
上单调递减，
在
单调递增，
则
在
上单调递增，则
，得证．
（ii）当
时，
，同理有
在
上单调递增，
而
，
故由零点存在定理可知，存在唯一的
，使得
．
当
时，
单调递减；
当
时
单调递增．
，
故由零点存在定理可知，
在
无零点，在
上存在唯一零点．
符合题意．
当
时，由（i）可知不合题意，故舍去．
综上所述，
的取值范围为
．
【变式9-1】（2025·吉林·模拟预测）已知函数
，其中
为常数．
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
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(2)讨论函数
的单调性；
(3)若函数
在区间
内存在两个不同的极值点，求
的取值范围．
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)
【分析】
【详解】（1）当
时，
，
，
，此时
，
因此曲线
在点
处的切线方程为
．
（2）函数
的定义域为
，
，
当
，即
时，
，令
，解得
，
令
得
，令
得
，
此时函数
在
上单调递增，在
上单调递减；
当
时，
中，
，
当
，即
时，
方程
在
上仅有一个正根
，
令
得
，令
得
，
此时函数
在
上单调递增，在
上单调递减；
当
，即
时，
方程
在
上有两个不等正根，
分别为
，
，
，
故
，
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令令
得
，令
得
，
此时函数
在
和
上单调递增，
在
上单调递减．
综上，当
时，函数
在
上单调递增，在
上单调递减；
当
时，函数
在
上单调递增，在
上单调递减；
当
时，函数
在
和
上单调递增，
在
上单调递减；
（3）由（2）可知，若函数
在区间
内存在两个不同的极值点，则
，
函数
的对称轴为
，且
，
故
，且
，解得
．
【变式9-2】（2025·吉林·模拟预测）设函数
．
(1)讨论
的单调性并求其极值；
(2)若
在
内存在极值，求
的取值范围；
(3)当
取（2）中所求范围内的任意值时，求
的最小值．
【答案】(1)答案见解析
(2)
(3)答案见解析
【分析】
【详解】（1）要使
有意义，则
.
下面求解该不等式组的解集，即函数
的定义域.
设
，函数
图象开口向上，对称轴为
，
令
，即
，
，其中
，
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①当
时，
，则
在
单调递增，
当
时，
，
故此时定义域为
；
②当
时，
，
也恒成立.
故定义域也为
；
③当
时，
，
此时不等式组为
，解得
，或
.
故定义域为
；
④当
时，
，方程
有两根，
，且
，
，
故函数
的定义域为
；
由
，
则
①当
时，
.
则
在
单调递减，无极值；
②当
时，
，
，
令
，解得
，
当
时，
，
在
上单调递减；
当
时，
，
在
上单调递增；
此时
有极小值
；
③当
时，
定义域为
，
，
当
时，
，
在
单调递减；
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当
时，
，
在
单调递增；
在
处无定义，
无极值；
④当
时，
，
，
又
，
由
，且
，
所以
；
又
，
所以
，
且当
时，
，
在
单调递减；
时，
，
在
单调递增；
此时
无极值.
综上所述，当
时，
在
单调递减，无极值；
当
时，
在
上单调递减，在
上单调递增，有极小值
；
当
时，
在
上单调递减，在
上单调递增，无极值；
当
时，
在
单调递减，在
单调递增；无极值.
（2）由（1）可知，要使
在
内存在极值，则
.
所以
的取值范围为
.
（3）由题意，
，
的定义域为
，
且
在
上单调递减，在
单调递增，
，
所以，
的最小值为
.
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真题溯源·考向感知
——溯源真
，感知高考考向
题逻辑
1．（2022·全国甲卷·高考真题）已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】[方法一]：构造函数
因为当
故
，故
，所以
；
设
，
，所以
在
单调递增，
故
，所以
，
所以
，所以
，故选A
[方法二]：不等式放缩
因为当
，
取
得：
，故
，其中
，且
当
时，
，及
此时
，
故
，故
所以
，所以
，故选A
[方法三]：泰勒展开
设
，则
，
，
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，计算得
，故选A.
[方法四]：构造函数
因为
，因为当
，所以
,即
，所以
；设
，
，所以
在
单调递增，则
,
所以
，所以
,所以
，
故选：A．
[方法五]：【最优解】不等式放缩
因为
，因为当
，所以
,即
，所以
；因为当
，取
得
，故
，所以
．
故选：A．
【整体点评】方法4：利用函数的单调性比较大小，是常见思路，难点在于构造合适的函数，属于通性通
法；
方法5：利用二倍角公式以及不等式
放缩，即可得出大小关系，属于最优解．
2．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知函数
在区间
上单调递增，则a 的最小值为
（ ）．
A．
B．e
C．
D．
【答案】C
【详解】依题可知，
在
上恒成立，显然
，所以
，
设
，所以
，所以
在
上单调递增，
，故
，即
，即a 的最小值为
．
故选：C．
3．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）（多选）设函数
，则（ ）
A．
是
的极小值点
B．当
时，
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C．当
时，
D．当
时，
【答案】ACD
【详解】对A，因为函数
的定义域为R，而
，
易知当
时，
，当
或
时，
函数
在
上单调递增，在
上单调递减，在
上单调递增，故
是函数
的极小
值点，正确；
对B，当
时，
，所以
，
而由上可知，函数
在
上单调递增，所以
，错误；
对C，当
时，
，而由上可知，函数
在
上单调递减，
所以
，即
，正确；
对D，当
时，
，
所以
，正确；
故选：ACD.
4．（2023·全国乙卷·高考真题）设
，若函数
在
上单调递增，则a 的取值
范围是______.
【答案】
【详解】由函数的解析式可得
在区间
上恒成立，
则
，即
在区间
上恒成立，
故
，而
，故
，
故
即
，故
，
结合题意可得实数
的取值范围是
.
故答案为：
.
5．（2024·全国甲卷·高考真题）已知函数
．
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(1)求
的单调区间；
(2)当
时，证明：当
时，
恒成立．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】
【详解】（1）
定义域为
，
当
时，
，故
在
上单调递减；
当
时，
时，
，
单调递增，
当
时，
，
单调递减.
综上所述，当
时，
的单调递减区间为
；
时，
的单调递增区间为
，单调递减区间为
.
（2）
，且
时，
，
令
，下证
即可.
，再令
，则
，
显然
在
上递增，则
，
即
在
上递增，
故
，即
在
上单调递增，
故
，问题得证
6．（2023·北京·高考真题）设函数
，曲线
在点
处的切线方程为
．
(1)求
的值；
(2)设函数
，求
的单调区间；
(3)求
的极值点个数．
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)3 个
【分析】
【详解】（1）因为
，所以
，
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因为
在
处的切线方程为
，
所以
，
，
则
，解得
，
所以
.
（2）由（1）得
，
则
，
令
，解得
，不妨设
，
，则
，
易知
恒成立，
所以令
，解得
或
；令
，解得
或
；
所以
在
，
上单调递减，在
，
上单调递增，
即
的单调递减区间为
和
，单调递增区间为
和
.
（3）由（1）得
，
，
由（2）知
在
，
上单调递减，在
，
上单调递增，
当
时，
，
，即
所以
在
上存在唯一零点，不妨设为
，则
，
此时，当
时，
，则
单调递减；当
时，
，则
单调递增；
所以
在
上有一个极小值点；
当
时，
在
上单调递减，
则
，故
，
所以
在
上存在唯一零点，不妨设为
，则
，
此时，当
时，
，则
单调递增；当
时，
，则
单调递减；
所以
在
上有一个极大值点；
当
时，
在
上单调递增，
则
，故
，
所以
在
上存在唯一零点，不妨设为
，则
，
此时，当
时，
，则
单调递减；当
时，
，则
单调递增；
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所以
在
上有一个极小值点；
当
时，
，
所以
，则
单调递增，
所以
在
上无极值点；
综上：
在
和
上各有一个极小值点，在
上有一个极大值点，共有个极值点.
【点睛】关键点睛：本题第3 小题的解题关键是判断
与
的正负情况，充分利用
的单调
性，寻找特殊点判断即可得解.
7．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数
．
(1)讨论
的单调性；
(2)证明：当
时，
．
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】
【详解】（1）因为
，定义域为
，所以
，
当
时，由于
，则
，故
恒成立，
所以
在
上单调递减；
当
时，令
，解得
，
当
时，
，则
在
上单调递减；
当
时，
，则
在
上单调递增；
综上：当
时，
在
上单调递减；
当
时，
在
上单调递减，
在
上单调递增.
（2）方法一：
由（1）得，
，
要证
，即证
，即证
恒成立，
令
，则
，
令
，则
；令
，则
；
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所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
，则
恒成立，
所以当
时，
恒成立，证毕.
方法二：
令
，则
，
由于
在
上单调递增，所以
在
上单调递增，
又
，
所以当
时，
；当
时，
；
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
故
，则
，当且仅当
时，等号成立，
因为
，
当且仅当
，即
时，等号成立，
所以要证
，即证
，即证
，
令
，则
，
令
，则
；令
，则
；
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
，则
恒成立，
所以当
时，
恒成立，证毕.
8．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知函数
．
(1)当
时，讨论
的单调性；
(2)当
时，
，求a 的取值范围；
(3)设
，证明：
．
【答案】(1)
的减区间为
，增区间为
.
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(2)
(3)见解析
【分析】
【详解】（1）当
时，
，则
，
当
时，
，当
时，
，
故
的减区间为
，增区间为
.
（2）设
，则
，
又
，设
，
则
，
若
，则
，
因为
为连续不间断函数，
故存在
，使得
，总有
，
故
在
为增函数，故
，
故
在
为增函数，故
，与题设矛盾.
若
，则
，
下证：对任意
，总有
成立，
证明：设
，故
，
故
在
上为减函数，故
即
成立.
由上述不等式有
，
故
总成立，即
在
上为减函数，
所以
.
当
时，有
，
所以
在
上为减函数，所以
.
综上，
.
（3）取
，则
，总有
成立，
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令
，则
，
故
即
对任意的
恒成立.
所以对任意的
，有
，
整理得到：
，
故
，
故不等式成立.
【点睛】思路点睛：函数参数的不等式的恒成立问题，应该利用导数讨论函数的单调性，注意结合端点处
导数的符号合理分类讨论，导数背景下数列不等式的证明，应根据已有的函数不等式合理构建数列不等式.
课本典例·高考素材
——立足
本典例，挖掘高考素材
课
1．判断下列函数的单调性，并求出单调区间：
（1）
（2）
，
（3）
（4）
【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3）答案见解析；（4）答案见解析；
【详解】（1）
，则函数在
上单调递减，即单减区间为
，无单增区间；
（2）
，
，
则函数在
上单调递增，即单增区间为
，无单减区间；
（3）
，则函数在
上单调递增，即单增区间为
，无单减区间；
（4）
，则函数在
上单调递增，即单增区间为
，无单减区间；
2．函数
的图象如图所示，试画出函数
图象的大致形状．
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【答案】图象见解析
【详解】由图知：
时，
且为定值；
时，
单调递减，且在
上
，在
上
；
时，
单调递增，且在
上
，在
上
；
∴
，
单调递增且为斜率大于0 的直线；
，
单调递增；
，
单调递减；
，
单调递减；
，
单调递增；
3．证明函数
在区间
上单调递减．
【答案】证明见解析
【详解】因为
，所以
，
当
时，
，
所以函数
在区间
上单调递减．
4．求函数
的单调增区间．
【答案】
【详解】
，
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，
令
，解得
或
，
的单调递增区间为
.
5．求函数
的单调区间，其中a 是常数．
【答案】当
时，单调递增区间为
，
，无单调递减区间；当
时，单调递增区间为
，
，单调递减区间为
，
.
【详解】
的定义域为
当
时，
恒成立，所以
在
，
单调递增；
当
时，令
解得：
或
，
令
解得：
或
，
所以函数单调递增区间为
，
，
单调递减区间为
，
；
综上：当
时，单调递增区间为
，
，无单调递减区间；当
时，单调递增区间为
，
，单调递减区间为
，
.
