文档文本内容
函数与导数单元检测卷
考试时间120 分钟，满分150 分
注意事项：
1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、座位号、准考证号用0.5 毫米的
黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“贴条形码
区”．
2.选择题使用2B 铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡
皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5 毫米的黑色签字笔在答题卡的
对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无
效．
3.考试结束后由监考老师将答题卡收回．
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题给出的四个选项
中，只有一项符合题目要求．
1．函数
的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【知识点】求对数函数的定义域、具体函数的定义域
【分析】根据函数
的解析式有意义，列出不等式组，即可求解.
【详解】由函数
有意义，则满足
，解得
且
，
所以函数
的定义域为
.
故选：D.
2．下列函数中，既是偶函数，又在区间
上是增函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【知识点】函数奇偶性的定义与判断、根据解析式直接判断函数的单调性、复合函数的单
调性
【分析】根据函数奇偶性的定义及单调性的判断方法即可判断.
【详解】对于A，二次函数
关于
轴对称，所以函数
为偶函数，
在
上单调递减，故A 错误；
对于B，函数
的定义域为
，
，
，所以函数
为偶函数，
函数
在
上单调递增，当
时，
，
函数
在
上单调递增，
根据复合函数的单调性，函数
在
上单调递增，故B 正确；
对于C，函数
的定义域为
，
，
，
即
，所以函数
为奇函数，故C 错误；
对于D，函数
的定义域为
，
，
，
所以函数
为奇函数，故D 错误.
故选：B.
3．当
时，设函数
存在导数
，且满足
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．0
D．
【答案】D
【知识点】导数的运算法则
【分析】根据
得
是常数，再由
得
，即可得
函数解析式，进而求函数值.
【详解】由
，即
，即
，
所以
是常数，
当
时，
，即
所以
，
当
时，
，得
.
故选：D.
4．设函数
是奇函数
（
）的导函数，
，当
时，
．已知
，
，
，则下列结论正确的是
（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、比较函数值的大小关系、函数奇偶性的
应用、比较指数幂的大小
【分析】先构造新函数判断其单调性，再利用奇函数性质及单调性比较函数值大小.
【详解】设
，因为
，
所以
在
上是增函数，
又因为函数
是奇函数，
，所以
，
，
所以，当
时，
，所以
；
当
时，
，
，
又因为
，所以
在
上是增函数，
所以
，
因为
，所以
，
所以
.
故选A．
5．已知函数
有两个极值点，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【知识点】根据极值点求参数、由导数求函数的最值（含参）、利用导数研究函数的零点
【分析】求出函数
的导数
，由
在
上有两个变号零点求出范围.
【详解】函数
的定义域为
，求导得
，
由函数
有两个极值点，得函数
在
上有两个变号零点，
令
，求导得
，
当
时，
，函数
在
上单调递减，
最多一个零点，不符合题意；
当
时，由
，得
；由
，得
，
函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
则
，而当
从大于0 的方向趋近于0 时，
，
当
时，
，因此当且仅当
时，
有两个零点，
即
，解得
，所以实数
的取值范围是
.
故选：D
6．已知函数
的定义域是
，
的图象关于点
中心对称，若
，且
对任意
，
，都有
，则不等式
的解集为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【知识点】根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式、分式不等式
【分析】根据题意可得
为奇函数，进而得到在
，
上为减函数，再由
分式不等式的等价条件得
，再根据奇偶性和单调性解不等式即可．
【详解】因为对任意
，
，都有
，
所以
在
上为减函数，
因为
的对称中心为
，所以
的对称中心为
，
所以
为奇函数，
所以
上为减函数．
则
在
，
上为减函数，
因为
，所以
，
，
即
或
，
则
或
，
解得
或
，
所以解集为
．
故选：C．
7．已知函数
，若函数
有两个零点，则实数m 的取值
范围是 （ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【知识点】分段函数的性质及应用、函数与方程的综合应用、用导数判断或证明已知函数
的单调性
【分析】根据分段函数单调性画出简图，将零点问题转化为
与
的交点问
题求解.
【详解】
当
时，
单调递增，值域为
；
当
时，
，所以
在
上单调递增，
且
，
，可画简图，如图所示，
要使
有两个零点，即
与
有两个交点，
结合图象可知
，即
，
故选：C.
8．若关于x 的不等式
恒成立，则实数k 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题
【分析】根据给定条件，利用同构思想变形不等式，构造函数
，利用单调性
可得
，再构造函数
，利用导数求出最小值即可.
【详解】不等式
，令函数
，显然函数
在
上单调递增，
依题意，不等式
恒成立，即
，
令函数
，求导得
，当
时，
；
当
时，
，函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
因此当
时，
，
，
所以实数k 的取值范围是
.
故选：B
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分．在每小题给出的选项中，
有多项符合题目要求．全部选对的得6 分，选对但不全的得部分分，有选错的
得0 分．
9．已知函数
，则下列说法正确的是（ ）
A．
的定义域为
B．
在区间
上单调递增
C．
在区间
上单调递减
D．
的图象关于直线
对称
【答案】ABD
【知识点】对数型复合函数的单调性、求对数型复合函数的定义域、函数对称性的应用、
具体函数的定义域
【分析】利用函数定义域的求法可判断A；利用复合函数单调性法则可判断BC；利用函数
对称性可判断D.
【详解】对于A：令
，解得
，
所以
的定义域为
，故A 正确；
对于B 和C：函数
，
令
，则函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
又
是增函数，所以
在
上单调递增，在
上单调递减，故B 正确，C 错
误；
对于D：因为
，
，所以
，
所以
的图象关于直线
对称，故D 正确.
故选：ABD.
10．已知函数
，函数
是奇函数，则（ ）
A．
B．
有两个零点
C．不等式
的解集为
D．曲线
在点
处的切线与曲线
有三个公共点
【答案】BC
【知识点】函数奇偶性的应用、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）
【分析】对于A，根据题意，确定
的解析式即可判断A；
对于B，令
，利用因式分解求解即可；
对于C，不等式等价于
即
，则
或
，再解不等式组即可；
对于D，利用导数的几何意义得到切线方程为
，再联立求解即可判断．
【详解】
，
函数
是奇函数，
，解得
，
，故A 错误；
令
，即
，解得
或
，
所以
有两个不同的零点，故B 正确；
解不等式
，即
，移项得
，
即
，
或
，
解得
或
，
所以，不等式
的解集为
，故C 正确；
，则
，
则切线方程为
，即
，
联立
，得
，
即
，解得
，
所以切线与曲线只有一个公共点，故D 错误．
故选：BC．
11．已知对于
，
，
，
，且
，则下列说法正确的有（ ）
A．
为偶函数
B．
C．
的周期为4
D．
【答案】AB
【知识点】函数周期性的应用、函数对称性的应用、求函数值
【分析】由
结合
可判断A，通过赋值可判断B，由
，得到
，
可
判断C，由函数周期可判断D.
【详解】对于A：
，
关于
对称，
，得
，所以
，
所以
，即
，
所以
为偶函数，故A 正确；
对于B：由
，
中令
得
，所以
，
中令
得
，即
，
所以
，故B 正确；
对于C：
，
可知
，
，
可得
，则
，
所以
，可知
周期为6，故C 错误；
对于D：由
，
，
中，
令
，可得
，
所以
，
，
，
，
，
所以
，又
周期为6，
所以
，故D 错误.
故选：AB
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分．
12．若曲线
在点（1，3）处的切线也是曲线
的切线，则
.
【答案】
【知识点】两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、导数的运算法则
【分析】先求出曲线
在
的切线方程，再设曲线
的切点求出
，利用公切线斜率相等求出
表示出切线方程，结合两切线方程相同即可求解
【详解】由
，得
，
，
故曲线
在
处的切线方程为
，即
；
由
，得
，
设切线与曲线
相切的切点为
，
由两曲线有公切线得
，解得
，则切点为
，
故切线方程为
，即
，
因两切线为同一条直线，方程相同，则
，解得
．
故答案为：
．
13．近年来，中国加大了对电动汽车的研究与推广，新型动力电池迎来了蓬勃发展的机遇.
已知蓄电池的容量C（单位：Ah），放电时间t（单位：h）与放电电流I（单位：A）之间
关系的经验公式为
，其中
.在电池容量不变的条件下，当放电电流
时，放电时间
，则当放电电流
时，放电时间为
【答案】29h
【知识点】利用给定函数模型解决实际问题、指数幂的运算、对数的运算性质的应用
【分析】由题意可得出
，
，利用对数恒等式与指数运算性质可求得结果.
【详解】因为当放电电流
时，放电时间
，则
，
当放电电流
时，则
，
即
，可得
.
故答案为：29h
14．函数
有且只有一个零点，则
的取值范围是 .
【答案】
【知识点】利用导数研究函数的零点、根据函数零点的个数求参数范围
【分析】将函数零点问题转化为函数图象交点问题，结合相切的临界条件，即可求出
的
值.
【详解】函数
的定义域为
.
函数
有且只有一个零点等价于
只有一个解，
即函数
与
的图象在
上有且只有一个交点.
函数
的图象如图，过点
，且在
上单调递减，在
上单
调递增.
函数
，图象为顶点在
，开口向上的V 形折线，对称轴为
，且沿
轴左右平移.
通过观察图象可知，当
与
在
上相切时，有一个交点；
当
与
在
不相交时，有一个交点.
当
与
在
上相切时，
，令
，解得
，此时切点坐标为
，
代入
中，可得
.
此时当
时，函数
与
在
上有1 个交点，满足条件；
同理可得，当
时，函数
与
在
上有2 个交点，
当
时，函数
与
在
上有1 个交点，在
上有1
个交点；
综上，
的取值范围为
.
故答案为：
四、解答题：本题共5 小题，共77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算
步骤．
15．已知函数
．
(1)若
，求
的单调区间；
(2)若
没有极值点，求a 的取值范围．
【答案】(1)单调递减区间是
和
，单调递增区间是
(2)
【知识点】根据极值点求参数、利用导数求函数的单调区间（不含参）
【分析】（1）求出导数，分别求出
和
的解，即可得到单调区间；
（2）分类讨论
的范围，从而得到
的单调性，即可求解.
【详解】（1）若
，则
， 函数定义域为
，
．
当
时，
；
当
时，
；
当
时，
，
故
的单调递减区间是
和
，单调递增区间是
．
（2）
，
函数
，当
，即
时，
恒成立，
则有
，
单调递减，此时
没有极值点，符合题意．
当
时，方程
有两个实数根
，
，不妨设
，
则
，
．
当
时，
，此时
在区间
，
上单调递减，
在区间
上单调递增，所以
是
的极小值点，
是
的极大值点，不符合题
意；
同理可知，当
时，
在区间
上单调递增，
上单调递减，
是
的极大值点，不符合题意．
综上，a 的取值范围是
．
16．已知函数
．
(1)若
，求
的单调区间和极值；
(2)若
在区间
内有极值，求
的取值范围；
(3)若
在区间
内单调递增，求
的取值范围．
【答案】(1)答案见解析；
(2)
；
(3)
.
【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、求已知函数的极值、由函数在区间上
的单调性求参数、根据极值求参数
【分析】（1）求导函数，利用导数等于0，画表格分析
的变化情况，可得
的单调区间与极值；
（2）
在区间
有极值，等价于方程
在其判别式
（即
或
的条件下在区间
有解，从而得
的取值范围；
（3）由题可得
在区间
内单调递增，令
，孤立参数求最值可得
的取值
范围.
【详解】（1）
，则
，
令
，可得
，解得
或
，
则
的变化如下表：
递增
极大值
递减
极小值
递增
由表可得
的单调增区间是
和
，单调减区间是
；
函数的极大值为
，极小值为
；
（2）因为
当
，即
时，
，
单调递增，故
无极值点；
当
，即
或
时，
有两个根，
，
，
由题意可得，
①，或
②，
①式无解，②式的解为
，
故
的取值范围是
；
（3）由已知，得
在
上恒成立，即
在
上恒成立，
设
，则
恒成立，当且仅当
时取等号，
所以
在
上单调递增，故
，所以
，
即
的取值范围为
.
17．已知函数
．
(1)过原点是否存在一条直线与
的图象相切？并说明理由；
(2)当
时．
①若
，求
的取值范围；
②证明：当
时，
．
【答案】(1)过原点不存在一条直线与
的图象相切，理由见解析
(2)①
；②证明见解析
【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数证明不等式、求在曲线上一点处的
切线方程（斜率）
【分析】（1）利用导数来求切线方程，利用切线过原点可得参数的方程，通过方程无解，
来判断过原点的切线不存在；
（2）①利用导数来求函数
在
的值域，再结合不等式恒成立，转化为
，从而可得
的取值范围；②利用极值点偏移证明方法，结合分析
法来构造函数求导证明即可.
【详解】（1）设
为
图象上的任意一点，
因为
，
所以在
点处的切线斜率为
，
所以切线方程为
，
假设存在一条切线经过坐标原点，则
，
因为
，所以
，即
，
此时等式
显然不成立，即方程
无解，
所以假设不成立，所以过原点不存在一条直线与
的图象相切．
（2）①当
时，
，其中
，
当
时，
，
在
单调递减，
当
时，
，
在
单调递增，
则当
时，
在
处取得最小值为
，
因为
时，
，而
，
所以
在
处取得最大值为
，
因为
，所以
，
即
的取值范围为
．
②当
时，因为
在
单调递减，
在
单调递增，
所以不妨设
，要证
，
只需要证明
，又因为
，
在
单调递增，
所以只需要证明
，
由于
，即只需要证明
，
令
，
，
因为
，所以
，
则
，
故
在
上单调递减，
故当
时，
，
即
，其中
，所以
成立，
故
．
18．已知函数
．
(1)讨论
的单调性；
(2)若
对所有
成立，求a 的最小值；
(3)设
,若
有两个零点
,求证：
．
【答案】(1)答案见解析；
(2)1；
(3)证明见解析.
【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、导数中的极值偏移问题、利用导数求函数
（含参）的单调区间
【分析】（1）先求出函数
的定义域和导数，然后根据
的取值范围讨论导数的正负，
从而确定函数的单调性.
（2）将
恒成立转化为
恒成立，通过构造函数求其最大值，进而得到
的最小值.
（3）先求出
的表达式，根据
有两个零点得到相关等式，然后通过构造函数利用
函数的单调性证明不等式.
【详解】（1）函数
的定义域为
，
，
当
时，
，即
在
上恒成立，所以
在
上单调递增.
当
时，令
，解得
,
，即
在
上单调递增.
，即
在
上单调递减.
综上，
当
时,
在
上单调递增，
当
时,
在
上单调递减，在
上单调递增.
（2）由
，得
对所有
成立，
令
，则
，
令
，
当
时，
，
在
上单调递增.
当
时，
，
在
上单调递减.
所以
在
处取得最大值，
.
因为
恒成立，
所以
,即
的最小值为1.
（3）
.
，且
，
令
，得
，
由
有两个零点，且
有唯一的正根
，此时
，
当
时，
，
在
单调递减，
当
时，
，
在
单调递增.
所以
是
的极小值点，且
，两个零点满足
.
因为
，解得
，
又因为
，
，且
是
的极小值点，
所以
，将
代入得到
，
若
，则
，与
矛盾，
所以
，即
，可以得到
.
所以
位于
的递增区间
内.
，
将
代入得，
，
因为
，所以
，
又
与
都在
的递增区间
内，
所以有
，即
.
19．已知函数
．
(1)设函数
，求
的最小值；
(2)证明：
在定义域内有且仅有2 个零点；
(3)设
的两个零点分别为
，且
，若存在实数
，满足
，
其中
，证明：
．
【答案】(1)0
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数证明不等式、利用导数研究函数的
零点
【分析】（1）先求出
，再求导，分析函数的单调性，进而求解即可；
（2）求导，分
，
，
，
，
五种
情况讨论求证即可；
（3）结合（2）可得
，设
，
，利
用导数分析其单调性，可得
时，
，进而得到
，进而求证即可.
【详解】（1）由
，则
，
所以
，令
，得
，令
，得
，
所以函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
则
.
（2）证明：由
，
，则
，
当
时，
，
，则
，
所以函数
在
上单调递增，
又
，则函数
在
上存在唯一零点0；
当
时，设
，
则
，
所以函数
在
上单调递增，
又
，则
，
所以函数
在
上单调递增，
则
，则函数
在
上无零点；
当
时，函数
为增函数，
又
，
，
所以存在
，使得
，
当
时，
，当
时，
，
所以函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
又
，
则函数
在
上存在唯一零点；
当
时，由（1）可知，
在
上单调递减，
又
在
上单调递减，所以函数
在
上单调递减，
则
，
所以函数
在
上无零点；
当
时，
，
则函数
在
上无零点.
综上所述，
在定义域内有且仅有2 个零点.
（3）证明：由（2）可得
，函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
且
，
，
由题意，不妨设
，则
，
设
，
，
则
，
所以函数
在
上单调递减，则
，
则
时，
，则
，又
，
所以
，则
，
因为
，所以
，则
，
所以
.
