文档文本内容
第16 讲导数概念与求导公式、法则
（知识清单+7 典例精讲+5 方法技巧+分层训练）
近3 年考查情况
题型
分值
导数四则运算、幂函数求导，考查 ( x
α)
' =α x
α −1 基础公式运算求值
填空题
5 分
综合考查四则运算法则、复合函数求导 y x
' = yu
' ⋅ux
' ，为导数大题基础运算环节
解答题
12 分
导数定义辨析、基础求导公式判断，考查 (ln x)
' = 1
x ,(e
x)
' =e
x 公式正误辨析
多选题
6 分
乘法求导法则应用 [ f ( x)g( x)]
' = f
'( x)g( x)+ f ( x)g
'( x)，求函数在定点的导
数值
填空题
5 分
乘法求导法则应用 [ f ( x)g( x)]
' = f
'( x)g( x)+ f ( x)g
'( x)，求函数在定点的导数
值
解答题
12 分
平均变化率公式 Δ y
Δ x = f ( x2)−f ( x1)
x2−x1
计算与导数瞬时变化率辨析
单选题
5 分
除法求导法则 ( f ( x)
g( x) )
'
= f
'( x)g( x)−f ( x)g
'( x)
g
2( x)
综合辨析判断
多选题
6 分
【知识点01】导数的概念
(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数记作f' ( x 0)或y'|x＝x0.
f'(x0)＝
lim
Δ x→0 Δ y
Δ x
＝
lim
Δ x→0 f ( x0＋Δ x)−f ( x0)
Δ x
.
(2)函数y＝f(x)的导函数(简称导数)
f'(x)＝y'＝
lim
Δ x→0 f ( x＋Δ x)−f ( x)
Δ x
.
【例1】求函数f ( x)=2 x
2在区间[2,4 ]上的平均变化率。
解析：Δ y
Δ x = f (4)−f (2)
4−2
= 32−8
2
=12.
【知识点02】基本初等函数的导数公式
基本初等函数
导函数
f(x)＝c(c 为常数)
f'(x)＝0
f(x)＝xα(α∈R，且α≠0)
f'(x)＝αx
α － 1
f(x)＝sin x
f'(x)＝cos
x
f(x)＝cos x
f'(x)＝－
sin
x
f(x)＝ax(a>0，且a≠1)
f'(x)＝a x ln
a
f(x)＝ex
f'(x)＝e x
f(x)＝logax(a>0，且a≠1)
f'(x)＝
1
x ln a
f(x)＝ln x
f'(x)＝1
x
【例2】求函数f ( x)=2 x
4−1
x 的导数。
解析：f ( x)=2 x
4−x
−1
f
'( x)=8 x
3+ x
−2=8 x
3+ 1
x
2.
【知识点03】导数的运算法则
若f'(x)，g'(x)存在，则有
[f(x)±g(x)]'＝f' ( x )±
g' ( x ) ；
[f(x)g(x)]'＝f' ( x ) g ( x ) ＋
f ( x ) g' ( x ) ；
[
f ( x)
g( x)]'＝f
'( x)g( x)−f ( x)g
'( x)
[ g( x)]
2
(g(x)≠0)；
[cf(x)]'＝cf'
( x ) .
【例3】求函数y =( x +1)sin x的导数。
解析：y
'
=( x +1)
' sin x +( x +1)(sin x)
'
¿
¿
【知识点04】复合函数的定义及其导数
复合函数y＝f(g(x))的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y'x＝y'u· u' x，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数
与u 对x 的导数的乘积.
【例4】求函数y = ln ( x
2+2)的导数。
解析：
y
' =
1
x
2+2
⋅( x
2+2)
' = 2 x
x
2+2
.
【题型一】瞬时变化率与导数的概念
【例1】（2026·广东梅州·一模）某个弹簧振子在振动过程中的位移
（单位：cm）与时间（单位：s）之间的关系
为
，则当位移
时，弹簧振子的瞬时速度大小为（ ）
.
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据导数的几何意义求解即可得答案.
【详解】由题可得瞬时速度
,
当位移
时，可得
，解得：
,所以
,
所以
,
则当位移
时，弹簧振子的瞬时速度大小为
，
故选：A
【变式1】（多选）（2025·广东湛江·一模）设定义在R 上的函数
和
，记
的导函数为
，且满足
，
，若
为奇函数，则下列结论一定成立的有（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】ABC
【分析】利用已知得出
的图象关于
对称，又得出
是偶函数，从而它的周期性，然后通过
的值计
算出
相应的值，判断各选项．
【详解】由
得
．
又
，所以
，即
，
所以
关于
对称，
．
又因为
是奇函数，故
是偶函数，所以
满足条件
．
对于选项A，因为
，所以
，
所以
，选项A 正确；
，选项B 正确；
因为
，所以
，
所以
，选项C 正确；
对于选项D，
，但不一定为0，选项D 错误．
故选：ABC．
【变式2】（多选）（2024·广东深圳·模拟预测）已知函数
及其导函数
的定义域均为R，若
是奇函数，
，且对任意
，
，则（ ）
A．
B．
C．
是周期为3 的函数
D．
【答案】ACD
【分析】根据函数的性质和导函数的运算法则，结合赋值法可得相关结论.
【详解】对于A：令
，得
，
因为
，所以
，A 正确；
对于B：令
，得
①，
所以
，
因为
是奇函数，
，
所以
，即
是偶函数，
所以
②，
由①②，得
，
即
，
所以
，
所以
，
是周期为3 的函数，
所以
，所以B 错误，C 正确；
对于D：因为
，
在①中令
得，
，
所以
，
，
所以D 正确．
故选：ACD．
【变式3】（2024·全国·模拟预测）已知符号“
”代表极限的意思，现给出两个重要极限公式：①
；
②
，则依据两个公式，类比求
_____；
________.
【答案】
【分析】根据题意，结合极限的运算法则，准确计算，即可求解.
【详解】由极限的定义知：①
；②
，
因为
，
，可得
，
则
；
又因为
，令
，可得
，
所以
.
故答案为：；
.
【题型二】基本初等函数的导数公式
【例1】（2025·云南·模拟预测）已知斜率为2 的直线与曲线
相交，交点依次为
，
，
，且
，则直线的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】通过导数的对称轴求得曲线
的对称中心，由题意求得点
坐标，即可求得直线方程.
【详解】由
得
，
导数
关于
对称，
令
，此时
，
由三次函数的对称性可知曲线
的对称中心为
，
由
知，点
、
关于点
对称，即
，
故直线过点
，斜率为2，其方程为
，
故选：B.
【变式1】（2025·陕西咸阳·三模）英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式：当
在
处的
阶导数都存在时，
．该公式也称为麦克劳林公式．根
据该公式估算
的值为（）（精确到小数点后两位）
注：
表示
的2 阶导数，即为
的导数，
表示
的
阶导数，即为
的导数．
表示
的阶乘，即
．
A．0.85
B．0.88
C．0.91
D．0.95
【答案】C
【分析】根据麦克劳林公式，求出
，令
即可求解．
【详解】
在
处n 阶可导，
求出
，令
，
故选：C.
【变式2】（多选）（2025·四川成都·模拟预测）设
，
，
.若
与
分别是
与
的导函数，则（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．
D．
【答案】ACD
【分析】根据余弦函数的特殊值求角判断A；应用导函数结合复合函数计算判断B；应用等比数列求和公式计算判断
C，D.
【详解】对于A，由
可得，
，即
，所以
，所以
，
，故A 正确；
对于B，因为
，所以
，所以
，
所以
，所以
，所以
，故B 错误；
对于C，由于
，故C 正确；
对于D，由于
，取
，则
，
从而
，
当
时，
，故D 正确.
故选：ACD.
【变式3】已知函数
，设
，则
__________．
【答案】
【分析】先令
，可求出
，然后对等式
两边同时求导，并赋值
即可.
【详解】由
，取
，得到
；
等式两边同时求导，得到
，取
，得到
.
于是
.
故答案为：
【题型三】导数的运算法则
【例3】（2025·全国二卷·高考真题）若
是函数
的极值点，则
___________
【答案】
【分析】由题意得
即可求解
，再代入即可求解.
【详解】由题意有
，
所以
，
因为
是函数
极值点，所以
，得
，
当
时，
，
当
单调递增，当
单调递减，
当
单调递增，
所以
是函数
的极小值点，符合题意；
所以
.
故答案为：
.
【变式1】（2026·河北·模拟预测）已知函数
则
（ ）
A．0
B．1
C．
D．
【答案】A
【分析】由求导法则计算可得答案.
【详解】求导得：
令
，得：
，
解得：
，
因此
，
令
，得：
.
故 选：A
【变式2】（2025·四川巴中·模拟预测）已知
是定义在
上的偶函数，且函数
也是偶函数，其中
表示函数
的导函数，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】结合导数的运算法则，偶函数的定义逐一判断各个选项即可求解.
【详解】设
，
对于A，
，函数
的定义域为
，关于原点对称，且
，
所以
是偶函数，
若
，则
，c 是常数，
的定义域为
，且
，所以
也是偶函数，
故A 正确；
对于B，若
，则
，c 是常数，所以
不成立，故B 错误；
对于C，
是非奇非偶函数，故C 错误；
对于D，若
，则
，c 是常数，所以
不成立，故D 错误.
故选：A.
【变式3】（2025·吉林长春·模拟预测）已知函数
，若
，则
___________．
【答案】
【分析】根据导函数的奇偶性，代入求值即可.
【详解】由
，得
，
又
，
所以
为奇函数，所以
.
故答案为：
.
【题型四】简单复合函数的导数
【例4】（2026·福建泉州·三模）定义在
上的奇函数
，其导函数为
，当
时，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据奇函数定义，两边取导数可得
，据此求解即可.
【详解】因为定义在
上的奇函数
，所以
，
两边取导数可得
，即
，
所以
，
因为
时，
，所以
时，
，
所以
.
【变式1】（2025·重庆·三模）设函数
的定义域为
，
是
的导函数.若
是奇函数，则
的图
象（ ）
A．关于
对称
B．关于
对称
C．关于
对称
D．关于
对称
【答案】B
【分析】由题意得
，求导得
，即可求解.
【详解】因为
是奇函数，所以
，即
，
对其求导，则有
，所以
关于直线
对称.
故选：B
【点睛】结论点睛：本题考查对称性，一般根据以下结论进行判断：
（1）对于
，若
，则函数
周期为
；
（2）对于
，若
，则函数
关于直线
对称；
（3）对于
，若
，则函数
关于点
对称.
【变式2】（2025·河北·模拟预测）函数
的极小值点为__________.
【答案】
/
【分析】先将函数进行变形得到
，再利用复合函数的求导法则进行求导，然后判断函数的单调性即可.
【详解】因
，则
，
令
，则
，
则
则
得
；
得
，
则
在
上单调递减，在
上单调递增，
则
的极小值点为
.
故答案为：
【变式3】（2025·河北秦皇岛·三模）已知函数
，及其导函数
的定义域均为
，若
，
，且
，则
______．
【答案】5
【分析】根据给定条件，变形
并求导，再探讨函数
的特征，进而赋值求解.
【详解】函数
的定义域均
，由
，得
，
求导得
，则
，又
，因此
；
由
，得
，由
，得
，
因此
，解得
，所以
.
故答案为：5
【题型五】导数的加减法
【例5】（2025·甘肃白银·三模）若函数
的导函数
为偶函数，则
的解析式可以为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】逐一判断各选项中导函数
的奇偶性即可.
【详解】对于选项A，
为奇函数，A 错误；
对于选项B，
为非奇非偶函数，B 错误；
对于选项C，
，且
，
，
，
则
不是偶函数，C 错误；
对于选项D，
为偶函数，D 正确.
故选：D.
【变式1】已知函数
，若
，则
（ ）
A．36
B．12
C．4
D．2
【答案】C
【分析】根据函数
在
处的导数的定义将
变形为
即可
求解.
【详解】解：根据题意，
，则
，则
，
若
，则
，
则有
，即
，
故选：C.
【变式2】已知函数
，则函数
___________.
【答案】
【分析】由导数的运算法则与赋值法求解
【详解】由题意得
，且
，
令
，得
，故
故答案为：
【变式3】（2024·福建泉州·模拟预测）已知函数
．
(1)当
时，若直线
与曲线
相切，求
；
(2)若直线
与曲线
恰有两个公共点，求
．
【答案】(1)
或
(2)
或
【分析】（1）此类问题，通过设切点坐标，求导数，利用切点处的导数等于切线斜率，以及切点在切线上也在曲线
上，解联立方程组即可；
（2）由已知问题等价于方程
，即方程
有两个不等实根，显然
是
方程
的一个根，所以当
时，方程可化为
（*），它还有不等于
的唯一根，根据一元二次方程的根的性质即可解决问题．
【详解】（1）当
时，
，
，
因为直线
与曲线
相切，
设切点为
，则切线斜率
，
可得
，解得
或
，
所以
或
．
（2）因为直线
与曲线
恰有两个公共点，
所以方程
，
即方程
有两个不等实根，
因为
是方程
的一个根；
当
时，方程可化为
（*），
依题意，方程（*）有不等于
的唯一根，
因为
，若
，则（*）即
，
，满足条件；
若
，则由
，解得：
．
综上所述，
或
．
【题型六】导数的乘除法
【例6】（2026·广东广州·一模）函数
在区间
上的极值点个数为（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7
【答案】A
【分析】根据题意，求得
，令
，求得
或
，结合正弦函数的性质，以及函数极值点
的定义，即可求解.
【详解】由函数
，可得
，
令
，即
，可得
或
，
因为
，可得
，
当
时，
，所以
，
单调递增；
当
时，
，所以
，
单调递减；
当
时，
，所以
，
单调递增；
当
时，
，所以
，
单调递增；
当
时，
，所以
，
单调递减；
当
时，
，所以
，
单调递增，
所以
在
上递增，在
上递减，在
上递增，
在
上递增，在
上递减，在
上递增，
其中
两侧函数的单调性相同，可得
不是函数
的极值点，
所以
在区间
的极值点为
，共有4 个.
故选：A.
【变式1】（多选）（2024·黑龙江大庆·一模）已知
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【分析】利用辅助角公式将函数化简，再由诱导公式判断A、B；求出函数的导函数，即可判断C；根据正弦函数的
性质判断D.
【详解】因为
，
则
，故A 错误；
，故B 正确；
又
，当
，则
，
所以
，
所以
，即
，故C 正确；
当
，则
，所以
，
所以
，故不
使得
，故D 错误.
故选：BC
【变式2】已知
，则
____________.
【答案】24
【分析】令
，根据导数的运算可得
，代入
可得
，
即可求解.
【详解】令
，
则
，
所以
，
所以
.
故答案为：24.
【变式3】求下列函数的导数．
(1)
；
(2)
；
(3)
．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】利用导数的求导法则以及基本初等函数的导数公式逐个求解即可.
【详解】（1）因为
，
所以
，
所以
；
（2）因为
，
所以
，
所以
；
（3）因为
，
所以
，
所以
.
【题型七】求某点处的导数值
【例7】（2026·河南新乡·三模）已知函数
，则
（ ）
A．2
B．
C．1
D．
【答案】C
【分析】先求出导函数，再应用赋值法计算求解.
【详解】函数
，
则
，
令
，则
，
则
；
【变式1】（2025·河北·模拟预测）若函数
与函数
的图象关于直线
对称，则
（ ）
A．
B．1
C．ln3
D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，求出函数
及导数，进而求出导数值.
【详解】由函数
与函数
的图象关于直线
对称，得
，
求导得
，所以
.
故选：D
【变式2】（2026·湖南·模拟预测）已知函数
，则
______．
【答案】0
【分析】借助导数运算法则计算即可得解.
【详解】
，则
，故
.
【变式3】（2026·辽宁大连·模拟预测）已知函数
.
(1)若
，求实数
的值；
(2)若
在
上有且仅有两个不同极值点，求实数
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求导，代入即可求解，
（2）求导，将问题转化为
在
上仅有一个不为1 的，实数根构造函数
由导数求解函数的单调
性，进而求解最值得解.
【详解】（1）
，
，故
（2）令
，则
在
上有且仅有两个实数根，
由于
，所以
在
上仅有一个实数根，则
在
上仅有一个不为1 的实数根，
令
则
，
当
时，
在
上单调递增，
当
时，
在
上单调递减，
且
而
故
【解题大招01】平均变化率快速求解技巧
方法核心：无需化简原函数，直接套固定公式，代入区间端点函数值即可，是导数最基础秒杀方法。
万能公式
Δ y
Δ x = f ( x2)−f ( x1)
x2−x1
解题步骤：求端点函数值→作差→作商，三步直接出结果。
【例1】求函数 f ( x)=3 x
2−2 在区间 [2,4 ] 上的平均变化率。
解析：f (4)=3×16−2= 46,f (2)=3×4−2=10
Δ y
Δ x = 46−10
4−2 =18
【解题大招02】导数定义极限式解题技巧
方法核心：抓住导数定义式结构，极限增量无限趋近于0，统一变形为标准定义式求解，无需复杂极限运算。
标准定义式
f
'( x0)=
lim
Δ x→0 f ( x0+ Δ x)−f ( x0)
Δ x
【例2】利用导数定义求 f ( x)=3 x
2 在 x =1 处的导数。
解析：f
'(1)
=
lim
Δ x→0 f (1+ Δ x)−f (1)
Δ x
¿
= lim
Δ x→0 (6+3 Δ x)=6
【解题大招03】基础初等函数求导秒杀技巧
方法核心：熟记8 大基础求导公式，幂函数降次、对数取倒数、指数不变、正余互换符号，直接口算求导。
高频速记公式
( x
α)
' =α x
α −1,(ln x)
' = 1
x ,(e
x)
' =e
x
(sin x)
' =cos x ,(cos x)
' =−sin x
【例3】求函数 y = x
4+e
x−3 ln x +sin x 的导数。
解析：y
' = 4 x
3+e
x−3
x +cos x
【解题大招04】四则运算求导避错技巧
方法核心：和差直接分项求导；乘法“前导后不导+前不导后导”；除法“上导下不导减上不导下导”，顺序绝
对不能颠倒。
核心公式
乘法：[ f ( x)g( x)]
' = f
'( x)g( x)+ f ( x)g
'( x)
除法：( f ( x)
g( x) )
'
= f
'( x)g( x)−f ( x)g
'( x)
g
2( x)
【例4】求 y =( x
2+1)cos x 的导数。
解析：y
'
=( x
2+1)
' cos x +( x
2+1)(cos x)
'
¿
¿
【解题大招05】复合函数逐层求导技巧
方法核心：由外到内、逐层求导、层层相乘，绝不遗漏内层导数，多层复合重复使用法则。
核心法则y x
' = yu
' ⋅ux
'
【例5】求 y = ln (3 x−2) 的导数。
解析：y
' =
1
3 x−2 ⋅(3 x−2)
' =
3
3 x−2
【基础过关】（共8 题）
一、单选题
1．（2024·湖北·一模）已知函数
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】先对
求导，再令
求得
，进而得到
与
，再依次求
即可得解.
【详解】因为
，所以
，
则
，得
，故B 错误；
所以
，
，
则
，
，
，故AD 错误，C 正确.
故选：C.
2．（2025·甘肃白银·三模）如果质点按规律
（距离单位：m，时间单位：s）运动，则质点在2s 末的瞬时
速度为（ ）
A．8 m/s
B．7m/s
C．6 m/s
D．5 m/s
【答案】B
【分析】利用瞬时变化率的定义即可求得该质点在2s 末的瞬时速度.
【详解】
，
则质点在2s 末的瞬时速度为7m/s.
故选：B
3．（2025·云南昆明·模拟预测）若函数
为奇函数，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据题意结合奇函数的定义可得
，求导代入
运算求解即可.
【详解】因为
是奇函数，
则
，
可得
，即
，
则
，
，
可得
，解得
.
故选：B.
二、多选题
4．（2024·海南·模拟预测）已知
，若函数
的图象在点
处的切线与
轴平行，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AD
【分析】求导，由题意得到
，再结合
放缩，逐项判断.
【详解】解：
，由题意知
.
对于A，因为
，
，所以
，所以
，故A 正确；
对于B，同理
，所以
，故B 错误；
对于C，若
，
，
，则
，故C 错误；
对于D，由
，得
，
由
，得
，所以
，故D 正确.
故选：AD
三、填空题
5．（2024·江苏南通·二模）已知
，当
时，
_________.
【答案】1
【分析】根据导数的定义即可直接求解.
【详解】由导数的定义知，
，
由
，得
，
所以
.
故答案为：1
6．（2024·湖北黄石·三模）已知函数
，则
______.
【答案】
【分析】借助导数公式与导数定义计算即可得.
【详解】
，则
.
故答案为：
.
四、解答题
7．（2026·安徽黄山·一模）已知
是正项数列
的前
项和，且
．
(1)求数列
的通项公式；
(2)若
为函数
的导函数，记
，求数列
的前
项和
．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用前
项和与通项关系式，可化简得到
，从而可利用等差数列通项公式即可求解；
（2）利用导数，代入通项公式化简，再利用裂项法求和即可.
【详解】（1）当
时，
，因为正项数列
，所以
，
由
，得
，
两式相减得
，即
，
因为
，所以
，
故
是一个以1 为公差的等差数列，
即
．
（2）由题意
，则
，
所以
，
即
．
8．（2025·全国一卷·高考真题）已知数列
中，
，
.
(1)证明：数列
是等差数列；
(2)给定正整数m，设函数
，求
．
【答案】(1)证明见解析；
(2)
【分析】（1）根据题目所给条件
化简，即可证明结论；
（2）先求出
的通项公式，代入函数并求导，函数两边同乘以
，作差并利用等比数列前
项和得出导函数表达式，
即可得出结论.
【详解】（1）由题意证明如下，
，
在数列
中，
，
，
∴
，即
，
∴
是以
为首项，1 为公差的等差数列.
（2）由题意及（1）得，
，
在数列
中，首项为3，公差为1，
∴
，即
，
在
中，
，
∴
，
当
且
时，
∴
，
∴
∴
.
【拔高选练】（共6 题）
一、单选题
1．（2026·河南南阳·二模）若
是函数
的极值点，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据题干条件先求出导函数，再求出未知参数
，最后代入计算函数值.
【详解】由题意得
，
因为
为极值点，所以
，
即
，解得
，
所以
，此时
是函数
的极小值点，符合题意，
因此
.
2．（2025·江苏盐城·三模）若
，则
（ ）
A．0
B．2
C．－2
D．－4
【答案】C
【分析】根据复合函数导数及极限求解导数的定义即可求解.
【详解】因为
，所以
，
所以
，
则
.
故选：C.
3．（2026·山东青岛·二模）部分传统家用电器（如冰箱等）使用的氟化物会释放到大气中，破坏大气上层的臭氧层，
导致臭氧含量
随时间呈指数型变化，在氟化物排放量维持某一稳定水平时，臭氧含量
与时间之间满足关系式
，其中
是臭氧的初始含量，则（ ）
A．随着时间的增加，臭氧含量在增加
B．当从1 变化到2 时，臭氧含量减少
C．当从0 变化到2 时，臭氧含量的平均变化率为
D．当
时，臭氧含量的瞬时变化率为
【答案】D
【详解】臭氧含量
与时间之间满足关系式为
，
因为
是臭氧的初始含量，所以
，所以
是减函数，所以A 错误；
当从1 变化到2 时，臭氧含量减少
，所以B 错误；
当从0 变化到2 时，臭氧含量的平均变化率为
，所以C 错误；
对于
，
，
所以当
时，臭氧含量的瞬时变化率为
，所以D 正确.
二、多选题
4．（2026·吉林通化·模拟预测）已知定义域为
的奇函数
满足
，
，使得
，
为函数
的导函数且
的定义域为
，则下列结论正确的有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【分析】对于A：赋值并结合奇函数性质可得答案；对于B：反证法可判断；对于C：利用复合函数的求导法则对等
式两边求导可得答案；对于D：先证明周期性，利用周期可得答案.
【详解】令
，代入到
中，
得：
，即：
，
令
，得
，
而
是定义域为
的奇函数，所以
，
所以
，故A 正确；
假设
成立，又因为
，
所以
，所以
为偶函数，
又已知
是定义域为
的奇函数，
所以对
，
，
与
，使得
矛盾，故B 错误；
，
两边求导数，得
，
即
，故C 正确；
因为
是定义域为
的奇函数，
所以
，
两边求导得：
，
又
，
所以
，
，
在
中令
，得
，故D 正确．
三、填空题
5．（2025·广西柳州·一模）已知定义在
上的函数
，
为
的导函数，
定义域也是
，
满足
，则
______．
【答案】
【分析】对条件等式左右求导可判断出
的对称中心，然后根据对称性可计算出结果.
【详解】因为
，所以
，
所以
的对称中心为
，
又因为
，
所以
，
所以
，
故答案为：
.
四、解答题
6．（2024·四川德阳·模拟预测）记数列
的前
项和为
.
(1)设
，若
，求
的通项公式；
(2)记
，设
，求
.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由
，
的关系即可求解，
（2）通过求导确定通项公式，再由错位相减法、等比数列求和公式即可求解；
【详解】（1）当
时，
，整理得
，当
时，有
.
数列
是以
为公比，以
为首项的等比数列， 所以
．
（2）当
时，
，
所以
，
所以
，
令
，其前
项和为
，
∴
①
∴
②
得：
.
∴
.
令
，其前
项和易知为：
，
所以
【错题复盘】（共5 题）
一、单选题
1．（2026·安徽合肥·模拟预测）若
，则
（ ）
A．−10
B．0
C．10
D．20
【答案】B
【分析】利用求导思想，结合赋值法即可求解.
【详解】对原等式两边求导得：
，
再令
代入上式：
，
又
中
一次项的系数为：
，
所以
.
2．（2023·安徽亳州·模拟预测）狄利克雷（1805~1859）Dirichlet，PeterGustavLejeune 德国数学家.对数论、数学分析
和数学物理有突出贡献，是解析数论的创始人之一.他提出了著名的狄利克雷函数
，狄利克雷函数是数学分析中
典型的病态函数.
则关于
有以下结论中不正确的是（ ）
A．
B．
C．存在
使得以点
为顶点的三角形是等腰直角三角形
D．设函数
，则
【答案】C
【分析】结合定义，根据选项，讨论
的情况，即可判断选项.
【详解】A.若
为有理数，则
都是有理数，则
，
若
是无理数，则
都是无理数，则
，故A 正确；
B.若
为有理数，
，则
都是有理数，则
，若
为无理数，
，则
都是无理数，
则
，故B 正确；
.设
①当
在
轴上，则
为无理数，且
，则
为无理数，矛盾②当
不在
轴上，则
和
为有理数，则
为无理数，矛盾，均不存在，故C 错误；
.
，故
，故D 正确.
故选：C
二、多选题
3．（2026·陕西渭南·模拟预测）已知定义在
上的偶函数
满足
，
，设
在
上的
导函数为
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BD
【分析】结合奇偶性和对称性性质、求导运算依次求出
是奇函数、
、函数
和
是周期为6 的函
数
即可依次分析判断ABC，由题设求出
，由
，得到
，依次求出
，即可判断D．
【详解】因为
为偶函数，所以
，所以
，即
，
所以
为奇函数，故
.
又
，所以
，即
，
所以
，所以
，即函数
是周期为6 的函数.
所以函数
也是周期为6 的函数，即
.
由
求导得，
，即
.
对于A：由
，
，令
，得
，
令
，得
，令
，得
又
，所以
.
又
，即
，故无法确定
的值.
而
，故无法确定，A 错误.
对于B：由
，得
，故B 正确.
对于C：由
，
，无法确定
的值，C 错误.
对于D：由
，得
，
，
，
所以
.
又
，
所以
，D 正确.
三、填空题
4．（2025·贵州遵义·模拟预测）已知数列
的通项公式为
，函数
，
求
________.
【答案】
【分析】由
得
，再利用裂项求和的方法求
解
即可.
【详解】因为
，
，
所以
所以
故答案为：
四、解答题
5．（2025·安徽·一模）已知函数
为函数
的导函数.
(1)证明：
；
(2)若函数
，请判断
在区间
上的零点个数，并说明理由；
(3)若函数
，证明：当
时，
.
【答案】(1)证明见解析
(2)
，理由见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）先求出
的导数
，再分别计算
和
，通过三角函数的两角和
公式展开化简，证明二者相等；
（2）先求出
的导数
，根据导数判断函数单调性，再结合零点存在定理确定
在
上的零点个数；
（3）令
，再求
的值，利用积化和差转换即可证明.
【详解】（1）证明：由题可得
，
，
.
故
.
（2）
，故
，
，设
，则
，
当
时，
，故
单调递增，
所以
，故函数
单调递减，
，
故函数
在
上无零点；
当
时，
，
设
，则
，
设
，则
，
当
时，
单调递增，
当
时，
单调递减，
且
，
故存在
，使
，
当
时，
单调递增，
当
时，
单调递减，
因为
，
故
，又因为
，
故函数
在
上有1 个零点.
综上所述，
在区间
内的零点个数为2.
（3）证明：令
，
所以
，
当且仅当
时，上式取得等号，但不可能成立，
所以当
时，
.
