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第五章 一元函数的导数及应用 章末测试
（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准
考证号填写在答题卡上．
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，共60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的．
1．（24-25 高二上·北京朝阳·期末）已知函数
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】据函数乘法求导公式进行求导即可.
【详解】因为
，
所以
.
故选：C.
2．（24-25 高二上·河南周口·期末）已知函数
，则
（ ）
A．2
B．1
C．
D．
【答案】B
【分析】根据导数的定义和导数的运算公式求解.
【详解】由导数的定义可知，
，
又
，所以
，
所以
.
故选：B.
3．（24-25 高二下·河南·阶段练习）已知函数
，则曲线
在点
处的切线方
程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】求
，取
，可求
，再求
，
，再由导数的几何意义及点斜式求切线方程.
【详解】由
，得
，
所以
，得
，
所以
，
，
，
，
故所求切线方程为
，即
.
故选：A.
4．（2025 高三·全国·专题练习）对于函数
，
在
上单调递增的必要不充分
条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】对函数
求导得
，对
进行分类讨论可知
不符合题意；
时，
，研究
的符号可得
的单调性及符号，进而可求得
在
上单调递增的充要条件，即可求解.
【详解】
，
.
当
时，若
，则
，此时
，
在
上单调递减，不符合题意；
当
时，
，
当
时，
在
上恒成立，
在
上单调递增，且
，
在
上恒成立，
在
上单调递增，符合题意.
当
时，令
的解为
.
当
时，
，
在
上单调递减，且
，
在
上恒成立，
在
上单调递减，不符合题意.
综上，
在
上单调递增的充要条件为
.
在
上单调递增的一个必要不充分条件是
.
故选：A.
5．（24-25 高二下·河南商丘·开学考试）已知函数
在
处取得极小值，则
的极大值为（ ）
A．4
B．2
C．
D．
【答案】A
【分析】先由
求出
，再检验是否符合题意即可.
【详解】由题得
，因为函数
在
处取得极小值，
所以
或
，
当
时，
，
，
所以当
时，
，当
时，
，
所以函数
在
处取得极小值，符合题意，
所以函数在
处取得极大值为
；
当
时，
，
，
所以当
时，
，当
时，
，
所以函数
在
处取得极大值，不符合题意；
综上
，
的极大值为4.
故选：A
6．（24-25 高三上·山西吕梁·期末）已知函数
，当
时
恒成立，则实
数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】问题化为
在
上恒成立，利用导数求右侧的最小值，即可得参数范围.
【详解】由
，得
在
上恒成立，
令
，则
，
所以
在
上单调递增，故
，即
.
故选：D
7．（2025 高三下·全国·专题练习）已知函数
是定义在
上的偶函数，其导函数为
，且当
时，
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】构造函数
，根据题意可判断，
是偶函数，在
上是增函数，在
减
函数，把原不等式转化为解不等式
，进而
，解得即可.
【详解】令
，则
，
当
时，
，所以当
时，
，
即
在
上是增函数，由题意
是定义在
上的偶函数，所以
，
所以
，所以
是偶函数，在
单调递减，
所以
，
，
即不等式
等价为
，
所以
，解得
或
，
所以不等式
的解集为
．
故选：D
8．（24-25 高二上·云南昆明·期末）已知
，
，
则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】构造函数
，通过其单调性可判断
，进而可求解.
【详解】易知
，
，
构造函数
，
求导
，易知当
时，
，
单调递增；
所以
，
所以
，
所以
，
故选：A
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分．
9．（2025 高三下·全国·专题练习）函数
的导函数
的图象如图所示，下列命题中正确的
是（ ）
A．
是函数
的极值点
B．
在区间
上单调递增
C．
是函数
的最小值点
D．
在
处切线的斜率小于零
【答案】AB
【分析】根据导函数的正负确定函数的单调性，即可结合极值的定义，逐一求解.
【详解】根据导函数图象可知：当
时，
，在
时，
函数
在
上单调递减，在
上单调递增，故B 正确；
则
是函数
的极小值点，故A 正确；
在
上单调递增，
不是函数
的最小值点，故C 不正确；
函数
在
处的导数大于
切线的斜率大于零，故D 不正确．
故选：AB
10．（2025 高二·全国·专题练习）已知函数
是定义在R 上的奇函数，当
时，
，
则（ ）
A．当
时，
B．
，都有
C．
的解集为
D．
的单调递增区间是
，
【答案】BD
【分析】对于A，利用奇函数的定义，可得答案；对于B、D，利用导数以及奇函数的性质，可得答案；对
于C，根据对数函数的性质以及不等式的性质，可得答案.
【详解】对于A，当
时，
，则
，
函数
在其定义域上是奇函数，则
，故A 错误；
对于B，当
时，
，
，
当
时，
，
单调递增；当
时，
，
单调递减，
故
，
当
时，
；
当
时，
，
，则
，
综上，当
时，
，
因为函数
是奇函数，所以
，
当
时，
，故B 正确；
对于C，由B 可知，当
时，
，
，
则
；
当
时，
，
，则
，
因为函数
是奇函数，所以当
时，
；当
时，
，
因为函数
是奇函数，所以
，
综上，不等式
，其解集为
，故C 错误；
对于D，由B 可知，当
时，
单调递增；当
时，
单调递减，
因为函数
是奇函数，所以当
时，
单调递减；
当
时，
单调递增，故D 正确.
故选：BD.
11．（24-25 高三下·湖南岳阳·开学考试）湖南矮寨特大悬索桥，创造了4 个世界第一，堪称世界建桥史上
的经典之作.它的两个主塔之间的悬索可近似看作一条“悬链线”，通过适当建立坐标系，悬链线可以为双
曲余弦函数
的图象，相应的双曲正弦函数为
.则下列说法正确的是
（ ）
A．
B．
是偶函数
C．函数
的值域为
，
D．当直线
与
和
共有3 个交点时，
【答案】AC
【分析】利用指数运算即可判断A 选项；利用函数的奇偶性即可判断B 选项；利用指数函数的值域即可判
断C 选项；利用导数求出双曲余弦函数
的单调区间，结合函数的单调性即可判断D 选项.
【详解】A 选项，
，故A 正确；
B 选项，由于双曲余弦函数
为偶函数，
双曲正弦函数
为奇函数，
则
为奇函数，故B 错误；
C 选项，由
，
又
，所以
，
则
，故C 正确；
D 选项，
，令
得
，
当
时，
，
单调递增；
当
时，
，
单调递减；
所以
在
处取得最小值1.
在
上单调递增，且当
，
；
当
，
.
所以，当直线
与
和
共有3 个交点时，
，故D 错误.
故选：AC
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分．
12．（2025 高二·全国·专题练习）函数
的单调增区间为 .
【答案】
【分析】首先求函数的导数，再结合导函数的单调性和零点，即可求解函数的增区间.
【详解】函由数
，得
，
因为
单调递增，
单调递减，所以
单调递增，
当
时，
，所以当
时，
，
所以函数的单调递增区间是
.
故答案为：
13．（24-25 高二下·吉林白山·开学考试）设
为曲线
上的点，且曲线
在点
处切线的倾
斜角的取值范围为
，则点
横坐标的取值范围为 .
【答案】
【分析】根据倾斜角与斜率关系可得切线斜率为
，再由导数的几何意义可得
，解不等式
可得结果.
【详解】设
，
由倾斜角的取值范围为
可得切线斜率为
，
又由
可得
，
因此可得
，解得
，
因此点
横坐标的取值范围为
.
故答案为：
14．（24-25 高二上·江苏无锡·期末）已知函数
，当
时，
的最小值为4，实
数a 的值为 ．
【答案】
【分析】对函数
求导，按
的不同取值讨论
在
时的单调性，进而可得最值，解出
的
值即可.
【详解】由题意可得
，
，
①当
时，
恒成立，
单调递减，
此时
，解得
，不满足
；
②当
时，令
解得
，
（i）当
时，
当
时，
，
单调递减，当
时，
，
单调递增，
此时
，解得
，满足
；
（ii）当
时，
当
时，
，
单调递减，
此时
，解得
，不满足
；
综上所述
，
故答案为：
四、解答题：本题共5 小题，共77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（2025·湖北武汉·二模）已知函数
，曲线
在点
处的切线与
平行．
(1)求
的值；
(2)求
的极值．
【答案】(1)2
(2)极小值为
，无极大值.
【分析】（1）根据导数的几何意义，可得
，可求
的值.
（2）求导，分析函数的单调性，可得函数的极值.
【详解】（1）因为
，
.
所以
，
.
由题意
.
（2）因为
，
.
所以
，
.
由
；由
.
所以函数
在
上单调递减，在
上单调递增.
所以当
时，函数取得极小值，且
.
16．（24-25 高二上·宁夏石嘴山·期末）已知函数
在
处取得极值.
(1)求函数
的解析式及单调区间；
(2)求函数
在区间
的最大值与最小值.
【答案】(1)
，单调递增区间为
，单调递减区间为
；
(2)最大值为2，最小值为
.
【分析】（1）求导，根据
，求出
，求出解析式，并解不等式，求出单调区间；
（2）在（1）基础上，得到函数极值情况，和端点值比较后得到答案.
【详解】（1）
，
由题意得
，即
，解得
，
故解析式为
，定义域为R，
令
，令
得
或
，
令
得
，
故
在
上单调递增，在
上单调递减，
显然
为极小值点，故
，
单调递增区间为
，单调递减区间为
，
（2）由（1）知，
在
上单调递增，在
上单调递减，
表格如下：
1
+
0
-
0
+
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增
又
，
故
的最大值为2，最小值为
.
17．（24-25 高二上·山西·期末）已知函数
.
(1)若
在
上不单调，求实数
的取值范围；
(2)若
，求
在
上的值域.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）三次函数在
上不单调，只需导函数判别式大于0 即可.（2）先判断单调性，再结合端点值
即可.
【详解】（1）因为
，所以
.
因为
在
上不单调，所以方程
有两个不同的根，
则
，解得
或
，
即实数
的取值范围是
.
（2）因为
，所以
.
由
，得
或
，由
，得
，
所以函数
在
上单调递增，在
上单调递减.
因为
，
，
，
所以
在
上的值域为
.
18．（2025·福建福州·模拟预测）已知定义在
上的函数
.
(1)若
，判断
是否存在极小值点，并说明理由；
(2)若
存在两个零点，求
的取值范围.
【答案】(1)无极小值点；理由见解析
(2)
【分析】（1）求导，确定单调性即可判断；
（2）参编分类得到
，问题转换成
与
恰有两个交点，对
求导确定单
调性，极值，即可求解；
【详解】（1）依题意可得
，
，故
，
设
，则
，
，
在
上单调递增，
，
在
上单调递增，无极小值点；
（2）令
，可得
，
所以
与
恰有两个交点，
设
，则
，
令
可得
，
当
时，
；当
时，
，
在
上单调递减，在
上单调递增
，
当
时，
；当
时，
，
的取值范围是
19．（24-25 高二上·云南昆明·期末）意大利画家列奥纳多·达·芬奇（1452-1519）画作《抱银貂的女人》中，
女士脖颈上悬挂的黑色珍珠项链与主人相互映衬呈现出异样的美与光泽，达芬奇提出：固定项链的两端，
使其在重力的作用下自然下垂，项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”．后人给出了悬
链线的函数解析式：
，
为悬链线系数．近现代，悬链线广泛运用于悬索桥、架空电缆、双
曲拱桥、拱坝等工程．
称为双曲余弦函数，
，相应地双曲正弦函数
，
双曲正切函数
．
(1)证明：
，点
在等轴双曲线
上；
(2)已知
时，
，求实数
的取值范围；
(3)求函数
的最小值．
【答案】(1)证明见解析；
(2)
；
(3)1.
【分析】（1）代入，利用指数运算计算得证.
（2）构造函数
，求出导数，再按导数值正负情况分类讨论求解.
（3）判断函数
的奇偶性，利用导数探讨函数
在
上的单调性，进而求出最小值.
【详解】（1）
，
，
所以点
在等轴双曲线
上.
（2）当
时，
，
令函数
，求导得
，
令
，求导得
，函数
在
上递增，
，
则当
时，
，函数
在
上递增，
，符合题意，因此
；
当
时，
，
，
则
，使得
，当
时，
，函数
在
上递减，
当
时，
，不符合题意，
所以实数
的取值范围是
.
（3）函数
定义域为R，
，即函数
是偶函数，
当
时，求导得
，令
，
求导得
，令
，
求导得
，当且仅当
时取等号，
而
恒成立，因此
，
，函数
在
上递增，
则
，函数
在
上递增，
，
于是函数
在
上递增，而函数
是偶函数，则
在
上递减，
所以当
时，函数
取得最小值
【点睛】关键点点睛：涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，构造函数，利用导数探求函数单
调性、最值是解决问题的关键.
