第02 讲 导数与函数的单调性
目录
01 常考题型过关练
题型01 求函数（不含参）的单调区间
题型02 已知函数
在区间
上单调，求参数
题型03 已知函数
在区间
上存在单调区间 ，求参数
题型04 已知函数
在区间
上不单调 ，求参数
题型05 含参问题讨论单调性（导函数有效部分是一次型（或可视为一次型））
题型06 含参问题讨论单调性（导函数有效部分是二次型（或可化为二次型）且可因式分解型 ）
题型07 含参问题讨论单调性（导函数有效部分是二次型（或可化为二次型）且不可因式分解型
）
02 核心突破提升练
03 真题溯源通关练
01 求函数（不含参）的单调区间
1．函数f (x)= x
2
e
x 的单调递增区间是（ ）
A．(0,2)
B．(−∞,0)、(2,+∞)
C．(−∞,−2)、(0,+ ∞)
D．(−2,0)
2．函数f ( x)= x−5 ln x的单调递增区间为（ ）
A．(−∞,5)
B．(5,+ ∞)
C．(0,5)
D．(0,+∞)
3．已知函数f (x)=sin x−1
2 x，则在下列区间上，f (x)单调递减的是（ ）
A．(−π
3 ,0)
B．(0,π
6 )
C．(
π
6 ,π
2 )
D．(
π
3 ,π
2 )
4．函数f (x)= x⋅e
x的单调递增区间为（ ）
A．(−∞,−1)
B．(−1,0)
C．(−∞,+∞)
D．(−1,+∞)
5．函数f ( x)=e
x−1−x e
x．求函数f ( x)的单调区间.
02 已知函数
在区间
上单调，求参数
6．（2025·陕西·模拟预测）已知函数f ( x)=( x−a−1)e
x−(
x
2 −a)bx是R上的增函数，则（ ）
A．a=b
B．a= 1
b
C．a= ln b
D．a=e
b
7．若函数f (x)= x−4
x −aln x在[4,5)上单调递增，则实数a的取值范围为（ ）
A．(−∞,4)
B．(−∞,5)
C．(−∞, 29
5 )
D．[−4,4)
8．若函数f (x)= x
3−3b x
2+ 4 x +5在x∈[0,2)为单调递增，则实数b的取值范围是（ ）
A．[
2❑√3
3
,+∞)
B．(−∞, 2❑√3
3 )
C．[
❑√3
3 ,+∞)
D．(−∞,
❑√3
3 )
9．已知函数f (x)= x
3−ax在[1,2)上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A．a≥3
B．a≥12
C．a≤3
D．a<12
10．（2025·山东·模拟预测）若a,b为正实数，且f (x)=a x
2+bx−2e
x在x∈R上单调递减，则ab的最大
值为 .
03 已知函数
在区间
上存在单调区间 ，求参数
11．已知函数f (x)= xln x−ax (a∈R)在[1,e)上存在单调递增区间，则实数a的取值范围是（ ）
A．(−∞,2)
B．(−∞,2)
C．(−∞,1)
D．(−∞,1)
12．若函数f ( x)=(m x
2−x)e
x在[2,4 ]上存在单调递增区间，则m 的取值范围是（ ）
A．( 4
15 ,+∞)
B．( 4
25 ,+∞)
C．( 3
8 ,+∞)
D．( 5
24 ,+∞)
13．若函数f ( x)=sin x(1−cos x)+ax在(−∞,+ ∞)存在单调减区间，则实数a 的取值范围为（ ）
A．(−9
8 ,+ ∞)
B．(−∞,2)
C．(−∞,−9
8)
D．(2,+∞)
14．已知函数f (x)= ln x−1
2 a x
2−2 x在[
1
2 ,1)存在单调递减区间，则实数a 的取值范围是（ ）
A．[0,+ ∞)
B．(0,+ ∞)
C．[−1,+∞)
D．(−1,+∞)
15．若函数ℎ( x)= ln x−1
2 a x
2−2 x在(
1
2 ,2)上存在单调递减区间，则实数a的取值范围为
04 已知函数
在区间
上不单调 ，求参数
16．已知函数f (x)=ax +cos(
π
6 x)在R上不单调，则实数a的取值范围是（ ）
A．[−1, 1)
B．(−1,1)
C．[−π
6 ,π
6 )
D．(−π
6 ,π
6 )
17．若函数f (x)=ax +2cos x不单调，则a可以为（ ）
A．−1
B．2
C．−3
D．4
18．若函数f (x)= x
2
2 −3ln x在区间(m,m+1)上不单调，则实数m的取值范围为（ ）
A．(0,❑√3−1)
B．(0,❑√3)
C．(❑√3−1,❑√3)
D．[❑√3−1,❑√3)
19．（多选）若函数f (x)=aln x−e
x+2在区间(1,3)上不单调，则实数a的取值可以是（ ）
A．e
B．e
2
C．2e
3
D．4e
3
20．已知函数f ( x)=sin x−1
2 x，x∈(0,π)．若f ( x)在(a,a+1)上不单调，则实数a 的取值范围为
．
05 含参问题讨论单调性（导函数有效部分是一次型（或可视为一次
型））
21．（2025·江西·模拟预测）已知函数f (x)=2 x−x ln x + x ln a−e
a(a>0)．
(1)讨论f (x)的单调区间；
22．已知函数f (x)= ln x−ax−2，讨论f (x)的单调性.
23．已知函数f ( x)=2e
x−ax−1，a∈R
(1)讨论函数f ( x)的单调性；
24．已知函数f (x)= a
x +ln x−1,a∈R.讨论函数f (x)的单调性；
25．设a∈R，函数f (x)= ln x + a
x −3
4 ，g(x)=ax−❑√x．
(1)讨论函数f (x)的单调性；
06 含参问题讨论单调性（导函数有效部分是二次型（或可化为二次
型）且可因式分解型 ）
26．（2025·江西·三模）设函数f (x)= 4 ln x−1
2 a x
2+(4−a) x +b(a,b∈R)
(1)讨论f (x)的单调性；
27．（2025·湖北·模拟预测）已知函数f (x)= 1
2 x
2+aln x−(a+1) x.
(1)当a>0时，讨论f (x)的单调性；
28．已知函数f (x)= ln x + 1
2 a x
2−(a+1) x，其中a∈R.
(1)若f (x)在x =1处取得极值−1
2，求a 的值；
(2)讨论f (x)的单调性．
29．（2025·江苏盐城·三模）已知函数f ( x)=m( x
2+2 x)−ln(xe
x),(m∈R)，g( x)=1−1
2 e
x+ x
2．
(1)求函数g(x)在x =0处的切线方程；
(2)讨论函数f (x)单调性；
30．已知函数f (x)=ax−(2a+1)ln x−2
x
(1)若x =1是函数f (x)的驻点，求实数a的值；
(2)当a>0时，求函数f (x)的单调区间；
31．已知函数f ( x)=ae
2 x+(a−2)e
x−x.
(1)当a=1时，求证f ( x)≥0；
(2)讨论f ( x)的单调性；
32．已知函数f (x)=−e
2 x
2 +(1−a)e
x+ax.
(1)若a=1，求f (x)在(1,f (1))处的切线方程；
(2)求f (x)的单调区间.
07 含参问题讨论单调性（导函数有效部分是二次型（或可化为二次
型）且不可因式分解型 ）
33．已知函数f ( x)=2ln x−x + a
x (a>0)．
(1)当a= 4时，求曲线y = f ( x)在点(1,f (1))处的切线方程；
(2)讨论f ( x)的单调性；
34．（2025·吉林·模拟预测）已知函数f (x)=ln x−(a+1) x
2+3ax−2，其中a为常数．
(1)当a=2时，求曲线y = f (x)在点(1,f (1))处的切线方程；
(2)讨论函数f (x)的单调性；
35．（2025·重庆·三模）已知函数 f (x)= 1
3 x
3−1
2 a x
2+ x +1(a∈R) ．
(1)讨论函数 f (x) 的单调性；
1．已知f ( x)是定义域为(0,+∞)的函数，且满足f ( x)+ xf ′( x)=e
x，f ′(1)=1，则不等式f ( x)≤log2e的
解集是 .
2．若函数f ( x)在R上可导，且满足f ( x)−x f
′( x)>0，则3 f (1) f (3)（填>，<或=）．
3．
若对任意的正实数x1, x2∈(m,+∞)，当x1< x2时，
x1ln x2−x2ln x1
x1−x2
>2恒成立，则m 的取
值范围 ．
4．
若对任意的x1, x2∈(m,+∞)，不等式
x1ln x2−x2ln x1
x1−x2
>3恒成立，则实数m的取值范围是
．
1．（2023·北京·高考真题）设函数f ( x)= x −x
3e
ax +b，曲线y = f ( x)在点(1,f (1))处的切线方程为
y =−x +1．
(1)求a,b的值；
(2)设函数g( x)= f
′( x)，求g( x)的单调区间；
2．（2023·全国甲卷·高考真题）已知函数f ( x)=ax−sin x
cos
3 x
, x∈(0,π
2 )
(1)当a=8时，讨论f ( x)的单调性；
3．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数f (x)=a(e
x+a)−x．
(1)讨论f (x)的单调性；
4．（2022·浙江·高考真题）设函数f ( x)=e
2 x + ln x( x>0)．
(1)求f ( x)的单调区间；
5．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知函数f ( x)= x e
ax−e
x．
(1)当a=1时，讨论f ( x)的单调性；
