第02 讲 排列、组合
目录
01 考情解码・命题预警........................................................................................................................................ 2
02 体系构建·思维可视............................................................................................................................................ 3
03 核心突破·靶向攻坚............................................................................................................................................ 3
知能解码......................................................................................................................................................3
知识点1 排列与组合的概念.............................................................................................................4
知识点2 排列数与组合数..................................................................................................................4
知识点3 排列数、组合数的公式及性质......................................................................................5
题型破译......................................................................................................................................................5
题型1 排列数与组合数的计数...........................................................................................................5
题型2 直接法.........................................................................................................................................6
题型3 间接法
....................................................................................................................................8
题型4 捆绑法与插空法
...............................................................................................................9
题型5 分组与分配问题
...............................................................................................................10
题型6 定序问题
..........................................................................................................................12
题型7 相同元素分配问题
.......................................................................................................... 14
04 真题溯源·考向感知........................................................................................................................................ 15
05 课本典例·高考素材........................................................................................................................................ 16
考点要求
考察形式
2025 年
2024 年
2023 年
（1）排列与组合的概
念
（2）排列数、组合数
的公式及性质
单选题
多选题
填空题
解答题
2025 年上海卷第
9 题，5 分
2024 年上海卷第10
题，5 分
2023 年甲卷（理）第9
题，5 分
2023 年乙卷（理）第7
题，5 分
2023 年全国Ⅰ卷第13
题，5 分
考情分析：从近三年的全国卷的考查情况来看，本节是高考常考内容，以考查基本概念和基本方法为主，涉及特
殊元素与特殊位置、两元索相邻或不相邻、分组、分配等问题，分值为5 分．本节内容与生活实际联系紧密，考
生可适当留意常见的排列组合现象，如体育赛事排赛、彩票规则等，培养数学应用的思维意识．
复习目标：
（1）理解排列、组合的概念．
（2）能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式．
（3）能利用排列组合解决简单的实际问题．
知识点1 排列与组合的概念
名称
定义
排列
从
个不同元素中取出
（
）个元素
按照一定的顺序排成一列，叫做
从
个元素中取出
个元素的一
个排列
组合
作为一组，叫做从
个元素中取
出
个元素的一个组合
自主检测从6 个不同的甜筒中选出4 个送给4 位同学，每人1 个，不同的送法种数是（ ）．
A．360
B．
C．24
D．
【答案】A
【详解】根据题意，从6 个不同的甜筒中选出4 个送给4 位同学相当于从6 个不同元素中选4 个进行排
列，
共有
种.
故选：A.
知识点2 排列数与组合数
（1）排列数：
从
个不同元素中取出取出
（
）个元素的所有不同排列的个数，叫做从
个元素中取出
个元素
的一个排列数，用符号
表示
（2）组合数：
从
个不同元素中取出
（
）个元素的所有不同组合的个数，叫做从
个元素中取出
个元素的一
个组合数，用符号
表示
自主检测下列选项正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】对于A，因为
，所以
，错误；
对于B，因为
，所以
，错误；
对于C，因为
，
所以
，错误；
对于D，因为
，所以
，正确.
故选：D
知识点3 排列数、组合数的公式及性质
（1）
（2）
（3）
（4）
；
自主检测若
，则
（ ）
A．5
B．6 或5
C．7
D．7 或8
【答案】B
【详解】∵
，
由组合数的性质可得
∴
或
，则
或5.
故选：B.
题型1 排列数与组合数的计数
例1-1
（ ）
A．0
B．56
C．1
D．42
【答案】A
【详解】由题意得
，
故选：A.
例1-2（多选）已知
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【详解】A 选项，由组合数性质得
，A 正确；
B 选项，由组合数计算公式得
，B 正确；
C 选项，不妨设
，则
，
显然
，C 错误；
D 选项，
，D 正确.
故选：ABD
【变式训练1-1】若
，则
的值为 ．
【答案】34
【详解】因为
，所以
或
（舍去），解得
，
所以
．
故答案为：
．
【变式训练1-2】若
，则正整数
的值为 .
【答案】5 或7
【详解】由组合数的性质
，可得
，
则
，可得
或
，
解得
或
.
故答案为：5 或7.
【变式训练1-3】若
，则
.
【答案】8
【详解】由组合数的性质，得
，
所以
，
所以
，
所以
，
故答案为：8
题型2 直接法
例2-1 甲乙丙等人站在一排，且甲不在两端，乙和丙中间恰好有两人，则不同排法共有（ ）
A．24 种
B．16 种
C．12 种
D．8 种
【答案】B
【详解】因为甲一定在乙丙之间，否则将在两端，先排乙丙有
种排法，
其次选一人在乙丙中间有
种排法，
然后乙丙中间排序有
种排法，
最后另一人选在排头排尾有
种排法，
共
种排法.
故选：B.
例2-2 用0，1，2，3，4 这5 个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有 个．
【答案】30
【详解】若个位数字为0，则百位和十位从剩余4 个数字中任选2 个排列，可得
个符合条件的偶
数，
若个位数字是2 或4，则从除0 外的其他3 个数字中选择一个作百位数字，再从剩余数字中选择一个作为
十位数字，此时共有
个符合条件的偶数，
因此一共有
个符合条件的偶数，
故答案为：30
【变式训练2-1】在全国人口普查过程中，甲、乙、丙、丁四位普查员要去A、B、C 三个小区进行数据采
集，若甲普查员不能去A 小区，且每个小区至少去一名普查员，每人只能去一个小区．则不同的安排方法
共有（ ）
A．24 种
B．36 种
C．6 种
D．12 种
【答案】A
【详解】①A 小区安排一人，有
种，
②A 小区安排两人，有
种，
所以共24 种．
故选：A
【变式训练2-2】五种不同商品在货架上排成一排，而C，D 两种不能连排，则不同的排法共有（ ）种．
A．24
B．72
C．36
D．42
【答案】B
【详解】先安排除了C，D 两种外的三种商品，共有
种方法，并形成4 个空，
再把C，D 安排到形成的4 个空中，有
种方法，
所以共有
种排法.
故选：B
【变式训练2-3】从
名同学中选择人分别去
三地调研，每个地方安排一人，其中要求
地不安排
甲同学，则安排方案共有 种．（用数字作答）
【答案】18
【详解】若甲同学不被选中，则共有
种；
若甲同学被选中，则共有
种；
所以安排方案共有18 种．
故答案为：18.
题型3 间接法
例3-1 某中学为了弘扬我国二十四节气文化，特制作出二十四节气宣传橱窗，其中雨水，惊蛰，谷
“
”
“
”
“
雨，芒种，白露，寒露
”
“
”
“
”
“
”6 块知识展板放置在排成一排的六个文化橱窗里，要求雨水和谷雨两块展
“
”
“
”
板不相邻，且白露与寒露两块展板不相邻，则不同放置方式的种数为（
“
”
“
”
）
A．144
B．240
C．336
D．456
【答案】C
【详解】根据题意，第一步，让雨水和谷雨不相邻，不同放置方式种数为
“
”
“
”
；
第二步，让雨水和谷雨不相邻且白露和寒露相邻，不同放置方式种数为
“
“
”
“
“
”
；
所以不同放置方式种数为
.
故选：C.
例3-2 从八个连续整数中任取三个数，若取出的三个数中任意两个数之差不为1，则这样的取法总数为
．
【答案】20
【详解】八个连续整数不妨设为1,2,3,4,5,6,7,8,
先任选3 个数，有
种取法，
其中三个连续数有6 种，分别为1,2,3；2,3,4；3,4,5；4,5,6；5,6,7；6,7,8；
三个数中只有两个数连续，
比如1,2，剩余第三个数需从4,5,6,7,8 中任选1 个，有5 种，
同理7,8，剩余第三个数需从1,2,3,4,5 中任选1 个，有5 种，
比如2,3，剩余第三个数需从5,6,7,8 中任选1 个，有4 种，
同理，3,4；4,5；5,6；6,7 均有4 种，
所以此时共有
种，
综上，从八个连续整数中任取三个数，若取出的三个数中任意两个数之差不为1，
共有
种选法．
故答案为：20．
【变式训练3-1】有甲、乙、丙、丁、戊5 名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，乙和丙不相
邻．则不同排列方式共有（ ）
A．12 种
B．24 种
C．48 种
D．72 种
【答案】C
【详解】先考虑甲的站位，可选中间3 个位置，不考虑乙和丙位置相邻不相邻，
此时共有
种排列方式；
然后考虑其中乙和丙位置相邻的情况，即将乙和丙看作一个元素，和丁、戊全排列，
在这3 个元素之间形成的两个位置上选一个将甲插入，
此时共有
种排列方式；
故符合题意的不同排列方式共有
（种），
故选：C
【变式训练3-2】某公司从10 名大学生中招聘4 名工作人员，甲、乙两人至少有一人入选的不同选法种数
为（ ）
A．90 种
B．140 种
C．196 种
D．256 种
【答案】B
【详解】依题意，从10 名大学生中任取4 名有
种方法，甲乙都未取到的有
种方法，
所以甲、乙两人至少有一人入选的不同选法种数为
.
故选：B
【变式训练3-3】某班级一天排六节课，上午四节，下午两节．有3 节不同的文化课、2 节不同的艺术课和
1 节体育课，要求排出一个课表．上午第一节课和下午最后一节课都是艺术课，有 种排法；上午
有艺术课，且体育课不排在上午第一节，有 种排法．
【答案】 48 564
【详解】若上午第一节课和下午最后一节课都是艺术课，
则有
种排法；
若上午有艺术课，且体育课不排在上午第一节，则有：
1.若上午第一节为艺术课，则有
种排法；
2.若上午第一节不为艺术课，则有
种排法；
综上所述：共有
种排法；
故答案为：48；564.
题型4 捆绑法与插空法
例4-1 将4 辆车停放到5 个并排车位上，由于甲车的车体较宽，停放时需要占两个车位，并且乙车与甲车
相邻停放，则不同的停放方法种数为（ ）
A．6
B．12
C．18
D．24
【答案】B
【详解】因为客车甲占两个车位且乙车与客车甲相邻停放，
所以将乙车与客车甲捆绑，看成一个车有
种排法，与余下的两辆车全排有
种排法，
所以共有
种不同的停放方法.
故选：B.
例4-2 两名老师和甲、乙等五名学生站成一排，要求甲不站最左边，两名老师相邻，且乙和老师不相邻，
则不同的排法共有（ ）
A．774 种
B．796 种
C．816 种
D．834 种
【答案】C
【详解】不考虑甲的排列限制，先不排乙和两名老师，其他人任意排列有
种排法，
再将两名老师（捆绑在一起）和乙插入五个空隙中，有
种排法，即此时排法有
种，
而甲站最左边的排法有
种，
故符合条件的排法共有
种，
故选：C．
【变式训练4-1】6 名同学排成一排照相，则其中甲、乙不相邻的不同排法种数为（ ）
A．240
B．480
C．960
D．1920
【答案】B
【详解】先对除甲、乙之外的四个人全排
种排法，再将甲、乙插空：
,根据分步计数原理得：
种排法，
故选：B
【变式训练4-2】据典籍《周礼·春官》记载， 宫、商、角、徵、羽这五音是中国古乐的基本音阶，成语
“
”
五音不全就是指此五音
“
”
.若把这五个音阶全部用上，排成一个五音阶音序，则徵和羽之间恰好有一个
“
”
“
”
音阶的排法种数为 种.(用数字作答)
【答案】
【详解】先从剩下3 个音符中选一个插入徵和羽之间，有
“
”
“
”
种情况.
再将这3 个音符作为整体与剩下2 个音符排成1 列，有
种情况.
故答案为：
【变式训练4-3】某校的5 名团员利用周日到市养老院参加义务劳动．已知5 名团员中有3 位女生，2 位男
生，活动结束后5 名团员站成一排拍照留念，若两名男生之间有女生，则排法总数有 种．（用数字
作答）
【答案】
【详解】根据题意，先将三名女生全排列，有
种不同的排法，
从三名女生的4 个空隙中，选择2 个插入男生，有
种不同的排法，
由分步计数原理得，共有
种不同的排法.
故答案为：
.
题型5 分组与分配问题
例5-1 为了提升数学素养，甲、乙、丙等五名同学打算选修学校开设的数学拓展课程，现有几何画板、数
学与生活、趣味数学、数独四门课程可供选修，每名同学均需选修且只能选修其中一门课程，每门课程至
少有一名同学选修，则甲不选修几何画板，且数独只能由乙和丙中一人或两人选修的情况的种数为（ ）
A．48
B．50
C．52
D．54
【答案】C
【详解】若数独只有1 人报名，从乙和丙中选1 人，有
种情况，
若选修几何画板只有1 人，从剩余4 人中除甲以外的3 人中任选1 人，有
种情况，
最后将剩余3 人分为两组，再分配给另外两门课程，此时不同的选择情况种数为
种；
若选修几何画板有2 人，从剩余4 人中除甲以外的3 人中任选2 人，有
种情况，
剩余2 人选修剩余2 门课程，此时不同的选择情况种数为
种；
根据分类加法计数原理和分步乘法计数原理，数独只有1 人报名的选择情况种数为：
种；
若数独有2 人报名（乙和丙），有1 种情况，
若选修几何画板只有1 人，从剩余3 人中除甲以外的2 人中任选1 人，有
种情况，
剩余2 人报名剩余2 门课程，此时不同的选择方法种数为
种，
根据分步乘法计数原理，数独有2 人报名的选择情况种数为：
种.
综上，根据分步加法计数原理，甲不选修几何画板，且数独只能由乙和丙中一人或两人选修的情况的种数
为
种.
故选：C.
例5-2 六本不相同的书发给4 个人，每人至少一本，且书全部分完，则所有不同的分配方法种数为 .
【答案】1560
【详解】若书本数按2，2，1，1 分发，则有
种不同的分配方法；
若书本数按3，1，1，1 分发，则有
种不同的分配方法.
故共有1560 种不同的分配方法.
故答案为：1560.
【变式训练5-1】某市派4 名专家到西部某市2 家医院坐诊，每家医院至少派1 名专家，且每名专家只去1
家医院，则不同的分配方案种数为（ ）
A．20
B．18
C．16
D．14
【答案】D
【详解】先分组，再分配，
分组有2 种情况：
一个医院
①
1 人，一个医院3 人，此时有
种，
两个医院各
②
2 人，此时有
种，
将分好的组分配到两个不同的医院，有2 种情况，
故不同的分配方案有
种，
故选：D
【变式训练5-2】将6 名志愿者安排到4 个不同的社区进行创文共建活动，要求每个社区至少安排1 名志愿
者，每名志愿者只能到一个社区，则不同排法共有（ ）
A．480 种
B．1560 种
C．2640 种
D．640 种
【答案】B
【详解】首先将6 名志愿者分成1，1，1，3，或1，1，2，2 两种分组形式，
1，1，1，3 的分组包含
种情况，
1，1，2，2 的分组包含
种情况，
这样分组后再分配到4 个不同社区共有
种方法.
故选：B
【变式训练5-3】近期，哈尔滨这座冰城火了，
“
”
2024 年元旦假期三天接待游客300 多万人次，神秘的鄂
伦春族再次走进世人的眼帘，这些英雄的后代讲述着英雄的故事，让哈尔滨大放异彩．现安排6 名鄂伦春
小伙去三个不同的景点宣传鄂伦春族的民俗文化，每个景点至少安排1 人，则不同的安排方法种数是
．
【答案】540
【详解】若三个景点安排的人数之比为
，则有
种安排方法；
若三个景点安排的人数之比为
，则有
种安排方法；
若三个景点安排的人数之比为
，则有
种安排方法，
故不同的安排方法种数是
．
故答案为：540.
【变式训练5-4】《数术记遗》记述了我国古代十余种算法.甲、乙、丙三人拟收集该书中运筹算、九宫
算、了知算、成数算和把头算等5 种算法的相关资料，要求每人至少收集其中一种，且每种算法只由一个
人收集，则不同的分工收集方案有 种.
【答案】150
【详解】5 种算法按1，1，3 或1，2，2 分成三组的方法数为：
，
再安排给3 人，总方法数为
，
故答案为：150.
题型6 定序问题
例6-1 现有12 件商品摆放在货架上，摆成上层4 件下层8 件，现要从下层8 件中取3 件调整到上层，若其
他商品的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是（ ）
A．8400
B．11760
C．13440
D．20160
【答案】B
【详解】首先从下层八个商品中抽取三个，共有
种结果，
再将其放入上层时，由于上层原有商品保持相对顺序不变，可以使用定序问题中的缩倍法，共有
种结果，
因此根据计数原理可知共有
种结果.
故选：B
例6-2 重庆外国语学校第34 届外语节于2025 年5 月22 日举行，高二某班6 名同学参加节目表演，表演完
后老师为这6 名同学合影留念.合影时4 人先到2 人后到，为节约时间，先到的4 人排好队，后来的2 人加
入并保持排好队同学的相对顺序不变，这两名同学共有多少种加入方法（ ）
A．10
B．20
C．60
D．30
【答案】D
【详解】6 人全排有
中排序方法，
所以先到的4 人相对顺序不变下两名同学共有
种加入方法.
故选：D
【变式训练6-1】2025 年4 月23 日是第三十个世界读书日．将2，0，2，5，4，2，3 这些数字排成一排组
成一个七位数，则不同的七位数有（ ）个．
A．480
B．600
C．720
D．840
【答案】C
【详解】数字：2，0，2，5，4，2，3 中数字2 出现了3 次，则7 个数字的所有排列情况有
种，
当首位为0 时，剩下6 个数字：2，2，5，4，2，3 出现了3 次，排列的情况有
种，
所以不同的7 位数有
个.
故选：C.
【变式训练6-2】高二（1）班5 位同学排成一排准备照相时，又来了2 位同学要加入，若保持原来5 位同
学的相对顺序不变，则不同的加入方法种数为（ ）
A．42
B．30
C．21
D．15
【答案】A
【详解】7 位同学排成一排照相，共有
种排法，原来5 位同学的排列方法有
种，
所以保持原来5 位同学的相对顺序不变的排法种数为
.
故选：A
【变式训练6-3】某班10 名同学一起参加数学竞赛，赛后老师为这10 名同学拍合影留念，前排站4 人后排
站6 人，后来老师决定从后排6 人中抽出两名同学站到前排，其他同学的相对顺序不变，则共有多少种调
整方法（ ）
A．150
B．300
C．900
D．450
【答案】D
【详解】首先从后排的6 人中选出2 人，有
种结果，
然后与前排4 人排列，有
种排法，
因为同学的相对顺序不变，则前排4 人不要再排，
所以共有
种调整方法.
故选：D.
题型7 相同元素分配问题
例7-120 个不加区别的小球放入编号为1、2、3 的三个盒子中，要求每个盒内的球数不小于它的编号数，
则不同的放法种数共有（ ）
A．120
B．240
C．300
D．360
【答案】A
【详解】先往2 号，3 号盒内分别放入1 个球和2 个球，此时每个盒子至少还需放入1 个球，
将剩下的17 个球排成一排，有16 个空隙，插入2 块隔板分为三堆放入三个盒中即可，
共有
（种）方法．
故选：A
例7-2 方程
的正整数解的不同组数为 ．（用数字作答）
【答案】
【详解】由题意，问题可看作求12 个小球分成3 组，且每组至少有一个小球的分法数，
根据隔板法，共有
种.
故答案为：
【变式训练7-1】现有9 个三好学生的名额分给甲、乙、丙、丁4 个班级，若每个班级至少1 个名额，则不
同的分配方法有（ ）
A．504 种
B．126 种
C．84 种
D．56 种
【答案】D
【详解】根据隔板法，9 个名额，分给四个班级，每个班级至少1 个名额，则有
种.
故选：D
【变式训练7-2】已知方程
，若x，y，z 均为正整数，则称
为该方程的正整数解.则方
程
共有（ ）个正整数解.
A．171
B．190
C．342
D．380
【答案】A
【详解】因为x，y，z 均为正整数，
所以方程
正整数解的个数问题可以转化为：将
个相同的物品分成组，每组至少一个，有
多少种不同的分法.
利用隔板法可得：不同的分法有
种.
故选：A
【变式训练7-3】某校庆典活动开场舞安排高中三个年级的16 名学生共同完成，要求每个年级至少安排1
名学生，则名额的分配方案共有（ ）
A．105 种
B．455 种
C．120 种
D．560 种
【答案】A
【详解】取16 个元素排成一排，在相邻的每两个元素形成的15 个间隙中选取2 个插入隔板，
这样就把16 个元素分成3 个区间，这3 个区间的元素个数分别对应这3 个年级的学生名额，
则名额的分配方案的种数与隔板插入方法的种数相等．
因为隔板插入方法共有
种，所以名额的分配方案共有105 种．
故选：A.
1．（2023·全国甲卷·高考真题）现有5 名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，
每天从这5 人中安排2 人参加公益活动，则恰有1 人在这两天都参加的不同安排方式共有（ ）
A．120
B．60
C．30
D．20
【答案】B
【详解】不妨记五名志愿者为
，
假设
连续参加了两天公益活动，再从剩余的4 人抽取2 人各参加星期六与星期天的公益活动，共有
种方法，
同理：
连续参加了两天公益活动，也各有
种方法，
所以恰有1 人连续参加了两天公益活动的选择种数有
种.
故选：B.
2．（2023·全国乙卷·高考真题）甲乙两位同学从6 种课外读物中各自选读2 种，则这两人选读的课外读物
中恰有1 种相同的选法共有（ ）
A．30 种
B．60 种
C．120 种
D．240 种
【答案】C
【详解】首先确定相同得读物，共有
种情况，
然后两人各自的另外一种读物相当于在剩余的5 种读物里，选出两种进行排列，共有
种，
根据分步乘法公式则共有
种，
故选：C.
3．（2024·上海·高考真题）设集合
中的元素皆为无重复数字的三位正整数，且元素中任意两个不同元素
之积皆为偶数，求集合中元素个数的最大值 ．
【答案】329
【详解】由题意知集合中且至多只有一个奇数，其余均是偶数．
首先讨论三位数中的偶数，
当个位为
①
0 时，则百位和十位在剩余的9 个数字中选择两个进行排列，则这样的偶数有
个；
当个位不为
②
0 时，则个位有
个数字可选，百位有
个数字可选，十位有
个数字可选，
根据分步乘法这样的偶数共有
，
最后再加上单独的奇数，所以集合中元素个数的最大值为
个．
故答案为：329．
4．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）某学校开设了4 门体育类选修课和4 门艺术类选修课，学生需从这8 门
课中选修2 门或3 门课，并且每类选修课至少选修1 门，则不同的选课方案共有 种（用数字作
答）．
【答案】64
【详解】（1）当从8 门课中选修2 门，则不同的选课方案共有
种；
（2）当从8 门课中选修3 门，
若体育类选修课
①
1 门，则不同的选课方案共有
种；
若体育类选修课
②
2 门，则不同的选课方案共有
种；
综上所述：不同的选课方案共有
种.
故答案为：64.
1．如图，现要用5 种不同的颜色对某市的4 个区县地图进行着色，要求有公共边的两个地区不能用同一种
颜色，共有几种不同的着色方法？（ ）
A．120
B．180
C．221
D．300
【答案】B
【详解】当Ⅰ，
同色时，则Ⅰ有
Ⅳ
种涂色方法，
有
Ⅱ
种涂色方法，
有
Ⅲ
种涂色方法，此时共有
种涂色方法；
Ⅰ，
不同色时，则Ⅰ有
Ⅳ
种涂色方法，
有
Ⅳ
种涂色方法，
有
Ⅱ
种涂色方法，
有
Ⅲ
种涂色方法，此时共有
种涂色方法，
综上共有
种不同的着色方法.
故选：B.
2．填空题.
（1）有3 张参观券，要在5 人中确定3 人去参观，不同方法的种数是 ；
（2）要从5 件不同的礼物中选出3 件分别送3 位同学，不同方法的种数是 ；
（3）5 名工人各自在3 天中选择1 天休息，不同方法的种数是 ；
（4）集合A 有m 个元素，集合B 有n 个元素，从两个集合中各取1 个元素，不同方法的种数是 .
【答案】 10 60
【详解】（1）5 人中确定3 人去参观，由组合的定义知，共有
种.
（2）从5 件不同的礼物中选出3 件分别送3 位同学，由排列定义知，共有
种.
（3） 每一个工人都有3 种选择方法，故5 名工人不同方法的种数有种.
（4）从集合A 的m 个元素取1 个元素，有m 种，从集合B 的n 个元素取1 个元素，有n 种，根据分步计
数原理，可知两个集合中各取1 个元素，一共有
种．
故答案为：10；60；；
3．一名同学有4 本不同的数学书，5 本不同的物理书，3 本不同的化学书，现要将这些书放在一个单层的
书架上.
（1）如果要选其中的6 本书放在书架上，那么有多少种不同的放法？
（2）如果要将全部的书放在书架上，且不使同类的书分开，那么有多少种不同的放法？
【答案】（1）
（2）
【详解】（1）根据题意，共有
本书，所以从中选出6 本放在书架上，
共有
种选法；
（2）根据题意，将全部的书放在书架上，且不使同类的书分开，
则数学书有
种放法，物理书有
种放法，化学书有
种放法，
3 种书共有
种排法，
共有
种放法．
4．（1）空间中有8 个点，其中任何4 个点不共面，过每3 个点作一个平面，可以作多少个平面？
（2）空间中有10 个点，其中任何4 个点不共面，过每4 个点为顶点作一个四面体，可以作多少个四面
体？
【答案】（1）
；（2）
.
【详解】（1）根据三个不共线的点确定一个平面，且所确定的平面与点的顺序无关，
“
”
所以共可确定的平面个数是
个；
（2）根据四个不共面的点确定一个四面体，且所确定的四面体与点的顺序无关，
“
”
所以共可确定的四面体个数是：
个.
5．在一次考试的选做题部分，要求在第1 题的4 个小题中选做3 个小题，在第2 题的3 个小题中选做2 个
小题，在第3 题的2 个小题中选做1 个小题，有多少种不同的选法.
【答案】
种.
【详解】第一步选做第1 题：选法有
种，
第二步选做第2 题：选法有
种，
第三步选做第3 题：选法有
种，
所以一共有：
种选法.
6．从5 名男生和4 名女生中选出4 人去参加一项创新大赛.
（1）如果4 人中男生女生各选2 人，那么有多少种选法？
（2）如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，那么有多少种选法？
（3）如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1 人在内，那么有多少种选法？
（4）如果4 人中必须既有男生又有女生，那么有多少种选法？
【答案】（1）60；（2）21；（3）91；（4）120
【详解】（1）如果4 人中男生女生各选2 人，有
种选法；
（2）如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，则在剩下的7 人中任选2 人，有
种选法；
（3）如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1 人在内，包含两种情况，第一种甲和乙都在内的选法有
种，第二种情况，甲乙选1 人，有
种选法，
则如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1 人在内，共有
种选法；
（4）如果4 人中必须既有男生又有女生，先从所有9 人中选4 人，去掉只有男生和只有女生的情况，故有
种选法.
7．从含有3 件次品的100 件产品中，任意抽取5 件进行检验.
（1）抽出的产品都是合格品的抽法有多少种？
（2）抽出的产品中恰好有2 件是次品的抽法有多少种？
（3）抽出的产品中至少有2 件是次品的抽法有多少种？
（4）抽出的产品中至多有2 件是次品的抽法有多少种？
【答案】（1）
；（2）
；（3）
；（4）
【详解】（1）100 件产品中有97 件合格品，则抽出的产品都是合格品的抽法有
种；
（2）抽出的产品中恰好有2 件是次品的抽法有
种；
（3）抽出的产品中至少有2 件是次品的抽法有
种；
（4）抽出的产品中至多有2 件是次品的抽法有
种.
