文档文本内容
知识解构
知识点1 平面向量的基本定理 知识点2 平面向量的坐标运算
知识点3 平面向量共线的坐标表示
题型破译 (含超链接）
题型
1 基底的概念及辨析
【方法技巧】判断所给的两个向量能否作为一组基的方法
题型
2 用基底表示向量
题型
3 利用平面向量基本定理求参数
题型
4 平面向量线性运算的坐标表示
题型
5
向量共线的坐标表示及应用
【方法技巧】判断向量共线的方法及应用
题型
6 利用坐标求向量模的问题
题型
7 平面向量线性运算的综合应用
第02 讲 平面向量基本定理及坐标表示
内容导航
命题透视·考情前瞻
——
素养，研判高考命
对标
题趋势
01
命题透视·考情前瞻
素养，研判高考命
对标
题趋势
02
思维建模·脉络梳理
搭建知
框架，构建系
思
识
统
维
03
知识精讲·靶向突破
拆解核心知
，
型技巧
识归纳题
04
真题溯源·考向感知
溯源真
，感知高考考向
题逻辑
05
课本典例·高考素材
立足
本典例，挖掘高考素材
课
核心考点
2026 年
2025 年
2024 年
平面向量的基本定理
全国Ⅰ卷T2（5 分）
平面向量线性运算的
坐标表
全国一卷，T6（5 分）
全国二卷，T12（5 分）
由向量共线(平行)的
坐标表示求参数
全国甲卷，T12（5 分）
考情分析
平面向量基本定理与坐标表示，核心考查向量分解、坐标运算、共线判定及线性
关系转化，常结合几何图形综合命题；是选择填空题常规高频考点，考查稳定、
近三年考情分析，平面向量基本定理及坐标表示以小题为主，侧重基底拆分、坐
标参数计算，融合几何场景考查转化推理能力。
复习目标
（1）会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题；
（2）会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算；能将向量的几何运算和代数运
算灵活地结合起来，解决一些平面向量的计算问题；
（3）理解用坐标表示的平面向量共线的条件，并能正确地进行有关应用．
思维建模·脉络梳理
——搭建知
框架，构建系
思
识
统
维
知识精讲·靶向突破
——拆解核心知
，
型技巧
识归纳题
知●识●解●构
知识点1 平面向量的基本定理
（1）定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有
一对实数λ1，λ2，使a ＝
λ 1e1＋
λ 2e2.
（2）基底：若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底．
自主检测设
，
是平面内两个不共线的向量，则下列向量组中不能作为基底的是（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】D
【详解】对于A，设
，可得
，此时方程组无解，
所以
与
不共线，所以
与
能作为基底，所以A 不符合题意；
对于B，设
，显然不存在实数
使得成立，
所以
与
不共线，所以
与
能作为基底，所以B 不符合题意；
对于C，设
，可得
，此时方程组无解，
所以
与
不共线，所以
与
能作为基底，所以C 不符合题意；
对于D，
，可得
，解得
，即
，
所以
与
共线，所以
与
不能作为基底，所以D 符合题意.
知识点2 平面向量的坐标运算
（1）向量加法、减法、数乘运算及向量的模
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
a＋b＝( x 1＋
x 2， y 1＋
y 2)，a－b＝( x 1－
x 2， y 1－
y 2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝.
（2）向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．
②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB＝(x2－x1，y2－y1)，|AB|＝.
自主检测若向量
，
，则
的坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】由
，
，则
.
故选：A.
知识点3 平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b⇔x1y2－
x 2y1＝
0 .
必记结论
1．若a 与b 不共
，且
线
λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0.
2．已知P
段
为线
AB 的中点，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，
点
则
P 的坐标为.
3．已知△ABC 的重心为G，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，
点
则
G 的坐标为.
【谨防三个易误点】
（1））基底{e1，e2}必须是同一平面内的两个不共线向量.因为零向量平行于任意向量，所以不能作为基底
中的向量.
（2）a∥b 的充要条件不能表示为x1
x2
= y1
y2
，因为x2，y2有可能为0.
(3)向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系.两个相等的向量，无论起点在什么
位置，它们的坐标都是相同的.
自主检测（1）已知向量
，
，若
，则y 的值为（ ）
A．
B．
C．2
D．
【答案】D
【详解】由
，则
，解得
.
故选：D.
（2）（2026·湖北荆州·一模）已知向量
，
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】充分性分析：
，
，
，
，
，故充分性成立；
必要性分析：
，
，
，
，
，
，
，故必
要性不成立.故“
”是“
”的充分不必要条件.
故选：A.
题●型●破●译
题型1 基底的概念及辨析
例1-1（多选）已知
，
是平面内两个不共线的向量，则下列各组向量中，能作为该平面一组基底的有
（ ）
A．
和
B．
和
C．
和
D．
和
【答案】ABC
【分析】平面内两个向量能作为一组基底的充要条件是两向量不共线，结合已知
，
不共线，通过反证
法判断各组向量是否共线即可。
【详解】对于A：假设
和
共线，则存在实数
满足
，整理得
，与
，
不
共线矛盾，故两向量不共线，可作为基底。
对于B：假设
和
共线，则存在实数
满足
，整理得
，
由
，
不共线可得
，方程组无解，故两向量不共线，可作为基底。
对于C：假设
和
共线，则存在实数
满足
，整理得
，
由
，
不共线可得
，方程组无解，故两向量不共线，可作为基底。
对于D：显然
，两向量共线，不能作为基底。
故选：ABC.
例1-2 若
是平面内的一个基底，则下列四组向量中不能作平面向量的基底的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据基底满足的条件逐一分析判断即可.
【详解】对于A，设存在唯一的实数
使
，
则
，此方程无解，故
能作为平面向量的基底，故A 不符合题意；
对于B，设存在唯一的实数
使
，
则
，此方程无解，故
能作为平面向量的基底，故B 不符合题意；
对于C，由
，所以
与
共线，
故
不能作为平面向量的基底，故C 符合题意；
对于B，设存在唯一的实数
使
，
则
，此方程无解，故
能作为平面向量的基底，故D 不符合题意.
故选：C.
方法技巧 判断所给的两个向量能否作为一组基的方法
由基的定义可知，要判断两个向量a，b 能否作为一组基，只需判断两向量是否共线，而判断向量是
否共线就要看是否存在λ∈R，使a＝λb 成立．另外，作为基的向量必为非零向量
【变式训练1-1】（多选）在下列各组向量中，不可以作为基底的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【分析】通过向量是否共线，逐项判断即可；
【详解】对于A，易知
，共线，所以不可以；
对于B，由
，所以不共线，可以；
对于C，易知
，共线，不可以；
对于D，易知
，共线不可以；
故选：ACD
【变式训练1-2】若
是平面内一组不共线的非零向量，则下列也可以作为一组基底向量的为（ ）
①
和
②
和
③
和
④
和
A．①②
B．②③
C．③④
D．①④
【答案】B
【详解】对于①中，由
和
，可得
，
所以
和
是共线向量，不能作为一组基底向量；
对于②中，设
，可得
，方程组无解，
所以
和
不共线，可以作为一组基底向量；
对于③中，设
，可得
，方程组无解，
所以
和
不共线，可以作为一组基底向量；
对于④中，设
，可得
，解得
所以
和
是共线向量，不能作为一组基底向量.
故选：B.
题型2 用基底表示向量
例2-1
中，若
，
，
，则向量
可用
，
表示为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】在
中，
，则
.又因为
，所以
.
故选：A
例2-2 在平行四边形
中，
，
，若
为线段
上靠近
的三等分点，
交
于
，
则
.（用
，
表示）
【答案】
【分析】由
得到
，结合图形，由平面向量的线性运算可得结果.
【详解】由
为线段
上靠近
的三等分点，则
，
由题意，易得
，所以
，
故有
，
所以
.
故答案为：
.
【变式训练2-1·变载体】已知点
为
的重心（
三条中线的交点），记
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用向量的中线公式、重心的性质及向量的线性运算，即可求解.
【详解】取
的中点为
，连接
，如下图所示：
因为
是
的重心，所以
.
故选：B.
【变式训练2-2】若点O 是平行四边形
两条对角线的交点，
，则向量
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由向量的线性运算即可求解.
【详解】
．
故选：B．
【变式训练2-3】在平行四边形ABCD 中，
，
，记
，
，则
（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据已知及向量加减、数乘的几何意义用
，
表示出
.
【详解】由题设
，其中
，
故
．
故选：B
【变式训练2-4·变载体】（2026 高三·全国·专题练习）如图，已知
中，点
是以
为中点的点
的
对称点，
是将
分为
的一个内分点，
和
交于点
，设
，
．
（1））用
和
表示向量
、
；
（2）若
，求实数
的值．
【答案】（1））
，
．
（2）
【分析】（1）根据向量的三角形法则，结合向量的基本定理即可用
和
表示
、
；
（2）根据向量关系的条件建立方程关系，即可求出实数
的值．
【详解】（1）由题意知，
是
的中点，
，
由平行四边形法则，得
，
，
；
（2）
，
，
由
、
、
三点共线，则
，解得
．
题型3 利用平面向量基本定理求参数
例3-1 在
中，
是
边上靠近点
的三等分点，
是
的中点，若
，则
（ ）
A．0
B．
C．
D．1
【答案】C
【分析】选一组基底
，利用平面向量基本定理即可求解.
【详解】
因为
是
边上靠近点
的三等分点，
是
的中点，
所以
，
所以
，
因为
，
不共线，所以
.
故选：C.
例3-2 如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点
为
的重心，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据已知条件得出向量之间的关系，再通过向量的运算法则逐步推导出
关于
和
的表达
式，从而确定
和
的值，最后计算
.
【详解】如图，延长AG 与BO 相交于点
，可得
为OB 的中点，可得
，
由
，有
，有
，
又由
，有
，可得
.
故选：A.
例3-3【新思维】（2026 高三·全国·专题练习）已知点M 为
中
边上的中点，点N 满足
，过点N 的直线与
分别交于P，Q 两点，且设
，则
的值为
（ ）
A．5
B．6
C．9
D．10
【答案】D
【分析】利用平面向量基本定理可把
用
表示出来，再由平面向量共线定理的推论即可得出答案.
【详解】根据题意，得
，
三点共线，
，即
.
故选：D.
【变式训练3-1·变载体】（2026·黑龙江齐齐哈尔·一模）已知点
是
的重心，若
，
则
（ ）
A．-1
B．
C．0
D．1
【答案】C
【详解】
设
是
的中点，则
.所以
.
因为
，所以
，因此
.
故选：C.
【变式训练3-2·变载体】在
中，
，点
为
与
的交点，
，则
（ ）
A．0
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用平面向量基本定理得到
，
，从而列出方程组，
求出
，得到
，求出答案.
【详解】因为
，所以
为
中点，
三点共线，故可设
，即
，
整理得
，
因为
，所以
，即
，又
三点共线，
则
，所以
，解得
，
可得
，则
，
.
故选：D.
【变式训练3-3·变载体】在
中，点
是
边的中点，点
是
的中点，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用平面向量的线性运算可得出
关于
、
的表达式，结合平面向量基本定理求出
、
的值，即可得解.
【详解】如下图所示：
因为
为
的中点，所以
，因为
为
的中点，所以
，
所以
，因为
、
不共线，且
，
所以
，
，故
.
故选：B.
【变式训练3-4】在平行四边形
中，
，
交
于点
，若
，则
.
【答案】
/
【分析】由三角形相似推出
，利用平面向量基本定理将
用
线性表示，对照系数即得.
【详解】如图，
中，
，则
与
相似，
因
，则
，故
，即
，故
.
故答案为：
.
题型4 平面向量线性运算的坐标表示
例4-1 已知
，若
，则等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】由题意得
，因为
，所以
⇒
故
.
故选：A.
例4-2 已知
，
，
三点的坐标分别为
，
，
，且点
满足
.
（1）求点
的坐标；
（2）若点
满足
，判断向量
与向量
是否共线，并证明你的结论.
【答案】（1））
（2）共线，证明见解析
【分析】（1）设出点
的坐标，再利用向量的坐标运算即可求解；
（2）利用向量共线定理即可证明.
【详解】（1）设
，因为
，
，则
，
，
因为
，所以
，即
，解得
，所以
；
（2）向量
与向量
共线，证明如下：
设
，因为
，
，所以
，
，因为
，
则
，即
，解得
，所以
，
所以
，
，所以
，故
与
共线.
【变式训练4-1】已知点
，点
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用向量的坐标表示求解.
【详解】点
，点
，则
.
故选：B
【变式训练4-2】（25-26 高三上·黑龙江牡丹江·期中）
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由向量线性运算的坐标表示即可求解.
【详解】因为
，则
，则
【变式训练4-3】如果用，
分别表示x 轴和y 轴正方向上的单位向量，且
，
，若
，则
（ ）
A．
B．1
C．5
D．
【答案】B
【分析】利用向量的坐标表示求解即得.
【详解】由
，
，得
，由
，得
，
因此
，所以
.
故选：B
【变式训练4-4】与向量
平行的单位向量是（ ）
A．
B．
C．
或
D．
或
【答案】D
【分析】与向量
平行的单位向量是
，即可求解．
【详解】因为与向量
平行的单位向量是
，
，
所以所求单位向量为
，即
或
故选：D
【变式训练4-5】（25-26 高三上·四川绵阳·期中）已知点
，点
在线段
的延长线上，且
，则点
的坐标为______.
【答案】
【分析】设点
的坐标为
，依题意可得
，即可得到方程组，解得即可.
【详解】点
，点
在线段
的延长线上，且
，
设点
的坐标为
，则
，
，且
，
即
，解得
，
所以点
的坐标为
．
题型5 向量共线的坐标表示及应用
例5-1（2026·辽宁辽阳·阶段检测）已知向量
，
，
.若
、
、
三点共线，
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】因为向量
，
，
，所以，
，
因为
、
、
三点共线，则
，所以，
，解得
.
故选：C.
例5-2（2026·湖南长沙·阶段检测）已知向量
，且
，则实数
（ ）
A．
B．
C．2
D．4
【答案】B
【分析】由题意结合向量平行坐标表示可得答案.
【详解】因为
，所以
，又
，
所以
，所以
．
故选：B．
例5-3（25-26 高三上·宁夏石嘴山·期中）如图所示，已知直角梯形
，
，
，过点
作
于点
，
为
的中点，建立恰当的坐标系用向量的方法证明：
（1）
；
（2）
三点共线．
【答案】（1））证明见解析
（2）证明见解析
【分析】（1）以
为原点建立平面直角坐标系，先求出
各点坐标，再写出向量
与
的坐
标，验证它们满足线性倍数关系（即存在实数
使
），且无公共点，即可证两直线平行。
（2）在同一坐标系中，写出向量
与
的坐标，验证它们满足线性倍数关系（即存在实数
使
），且两向量有公共点
，即可证三点共线．
【详解】（1）
如图，以
为原点，
所在直线为
轴，
所在直线为
轴，建立平面直角坐标系，
已知
，则
，
，
，
，
，
，
，
，所以
，即
与
共线，
又因为
与
无公共点，所以
；
（2）由（1）得
，
，
所以
，即
与
共线，
又因为
与
有公共点
，所以
三点共线．
方法技巧 判断向量共线的方法及应用
（1）判断两个向量共线的方法：一般是利用向量的坐标运算求出需要判断的向量的坐标，并根据两个向
量平行的坐标来判断，即先求出
，
，若
，则
．
（2）由向量共线求参数的值
已知两个向量共线求参数时，参数一般设置在两个位置：一是向量坐标本身含参，二是将相关向量用已知
两个向量的含参关系表示，解题时应根据题目特点选择向量共线的坐标表示的两种形式，建立有关参数的
方程或方程组求解．
【变式训练5-1】已知
，且
，则
的坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据题意，利用共线向量的坐标表示，求得
，结合向量的坐标运算，即可求解.
【详解】由向量
，因为
，可得
，解得
，
即
，所以
.
故选：A.
【变式训练5-2·变设问（2026·江西·一模）已知向量
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】由向量
，因为
，可得
，解得
，
所以
，则
，所以
．
故选：A.
【变式训练5-3·变考法】（2026·湖北荆州·一模）已知向量
，
，则“
”是“
”
的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】充分性分析：
，
，
，
，
，故充分性成立；
必要性分析：
，
，
，
，
，
，
，故必
要性不成立.故“
”是“
”的充分不必要条件.
故选：A.
【变式训练5-4】已知向量
，
，
，若
与平行，则实数
.
【答案】
【分析】由题意
，结合向量平行的充要条件列方程即可求解.
【详解】由题意
，若
与平行，则
，解得
.
故答案为：1.
【变式训练5-5·变载体】已知向量
，若
，则
【答案】
/0.28
【分析】由向量共线关系得出方程，求解
，再由余弦二倍角求得结果.
【详解】由
，可得
，即
，
，解得：
或
（舍），
．
故答案为：
.
题型6 利用坐标求向量模的问题
例6-1（2026·浙江绍兴·模拟预测）已知
，若
，则
（ ）
A．1
B．2
C．
D．3
【答案】C
【详解】因
，故
，故
，所以
，故
．
故选：C.
例6-2 已知平行四边形
中，
．则对角线
的长为（ ）
A．
B．
C．
D．3
【答案】A
【详解】设
，由
，得
所以
,解得
所以
点坐标为
. 所以
.
故选：A.
【变式训练6-1】（2026·广东佛山·二模）设向量
，
，则
（ ）
A．5
B．8
C．15
D．17
【答案】D
【详解】
，所以
.
故选：D.
【变式训练6-2·原创题】（25-26 高三上·黑龙江哈尔滨·期中）已知向量
与向量
的方向相反，
，点
坐标为
，则点
坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】求出
后，可得向量
，再结合点
坐标即可得点
坐标.
【详解】由
，则
，由向量
与向量
的方向相反，且
，
故
，由点
坐标为
，则点
坐标为
.
故选：A.
【变式训练6-3 变考法】（25-26 高三上·北京丰台·期中）已知平面向量
，
.
（1））若
，求实数
的值；
（2）设
，若
三点共线，求m 的值.
【答案】（1））
或
（2）
【分析】（1）根据平面向量的坐标表示和几何意义建立关于
的方程，解之即可；
（2）法一：易知
，根据平面平行向量的坐标表示建立关于
的方程，解之即可；
法二：易知存在实数使得
，利用向量的坐标运算和相等向量的概念建立关于
的方
程组，解之即可.
【详解】（1）因为
，
，所以
，
因为
，所以
，整理得
，解得
或
.
（2）法一：因为A，B，C 三点共线，
所以
，因为
，
，
所以
，所以
.
法二：因为A，B，C 三点共线，所以存在实数，使得
，
即
，所以
即
.
题型7 平面向量线性运算的综合应用
例7-1（2026·陕西咸阳·模拟预测）向量
，
，
，
，则
（ ）
A．
B．2
C．
D．
【答案】B
【详解】因为
，
，则
，且
，所以
．
故选：B.
例7-2【新思维】在△ABC 中，已知
与
的夹角是90°，
，
，M 是BC 上的一点，且
，且
，则
的值为________．
【答案】
/
【分析】以
为原点建系，设
，根据条件即可得出
之间的关系，化简即可.
【详解】根据题意，建立如图所示的平面直角坐标系，
则
，所以
，
设
，则
，所以
，即
，
又
，则
，则
，所以
.
故答案为：
【变式训练7-1·变载体】（2026·陕西榆林·模拟预测）如图，在四边形
中，
，
，
，且
，则
___________．
【答案】
【分析】建系标出点的坐标，根据向量的坐标运算可得
，
，结合模长
关系运算求解即可.
【详解】因为
，则
，
以
为坐标原点，
所在直线为
轴，过点
且垂直于
的直线为
轴，建立如图所示的平面直角坐标
系，
则
，可得
，则
，
可得
，
，
又因为
，且
，则
，整理得
，
即
，所以
．
【变式训练7-2·原创题】设向量
其中
为坐标原点，
，
若
三点共线， 则
的最小值为 .
【答案】
【分析】由向量共线的坐标表示可得
，再应用基本不等式及“1”的代换求目标式的最小值.
【详解】由
，
由
三点共线，且
，
所以
，
则
，
当且仅当
时取等.
故答案为：6
【变式训练7-3·变载体】（25-26 高三上·江苏淮安·阶段检测）如图，在边长为2 的正方形
中，
分别是
的中点.
（1）若
，则
的值
（2）若
交
于点
，求线段
的长
【答案】（1））
（2）
【分析】（1）以点
为坐标原点，建立平面直角坐标系，根据平面向量线性运算的坐标表示即可得解；
（2）根据
三点共线和
三点共线，结合共线向量的坐标公式求出点
的坐标，再求出
即
可.
【详解】（1）以点
为坐标原点，分别以
，
方向为
轴正方向建立平面直角坐标系，
则
，
，
，
，
，
则
，
，
，
由
可得：
，
所以
，解得
，因此
；
（2）设
，因为
三点共线，所以
则存在唯一实数
，使得
，
则
，可得
，
，
即
，
又
三点共线，且
，
，则
，所以
，解得
，
则
，所以
，所以
，所以线段
的长
.
真题溯源·考向感知
——溯源真
，感知高考考向
题逻辑
1．（2023·北京·高考真题）已知向量
满足
，则
（ ）
A．
B．
C．0
D．1
【答案】B
【分析】利用平面向量数量积的运算律，数量积的坐标表示求解作答.
【详解】向量
满足
，所以
.
故选：B
2．（2024·全国甲卷·高考真题）设向量
，则（ ）
A．“
”是“
”的必要条件
B．“
”是“
”的必要条件
C．“
”是“
”的充分条件
D．“
”是“
”的充分条件
【答案】C
【分析】根据向量垂直和平行的坐标表示即可得到方程，解出即可.
【详解】对A，当
时，则
，
所以
，解得
或
，即必要性不成立，故A 错误；
对C，当
时，
，故
，
所以
，即充分性成立，故C 正确；
对B，当
时，则
，解得
，即必要性不成立，故B 错误；
对D，当
时，不满足
，所以
不成立，即充分性不立，故D 错误.
故选：C.
3.（2021·全国乙卷·高考真题）已知向量
，若
，则
_________．
【答案】
【分析】利用向量平行的充分必要条件得到关于
的方程，解方程即可求得实数
的值.
【详解】由题意结合向量平行的充分必要条件可得：
，解方程可得：
.
故答案为：
.
4.（2025·上海·高考真题）已知
，若
，则
__________．
【答案】
/
【分析】由平面向量共线的坐标表示即可求解.【详解】由
得
，解得
.
故答案为：
.
5.（2025·全国一卷·高考真题）帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小与方向，测出的结果在
航海学中称为视风风速.视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风风速对应的向量之和，其中船
行风风速对应的向量与船速对应的向量大小相等、方向相反.图1 给出了部分风力等级、名称与风速大小的
对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图2 所示（线段长度
代表速度大小，单位：m/s），则该时刻的真风为（ ）
级数
名称
风速大小（单位：m/s)
2
轻风
1.6~3.3
3
微风
3.4~5.4
4
和风
5.5~7.9
5
劲风
8.0~10.7
A．轻风
B．微风
C．和风
D．劲风
【答案】A
【分析】结合题目条件和图
写出视风风速对应的向量和船行风速对应的向量，求出真风风速对应的向量，
得出真风风速的大小，即可由图得出结论.
【详解】由题意及图得，视风风速对应的向量为：
，
视风风速对应的向量，是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和，船速方向和船行风速的向量方
向相反，设真风风速对应的向量为
，船行风速对应的向量为
，∴
，船行风速：
，∴
，
，∴由表得，真风风速为轻风，
故选：A.
课本典例·高考素材
——立足
本典例，挖掘高考素材
课
1.在下列各组向量中，可以作为基底的是( ).
A.
，
B.
，
C.
，
D.
，
【答案】B
两个不共线的向量可以作为基底.A 项中
，故不能作为基底；B 项中
，
不共线，可以作为基底；
C 项中
，所以
，不能作为基底；D 项中
，不能作为基底，
故选B.
2.已知向量
，
.当
为何值时，
与a 垂直?
【答案】
【详解】
，
，
.
又
与a 垂直，
，
，即
，
.
3.已知
的顶点
，
，
，求顶点D 的坐标.
【答案】(1,5)
【详解】解法1：设O 为坐标原点，则
( 1, 2)
OA
，
(5
3,6
( 1))
(2,7)
BC
.而AD
BC
，
(1,5)
OD
OA
AD
OA
BC
，所以顶点D 的坐标为(1,5) .
解法2：设顶点D 的坐标为( , )
x y ，则
(
( 1)
AD
x
，
( 2))
(
1,
2)
y
x
y
，
(5
3,6
( 1))
(2,7)
BC
.
由AD
BC
，得
1
2,
2
7,
x
y
解得
1,
5.
x
y
所以顶点D 的坐标为(1,5) .
4.如图，在
中，
，点E 是CD 的中点.设
，
，用a，b 表示
，
.
【答案】
；
【详解】
，
.
5.已知向量
，
，
，求满足
的
和
的值.
【答案】
【详解】由
，得
.即
解得
6.已知点
，
，
，且
，
，求点
，
及向量
的坐标.
【答案】
；
；
【详解】因为
，所以点
的坐标为
.因为
，所以点
的坐
标为
.所以向量
.
7.已知点
，
，且
，
，
，求点C，
D，E 的坐标.
【答案】
；
；
【详解】设O 为坐标原点，则
，
.
，
，
.
，所以点C 的坐标为
；
，所以点D 的坐标为
；
，所以点E 的坐标为
.
8.已知平面直角坐标系中，点O 为原点，
，
.
（1）求
的坐标及
的值；
（2）若
，
，求
与
的坐标；
（3）求
的值.
【答案】（1）
，
（2）
，
（3）33
【详解】（1）
，
.
（2）
，
.
（3）
.
9.如图，在平行四边形ABCD 中，点E 是AB 的中点，点F，G 分别是AD，BC 的三等分点
.设
，
.
（1）用a，b 表示
，
.
（2）如果
，EF，EG 有什么位置关系?用向量方法证明你的结论.
【答案】（1）
；
（2）
，证明见解析
【详解】（1）
；
.
（2）
.证明如下：
由（1）知，
，
，
.
，
.
10.如图，设Ox，Oy 是平面内相交成60°角的两条数轴，
，
分别是与x 轴、y 轴正方向同向的单位向
量.若向量
，则把有序数对
叫做向量
在坐标系xOy 中的坐标.设
.
（1）计算
的大小；
（2）根据平面向量基本定理判断，本题中对向量坐标的规定是否合理.
【.答案】（1）
；（2）合理
【详解】（1）建立如图所示的直角坐标系，将
分解到
轴和
轴可求得
，
，
所以
.
（2）对于任意向量
都是唯一确定的，所以本题中对向量坐标的规定合理.
