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第 06 讲 向量法求空间角（含探索性问
题） (精练）
A 夯实基础
一、单选题
1．（2022·福建·厦门外国语学校高二期末）将正方形 沿对角线 折起，使得平面 平面
，则异面直线 与 所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
取 中点为 ，连接 ，所以 ，
又面 面 且交线为 ， 面 ，
所以 面 ， 面 ，则 .
设正方形的对角线长度为2，
如图所示，建立空间直角坐标系， ，
所以 ， .
所以异面直线 与 所成角的余弦值为 .
故选:A
2．（2022·全国·高二课时练习）若两个半平面的法向量所成的角为 ，则这个二面角的平面角的大小为
（ ）A． B． C． 或 D．以上都不对
【答案】C
解：因为两个半平面的法向量所成的角为 ，
所以这个二面角的平面角的大小为 或 .
故选：C.
3．（2022·新疆·乌苏市第一中学高二阶段练习（理））如图，在正方体 中，点E是上底
面A B C D 的中心，则异面直线 与 所成角的余弦值为（ ）
1 1 1 1
A． B． C． D．
【答案】B
以 为原点， 为 轴正方向建立空间直角坐标系如图所示，设正方体棱长为2，
所以 ，所以异面直线 与 所成角的余弦值为 .
故选：B
4．（2022·全国·模拟预测（理））如图为一个四棱锥与三棱锥的组合体，C，D，E三点共线，已知三棱锥
P－ADE四个面都为直角三角形，且ED⊥AD，PA⊥平面ABCE，PE＝3，CD＝AD＝2，ED＝1，则直线
PC与平面PAE所成角的正弦值等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
如图建立空间直角坐标系， ， ， ， 则有： ，
，
设平面PAE的法向量 ，则有 ,令 ,则 ，即
∴ ，即直线PC与平面PAE所成角的正弦值为 ．
故选：C．
5．（2022·天津天津·高二期末）已知四棱柱ABCD－ABC D 的底面是边长为2的正方形，侧棱与底面垂
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直，若点C到平面ABD 的距离为 ，则直线 与平面 所成角的余弦值为（ ）
1 1
A． B． C． D．【答案】A
如图，连接 交 于 点，过点 作 于 ，
则 平面 ，则 ，
设 ，
则 ，
则根据三角形面积得 ，
代入解得 ．
以 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 ．
则 ， ，
设平面 的法向量为 ， ， ，
则 ，即 ，令 ，得 ．
，
所以直线 与平面 所成的角的余弦值为 ，
A B C D
1 1 1 1
故选： ．
6．（2022·吉林白山·高一期末）在三棱锥 中，PA，PB，PC互相垂直， ，M是线段
BC上一动点，且直线AM与平面PBC所成角的正切值的最大值是 ，则三棱锥 外接球的体积是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
M是线段BC上一动点，连接PM．因为PA，PB，PC互相垂直，所以 是直线AM与平面PBC所成
的角．当PM最短，即 时，直线AM与平面PBC所成角的正切值最大，此时 ，．
在 中， ，则 ，解得 ．
将三棱锥 扩充为长方体，则长方体的体对角线长为 ．
故三棱锥 外接球的半径 ，三棱锥 外接球的体积为 ．所以D正确；
故选：D.
7．（2022·全国·高一单元测试）正方体 棱长为2， 是棱 的中点， 是四边形
内一点（包含边界），且 ，当三棱锥 的体积最大时， 与平面 所成角的正
弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
如图，以A为坐标原点，AB，AD， 所在直线分别为 轴，建立空间直角坐标系，
则 ， ， ，设 ， ，
则 ，
由于 为定值，要想三棱锥 的体积最大，则F到底面ADE的距离最大，
其中 ，
所以当 时， 取得最大值 ，
因为 ，
所以 的最大值为 ，
所以 ， ，
平面 的法向量 ，所以 与平面 所成角的正弦值为
故选：A
8．（2022·浙江·模拟预测）如图，四边形 中， ．现将 沿
折起，当二面角 处于 过程中，直线 与 所成角的余弦值取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
设向量 与 所成角为 ，二面角 的平面角大小为 ，因为 ，所以 ，又 ，所以 ，
, ，
则 ，
所以 ，
取 中点E，连接 ，则 ， ，
, ,
在 中， ，即 ，
所以 ，即 ，
又因为 ，所以 ，
因为直线夹角范围为 ，所以直线 与 所成角的余弦值范围是 ．
故选：D．
二、多选题
9．（2022·广东·普宁市华侨中学高二阶段练习）三棱锥 中，平面 与平面 的法向量分别
为 、 ，若 ， ，则二面角 的大小可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
由已知可得 ，因此，二面角 的大小为 或 .
故选：AD.
10．（2022·湖北十堰·高二阶段练习）如图，在多面体 中， 平面 ，四边形 是正
方形，且 ， ， ， 分别是线段 ， 的中点， 是线段 上的一个动
点（含端点 ， ），则下列说法正确的是（ ）A．存在点 ，使得
B．存在点 ，使得异面直线 与 所成的角为
C．三棱锥 体积的最大值是
D．当点 自 向 处运动时，二面角 的平面角先变小后变大
【答案】AD
解：如图，建立空间直角坐标系，记 ， ， ， ，则 ，
.
当 时，则 ，得 ，即 位于 点的位置，故选项A正确；
， ，则 ，即 无实数解，故选项B错误；
连结 , 当 在 点时， 面积最大， 最大， 此时 ，所以 ，故选项C错误；
过 作 ，过 作 的垂线交于 ，连接 ，则 是二面角 的平面角，所以
，又点 在以 为直径的圆上运动，所以 先变大后变小，故二面角
的平面角先变小后变大，故选项D正确.
故选：AD.
三、填空题
11．（2022·全国·高二课时练习）在如图所示的正方体 中，E是 的中点，则异面直线
DE与AC所成角的余弦值为___________.【答案】
解：以 为原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴，建立空间直角坐标系，
设正方体 中棱长为2，
则 ， ， ， ，
， ，
设异面直线 与 所成角为 ，
则 ．
异面直线 与 所成角的余弦值为 ．
故答案为： ．
12．（2022·四川绵阳·高二期末（理））在正方体 A B C D 中，点Р在侧面 (包括边界)上运
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动，满足 记直线 与平面 所成角为 ，则 的取值范围是_____________
【答案】
如图建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则 ，由题可设 ，则 ，
∴ ，即 ，
∴点 在 上，
又 ， ，平面 的一个法向量可取 ，
∴
，
又 ，
∴ ， ，
即 的取值范围是 .
故答案为： .
四、解答题
13．（2022·上海·复旦附中高二期末）如图所示， 是棱长为1的正方体.
(1)设 的重心为O，求证：直线 平面 ；
(2)设E､F分别是棱 ､ 上的点，且 ，M为棱 的中点，若异面直线 与EF所成的
角的余弦值为 ，求a的值.
【答案】(1)证明见解析；(2) ．
(1)设 ，连接 ，
首先 平面A B C D ， 平面A B C D ，则 ，
1 1 1 1 1 1 1 1
又 ， ， 平面 ，所以 平面 ，而 平面 ，所以 ，
同理 ， ， 平面 ，
所以 平面 ，
连接 交 于 ，
因为 ，所以 是等边 的中心也是重心，
所以 平面 ，
(2)如图，以 为 轴建立空间直角坐标系，则 ， ， ，
， ，
由题意 ，
解得： （负值舍去）．
14．（2022·天津市西青区杨柳青第一中学高二期末）如图， 垂直于梯形 所在平面，， 为 中点， ， ，四边形 为矩形．
(1)求证： 平面 ；
(2)求二面角 的大小；
(3)在线段 上是否存在一点 ，使得 与平面 所成角的大小为 ？若存在，求出 的长；若不
存在，说明理由．
【答案】(1)证明见解析(2) (3)存在，
(1)证明：以 为原点，以 ， ， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系，
由题意得， ， ， ， ， ， ， ，
则 ，平面 的一个法向量 ，
， ，
由 ，取 ，得 ，
，
，
平面 ；(2)设平面 的一个法向量 ， ， ，由 ，
取 ，解得
设平面 的一个法向量 ，
由图可知二面角 为锐二面角，
二面角 的大小为 ；
(3)设存在点 满足条件，
由 ， ，
设 ，
整理得 ，
，
直线 与平面 所成角的大小为 ，
，
则 ，由 ，得 ，即 点和 点重合，
故在线段 上存在一点 ，且 ．
B 能力提升
1．（多选）（2022·河北承德·高一期末）如图，在棱长为 的正方体 中， 分别为棱
， 的中点， 为面对角线 上的一个动点，则（ ）A．三棱锥 的体积为定值
B．线段 上存在点 ，使 平面
C．线段 上存在点 ，使平面 平面
D．设直线 与平面 所成角为 ，则 的最大值为
【答案】ABD
易得平面 平面 ，所以 到平面 的距离为定值，又 为定值，所以三棱锥
即三棱锥 的体积为定值，故A正确．
对于B, 如图所示, 以 为坐标原点, 为 轴, 为 轴, 为 轴, 建立空间直角坐标系, 则
， , ， ， ，
所以 ， ， ，
设 （ ），则所以 ，
平面 即
解之得
当 为线段 上靠近 的四等分点时， 平面 .故B正确
对于C，设平面 的法向量
则 ，取
得
设平面 的法向量 ,
则
取 , 得 ,
平面 平面
设 , 即 ,
解得 ， ，不合题意
线段 上不存在点 , 使平面 //平面 ，故C错误．
对于D，平面 的法向量为
则
因为
所以
所以 的最大值为 ．故D正确．
故选：ABD
2．（2022·广东汕头·二模）如图，在正方体 中，点P在线段 上运动，则（ ）A．直线 平面
B．三棱锥 的体积为定值
C．异面直线AP与 所成角的取值范围是
D．直线 与平面 所成角的正弦值的最大值为
【答案】AB
建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为 ，
，
设 ，设 ，
即 .
A： ，
因为 ，
所以 ，
而 平面 ，
所以直线 平面 ，因此本选项结论正确；B：侧面 的对角线交点为 ，所以 ， ，
而 平面 ， 平面 ，
所以 ，而 平面 ，
所以 平面 ，
为定值，因此本选项结论正确；
C： ，
设异面直线AP与 所成角为 ，
则有 ，
当 时， ；
当 时， ，
因为 ，所以 ，
因此 ，
，即 ，所以 ，
综上所述： ，所以本选项结论不正确；
D：设平面 的法向量为 ， ，
所以有 ，
直线 与平面 所成角的正弦值为：
因为 ，所以
当 时， 有最小值，最小值为 ，所以直线 与平面 所成角的正弦值的最大值为 ，因此本选项结论不正确，
故选：AB
3．（2022·全国·高三专题练习）如图，已如平面四边形ABCD， ， ， ，
．沿直线AC将 翻折成 ，则 ___________；当平面 平面ABC
时，则异面直线AC与 所成角余弦值是___________．
【答案】 2
解：∵ ， ， ，由勾股定理得： ，
∵ ，∴三角形ABC为等腰三角形
取AC的中点O，则OB⊥AC，以O为原点，OB所在直线为x轴，OA所在直线为y轴，垂直于平面ABC
的直线为z轴建立空间直角坐标系，
则 ， ， ， ，∴ ，
，
则 ；
当平面 平面ABC时， 在yoz平面上，则 ， ，
设异面直线AC与 所成角为 ，则 ，
异面直线AC与 所成角余弦值是 .故答案为：2； ．
4．（2022·江苏·高三专题练习）如图，在等腰梯形 中， ， ，过点 作 交
于点 ， ，现将 沿 折起，使平面 平面 ，连接 、 ，
则直线 与平面 所成角的正弦值为____________；当 时，则二面角 的余弦值
为__________．
【答案】 ．
解：在等腰梯形 中， ，
由平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
又由在等腰梯形 中， ，
所以以 为原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴建立空间直角坐标系，
则 ， ， ， ， ；
所以 ， ， ， ，
设平面 的法向量为 ，则 ，令 ，则 ，所以 为平面 的法向量，
则 ，
所以 与平面 所成角的正弦值为 ．
因为 ， ，所以 ，
设平面 的法向量为 ，则
所以取 ，平面 的法向量 ，
因为二面角 的余弦值为 ，
所以二面角 的余弦值为 ．
故答案为： .
C 综合素养
1．（2022·江苏南通·高二期末）如图，在四面体 中， 平面 ， ，
，点 在线段 上．(1)当 是线段 中点时，求 到平面 的距离；
(2)若二面角 的余弦值为 ，求 的值．
【答案】(1) (2)
(1)解：因为 平面 ， ，以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、 、
轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
因为 为 的中点，则 、 、 、 ，
设平面 的法向量为 ， ， ，
则 ，取 ，可得 ，
，所以，点 到平面 的距离为 .
(2)解：设点 ，其中 ， ， ，
设平面 的法向量为 ，则 ，
取 ，可得 ，易知平面 的一个法向量为 ，
由已知可得 ，解得 ，此时点 为 的中点，故 .
2．（2022·广东·执信中学高一阶段练习）已知等边△ 边长为 ，△BCD中，BD=CD=1，BC=
(如图1所示)，现将B与 ，C与 重合，将△ 向上折起，使得AD= (如图2所示).
(1)若BC的中点O，求证：平面BCD⊥平面AOD；
(2)在线段AC上是否存在一点E，使ED与面BCD成 角，若存在，求出CE的长度，若不存在，请说明
理由；
(3)求三棱锥A—BCD的外接球的表面积.
【答案】(1)证明见解析；
(2)在线段AC上是存在一点E，使ED与面BCD成 角，且 .
(3) .
(1)因为 ， ，所以 ；
因为 ， ，所以 ，
因为 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以平面BCD⊥平面AOD.
(2)在线段AC上是存在一点E，使ED与面BCD成 角，且 .
作 ，交 的延长线于点 ，
因为平面BCD⊥面AOD，面 面 ， 面AOD，
所以 面 ， 面 ，
所以 ，
在直角三角形 中， ，
在直角三角形 中， ，在 中， ，
所以 .
在直角三角形 中， ，
，故 ，而 ，
故 且三角形 为等腰直角三角形，
且直角三角形 为等腰直角三角形，所以 ， .
过点 作 ，垂足为 ，则 ，所以 平面 ，
所以 就是 与平面 所成的角，
而 ， ，
故在直角三角形 中， ，
而 为锐角，故 .
(3)将三棱锥A—BCD补形为棱长为 的正方体，如图：
则三棱锥A—BCD的外接球的半径为 ，
所以三棱锥A—BCD的外接球的表面积为 .
3．（2022·内蒙古·赤峰红旗中学松山分校模拟预测（理））如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为
正方形， 底面ABCD，M为线段PC的中点， ，N为线段BC上的动点．(1)证明：平面 平面
(2)当点N在线段BC的何位置时，平面MND与平面PAB所成锐二面角的大小为30°？指出点N的位置，并
说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)点N在线段BC的中点
(1)证明：因为 底面ABCD， 底面ABCD，
所以 ，
因为 ， ，
所以 平面 ，
因为 平面 ，
所以 ，
因为四边形 为正方形， ，
所以 ，
因为在 中， ，M为线段PC的中点，
所以 ，
因为 ，
所以 平面 ，
因为 平面 ，
所以平面 平面 ，
(2)当点N在线段BC的中点时，平面MND与平面PAB所成锐二面角的大小为30°，理由如下：
因为 底面 ， 平面 ，
所以 ，
因为 ，
所以 两两垂直，
所以以 为原点，以 所在的直线分别为 轴建立空间直角坐标系，如图所示，设 ，则 ，
设 ，则 ，
设 为平面 的法向量，则
，令 ，则 ，
设 为平面 的法向量，则
，令 ，则 ，
因为平面MND与平面PAB所成锐二面角的大小为30°，
所以 ，
化简得 ，得 ，
所以当点N在线段BC的中点时，平面MND与平面PAB所成锐二面角的大小为30°
4．（2022·四川·成都七中模拟预测（理））如图1，在边上为4的菱形 中， ，点 ，
分别是边 ， 的中点， ， ．沿 将 翻折到 的位置，连接
， ， ，得到如图2所示的五棱锥 ．(1)在翻折过程中是否总有平面 平面 ？证明你的结论；
(2)当四棱锥 体积最大时，求直线 和平面 所成角的正弦值；
(3)在（2）的条件下，在线段 上是否存在一点 ，使得二面角 余弦值的绝对值为 ？若
存在，试确定点 的位置；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)在翻折过程中总有平面 平面 ，证明见解析(2)
(3) 存在且 为线段 的中点
(1)在翻折过程中总有平面 平面 ，
证明如下：∵点 ， 分别是边 ， 的中点，
又 ，∴ ，且 是等边三角形，
∵ 是 的中点，∴ ，
∵菱形 的对角线互相垂直，∴ ，∴ ，
∵ ， 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 ，∴ 平面 ，
∵ 平面 ，∴平面 平面 ．
(2)由题意知，四边形 为等腰梯形，
且 ， ， ，
所以等腰梯形 的面积 ，
要使得四棱锥 体积最大，只要点 到平面 的距离最大即可，
∴当 平面 时，点 到平面 的距离的最大值为 ，
此时四棱锥 体积的最大值为 ，
直线 和平面 所成角的为 ，
连接 ，在直角三角形 中， ， ，由勾股定理得： .
．
(3)
假设符合题意的点 存在．
以 为坐标原点， ， ， 所在直线分别为 轴、 轴、 轴，建立如图所示空间直角坐标系，
则 ， ， ， ，
由（2）知， ，
又 ，且 ， 平面 ， 平面 ，
平面 ，
故平面 的一个法向量为 ，
设 （ ），
∵ ，
，故 ，
∴ ， ，
平面 的一个法向量为 ，
则 ， ，
即令 ，所以
，
则平面 的一个法向量 ，
设二面角 的平面角为 ，
则 ，解得： ，
故符合题意的点 存在且 为线段 的中点．
