文档文本内容
第02 讲 平面向量基本定理及坐标表示
目 录
模拟·基础演练........................................................................................................................................................2
题型01 基底的概念及辨析.....................................................................................................................2
题型02 用基底表示向量
...................................................................................................................4
题型03 利用平面向量基本定理求参数.................................................................................................6
题型04 平面向量线性运算的坐标表示
...........................................................................................8
题型05 向量共线的坐标表示及应用
.............................................................................................10
题型06 利用坐标求向量模的问题.......................................................................................................11
题型07 平面向量线性运算的综合应用
.........................................................................................12
重难·创新演练......................................................................................................................................................15
真题·实战演练......................................................................................................................................................24
模拟·基础演练
考查重点：绕基底判断、用基底表示图形向量、结合三点共线求参数、向量坐标运算、坐标判定三
点共线、向量模长计算展开，以三角形、平行四边形为载体，考查平面向量基础定理与坐标运算。
题型01 基底的概念及辨析
1．若已知
、
是平面上的一组基底，则下列各组向量中不能作为基底的一组是（ ）
A．
与
B．
与
C．
与
D．
与
【答案】D
【分析】由基底的定义可判断选项正误.
【详解】因
、
是平面上的一组基底，则
、
不共线，据此可得ABC 选项所对应向量组均不共线，可
作为基底，D 选项，
与
共线，则不可以作为一组基底.
故选：D
2.下列各组向量中，能作为基底的是（ ）
A．
，
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据基底的概念及辨析、由坐标判断向量是否共线.
【详解】A 选项：
，
与
共线，
A 错误；
对于B，由
，B 错误；
对于C，两向量不存在倍数关系，所以C 正确，
对于D，
，
与
共线，
D 错误；
故选：C.
3．（多选）设
，
是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，能作为基底的是（ ）
A．
和
B．
和
C．
和
D．
和
【答案】ABD
【详解】对于
：由
可得
和
不共线，所以
和
能作为基底，故
正确；
对于
：由
可得
和
不共线，所以
和
能作为基底，故
正确；
对于
：由
，可得
，所以
和
共线，故不能作为基底，故
错误；对于
：由
可得
和
不共线，
所以
和
能作为基底，故
正确.
故选：
.
4．（多选）设
是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是（ ）
A．
和
B．
和
C．
和
D．
和
【答案】CD
【分析】由共线定理和基底定义逐一分析即可得解.
【详解】对于A，假设
，则
使得
，
则因为
不共线得
且
，则
无解，故
不共线可作为一组基底，故A 不正确；
对于B，假设
，则
使得
，
则因为
不共线得
且
，则
无解，故
不共线可作为一组基底，故B 不正确；
对于C，因为
，所以
不能作为基底，故C 正确.
对于D，因为
，所以
不能作为基底，故D 正确.
故选：CD
5.（2025·山西·二模）若
是平面内的一个基底，则下列四组向量中能作为平面向量的基底的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据共线向量定理逐项判定向量是否共线即可.
【详解】对于选项A，
，两向量共线，不符合基底的定义，故A 错误；
对于选项B，
，两向量共线，不符合基底的定义，故B 错误；
对于选项C，不存在实数
，使得
，故C 正确；
对于选项D，
，两向量共线，不符合基底的定义，故D 错误.
故选：C.
题型02 用基底表示向量
6．在
中，
为
边上的中线，
为
上靠近
的三等分点，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】依据平面向量共线基本定理和向量的加减运算法则求解.
【详解】如下图所示，
.
故选：D
7．（2026·江苏南通·一模）在
中，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】因为
，所以
，所以
，
故选：C.
8．如图，已知在
中，
，
，
和
交于点E，若
，则以
为
基底表示
正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由已知可得
，进而可得
，利用三点共线可求得
，进
而利用向量的线性运算可求得
.
【详解】因为
，所以
，又因为
三点共线，
所以设
，又
，所以
，
所以
，又
三点共线，所以
，解得
，
所以
，
所以
.
故选：C.
9．（2026·山西太原·模拟检测）设在
中，点D 为
边上一点，且
，点E 为
边上的中
点. 若
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用向量的线性运算，即可用基底表示.
【详解】
因为
，所以
为
中点，即
，
又因为点E 为
边上的中点，所以
，
由
，
因为
，
，所以
，
故选：D.
10．如图：在平行四边形
中，已知
，直线
交于O，若
，
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】设
，用
表示出
，根据共线定理推论求出
，然后可求解.
【详解】设
，则
，
又
，所以
，
因为
三点共线，所以
，解得
，
所以
.
故选：D
题型03 利用平面向量基本定理求参数
11.如图所示，
中，点
是线段
的中点，
是线段
上的动点，若
，则
的值为（ ）
A．1
B．3
C．5
D．8
【答案】A
【分析】由题意可得
，从而可得
，再由
三点共线，即可得答案.
【详解】因为点
是线段
的中点，则
，则
，
因为
三点共线，所以
.
故选：A.
12.平行四边形
中，E 为
中点，
与
交于O，记
，
，
，则
（ ）
A．2
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】本题根据平面向量加减与数乘运算结合平面向量基本定理即可得解.
【详解】由题意得
，所以
，
，
．
故选：B．
13.如图所示，在
中，
是BN 上的一点，若
，则实数m 的值为
．
【答案】
【分析】根据给定条件，可得
，再利用共线向量的推论列式计算作答.
【详解】在
中，
，即
，又
，即
，
因此
，而点B，P，N 共线，于是
，解得
.
故答案为：
14．在
中，点
、
满足
，
，点
满足
，
为
的
中点，且
、
、
三点共线，则
【答案】8
【详解】因为
，所以
，则
，
所以，
，
因为
为
的中点，故
．
又因为
、
、
三点共线，则
，
所以，存在
，使得
，即
，
所以
，
又因为
，且
、
不共线，所以
，
所以，
，故
．
故答案为：8.
题型04 平面向量线性运算的坐标表示
15.已知点
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由向量的坐标运算即可求解.
【详解】为
，所以
，则
．
故选：A
16．（2026·湖南·模拟预测）已知向量
，
，则
（ ）
A．1
B．8
C．
D．2
【答案】C
【详解】
，所以
.
17．（25-26 高三上·天津宝坻·期中）已知平面向量
，则向量
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】因为向量
，
，所以，
，则
.
18．（25-26 高三上·天津宝坻·期中）已知
，则
____________．
【答案】
【详解】设
为坐标原点，
因为
，
所以
，
，
所以
.
19．（25-26 高三上·山东·阶段检测）已知
，
，
，则点
的坐标为________．
【答案】
【详解】因为
，
，设
，所以
，
，
而
，所以
，
，解得
，
，
因此
.
20．在平面直角坐标系中，已知点B 的坐标为
，若向量
，则点A 的坐标为 ．
【答案】
【分析】设点A 的坐标为
，根据向量坐标等于向量终点坐标减去向量起点坐标列出式子，再利用向
量相等列出方程，计算即可求出点A 的坐标.
【详解】设点A 的坐标为
，因为点B 的坐标为
，
所以向量
，向量
，所以
，解得
，
所以点A 的坐标为
.
故答案为：
题型05 向量共线的坐标表示及应用
21.已知非零向量
，
，若A，B，C 三点共线，则
（ ）
A．1
B．2
C．1 或2
D．无解
【答案】A
【分析】利用非零向量定义以及向量共线的坐标表示解方程即可.
【详解】根据A，B，C 三点共线可知存在实数
满足
，可知
且
，
解得
，此时
，满足题意.
故选：A
22.已知向量
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据向量平行的坐标公式，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．
【详解】向量
，
若
，则
，即
，解得
或
，
故“
”是“
”的充分而不必要条件.
故选：A
23．（25-26 高三上·天津宝坻·期中）已知向量
，若
．则
____________．
【答案】
/
【详解】因为
，
，所以
，解得，
.
24．（2026·上海·模拟预测）已知向量
，
，
．若
，
，
三点共线，则
_________．
【答案】
【分析】求出
，
后，借助向量共线的坐标运算计算即可得.
【详解】由
，
，
，则
，
，
由
，
，
三点共线，则
，解得
.
题型06 利用坐标求向量模的问题
25．（25-26 高三上·浙江杭州·期阶段检测）已知点
与点
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．5
【答案】C
【详解】因为
，
，所以
，
所以
.
26．（25-26 高三上·河北衡水·期末）已知向量
满足
，
，
，若
，
则实数
的值为________．
【答案】
或
/
或
【详解】由
可得
，
则
，解得
或
27．（25-26 高三上·湖北孝感·期中）已知
，点P 在直线
上，且
，则点P 的
坐标是_______．
【答案】
或
【分析】利用向量的坐标运算即可求得坐标，注意有两解.
【详解】由
得
，因为点P 在直线
上，且
，
所以
或
．
因为
可设
，所以
，可得
，
或
，可得
，则点P 的坐标是
或
．
故答案为：
或
．
28．（25-26 高三上·浙江嘉兴·阶段检测）已知点
，
，
，
．
(1)若
，
，求的值；
(2)求
的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）首先，写出相应向量的坐标形式，然后，根据共线的条件进行求解.
（2）写出相应向量的坐标形式，结合向量的模的计算公式转化为求二次函数最小值.
【详解】（1）因为
，
，
，则
，
，
由
，可得
，解得
.
（2）因为
，
，则
，
所以
，
则
，
所以当
时，
.
题型07 平面向量线性运算的综合应用
29．（多选）延长正方形
的边
至点
，使
，动点
从点
出发沿正方形的边按逆时针
方向运动一周后回到点
，若
，则下列正确的是（ ）
A．若
，则点
与点
重合 B．若点
与点
重合，则
，
C．满足
的点
有2 个 D．满足
的点
有且只有1 个
【答案】AC
【分析】对于选项A 和选项B，直接将选项中的条件代入
，结合向量的加法法则判断，对
于选项C 和选项D，建立平面直角坐标系，再根据点的坐标和选项中的条件表示出点
，依次分析点
在
四条边上的情况即可判断.
【详解】选项A：已知
，
，即
，
若
，则
，
故点
与点
重合，选项A 正确；
选项B：若点
与点
重合，则
，
故
，
，选项B 错误；
选项C：以
为原点，
为
轴建立平面直角坐标系，
，
，
，若
，则
，
，
，当
在
上时，
，解得
，
为
点，
当
在
上时，
，解得
，
，为
点，
当
在
上时，
，解得
，
，不符合题意，
当
在
上时，
，解得
，
，
综上，满足
的点
有2 个，一个是
点，一个是
，选项C 正确；
选项D：若
，则
，
，
，当
在
上时，
，解得
，
，不符合题意，
当
在
上时，
，解得
，
，
当
在
上时，
，解得
，
，不符合题意，
当
在
上时，
，解得
，
，综
上，满足
的点
有2 个，一个是
，一个是
，选项D 错误.
故选：AC.
30．（25-26 高三上·山西晋中·阶段测试）在复平面内，
是坐标原点，复数
，
，
，所对应的点分别是
，
，
．若
，则
的值是___________．
【答案】
【详解】因为复数
，
，
，所对应的点分别是
，
，
，
所以
，
，
，即
，
，
，
所以
由
，所以
，
解得
，因此
.
31．（25-26 高三上·山西阳泉·阶段测试）设向量
，
，
.
(1)求
，
与
夹角
的余弦值；
(2)若
，
，求
的值；
(3)若
，
，
，求证：A，
，
三点共线.
【答案】(1)
，
(2)2
(3)证明见解析
【分析】（1）先求出
的坐标，再根据模的坐标表示求解
即可，根据向量夹角余弦的坐标表
示求解
即可；
（2）根据
列方程组求解即可；
（3）先求出
，可得
，进而求证即可.
【详解】（1）由
，
，得
，
则
，
而
与
夹角
的余弦值为
.
（2）由
，
，
得
，
因为
，
，
所以
，解得
，则
.
（3）证明：由
，
，
，
则
，所以
，
而
有公共点
，则A，
，
三点共线.
重难·创新演练
设题创新: 依托正方形、扇形、直角梯形等多样几何图形搭配动点设置动态试题，将三点共线结论
与基本不等式结合实现跨考点综合命题，融入复平面、平行四边形多解存在性等新颖情境，采用多
选题型辨析易混淆向量概念设置答题陷阱，部分题目提供基底法、坐标法两种解题路径实现一题多
解考查。
1．已知向量
，若点
不能构成三角形，则实数
应满足的条件为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】点
不能构成三角形，故
共线，故
，解得
.
故选：A
2．如图，在平行四边形
中，
为
的中点，
与
交于点
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用平面向量基本定理求解.
【详解】解：因为
为平行四边形，故
，故易知
，
又因为
为
的中点，所以
，
故
，
故选：A
3．（25-26 高三上·河南·阶段检测）在
中，点
满足
，点
满足
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据题意结合平面向量基本定理即可求解.
【详解】
已知
且
，所以
，则
，故A 正确.
故选：A
4．【新考法】设
是平面内一组基底，平面向量
，
．若存在实数
使得
，且
，则
（ ）
A．－2
B．
C．
D．2
【答案】B
【分析】联立由平面向量基本定理所得关系与条件即可求解k 的值.
【详解】
由
是平面内一组基底可知，
与
不共线，
则有
，联立
，故
,解得
．
故选：B
5．【新思维】（25-26 高三·全国·一轮复习）如图，在直角梯形
中，
，
，
，E 为
的中点，若
，则
（ ）
A．65
B．
C．2
D．
【答案】B
【分析】方法一：坐标法：以
为坐标原点，
分别为
轴、
轴，利用坐标求解即可；
方法二：基底法：令
，
，取
为一个基底，由向量的线性运算求解即可.
【详解】方法一（坐标法）建立如图所示的平面直角坐标系，
则
．不妨设
，则
，所以
，
，
，
，
所以
，
，
，因为
，所以
，
所以
，解得
，故
．
方法二（基底法）：令
，
，取
为一个基底，
由题意得
，
．
由于
，所以
，解得
，所以
．
故选：B
6．【新融合】已知
为
所在平面内一点，并且满足
，过
的直线与
，
边分
别交于
，
点，若
，
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．2
D．4
【答案】B
【分析】首先确定点
是
的重心，再根据线性运算，用基底
表示
，利用三点共线，表
示
，再根据基本不等式求最值.
【详解】如图，连结接
并延长交
于点
，
由
可知，点
是
的重心，则点
是
的中点，
，
因为点
三点共线，所以
，即
，
则
，当
时，即
时，等号成立，
所以
的最小值为
.
故选：B
7．已知向量
不共线，
，其中
，若
三点共线，则
的最小值为（ ）
A．5
B．4
C．3
D．2
【答案】B
【分析】由平面向量的共线定理可得
，再结合基本不等式即可求得答案.
【详解】因为
三点共线，所以存在实数
，使
，即
，
又向量
不共线，所以
，整理，得
，由
，所以
，
当且仅当
时，取等号，即
的最小值为4.
故选：B．
8．【创新题】如图，扇形的半径为，圆心角
，点
在弧
上运动，且
，
则
的最大值是（ ）
A．2
B．
C．0
D．
【答案】A
【分析】以
所在直线为
轴建立坐标系，根据三角函数定义，写出
的坐标
，用三角函数
表示出参数
，进而将问题转化为求三角函数的值域，即可求得结果.
【详解】以
所在直线为
轴，
为坐标原点，建立如图所示直角坐标系：
设
，则根据三角函数定义，
，且
，
同时
，由
可得：
，也即
，
，
则
，
，
则
，
，
则
，
，故
，
也即
的最大值为
.
故选：A.
9．（多选）已知
分别为
的边
中点，且
，
，则下列命题正确的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【详解】对于A，由
是
边
的中点，得
，A 错误；
对于B，由
是
边
的中点，得
，B 正确；
对于C，由
是
边
的中点，得
，C 正确；
对于D，
，D 正确.
故选：BCD
10.（多选）下列说法正确的是（ ）
A．与向量
方向相同的单位向量的坐标为
B．
为非零向量，则向量
在向量
上的投影向量为
C．
为非零向量，且相互不共线，则
D．若
与
共线，则
【答案】AD
【分析】对于A，根据向量的单位化，可得其正误；对于B，根据投影向量的计算，可得其正误；对于C，
根据数量积的概念，由向量的减法，可得其正误；对于D，根据共线向量的坐标表示，可得其正误.
【详解】对于A，与向量
方向相同的单位向量为
，故A 正确；
对于B，向量
在向量
上的投影向量为
，故B 错误；
对于C，由
与
为数字，且
不共线，则
，故C 错误；
对于D，由
与
共线，则
，解得
，故D 正确.
故选：AD.
11．（多选）已知点
，
，
，若点G 与点A，B，C 四点构成平行四边形，则点G 的
坐标可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【分析】利用平行四边形对角线中点重合的性质，结合中点坐标公式求解
点坐标，进一步判断即可.
【详解】设点
坐标为
，平行四边形对角线的中点坐标相同，
①若
，
为对角线，
中点为
，
中点为
则
，
，解得
，
，即
，故A 满足.
②若
，
为对角线，
中点为
，
中点为
，
则
，
，解得
，
，即
，故C 满足.
③若
，
为对角线，
中点为
，
中点为
，
则
，
，解得
，
，即
，故D 满足.
故选：ACD
12.如图，在
中，
是
的中点，
为
上的点，且
，若
，
，则
用
，
表示，则
____________________.
【答案】
【详解】在
中，由
是
的中点，
，得
，
所以
13．（2026·陕西咸阳·三模）在
中，D 是
边上的一点，且
，E 是
上的一动点.若
，则
__________.
【答案】
【分析】根据平面向量的线性运算求解
的表达式，通过对比系数求得正确答案.
【详解】由
，得
.
，故
.
设
(
)，则
.
.
代入
的表达式，得
.
与
对比系数，得
，
.
因此，
.
14．已知点
，
，
，
为坐标原点，则
与
的交点
的坐标为________．
【答案】
【详解】解法一：由
三点共线，可设
，则
，
又因为
，由
，
共线，得
，解得
，
所以
，所以点
的坐标为
．
解法二：设点
，则
，因为
，且
与
共线，
所以
，即
．
又因为
，
，且
，
共线，所以
，解得
，所
以点
的坐标为
．
15．如图，在
中，
为线段
上靠近点
的三等分点，
是线段
上一点，过点
的直线与边
分别交于点
，设
，
．
(1)若
，
，求
的值；
(2)若点
为线段
的中点，求
的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据图形用
表示
，再用
表示
，由三点共线即可求解.
（2）用
表示
，再由三点共线
的等式关系，再结合基本不等式即可求解.
【详解】（1）因为
为线段
上靠近点
的三等分点，
所以
，
设
，即
，
，所以
，又因为
，
，
所以
，
，所以
，
即
，又因为
三点共线，则
，解得
，
所以
，所以
.
（2）由（1）可知，
，而
，
，
所以
，又因为点
为线段
的中点，
所以
,即
，
又由
三点共线，所以
，即
，
所以
，
当且仅当
时，等号成立.
故
的最小值为
.
真题·实战演练
高频考点：判断向量是否可作基底、利用基底表示向量并求参数、向量坐标运算、坐标判定向量与
三点共线、向量模长计算与最值、几何图形结合的向量综合题型。
1．（2025·北京·高考真题）在平面直角坐标系
中，
，
.设
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】先根据
，求出
，进而可以用向量
表示出
，即可解出．
【详解】因为
，
，
由
平方可得，
，所以
．
，
，
所以，
，
又
，即
，
所以
，即
，
故选：D.
2.（2023·上海·高考真题）已知向量
，则
_______________．
【答案】
【详解】因为
，所以
，
故答案为：
3．（2025·全国二卷·高考真题）已知平面向量
若
，则
【答案】
【分析】根据向量坐标化运算得
，再利用向量垂直的坐标表示得到方程，解出即可.
【详解】
，因为
，则
，则
，解得
.
则
，则
.
故答案为：
.
4．（2024·上海·高考真题）已知
，且
，则
的值为 ．
【答案】15
【分析】根据向量平行的坐标表示得到方程，解出即可.
【详解】
，
，解得
．
故答案为：15．
5.（2023·天津·高考真题）在
中，
，
，记
，用
表示
；若
，则
的最大值为 ．
【答案】
【分析】空1：根据向量的线性运算，结合
为
的中点进行求解；空2：用
表示出
，结合上一
空答案，于是
可由
表示，然后根据数量积的运算和基本不等式求解.
【详解】空1：因为
为
的中点，则
，可得
，
两式相加，可得到
，即
，则
；
空2：因为
，则
，可得
，
得到
，即
，即
.
于是
.
记
，
则
，
在
中，根据余弦定理：
，
于是
，
由
和基本不等式，
，
故
，当且仅当
取得等号，则
时，
有最大值
.
故答案为：
；
.
