文档文本内容
第02 讲 空间点、直线、平面之间的位置关系
目录
01
考情解码・命题预警
2
02 体系构建·思维可视..............................................................................................................................3
03 核心突破·靶向攻坚..............................................................................................................................3
知能解码.............................................................................................................................................3
知识点1 平面的基本事实.............................................................................................................................3
知识点2 空间点、直线、平面之间的位置关系........................................................................................4
知识点3 等角定理..........................................................................................................................................5
知识点4 异面直线所成角.............................................................................................................................6
题型破译.............................................................................................................................................7
题型1 利用基本事实证明“点共面”，“线共面”
.......................................................................7
【方法技巧】证明共面的方法
题型2 利用基本事实证明“线共点”，“点共线”.............................................................................10
【方法技巧】证明共线、共点的方法
题型3 等角定理............................................................................................................................................14
题型4 空间中的线、面的位置关系..........................................................................................................16
题型5 异面直线所成的角
...................................................................................................................19
题型6 立体几何中的截面问题
...........................................................................................................23
【方法技巧】作截面的三种方法
04 真题溯源・考向感知..........................................................................................................................28
05 课本典例·高考素材............................................................................................................................33
考点要求
考察形式
2025 年
2024 年
2023 年
（1）平面的基本事实
（2）点、直线、平面
的位置关系判断
（3）异面直线所成的
角
单选题
多选题
填空题
解答题
全国一卷T17
（15 分）
考情分析：
本节内容在新高考中单独考察比较少，一般结合位置关系的证明、夹角等知识点。近年命题不仅难度逐步提
升，还新增截面问题，对考生空间想象能力和逻辑推理能力提出更高要求。往年高考中，给定几何体，求解异面
直线成角或判断线面关系等。
2025 年全国一卷在此基础上有所创新，出现点在面内的考查形式，进一步拓展了空间几何的命题维度。这一
变化既延续了对核心知识的重点考查，又通过新情境强化了对空间概念理解和逻辑推理能力的综合检测，体现了
高考命题的灵活性与深度。
复习目标：
1.理解、掌握空间基本事实，能够判断点线面之间的关系.
2.能掌握空间异面直线所成的角.
3.会解立体几何的截面问题.
知识点1 平面的基本事实
1.基本事实
基本
事实
基本事实1
基本事实2
基本事实3
基本事实4
叙述
过不在一条直线上的
三点，有且只有一个
平面
如果一条直线上的两
点在一个平面内，那
么这条直线在这个平
面内
如果两个不重合的平
面有一个公共点，那
么它们有且只有一条
过该点的公共直线
平行于同一条直
线的两条直线平
行
图示
符号
表示
三点不共线⇒
存在唯一的平面
使
且
⇒
且
作用
确定一个平面或判断
“直线共面”的方法
①检验平面；
②判断直线在平面
内；
③由直线在平面内判
断直线上的点在平面
内
①判定两平面相交；
②作两平面相交的交
线；
③证明多点共线
证明两条直线平
行
2.三个推论：
推论1：经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面．
推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．
推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．
自主检测
给出下面四个命题，其中错误的命题个数是（ ）
①三个不同的点确定一个平面； ②一条直线和一个点确定一个平面；
③空间两两相交的三条直线确定一个平面； ④两条平行直线确定一个平面.
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】C
【详解】由三个不在同一直线不同的点确定一个平面，故①错误；
一条直线和直线外一个点确定一个平面，故②错误；
空间两两相交的三条不能交于同一点的直线确定一个平面，故③错误；
两条平行直线确定一个平面，故④正确.
故选：C
知识点2 空间点、直线、平面之间的位置关系
直线与直线
直线与平面
平面与平面
平行关系
（0 个公共
点）
图示
符号语言
a ∥
b
a∥α
相交关系
（1 个公共
点）
图示
符号语言
独有关系
图示
符号语言
a，b 是异面直线
公共点个数
0 个
无数个
自主检测如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1，判断下列直线的位置关系：
（1）直线A1B 与直线D1C 的位置关系是 ；
（2）直线A1B 与直线B1C 的位置关系是 ；
（3）直线D1D 与直线D1C 的位置关系是 ；
（4）直线AB 与直线B1C 的位置关系是 ．
【答案】 平行 异面 相交 异面
【详解】由正方体性质易知
，故
为平行四边形，故直线
，则
两直线“平行”，所以(1)应该填“平行”；
直线D1D 与直线D1C 相交于D1点，所以(3)应该填“相交”；
点
平面
内，
平面
而且
，点C 不在平面
内，则直线
与直线
“异面”．同理，直线
与直线
“异面”．所以(2)(4)都应该填“异面”.
故答案为：平行；异面；相交；异面
知识点3 等角定理
①文字语言：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
②符号语言：
,
或
等角定理的两个推论：
（1）如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补；
（2）如果两条相交直线与另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等。
作用：判断和证明两个角相等或互补。
自主检测若
，
，且
，则
等于（ ）
A．
B．
C．
或
D．不能确定
【答案】C
【详解】因为
，
，且
，
所以
或
.故选：C
知识点4 异面直线所成角
1.异面直线的概念：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线
2.异面直线的画法
画异面直线时,为了体现它们不共面的特点，常借助一个或两个平面来衬托
3.异面直线的判定：①定义法；②两直线既不平行也不相交
4.异面直线所成角取值范围：
自主检测在正方体
中，O 为
的中点，则直线
与
所成角的大小为（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】
由正方体的性质可知：
，
所以
就是直线
与
所成的角或其补角，
由正方体的性质可知：
平面
，
平面
，
所以
，
假设正方体的棱长为，则
，
所以有
，
因为
为锐角，所以
，
故选：A.
题型1 利用基本事实证明“点共面”，“线共面”
例1-1 在如图所示的正方体或四面体中，
分别是棱的中点，这四个点不共面的图有（ ）
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．3 个
【答案】C
【详解】第一个图，如图：
分别是棱的中点，由正方体性质知，
，则
四个点共面；
第二个图，如图：
为棱的中点，由正方体的性质可知
六点共面，记
作
，
因为
，所以
，所以
与
异面直线，即
四个点不共面；
第三个图，如图：
因
和
分别是相邻侧面的中位线，所以
，
，
所以
，即
四个点共面；
第四个图，如图：
因为
平面
，所以
平面
，所以
与
异面直线，
即
四个点不共面．
故选：C
例1-2 如图，在正方体
中，
，
分别是棱
，
的中点．证明：
，
，
，
四
点共面
【答案】证明见解析
【详解】如图，取
的中点
，连接
，
，
则
，
在正方体
中，
，
，
所以
，
所以四边形
是平行四边形，所以
，
因为
，
，
所以四边形
是平行四边形，所以
，
所以
，所以
，
，
，
四点共面．
方法技巧 证明共面的方法
先确定一个平面，然后再证其余的线（或点）在这个平面内
【变式1-1】（多选）在长方体
中，直线
与平面
的交点为M，O 为线段
的中
点，则下列结论正确的是（ ）
A．
三点共线
B．M，O，
，A 四点共面
C．B，
，O，M 四点共面
D．A，O，C，M 四点共面
【答案】ABD
【详解】因为
，则
四点共面.因为
，则
平面
，
又
平面
，则点
在平面
与平面
的交线上，
同理，
也在平面
与平面
的交线上，
所以
三点共线，M，O，
，A 四点共面，故选项A、B 正确；
三点均在平面
内，而点A 不在平面
内，
所以直线AO 与平面
相交且点O 是交点，所以点M 不在平面
内，
即
四点不共面，故选项C 错误；
点M 在直线
上，点O 在直线
上，所以A，O，C，M 四点都在平面
，
所以A，O，C，M 四点共面，故选项D 正确.
故选：ABD
【变式1-2】在长方体
的所有棱中，既与AB 共面，又与
共面的棱有 条．
【答案】5
【详解】作图并观察可知，既与AB 共面又与
共面的棱有CD，BC，
，
，
，共5 条．
故答案为：5
【变式1-3】如图，在正三棱柱
中，侧棱与底面边长均为2，点
分别为
的中点，
点
满足
．求证：
四点共面.
【答案】证明见解析
【详解】取
中点
，过
作
于
，连接
，
，
则
，
，
，
所以四边形
是平行四边形，
，
由
得
，
，
又
，
，
，所以
，
，
，
四点共面，
又
，所以
，
，
，
四点共面.
题型2 利用基本事实证明“线共点”，“点共线”
例2-1 如图，在四棱锥
中，点G 在正方形ABCD 内，点F 在BE 上，若DF 与EG 相交，则下列
说法一定正确的是（ ）
A．点G 在AC 上
B．
C．
D．直线EB，GD 交于点B
【答案】D
【详解】因为DF 与EG 相交，
所以平面
平面
,
所以直线EB，GD 交于点B，故D 正确.
而由题意，
可为
上任意一点，故ABC 错误.
故选：D
例2-2 如图，已知
分别是正方体
的棱
的中点，
.证明：
直线
交于同一点；
【答案】证明见解析
【详解】在正方体
中，连接
，
由
，得四边形
是平行四边形，则
，
由
分别是
的中点，得
，则
，即
四点共面，
而
，则
相交，设交点为
，则
，而
平面
，则
平面
，
同理
平面
，而平面
平面
则
，即点
在直线
上，所以直线
交于同一点
.
方法技巧 证明共线、共点的方法
证明共线：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上．
证明共点：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．
【变式2-1】如图，在正方体
中，已知
是
的中点，且直线
交平面
于点
，
点
的位置关系是 ．
【答案】共线
【详解】∵
，
平面
，∴
平面
，
∵
为
中点，∴
为
中点，
∴
，
平面
，∴
平面
.
∴
是平面
和平面
的公共点；
同理可得，点
和
都是平面
和平面
的公共点，
∴三点
，
，
在平面
与平面
的交线上，
即
，
，
三点共线.
【变式2-2】已知正方体
中，
，点M，N 分别是线段
，
的中点．
(1)求三棱锥
的体积；
(2)求证：直线
、
、
三线共点．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）
（2）由于
且
，故直线
相交，设交于
，
则
，
同理可得直线
相交于点
，则
，
故
与
重合，故直线
三线相交于点O，
故直线
三线交于一点．
【变式2-3】如图，在正四棱台
中，
分别为棱
，
，
，
上的点.已
知
，
，
，
，正四棱台
的高为6.证明：直线
，
，
相交于同一点.
【答案】证明见解析
【详解】在正四棱台
中，因为
，
，
，
，所
以四边形
，
均为梯形，
则直线
与
必相交，
与
必相交.
延长
，
，
，设
的延长线与
的延长线交于点
，
的延长线与
的延长线交于点
．
在正四棱台
中，
，
，
则
，
，得
，所以点
重合，
即直线
，
，
相交于同一点.
题型3 等角定理
例3-1 若
与
的两边分别平行且方向相同，若
，则
.
【答案】
【详解】由
与
的两边分别平行且方向相同，得
.
故答案为：
例3-2 如图所示，△ABC 和△A′B′C′的对应顶点的连线AA′，BB′，CC′交于同一点O，且
，则
．
【答案】
【详解】因为
，且
＝
＝
，
所以
，同理
，
，
因为
，所以
，
同理
，
所以
∽
，且
＝
＝
，
所以
．
故答案为：
.
【变式3-1】空间中两个角
和
，若
，则
的大小是
【答案】
或
【详解】因为
，
所以
和
相等或者互补，
所以
或
.
故答案为:
或
.
【变式3-2】如图所示，OA，OB，OC 为不共面的三条线段，点
，
，
分别是OA，OB，OC 上的点，
且
成立.求证：
.
【答案】见解析
【解析】根据
,可得
,
,
进而通过平行线得两个角
和
对应相等,即可证明
.
【详解】证明；在
中,因为
,
所以
.
同理可证
,
.
所以
,
.
所以
.
【点睛】本题考查了通过线段成比例,证明线线平行,根据空间中角的两边分别平行判断两个角的关系,属于
基础题.
题型4 空间中的线、面的位置关系
例4-1 已知直线，
，平面
，
，
，那么
与平面
的关系是（ ）
A．
B．
C．
或
D．
与
相交
【答案】C
【详解】
在正方体
中，取
，
，
当取面
为平面
时，
所以满足
，
，此时
；
当取面
为平面
时，
所以满足
，
，此时
，
所以
与平面
的关系是
或
.
故选：
.
例4-2 如图所示，
是
所在平面外的一点，
，
分别是
，
的中点．
(1)判断直线
与平面
的位置关系．
(2)判断直线
与直线
的位置关系．
【答案】(1)相交；
(2)异面；
【详解】（1）因为
面
，所以
面
，又
面
，
所以直线
与平面
的位置关系是相交；
（2）由（1）得直线
与平面
的位置关系是相交，
面
，
又
面
，
，
面
，
所以直线
与直线
的位置关系是异面；
【变式4-1】如图，在正方体
中，
分别为B′C′，A′D′的中点，则平面
与平面
．
【答案】相交
【详解】在正方体
中，E 为
的中点，所以
与
不平行，
则延长
与BB′必相交于一点，设交点为H，
所以
，
，
又
平面
，
平面
，
所以
平面
，H∈平面
，
故平面
与平面
相交．
故答案为：相交
【变式4-2】如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1，判断下列直线的位置关系：
（1）直线A1B 与直线D1C 的位置关系是 ；
（2）直线A1B 与直线B1C 的位置关系是 ；
（3）直线D1D 与直线D1C 的位置关系是 ；
（4）直线AB 与直线B1C 的位置关系是 ．
【答案】 平行 异面 相交 异面
【详解】由正方体性质易知
，故
为平行四边形，故直线
，则
两直线“平行”，所以(1)应该填“平行”；
直线D1D 与直线D1C 相交于D1点，所以(3)应该填“相交”；
点
平面
内，
平面
而且
，点C 不在平面
内，则直线
与直线
“异面”．同理，直线
与直线
“异面”．所以(2)(4)都应该填“异面”.
故答案为：平行；异面；相交；异面
【变式4-3】在正方体
中，
分别为
，
的中点.求证：平面
与平面
相交.
【答案】证明见解析
【详解】证明：在正方体
中，E 为
的中点，
与
不平行.
延长CE 与
，延长线相交于一点
，
，
.
又
平面
，
平面
，
平面
，
平面
，
所以平面
与平面
相交.
题型5 异面直线所成的角
例5-1 在正方体
中，E，F 分别是
的中点，则直线AF 与BE 所成角的余弦值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】取
的中点
，连接
，
因为
，
分别是
的中点，
所以
，
，
在正方体
中，∵
∴
，所以四边形
为平行四边形，
所以
，
所以四边形
为平行四边形，所以
，
故
为异面直线
与
所成角或其补角.
设正方体的棱长为2，
分别是
的中点，
由余弦定理得：
，
所以直线
与
所成角的余弦值为
.
故选：D.
例5-2 如图，在直三棱柱
中，底面是边长为2 的等边三角形，异面直线
与
所成角的余
弦值为
，则该三棱柱的高为 .
【答案】2
【详解】连接
，如图，
在直三棱柱
中，
，
则
（或其补角）是异面直线
与
所成的角，所以
，
设三棱柱的高为，在
和
中，
，
所以
是等腰三角形.
因为
，所以
，
所以
，所以该三棱柱的高为2.
故答案为：2.
【变式5-1】在直三棱柱
中，
，
，
，
分别是棱
，
，
的中点，则异
面直线
与
所成角的余弦值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】取棱
的中点
，连接
，
，
，如图所示，
因为
，
分别是棱
，
的中点，所以
，
.
由棱柱的性质可知
，
.
因为
是棱
的中点，所以
，
，所以
，
，
所以四边形
是平行四边形，所以
，
则
是异面直线
与
所成的角或其补角.
设
，则
，
.
在
中，由余弦定理可得
，
即异面直线
与
所成角的余弦值是
.
故选：C.
【变式5-2】在长方体
中，
与
所成的角为
，则
（ ）
A．
B．3
C．
D．
【答案】D
【详解】如图所示，连接
，由图知
为锐角，
是异面直线
与
所成的角，即
，
在
中，
，
在
中，有
，即
.
故选：D.
【变式5-3】如图，正三棱柱
中，点E 为正方形
的中心，点F 为棱
的中点，则异
面直线BF 与CE 所成角的正切值为 ．
【答案】2
【详解】在正三棱柱
中，取
中点G，连接FG，EG，BG，如图所示．
由点E 为正方形
的中心，得
，
，而
，
，
于是
，
，由F 为棱
的中点，得
，
，则四边形CFGE 是平行四边
形，有
，
即
或其补角就是异面直线BF 与CE 所成的角，
正三棱柱
所有棱长都相等，令棱长为2，则
，
，
，
等腰
底边FG 上的高
，
，
所以异面直线BF 与CE 所成角的正切值为2．
故答案为：2.
【变式5-4】如图，在棱长均为2 的正三棱柱
中，点
为棱
的中点.
(1)证明：
平面
；
(2)求异面直线
与
所成的角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）证明：连接
交
于
，连接
，
侧面
为平行四边形，
为
的中点.
又点
为
的中点，
，
又
平面
平面
，
平面
.
（2）由（1）得
为异面直线
与
所成的角或其补角.
在棱长均为2 的正三棱柱
中，
，
，
，
在
中，由余弦定理得
，
异面直线
与
所成的角的余弦值为
.
题型6 立体几何中的截面问题
例6-1 在正方体
中，E、F 分别是棱
的中点.若正方体的棱长为1，则过A、E、
F 的平面截正方体所得截面的周长为
【答案】
【详解】
采用延长交线法，连接
，延长与
的延长线交于点
，与
的延迟线交于点
，连接
，
与
分别交于
，连接
，即截面图形为
，
因为E、F 分别是棱
的中点，由正方形的性质可得
，
所以
分别为三等分点，
所以
，
所以截面的周长为
.
故答案为：
.
例6-2 把一正方体沿对角面劈开，得一几何体，如图，其中B1C1＝A1C1＝2，M 为A1B1的中点，试作出过点
B1且与平面AMC1平行的截面，并计算该截面的面积．
【答案】作图见解析，
【详解】如图，取AB 的中点N，连接B1N，NC，CB1，则截面B1NC 即为所求，理由如下：
∵AN
B1M，且
，∴四边形ANB1M 为平行四边形，∴AM
B1N.
又B1N⊄平面AMC1，AM⊂平面AMC1，
∴B1N∥平面AMC1，同理，CN
平面AMC1，又B1N∩CN＝N，B1N，CN⊂平面B1NC，
∴平面B1NC
平面AMC1.
∵B1C＝
，
B1N＝
，
NC＝
，∴B1C2＝B1N2＋NC2，∴B1N⊥NC，
∴S△B1NC＝
.
方法技巧 作截面的三种方法
（1）直接法：有两点在几何体的同一个面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面实际就是找
交线的过程。
（2）延长线法：同一个平面有两个点，可以连线并延长至与其他平面相交找到交点。
（3）平行线法：过直线与直线外一点作截面，拖直线所在的面与点所在的平面平行，可以通过点找直线
的平行线找到几何体的截面的交线。
【变式6-1】已知三棱柱
中，M，N 分别为棱
，
的中点，过A，M，N 作三棱柱的截面
交
于E 点，且
，则
.
【答案】6
【详解】连接AM 并延长与
的延长线交于点P，连接NP 与直线
相交交点即为点E，
因为AM 与NE 相交于点P，所以A，M，N、E 四点共面，
因为M 是
的中点，且
，所以
，
，
所以
是△
的中位线，则
是
的中点，
又因为N 为
的中点，所以
，
易知
，则
，所以
.
故答案为：6
【变式6-2】已知正四棱锥
的底面边长为1，侧棱长为
，
的中点为E，过点E 作与
垂直
的平面
，则平面
截正四棱锥
所得的截面面积为 .
【答案】
/
【详解】在正四棱锥
中，连接
，则
，
是正三角形，由
的中点为
E，得
，
而
，则
，在
中，
，
，令平面
与直线
交于
，连
，则
，
，即点
在棱
上，同理平面
与棱
相交，令交点为
，连
，
于是四边形
为平面
截正四棱锥
所得的截面，由对称性知
，
在
中，
，而
，
在
中，
，由余弦定理得
，
在
中，
，
，
所以所得截面面积
.
故答案为：
【变式6-3】已知正方体
的棱长为4，
，
分别是棱
，
的中点，过直线
的
平面
平面AEF，则平面
截正方体
所得截面的面积为 ．
【答案】18
【详解】如图，取
的中点
，
的中点M，连接
，
，
，
，
，
则
，所以
，
，
，
四点共面．
因为
，
平面
，
平面
，所以
平面
．
因为
，且
，所以四边形
为平行四边形.
所以
，
平面
,
平面
,
所以
平面
，又
都在平面
内，所以平面
平面
，
所以四边形
即为平面
截正方体
所得截面，
易得
，
，
，
所以四边形
的面积
．
故答案为：18
【变式6-4】在一正三棱台木块
如图所示，已知
，
，点
在平面
内且为
的重心.
(1)过点
将木块锯开，使截面经过
平行于直线
，在木块表面应该怎样划线，并说明理由；
(2)求该三棱台木块被问题（1）中的截面分成的两个几何体的体积之比.
【答案】(1)作图见解析
(2)小几何体与大几何体的比值为
【详解】（1）如图，在平面
内过点O 作直线
交
于点
，交
于点
，
连接
，则
为截面与各木块表面的交线，
理由如下：由于
，故
四点共面，
且平面
平面
，平面
平面
，
平面
平面
，则
为截面与各木块表面的交线.
（2）由于点
在平面
内且为
的重心，
，
所以
，又因为
，故
，
故几何体
为棱柱，
设棱台的高为，
的面积为，故
，
又
，则
，
故由台体体积公式得正三棱台
体积为
，
所以被截面
截得的非三棱柱
的另一个几何体体积为
，
故该三棱台木块被（1）中的截面分成的两个几何体的体积之比为
（或
）.
1．（2021·全国乙卷·高考真题）在正方体
中，P 为
的中点，则直线
与
所成的
角为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】
如图，连接
，因为
∥
，
所以
或其补角为直线
与
所成的角，
因为
平面A1B1C1D1，所以
，又
，
，
所以
平面
，所以
，
设正方体棱长为2，则
，
，所以
.
故选：D
2．（2022·上海·高考真题）如图，正方体
中，
分别为棱
的中点，
连接
，对空间任意两点
，若线段
与线段
都不相交，则称
两点可视，下列
选项中与点
可视的为（ ）
A．点
B．点
C．点
D．点
【答案】B
【详解】A 选项：四边形
是平行四边形，
与
相交，故A 错；
C 选项：四边形
是平行四边形，
与
相交，故C 错；
D 选项：四边形
是平行四边形，
与
相交，故D 错；
利用排除法可得选项B 正确.
故选：B.
3．（2015·山东·高考真题）如下图，在四棱锥
中，底面
是正方形，平面
平面
，
，
．
（1）求
与
所成角的余弦值；
（2）求证：
．
【详解】（1）因为
，因此
即为
与
所成的角，在
中，
，
又在正方形
中
，因此
，
因此
与
所成角的余弦值是
．
（2）因为平面
平面
，平面
平面
，在正方形
中，
，
因此
平面
，又因为
平面
，因此
．
4．（2020·全国III 卷·高考真题）如图，在长方体
中，点
，
分别在棱
，
上，
且
，
．证明：
（1）当
时，
；
（2）点
在平面
内．
【详解】
（1）因为长方体
,所以
平面
,
因为长方体
,所以四边形
为正方形
因为
平面
,因此
平面
,
因为
平面
,所以
；
（2）在
上取点
使得
,连
,
因为
,所以
所以四边形
为平行四边形，
因为
所以
四点共面，所以四边形
为平行四边形，
，所以
四点共面，
因此
在平面
内
【点睛】本题考查线面垂直判定定理、线线平行判定，考查基本分析论证能力，属中档题.
1．如果两条直线
与
没有公共点，那么
与
（ ）
A．共面
B．平行
C．是异面直线
D．可能平行，也可能是异面直线
【答案】D
【详解】根据空间中两条直线的位置关系，可得如果两条直线
与
没有公共点，那么
与
可能平行，
也可能是异面直线.
故选：D.
2．下列命题正确的是（ ）
A．三点确定一个平面
B．一条直线和直线外一点确定一个平面
C．圆心和圆上两点可确定一个平面
D．梯形可确定一个平面
【答案】BD
【详解】平面上不共线的三点确定一个平面，故A 错误；
一条直线和直线外一点确定一个平面，故B 正确；
如果圆上两点和圆心共线，不能确定一个平面，故C 错误；
梯形上下底是两平行直线，可以确定一个平面，故D 正确；
故选：BD.
3．如图，在长方体
中，判定直线
与
，直线
与
，直线
与
，直线
与
的位置关系.
【答案】见解析
【解析】按直接的三种位置关系判断．
【详解】解：直线
与
相交；直线
与
平行；直线
与
异面；直线
与
异面.
【点睛】本题考查空间两条直线间的位置关系，属于基础题．
4．如图，三条直线两两平行且不共面，每两条直线确定一个平面，一共可以确定几个平面？如果三条直
线相交于一点，它们最多可以确定几个平面？
【答案】三条直线两两平行且不共面，一共可以确定三个平面；如果三条直线相交于一点，则最多可以确
定三个平面.
【解析】这三条直线象三棱柱的三条侧棱根据平面的基本性质可以确定3 个平面，得到结果；满足相交于
一点的三条直线能够确定一个平面或三个平面，从而得出其最多可以确定几个平面.
【详解】①三条直线两两平行，这三条直线象三棱柱的三条侧棱，其中每两条直线可以确定一个平面,则可
以确定3 个平面；
②三条直线两两相交每两条确定一个平面，当这三条直线在同一个平面时则可以确定1 个平面；当这三条
直线不在同一个平面时，则可以确定3 个平面；
这三条直线能够确定一个平面或三个平面,最多可以确定3 个平面.
【点睛】本题考查查平面的基本性质及其应用，考查进行简单的合情推理，本题是一个推论应用问题，是
一个基础题.
5．已知△ABC 在平面α 外，其三边所在的直线满足AB∩α＝P，BC∩α＝Q，AC∩α＝R，如图所示，求证：
P，Q，R 三点共线.
【答案】证明见解析
【详解】证明：法一：∵AB∩α＝P，
∴P∈AB，P∈平面α.
又AB⊂平面ABC，∴P∈平面ABC.
∴由基本事实3 可知：点P 在平面ABC 与平面α 的交线上，同理可证Q，R 也在平面ABC 与平面α 的交线
上.
∴P，Q，R 三点共线.
法二：∵AP∩AR＝A，
∴直线AP 与直线AR 确定平面APR.
又∵AB∩α＝P，AC∩α＝R，
∴平面APR∩平面α＝PR.
∵B∈平面APR，C∈平面APR，∴BC⊂平面APR.
∵Q∈BC，∴Q∈平面APR，又Q∈α，∴Q∈PR，
∴P，Q，R 三点共线.
6．如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，那么在AB，CD，EF，GH 这四条线段中，哪些
线段所在直线是异面直线？
【答案】直线EF 和直线HG，直线AB 和直线HG，直线AB 和直线CD.
【详解】
还原正方体如图，由经过平面外一点和平面内一点的直线和平面内不进过该点的直线是异面直线可得，
AB，CD，EF，GH 这四条线段所在直线是异面直线为：
直线EF 和直线HG，直线AB 和直线HG，直线AB 和直线CD.
【点睛】本题考查的是异面直线的判定，将正方体的展开图还原成正方体，再利用异面直线的判定定理判
断是解题的关键，是基础题.
7．如图，已知长方体
中，
，
，
．
(1)BC 和
所成的角是多少度？
(2)
和BC 所成的角是多少度？
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为
，所以
是异面直线
与
所成的角，
在
中，
，
，所以
.
故异面直线
和
所成的角是
.
（2）因为
，则
和BC 所成的角即为
，显然
，
则
和BC 所成的角是
.
